中考数学复习冲刺专项训练精讲：一元二次方程教学课件（初三数学章节复习课件）

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第二章　方程与不等式 　一元二次方程 中考数学复习冲刺专项训练精讲 1.一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)： (1)常用的解法：配方法、因式分解法、公式法． (2)求根公式：____________________ . 一、考点知识 2.b2－4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式: (1)当b2－4ac＞0时，方程有两个不等的实数根． (2)当b2－4ac＝0时，方程____________________．　 (3)当b2－4ac<0时，方程________________． (4)当方程有两个实数根时，b2－4ac与0大小比较：__________． 有两个相等的实数根 3.方程ax2＋bx＋c＝0的两个实数根为x1，x2， 则 1 2x x  1 2x x  _______ _______  2 24 4 02 b b acx b aca      没有实数根 b2－4ac≥0 b a  c a 【例1】解下列方程： (1)4x2－2x－1＝0；　　(2)(x＋4)2＝2x＋8. 【考点1】解一元二次方程 二、例题与变式 解：(1) 提示:用求根公式法求解. (2)方法一：方程化为一般形式，得x2+6x+8=0. 配方得(x+3)2=1.开方得x+3=±1. 解得x1=－2, x2=－4. 方法二：用因式分解法求解.方程变形为(x+4)2=2(x+4). 移项,得(x+4)2－2(x+4)=0. 方程左边分解因式得(x+4)(x+4－2)=0. 解得x1=－2, x2=－4. 1 2 1 5 1 5 .4 4x x  ， 【变式1】解下列方程： (x＋1)2－5(x＋1)＝0. 解：x1=－1 ，x2=4. 提示:用因式分解法求解. 【考点2】一元二次方程根的判别式 【例2】如果一元二次方程mx2－4x＋1＝0有两 个不等的实数根，求m的取值范围． 解：方程有两个不相等的实数根， ∴(-4)2－4m＞0,即－4m＞－16. 解得m＜4． 又∵二次项系数m≠0. ∴m的取值范围是m＜4且m≠0. 【变式2】关于x的一元二次方程(x－2)(x－3)＝m2， m为实数．求证：该方程有两个不等的实数根． 解：方程化为一般形式x2－5x+(6－m2)=0, 根的判别式=(－5)2－4(6－m2)=1+4m2, ∵m为实数，∴1+4m2>0, ∴方程有两个不等的实数根. 【考点3】一元二次方程根与系数关系 【例3】关于x的一元二次方程x2＋2x＋k＋1＝0 的实数根是x1和x2. (1)求k的取值范围； (2)如果x1＋x2－x1x2＜－1且k为整数，求k的值． 解：（1）方程有实数根，∴根的判别式=22－4(k+1)≥0， 解得 k≤0. ∴k的取值范围是k≤0 （2）根据一元二次方程根与系数的关系， 得x1+x2=－2 , x1x2=k+1. ∴x1+x2－x1x2=－2－(k+1)， 由已知,得－2－(k+1)＜－1，解得k＞－2. 由（1）,得方程有两个实数根，则k≤0，∴－2＜k≤0， ∵ k为整数，∴k的值为－1和0. 【变式3】已知关于x的方程x2＋mx－6＝0的一个 根为2, 求m的值和另一个根． 解：m=1，另一根x1=－3. 方法一，把x=2代入方程，求出m的值，再利用两根和 或两根积的关系求出另一根; 方法二，利用两根积的关系求出另一个根，再利用两根 和的关系或方程根的定义求m的值. A组 1. 一元二次方程x2－x＋2＝0的根的情况是(　　) A．有两个相等的实数根 B．无实数根 C．有两个不等的实数根 D．无法确定 三、过关训练 3.若x1，x2是方程x2＋x－1＝0的两根，则x1＋x2的值为 ________，x1x2的值为__________． 2.关于x的一元二次方程x2＋4x＋2k＝0有两个实数根，则k的 取值范围是__________． B k≤2 －1 －1 4.解方程： (1)x2＝2x； 　　 (2)2y2＋2y－1＝0； (3)(x－1)(x＋2)＝2(x＋2)． 解: x1=－2，x2=3. 提示:用因式分解法求解. 解: 提示:用求根公式法求解. 解: x1=0, x2=2 提示:用因式分解法求解. 1 2 1 3 1 3 2 2y y    ， B组 5．若a，b是方程x2－5x＋2＝0的两个根．求下列各式的值： (1)ab2＋a2b； (2) (3)(a＋1)(b＋1)； (4)a2＋b2. 解：由根与系数关系得a+b=5, ab=2. (1)ab2+a2b=ab(a+b)=2×5=10. (2) (3) (a+1)(b+1)=ab+a+b+1=2+5+1=8. (4)a2+b2=(a2+b2+2ab)－2ab=(a+b)2－2ab =52－2×2=21. 1 1 a b  1 1 5 2 b a b a a b ab ab ab      6．已知关于x的一元二次方程x2＋(k＋1)x－3＝0. (1)求证：该方程一定有两个不等的实数根； (2)若方程的一根为2，求方程的另一根． （1）证明：根的判别式=(k+1)2－4×(－3) =(k+1)2+12＞0， 所以方程一定有两个不等的实数根. （2）解:设方程的另一根为x1,则2x1=－3. 解得 . 所以另一根为 . 1 3 2x   3 2  7．已知关于x的一元二次方程 mx2－(2m＋1)x＋m－1＝0. (1)若方程有两个实数根，求m的取值范围； (2)若3是方程的一个根，求m的值和另一个根． 解：（1）方程根的判别式=(2m+1)2－4m(m－1)=8m+1， ∵方程有两个实数根，∴8m+1≥0，解得 ， 又∵m≠0，∴m的取值范围是 且m≠0. （2）把x=3代入方程,得9m－3(2m+1)+m－1=0, 解得m=1. 所以把m=1代入原方程,得x2－3x=0, 设另一根为x1, 则根据根与系数关系得3x1=0. 解得x1=0. 所以m的值为1，方程的另一根为0. 1 8m   1 8m  