2009年北京市海淀区中考数学二模试卷

2009年北京市海淀区中考数学二模试卷

‎3 2009年北京市海淀区中考数学二模试卷 一、选择题(本题共32分，每小题4分)‎ 在下列各题的四个备选答案中，只有一个是正确的．‎ ‎1．一天早晨的最低气温是－‎3℃‎，中午的最高气温比早晨最低气温上升了‎8℃‎，则中午最高气温是( )‎ A．－‎11℃‎ B．－‎8℃‎ C．‎5℃‎ D．‎‎11℃‎ ‎2．据北京市交通管理局统计，截至‎2009年4月1日，北京市机动车保有量已经超过360万辆，将3600000用科学记数法表示正确的是( )‎ A．36×105 B．3.6×‎105 ‎C．3.6×106 D．0.36×107‎ ‎3．如图，AB是⊙O的弦，OD⊥AB于D，若AO＝10，OD＝6，则AB的长为( )‎ 第3题图 A．8 B．‎16 ‎C．18 D．20‎ ‎4．下列运算中，正确的是( )‎ A．a4·a3＝a7 B．a5＋a5＝a10‎ C．a5÷a5＝a D．(a3)3＝a6‎ ‎5．为绿化城市，某学校组织八个班的学生参加义务植树活动，各班植树情况如下(单位：棵)：15，18，22，25，15，20，17，22，则下列说法正确的是( )‎ A．这组数据的中位数是18 B．这组数据的众数是22‎ C．这组数据的平均数是20 D．这组数据的极差是10‎ ‎6．若一个多边形的内角和等于它的外角和的2倍，则这个多边形的边数是( )‎ A．4 B．‎5 ‎C．6 D．7‎ ‎7．某地区进入汛期以来，连续10天的天气情况是：前5天小雨，后5天暴雨．那么反映该地区某河流水位变化的图象大致是( )‎ ‎8．如图，已知八边形ABCDEFGH,对角线AE、BF、CG、DH交于点O，△OAB、△OCD、△OEF和△OGH是四个全等的等边三角形，用这四个三角形围成一个四棱锥的侧面，用其余的四个三角形拼割出这个四棱锥的底面，则下面图形(实线部分为拼割后的图形)中恰为此四棱锥底面的是( )‎ 第8题图 二、填空题(本题共16分，每小题4分)‎ ‎9．若分式的值为0，则a的值为________．‎ ‎10．在函数中，自变量x的取值范围是________．‎ ‎11．如图，箭头所示的方向为圆柱和圆锥的正面．将这两个几何体的主视图、左视图、俯视图分别画在形状、大小、质地均相同的6张卡片上，并将其放在盒子中，从盒子中随机抽取一张卡片，抽到的图形为矩形的概率是________．‎ 第11题图 ‎12．如图，将边长为(n＝1，2，3，…)的正方形纸片从左到右顺次摆放，其对应的正方形的中心依次为A1，A2，A3，…①若摆放前6个正方形纸片，则图中被遮盖的线段(虚线部分)之和为________；②若摆放前n(n为大于1的正整数)个正方形纸片，则图中被遮盖的线段(虚线部分)之和为________．‎ 第12题图 三、解答题(本题共30分，每小题5分)‎ ‎13．计算：．‎ ‎14．解方程：．‎ ‎15．已知：如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别是AB、DC的中点．‎ 求证：∠DEA＝∠BFC．‎ 第15题图 ‎16．若‎2a2＋‎3a－b＝4，求代数式[(a＋b)(a－b)＋(a－b)2＋‎4a2(a＋1)]÷a的值．‎ ‎17．如图，点A在反比例函数的图象上，AB⊥x轴于B，点C在x轴上，且CO＝OB，S△ABC＝2，确定此反比例函数的解析式．‎ 第17题图 ‎18．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝45°，∠ADC＝120°，AD＝DC，AB＝2，求BC的长．‎ 第18题图 四、解答题(本题共20分，第19题5分，第20题5分，第21题6分，第22题4分)‎ ‎19．今年五一小长假期间，某旅行社接待一日游和三日游的游客共1600人，收取旅游费共129万元，其中一日游每人收费150元，三日游每人收费1200元．问该旅行社接待一日游和三日游的游客各多少人?‎ ‎20．如图，AB是⊙O的直径，CB是⊙O的弦，D是的中点，过点D作直线与BC垂直，交BC延长线于E点，且交BA延长线于F点．‎ ‎(1)求证：EF是⊙O的切线；‎ ‎(2)若tanB＝，BE＝6，求⊙O的半径．‎ 第20题图 ‎21．某学校为了提高学生的身体素质，积极开展阳光体育活动，计划开设排球、篮球、羽毛球、健美操这四门选修课．学生根据自己的爱好选报其中一门课，老师在各年级随机抽取了一部分学生的报名表，对学生的报名情况进行了统计，并绘制了两幅尚未完成的统计图．请你结合图中的信息，解答下列问题：‎ ‎(1)该老师抽取的学生总数是多少?‎ ‎(2)被抽取的学生中选排球和健美操的人数分别占被抽取的总人数的百分之几?‎ ‎(3)将两个统计图补充完整．‎ ‎(4)若该学校共有2 400名学生，请你估计全校选排球的学生共有多少人．‎ 第21题图 ‎22．已知△ABC，∠ABC＝∠ACB＝63°．如图①所示，取三边中点，可以把△ABC分割成四个等腰三角形．请你在图②中，用另外四种不同的方法把△ABC分割成四个等腰三角形，并标明分割后的四个等腰三角形的底角的度数(如果经过变换后两个图形重合，则视为同一种方法)．‎ 第22题图 五、解答题(本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分)‎ ‎23．已知：关于x的一元二次方程x2＋(n－‎2m)x＋m2－mn＝0①．‎ ‎(1)求证：方程①有两个实数根；‎ ‎(2)若m－n－1＝0，求证方程①有一个实数根为1；‎ ‎(3)在(2)的条件下，设方程①的另一个根为a．当x＝2时，关于m的函数y1＝nx＋am与y2＝x2＋a(n－‎2m)x＋m2－mn的图象交于点A、B(点A在点B的左侧)，平行于y轴的直线l与y1、y2的图象分别交于点C、D．当l沿AB由点A平移到点B时，求线段CD的最大值．‎ 第23题图 ‎24．如图，已知抛物线y＝(3－m)x2＋2(m－3)x＋‎4m－m2的顶点A在双曲线y 上，直线y＝mx＋b经过点A，与y轴交于点B，与x轴交于点C．‎ ‎(1)确定直线AB的解析式；‎ ‎(2)将直线AB绕点O顺时针旋转90°，与x轴交于点D，与y轴交于点E，求sin∠BDE的值；‎ ‎(3)过点B作x轴的平行线与双曲线交于点G，点M在直线BG上，且到抛物线的对称轴的距离为6．设点N在直线BG上，请直接写出使得∠AMB＋∠ANB＝45°的点N的坐标．‎ 第24题图 ‎25．已知：在四边形ABCD中，AD∥BC，∠BAC＝∠D，点E、F分别在BC、CD上，且∠AEF＝∠ACD，试探究AE与EF之间的数量关系．‎ ‎(1)如图①，若AB＝BC＝AC，则AE与EF之间的数量关系为________．‎ ‎(2)如图②，若AB＝BC，你在(1)中得到的结论是否发生变化?写出你的猜想，并加以证明．‎ ‎(3)如图③，若AB＝kBC，你在(1)中得到的结论是否发生变化?写出你的猜想，并加以证明．‎ 第25题图 答 案 ‎3．2009年北京市海淀区中考数学二模试卷 一、选择题 ‎1．C 2．C 3．B 4．A 5．D 6．C 7．A 8．B 二、填空题 ‎9．2 10．x≥－4 11． 12．10 ‎ 说明：与参考答案不同的正确解法相应给分．‎ 三、解答题 ‎13．解：|1－｜－2×(－1)0＋3－2＋tan45°‎ ‎．‎ ‎14．解：方程两边同时乘x(x－2)，得 x2－x(x－2)＝3(x－2)．‎ ‎2x＝3x－6．‎ 解得x＝6．‎ 经检验，x＝6是原方程的解．‎ 所以原方程的解为x＝6．‎ ‎15．证明：∵四边形ABCD为平行四边形，‎ ‎∴AB＝DC，AD＝CB，∠A＝∠C．‎ ‎∵点E、F分别是AB、DC的中点，‎ ‎，．‎ ‎∴AE＝CF．‎ 在△AED和△CFB中，‎ ‎∴△AED≌△CFB．∴∠DEA＝∠BFC．‎ 第15题答图 ‎16．解：[(a＋b)(a－b)＋(a－b)2＋‎4a2(a＋1)]÷a ‎＝(a2－b2＋a2－2ab＋b2＋‎4a3＋‎4a2)÷a ‎＝(‎6a2－2ab＋‎4a3)÷a ‎＝‎4a2＋‎6a－2b．‎ 由‎2a2＋‎3a－b＝4，得 原式＝‎4a2＋‎6a－2b＝2(‎2a2＋‎3a－b)＝2×4＝8．‎ ‎17．解：设A(x，y)，连结OA，则OB＝x，BA＝y．‎ ‎∵CO＝OB，‎ ‎∴S△AOB＝S△ACO．‎ ‎．‎ ‎．‎ ‎∴k＝xy＝2．‎ ‎∴反比例函数的解析式为．‎ 第17题答图 ‎18．解：如图，过A作AE⊥BC于E，连结AC．‎ ‎∴∠AEB＝∠AEC＝90°．‎ ‎∵∠ABC＝45°，AB＝2，‎ ‎∴AE＝BE＝AB·cos45°＝2．‎ ‎∵AD∥BC，∠ADC＝120°，‎ ‎∴∠1＝∠2，∠D＋∠DCB＝180°．‎ ‎∴∠DCB＝60°．‎ ‎∵AD＝DC，∴∠1＝∠3．‎ ‎∴∠2＝∠3＝∠DCB＝30°‎ 在Rt△AEC中，∠AEC＝90°，．‎ ‎∴BC＝BE＋EC＝2＋2．‎ 第18题答图 四、解答题 ‎19．解：设接待一日游的游客x人，接待三日游的游客y人，根据题意得 解这个方程组，得 答：该旅行社接待一日游的游客600人，接待三日游的游客1000人．‎ 第20题答图 ‎20．(1)证明：如图，连结OD，BD．‎ ‎∵DE⊥BC，∴∠E＝90°．‎ ‎∵D是的中点，∴∠1＝∠2．‎ ‎∵OB＝OD，∴∠1＝∠3．∴∠2＝∠3．‎ ‎∴OD∥BE．‎ ‎∴∠FDO＝∠E＝90°．‎ ‎∴EF是⊙O的切线．‎ ‎(2)解：在Rt△BEF中，∠E＝90°，，BE＝6，∴EF＝2.‎ 由勾股定理，．‎ 由(1)知OD∥BE，∴△FOD∽△FBE．．‎ 设OD＝x，则FO＝8－x．‎ ‎．‎ 解得．‎ 即⊙O的半径为．‎ ‎21.解：(1)由两个统计图可知该老师抽取的学生总数为(人)．‎ ‎(2)选排球的人数占被抽取的总人数的百分比为；‎ 选健美操的人数占被抽取的总人数的百分比为．‎ ‎(3)图略．(每个图补充正确各1分)‎ ‎(4)(人)．估计全校选排球的学生共有600人．‎ ‎22．参考答案如下图．‎ 说明：每个图正确得1分，共4分．‎ 第22题答图 五、解答题 ‎23．(1)证明：Δ＝(n－‎2m)2－4(m2－mn)＝n2．‎ ‎∵n2≥0，‎ ‎∴Δ≥0．‎ ‎∴方程①有两个实数根．‎ ‎(2)解：由m－n－1＝0，得m－n＝1．‎ 当x＝1时，‎ 等号左边＝1＋n－2m＋m2－mn＝1＋n－2m＋m(m－n)＝1＋n－2m＋m＝1＋n－m＝0．‎ 等号右边＝0．‎ ‎∴左边＝右边．‎ ‎∴x＝1是方程①的一个实数根．‎ ‎(3)解：由求根公式，得．‎ x＝m或x＝m－n．‎ ‎∵m－n－1＝0，‎ ‎∴m－n＝1，n＝m－1．‎ ‎∴a＝m．‎ 当x＝2时，y1＝2n＋m2＝2(m－1)＋m2＝m2＋2m－2．‎ y2＝22＋‎2m(n－m－m)＋m(m－n)＝4＋‎2m(－1－m)＋m＝－‎2m2‎－m＋4．‎ 如图，当l沿AB由点A平移到点B时，‎ CD＝y2－y1＝－‎3m2‎－‎3m＋6＝－3．‎ 由y1＝y2，得m2＋2m－2＝－‎2m2‎－m＋4．‎ 解得m＝－2或m＝1．‎ ‎∴mA＝－2，mB＝1．‎ ‎，‎ ‎∴当m＝时，CD取得最大值．‎ 第23题答图 ‎24．解：(1)y＝(3－m)(x2－2x＋1)＋‎4m－m2－3＋m＝(3－m)(x－1)2＋‎5m－m2－3．‎ ‎∴A(1，－m2＋‎5m－3)．‎ ‎∵点A在双曲线上，‎ ‎∴xy＝3．‎ ‎－m2＋‎5m－3＝3．‎ 解得m＝2，m＝3(不合题意，舍去)．‎ ‎∴m＝2，A(1，3)．‎ ‎∵直线y＝mx＋b经过点A，‎ ‎∴3＝2×1＋b．‎ b＝1．‎ 故直线AB的解析式为y＝2x＋1．‎ ‎(2)由y＝2x＋1，可得B(0，1)，．‎ 将直线AB绕点O顺时针旋转90°，‎ 得点B的对应点为D(1，0)，‎ 点C的对应点为．‎ 可得直线DE的解析式为．‎ 由得两直线交点为．‎ 可得DE⊥BC，BD＝，．‎ ‎．‎ ‎(3)N1(5，1)，N2(－3，1)．‎ 第24题答图 ‎25．解：(1)AE与EF之间的数量关系为AE＝EF．‎ ‎(2)猜想：(1)中得到的结论没有发生变化．‎ 证法一：如图①，过点E作EH∥AB交AC于点H，则 ‎∠BAC＋∠1＝180°，∠BAC＝∠2．‎ ‎∵AB＝BC，∴∠BAC＝∠3．∴∠2＝∠3．∴EH＝EC．‎ ‎∵AD∥BC，∴∠D＋∠DCB＝180°．‎ ‎∵∠BAC＝∠D，∴∠1＝∠DCB＝∠ECF．‎ ‎∵∠4＝∠5，∠AEF＝∠ACF，∴∠6＝∠7．∴△AEH≌△FEC．‎ ‎∴AE＝EF．‎ 第25题答图 证法二：如图②，过点E作EG∥AC交AB于点G，则∠BAC＋∠1＝180°．‎ ‎∵AD∥BC，∴∠D＋∠DCB＝180°，∠2＝∠3．‎ ‎∵∠BAC＝∠D，∴∠1＝∠DCB＝∠ECF，∠B＝∠4．‎ ‎∵∠AEF＝∠4，∴ ∠B＝∠AEF．‎ ‎∵∠B＋∠GAE＝∠AEF＋∠CEF，∴∠GAE＝∠CEF．‎ ‎∵AB＝BC，∴∠BAC＝∠BCA．‎ ‎∵GE＜AC，∴四边形AGEC是等腰梯形．‎ ‎∴AG＝CE．∴△AEG≌△EFC．‎ ‎∴AE＝EF．‎ ‎(3)猜想：AE＝kEF．‎ 证法一：如图③，过点E作EH∥AB，交AC于点H，则△HEC∽△ABC．‎ ‎．‎ 同(2)可证 ∠AHE＝∠FCE，∠EAH＝∠CFE．‎ ‎∴△AEH∽△FEC．．‎ 即AE＝kEF．‎ 证法二：如图④，过点E作EG∥AC，交AB于点G，则△GBE∽△ABC．‎ ‎．‎ ‎．‎ ‎∴GB＝kBE，AB＝kBC．‎ 同(2)可证 ∠GAE＝∠CEF，∠AGE＝∠ECF．‎ ‎∴△AEG∽△EFC．‎ ‎．‎ 即AE＝kEF．‎