2020年内蒙古鄂尔多斯市东胜区中考数学模拟试卷（一） 解析版

2020年内蒙古鄂尔多斯市东胜区中考数学模拟试卷（一） 解析版

‎2020年内蒙古鄂尔多斯市东胜区中考数学模拟试卷（一）‎ 一、单项选择（本大题共10题，每题3分，共30分）‎ ‎1．（3分）在0，，sin45°，这四个数中，无理数是（　　）‎ A．0 B． C．sin45° D．‎ ‎2．（3分）十九大报告指出，我国目前经济保持了中高速增长，在世界主要国家中名列前茅，国内生产总值从54万亿元增长到80万亿元，稳居世界第二，其中80万亿用科学记数法表示为（　　）‎ A．8×1012 B．8×1013 C．8×1014 D．0.8×1013‎ ‎3．（3分）下列运算正确的是（　　）‎ A．（﹣2x2）3＝﹣6x6 B．（y+x）（﹣y+x）＝y2﹣x2 ‎ C．2x+2y＝4xy D．x4÷x2＝x2‎ ‎4．（3分）为了帮助我市一名贫困学生，某校组织捐款，现从全校所有学生的捐款数额中随机抽取10名学生的捐款数统计如下表：‎ 捐款金额/元 ‎20‎ ‎30‎ ‎50‎ ‎90‎ 人数 ‎2‎ ‎4‎ ‎3‎ ‎1‎ 则下列说法正确的是（　　）‎ A．10名学生是总体的一个样本 ‎ B．中位数是40 ‎ C．众数是90 ‎ D．方差是400‎ ‎5．（3分）如图是某圆锥的主视图和左视图，该圆锥的侧面积是（　　）‎ A．25π B．24π C．20π D．15π ‎6．（3分）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，按如下步骤作图：‎ 第一步，分别以点A、D为圆心，以大于AD的长为半径在AD两侧作弧，交于两点M、N；‎ 第二步，连接MN分别交AB、AC于点E、F；‎ 第三步，连接DE、DF．‎ 若BD＝6，AF＝4，CD＝3，则BE的长是（　　）‎ A．2 B．4 C．6 D．8‎ ‎7．（3分）某工厂现在平均每天比原计划多生产40台机器，现在生产600台机器所需的时间与原计划生产480台机器所用的时间相同，设原计划每天生产x台机器，根据题意，下面列出的方程正确的是（　　）‎ A．＝ B．＝ ‎ C．＝ D．＝‎ ‎8．（3分）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，弦AD平分∠BAC，交BC于点E，AB＝6，AD＝5，则AE的长为（　　）‎ A．2.5 B．2.8 C．3 D．3.2‎ ‎9．（3分）如图，在以O为原点的直角坐标系中，矩形OABC的两边OC、OA分别在x轴、y轴的正半轴上，反比例函数y＝（x＞0）与AB相交于点D，与BC相交于点E，若BD＝3AD，且△ODE的面积是9，则k＝（　　）‎ A． B． C． D．12‎ ‎10．（3分）如图，直线l的解析式为y＝﹣x+4，它与x轴和y轴分别相交于A，B两点．平行于直线l的直线m从原点O出发，沿x轴的正方向以每秒1个单位长度的速度运动．它与x轴和y轴分别相交于C，D两点，运动时间为t秒（0≤t≤4），以CD为斜边作等腰直角三角形CDE（E，O两点分别在CD两侧）．若△CDE和△OAB的重合部分的面积为S，则S与t之间的函数关系的图象大致是（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ 二、填空（本大题共6题，每题3分，共18分）‎ ‎11．（3分）函数y＝中，自变量x的取值范围是　 　．‎ ‎12．（3分）从分别标有数﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3的七张卡片中，随机抽取一张，所抽卡片上数的绝对值小于2的概率是　 　．‎ ‎13．（3分）如果一个正多边形每一个内角都等于144°，那么这个正多边形的边数是　 　．‎ ‎14．（3分）下列说法正确的是　 　．（填写正确说法的序号）‎ ‎①在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上；②一元二次方程x2﹣3x＝5无实数根；③的平方根为±4；④了解北京市居民”一带一路”‎ 期间的出行方式，采用抽样调查方式；⑤圆心角为90°的扇形面积是π，则扇形半径为2．‎ ‎15．（3分）如图，点A1的坐标为（2，0），过点A1作x轴的垂线交直线l：y＝x于点B1，以原点O为圆心，OB1的长为半径画弧交x轴正半轴于点A2；再过点A2作x轴的垂线交直线l于点B2，以原点O为圆心，以OB2的长为半径画弧交x轴正半轴于点A3；…．按此作法进行下去，则的长是　 　．‎ ‎16．（3分）如图，正方形ABCD的边长为4，点O为对角线AC、BD的交点，点E为边AB的中点，△BED绕着点B旋转至△BD1E1，如果点D、E、D1在同一直线上，那么EE1的长为　 　．‎ 三、解答（本大题共8题，72分.解答时请写出必要的文字说明，演算步骤或推证过程）‎ ‎17．（8分）解不等式组，并求出其所有整数解的和．‎ ‎18．（8分）“食品安全”受到全社会的广泛关注，我区兼善中学对部分学生就食品安全知识的了解程度，采用随机抽样调查的方式，并根据收集到的信息进行统计，绘制了下面的两幅尚不完整的统计图，请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题：‎ ‎（1）接受问卷调查的学生共有　 　人，扇形统计图中“基本了解”部分所对应扇形的圆心角为　 　°；‎ ‎（2）请补全条形统计图；‎ ‎（3）若对食品安全知识达到“了解”程度的学生中，男、女生的比例恰为2：3，现从中随机抽取2人参加食品安全知识竞赛，请用树状图或列表法求出恰好抽到1个男生和1个女生的概率．‎ ‎19．（8分）如图，在三角形ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，BE＝2DE，延长DE到F，使EF＝BE，连接CF．‎ ‎（1）求证：四边形BCFE是菱形；‎ ‎（2）若CE＝4，∠BCF＝120°，求菱形BCFE的面积．‎ ‎20．（7分）墙壁及淋浴花洒截面如图所示．已知花洒底座A与地面的距离AB为170cm，花洒AC的长为30cm，与墙壁的夹角∠CAD为43°．求花洒顶端C到地面的距离CE（结果精确到1cm）．（参考数据：sin43°＝0.68，cos43°＝0.73，tan43°＝0.93）‎ ‎21．（9分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为H，连接AC，过上一点E作EG∥AC交CD的延长线于点G，连接AE交CD于点F，且EG＝FG，连接CE．‎ ‎（1）求证：EG是⊙O的切线；‎ ‎（2）延长AB交GE的延长线于点M，若AH＝3，CH＝4，求EM的值．‎ ‎22．（9分）“扬州漆器”名扬天下，某网店专门销售某种品牌的漆器笔筒，成本为30元/件，每天销售y（件）与销售单价x（元）之间存在一次函数关系，如图所示．‎ ‎（1）求y与x之间的函数关系式；‎ ‎（2）如果规定每天漆器笔筒的销售量不低于240件，当销售单价为多少元时，每天获取的利润最大，最大利润是多少？‎ ‎（3）该网店店主热心公益事业，决定从每天的销售利润中捐出150元给希望工程，为了保证捐款后每天剩余利润不低于3600元，试确定该漆器笔筒销售单价的范围．‎ ‎23．（11分）如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx﹣5与x轴交于A（﹣1，0），B（5，0）两点，与y轴交于点C．‎ ‎（1）求抛物线的函数表达式；‎ ‎（2）如图2，CE∥x轴与抛物线相交于点E，点H是直线CE下方抛物线上的动点，过点H且与y轴平行的直线与BC，CE分别相交于点F，G，试探究当点H运动到何处时，四边形CHEF的面积最大，求点H的坐标；‎ ‎（3）若点K为抛物线的顶点，点M（4，m）是该抛物线上的一点，在x轴，y轴上分别找点P，Q，使四边形PQKM的周长最小，求出点P，Q的坐标．‎ ‎24．（12分）（1）问题发现 如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE．‎ 填空：‎ ‎①∠AEB的度数为　 　；‎ ‎②线段AD，BE之间的数量关系为　 　．‎ ‎（2）拓展探究 如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点A，D，E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的数量关系，并说明理由．‎ ‎（3）解决问题 如图3，在正方形ABCD中，CD＝，若点P满足PD＝1，且∠BPD＝90°，请直接写出点A到BP的距离．‎ ‎25．先化简，再求值：，其中．‎ ‎2020年内蒙古鄂尔多斯市东胜区中考数学模拟试卷（一）‎ 参考答案与试题解析 一、单项选择（本大题共10题，每题3分，共30分）‎ ‎1．（3分）在0，，sin45°，这四个数中，无理数是（　　）‎ A．0 B． C．sin45° D．‎ ‎【分析】先将题干中的数化简，根据无理数的定义判断即可得出．‎ ‎【解答】解：＝﹣3；sin45°＝；‎ 可得出无理数为．‎ 故选：C．‎ ‎2．（3分）十九大报告指出，我国目前经济保持了中高速增长，在世界主要国家中名列前茅，国内生产总值从54万亿元增长到80万亿元，稳居世界第二，其中80万亿用科学记数法表示为（　　）‎ A．8×1012 B．8×1013 C．8×1014 D．0.8×1013‎ ‎【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．‎ ‎【解答】解：80万亿用科学记数法表示为8×1013．‎ 故选：B．‎ ‎3．（3分）下列运算正确的是（　　）‎ A．（﹣2x2）3＝﹣6x6 B．（y+x）（﹣y+x）＝y2﹣x2 ‎ C．2x+2y＝4xy D．x4÷x2＝x2‎ ‎【分析】根据积的乘方、幂的乘方、同底数幂的除法、合并同类项以及平方差公式逐一计算，判断即可．‎ ‎【解答】解：A、（﹣2x2）3＝﹣8x6，故本项错误；‎ B、（y+x）（﹣y+x）＝x2﹣y2，故本项错误；‎ C、2x与2y不能合并，故本项错误；‎ D、x4÷x2＝x2，故本项正确，‎ 故选：D．‎ ‎4．（3分）为了帮助我市一名贫困学生，某校组织捐款，现从全校所有学生的捐款数额中随机抽取10名学生的捐款数统计如下表：‎ 捐款金额/元 ‎20‎ ‎30‎ ‎50‎ ‎90‎ 人数 ‎2‎ ‎4‎ ‎3‎ ‎1‎ 则下列说法正确的是（　　）‎ A．10名学生是总体的一个样本 ‎ B．中位数是40 ‎ C．众数是90 ‎ D．方差是400‎ ‎【分析】根据样本、众数、中位数及方差的定义，结合表格分别进行解答，即可得出答案．‎ ‎【解答】解：A、10名学生的捐款数是总体的一个样本，故本选项错误；‎ B、中位数是30，故本选项错误；‎ C、众数是30，故本选项错误；‎ D、平均数是：（20×2+30×4+50×3+90）÷10＝40（元），‎ 则方差是：×[2×（20﹣40）2+4×（30﹣40）2+3×（50﹣40）2+（90﹣40）2]＝400，故本选项正确；‎ 故选：D．‎ ‎5．（3分）如图是某圆锥的主视图和左视图，该圆锥的侧面积是（　　）‎ A．25π B．24π C．20π D．15π ‎【分析】求得圆锥的底面周长以及母线长，即可得到圆锥的侧面积．‎ ‎【解答】解：由题可得，圆锥的底面直径为8，高为3，‎ ‎∴圆锥的底面周长为8π，‎ 圆锥的母线长为＝5，‎ ‎∴圆锥的侧面积＝×8π×5＝20π，‎ 故选：C．‎ ‎6．（3分）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，按如下步骤作图：‎ 第一步，分别以点A、D为圆心，以大于AD的长为半径在AD两侧作弧，交于两点M、N；‎ 第二步，连接MN分别交AB、AC于点E、F；‎ 第三步，连接DE、DF．‎ 若BD＝6，AF＝4，CD＝3，则BE的长是（　　）‎ A．2 B．4 C．6 D．8‎ ‎【分析】根据已知得出MN是线段AD的垂直平分线，推出AE＝DE，AF＝DF，求出DE∥AC，DF∥AE，得出四边形AEDF是菱形，根据菱形的性质得出AE＝DE＝DF＝AF，根据平行线分线段成比例定理得出＝，代入求出即可．‎ ‎【解答】解：∵根据作法可知：MN是线段AD的垂直平分线，‎ ‎∴AE＝DE，AF＝DF，‎ ‎∴∠EAD＝∠EDA，‎ ‎∵AD平分∠BAC，‎ ‎∴∠BAD＝∠CAD，‎ ‎∴∠EDA＝∠CAD，‎ ‎∴DE∥AC，‎ 同理DF∥AE，‎ ‎∴四边形AEDF是菱形，‎ ‎∴AE＝DE＝DF＝AF，‎ ‎∵AF＝4，‎ ‎∴AE＝DE＝DF＝AF＝4，‎ ‎∵DE∥AC，‎ ‎∴＝，‎ ‎∵BD＝6，AE＝4，CD＝3，‎ ‎∴＝，‎ ‎∴BE＝8，‎ 故选：D．‎ ‎7．（3分）某工厂现在平均每天比原计划多生产40台机器，现在生产600台机器所需的时间与原计划生产480台机器所用的时间相同，设原计划每天生产x台机器，根据题意，下面列出的方程正确的是（　　）‎ A．＝ B．＝ ‎ C．＝ D．＝‎ ‎【分析】设原计划平均每天生产x台机器，根据题意可知现在每天生产（x+40）台机器，而现在生产600台所需时间和原计划生产480台机器所用时间相等，从而列出方程即可．‎ ‎【解答】解：设原计划平均每天生产x台机器，‎ 根据题意得，＝．‎ 故选：B．‎ ‎8．（3分）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，弦AD平分∠BAC，交BC于点E，AB＝6，AD＝5，则AE的长为（　　）‎ A．2.5 B．2.8 C．3 D．3.2‎ ‎【分析】连接BD、CD，由勾股定理先求出BD的长，再利用△ABD∽△BED，得出＝，可解得DE的长，由AE＝AD﹣DE求解即可得出答案．‎ ‎【解答】解：如图1，连接BD、CD，‎ ‎，‎ ‎∵AB为⊙O的直径，‎ ‎∴∠ADB＝90°，‎ ‎∴BD＝，‎ ‎∵弦AD平分∠BAC，‎ ‎∴CD＝BD＝，‎ ‎∴∠CBD＝∠DAB，‎ 在△ABD和△BED中，‎ ‎∴△ABD∽△BED，‎ ‎∴＝，即＝，‎ 解得DE＝，‎ ‎∴AE＝AD﹣DE＝5﹣＝2.8．‎ 故选：B．‎ ‎9．（3分）如图，在以O为原点的直角坐标系中，矩形OABC的两边OC、OA分别在x轴、y轴的正半轴上，反比例函数y＝（x＞0）与AB相交于点D，与BC相交于点E，若BD＝3AD，且△ODE的面积是9，则k＝（　　）‎ A． B． C． D．12‎ ‎【分析】所给的三角形面积等于长方形面积减去三个直角三角形的面积，然后即可求出B的横纵坐标的积即是反比例函数的比例系数．‎ ‎【解答】解：∵四边形OCBA是矩形，‎ ‎∴AB＝OC，OA＝BC，‎ 设B点的坐标为（a，b），‎ ‎∵BD＝3AD，‎ ‎∴D（，b），‎ ‎∵点D，E在反比例函数的图象上，‎ ‎∴＝k，∴E（a，），‎ ‎∵S△ODE＝S矩形OCBA﹣S△AOD﹣S△OCE﹣S△BDE＝ab﹣﹣k﹣•（b﹣）＝9，‎ ‎∴k＝，‎ 故选：C．‎ ‎10．（3分）如图，直线l的解析式为y＝﹣x+4，它与x轴和y轴分别相交于A，B两点．平行于直线l的直线m从原点O出发，沿x轴的正方向以每秒1个单位长度的速度运动．它与x轴和y轴分别相交于C，D两点，运动时间为t秒（0≤t≤4），以CD为斜边作等腰直角三角形CDE（E，O两点分别在CD两侧）．若△CDE和△OAB的重合部分的面积为S，则S与t之间的函数关系的图象大致是（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎【分析】分别求出0＜t≤2和2＜t≤4时，S与t的函数关系式即可判断．‎ ‎【解答】解：当0＜t≤2时，S＝t2，‎ 当2＜t≤4时，S＝t2﹣（2t﹣4）2＝﹣t2+8t﹣8，‎ 观察图象可知，S与t之间的函数关系的图象大致是C．‎ 故选：C．‎ 二、填空（本大题共6题，每题3分，共18分）‎ ‎11．（3分）函数y＝中，自变量x的取值范围是　x≥2且x≠3　．‎ ‎【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0，就可以求解．‎ ‎【解答】解：根据题意得：，‎ 解得：x≥2且x≠3．‎ 故答案是：x≥2且x≠3．‎ ‎12．（3分）从分别标有数﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3的七张卡片中，随机抽取一张，所抽卡片上数的绝对值小于2的概率是　　．‎ ‎【分析】根据写有数字﹣3、﹣2、﹣1、0、1、2、3、的七张一样的卡片中，数字的绝对值小于2的有﹣1、0、1，直接利用概率公式求解即可求得答案．‎ ‎【解答】解：∵写有数字﹣3、﹣2、﹣1、0、1、2、3、的七张一样的卡片中，数字的绝对值小于2的有﹣1、0、1、，‎ ‎∴任意抽取一张卡片，所抽卡片上数字的绝对值小于2的概率是：．‎ 故答案为：．‎ ‎13．（3分）如果一个正多边形每一个内角都等于144°，那么这个正多边形的边数是　10　．‎ ‎【分析】设正多边形的边数为n，然后根据多边形的内角和公式列方程求解即可．‎ ‎【解答】解：设正多边形的边数为n，‎ 由题意得，＝144°，‎ 解得n＝10．‎ 故答案为：10．‎ ‎14．（3分）下列说法正确的是　①④⑤　．（填写正确说法的序号）‎ ‎①在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上；②一元二次方程x2﹣3x＝5无实数根；③的平方根为±4；④了解北京市居民”一带一路”期间的出行方式，采用抽样调查方式；⑤圆心角为90°的扇形面积是π，则扇形半径为2．‎ ‎【分析】①根据角平分线的性质即可求解；‎ ‎②根据根的判别式即可求解；‎ ‎③根据算术平方根的定义和平方根的定义即可求解；‎ ‎④根据全面调查与抽样调查的定义即可求解；‎ ‎⑤根据扇形的面积公式计算即可求解．‎ ‎【解答】解：①在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上是正确的；‎ ‎②一元二次方程x2﹣3x＝5，x2﹣3x﹣5＝0，△＝（﹣3）2﹣4×1×（﹣5）＝29＞0，方程有两个不相等的两个实数根，原来的说法是错误的；‎ ‎③＝4，4的平方根为±2，原来的说法是错误的；‎ ‎④了解北京市居民”一带一路”期间的出行方式，采用抽样调查方式是正确的；‎ ‎⑤圆心角为90°的扇形面积是π，则扇形半径为＝2，正确．‎ 故说法正确的是①④⑤．‎ 故答案为：①④⑤．‎ ‎15．（3分）如图，点A1的坐标为（2，0），过点A1作x轴的垂线交直线l：y＝x于点B1，以原点O为圆心，OB1的长为半径画弧交x轴正半轴于点A2；再过点A2作x轴的垂线交直线l于点B2，以原点O为圆心，以OB2的长为半径画弧交x轴正半轴于点 A3；…．按此作法进行下去，则的长是　　．‎ ‎【分析】先根据一次函数方程式求出B1点的坐标，再根据B1点的坐标求出A2点的坐标，得出B2的坐标，以此类推总结规律便可求出点A2019的坐标，再根据弧长公式计算即可求解，．‎ ‎【解答】解：直线y＝x，点A1坐标为（2，0），过点A1作x轴的垂线交 直线于点B1可知B1点的坐标为（2，2），‎ 以原O为圆心，OB1长为半径画弧x轴于点A2，OA2＝OB1，‎ OA2＝＝4，点A2的坐标为（4，0），‎ 这种方法可求得B2的坐标为（4，4），故点A3的坐标为（8，0），B3（8，8）‎ 以此类推便可求出点A2019的坐标为（22019，0），‎ 则的长是＝．‎ 故答案为：．‎ ‎16．（3分）如图，正方形ABCD的边长为4，点O为对角线AC、BD的交点，点E为边AB的中点，△BED绕着点B旋转至△BD1E1，如果点D、E、D1在同一直线上，那么EE1的长为　　．‎ ‎【分析】根据正方形的性质得到AB＝AD＝4，根据勾股定理得到BD＝AB＝4，＝＝2，过B作BF⊥DD1于F，根据相似三角形的性质得到EF＝‎ ‎，求得DF＝2+＝，根据旋转的性质得到BD1＝BD，∠D1BD＝∠E1BE，BE1＝BE，根据相似三角形的性质即可得到结论．‎ ‎【解答】解：∵正方形ABCD的边长为4，‎ ‎∴AB＝AD＝4，‎ ‎∴BD＝AB＝4，‎ ‎∵点E为边AB的中点，‎ ‎∴AE＝AB＝2，‎ ‎∵∠EAD＝90°，‎ ‎∴DE＝＝2，‎ 过B作BF⊥DD1于F，‎ ‎∴∠DAE＝∠EFB＝90°，‎ ‎∵∠AED＝∠BEF，‎ ‎∴△ADE∽△FEB，‎ ‎∴，‎ ‎∴＝，‎ ‎∴EF＝，‎ ‎∴DF＝2+＝，‎ ‎∵△BED绕着点B旋转至△BD1E1，‎ ‎∴BD1＝BD，∠D1BD＝∠E1BE，BE1＝BE，‎ ‎∴DD1＝2DF＝，△D1BD∽△E1BE，‎ ‎∴＝，‎ ‎∴＝，‎ ‎∴EE1＝，‎ 故答案为：．‎ 三、解答（本大题共8题，72分.解答时请写出必要的文字说明，演算步骤或推证过程）‎ ‎17．（8分）解不等式组，并求出其所有整数解的和．‎ ‎【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集，进而求出整数解的和即可．‎ ‎【解答】解：，‎ 由①得：x≥﹣1，‎ 由②得：x≤，‎ ‎∴﹣1≤x≤，‎ 则所有整数解为﹣1，0，1，2，3，之和为5．‎ ‎18．（8分）“食品安全”受到全社会的广泛关注，我区兼善中学对部分学生就食品安全知识的了解程度，采用随机抽样调查的方式，并根据收集到的信息进行统计，绘制了下面的两幅尚不完整的统计图，请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题：‎ ‎（1）接受问卷调查的学生共有　60　人，扇形统计图中“基本了解”‎ 部分所对应扇形的圆心角为　90　°；‎ ‎（2）请补全条形统计图；‎ ‎（3）若对食品安全知识达到“了解”程度的学生中，男、女生的比例恰为2：3，现从中随机抽取2人参加食品安全知识竞赛，请用树状图或列表法求出恰好抽到1个男生和1个女生的概率．‎ ‎【分析】（1）根据了解很少的人数和所占的百分百求出抽查的总人数，再用“基本了解”所占的百分比乘以360°，即可求出“基本了解”部分所对应扇形的圆心角 的度数；‎ ‎（2）用调查的总人数减去“基本了解”“了解很少”和“基本了解”的人数，求出了解的人数，从而补全统计图；‎ ‎（3）根据题意先画出树状图，再根据概率公式即可得出答案．‎ ‎【解答】解：（1）接受问卷调查的学生共有30÷50%＝60（人），‎ 扇形统计图中“基本了解”部分所对应扇形的圆心角为360°×＝90°，‎ 故答案为：60，90．‎ ‎（2）了解的人数有：60﹣15﹣30﹣10＝5（人），补图如下：‎ ‎（3）画树状图得：‎ ‎​∵共有20种等可能的结果，恰好抽到1个男生和1个女生的有12种情况，‎ ‎∴恰好抽到1个男生和1个女生的概率为＝．‎ ‎19．（8分）如图，在三角形ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，BE＝2DE，延长DE到F，使EF＝BE，连接CF．‎ ‎（1）求证：四边形BCFE是菱形；‎ ‎（2）若CE＝4，∠BCF＝120°，求菱形BCFE的面积．‎ ‎【分析】（1）只要证明四边形BCFE是平行四边形，又因为BE＝FE，所以是菱形；‎ ‎（2）∠BCF是120°，所以∠EBC为60°，所以菱形的边长也为4，求出菱形的高面积就可求．‎ ‎【解答】（1）证明：∵D、E分别是AB、AC的中点，‎ ‎∴DE∥BC且2DE＝BC，‎ 又∵BE＝2DE，EF＝BE，‎ ‎∴EF＝BC，EF∥BC，‎ ‎∴四边形BCFE是平行四边形，‎ 又∵BE＝FE，‎ ‎∴四边形BCFE是菱形；‎ ‎（2）解：∵∠BCF＝120°，‎ ‎∴∠EBC＝60°，‎ ‎∴△EBC是等边三角形，‎ ‎∴菱形的边长为4，高为2，‎ ‎∴菱形的面积为4×2＝8．‎ ‎20．（7分）墙壁及淋浴花洒截面如图所示．已知花洒底座A与地面的距离AB为170cm，花洒AC的长为30cm，与墙壁的夹角∠CAD为43°．求花洒顶端C到地面的距离CE（结果精确到1cm）．（参考数据：sin43°＝0.68，cos43°＝0.73，tan43°＝0.93）‎ ‎【分析】过C作CF⊥AB于F，于是得到∠AFC＝90°，解直角三角形即可得到结论．‎ ‎【解答】解：过C作CF⊥AB于F，‎ 则∠AFC＝90°，‎ 在Rt△ACF中，AC＝30，∠CAF＝43°，‎ ‎∵cos∠CAF＝，‎ ‎∴AF＝AC•cos∠CAF＝30×0.73＝21.9，‎ ‎∴CE＝BF＝AB+AF＝170+21.9＝191.9≈192（cm），‎ 答：花洒顶端C到地面的距离CE为192cm．‎ ‎21．（9分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为H，连接AC，过上一点E作EG∥AC交CD的延长线于点G，连接AE交CD于点F，且EG＝FG，连接CE．‎ ‎（1）求证：EG是⊙O的切线；‎ ‎（2）延长AB交GE的延长线于点M，若AH＝3，CH＝4，求EM的值．‎ ‎【分析】（1）连接OE，由FG＝EG得∠GEF＝∠GFE＝∠AFH，由OA＝OE知∠OAE＝∠OEA，根据CD⊥AB得∠AFH+∠FAH＝90°，从而得出∠GEF+∠AEO＝90°‎ ‎，即可得证；‎ ‎（2）连接OC，设OA＝OC＝r，再Rt△OHC中利用勾股定理求得r＝，再证△AHC∽△MEO得＝，据此求解可得．‎ ‎【解答】解：（1）如图，连接OE，‎ ‎∵FG＝EG，‎ ‎∴∠GEF＝∠GFE＝∠AFH，‎ ‎∵OA＝OE，‎ ‎∴∠OAE＝∠OEA，‎ ‎∵CD⊥AB，‎ ‎∴∠AFH+∠FAH＝90°，‎ ‎∴∠GEF+∠AEO＝90°，‎ ‎∴∠GEO＝90°，‎ ‎∴GE⊥OE，‎ ‎∴EG是⊙O的切线；‎ ‎（2）连接OC，设⊙O的半径为r，‎ ‎∵AH＝3、CH＝4，‎ ‎∴OH＝r﹣3，OC＝r，‎ 则（r﹣3）2+42＝r2，‎ 解得：r＝，‎ ‎∵GM∥AC，‎ ‎∴∠CAH＝∠M，‎ ‎∵∠OEM＝∠AHC，‎ ‎∴△AHC∽△MEO，‎ ‎∴＝，即＝，‎ 解得：EM＝．‎ ‎22．（9分）“扬州漆器”名扬天下，某网店专门销售某种品牌的漆器笔筒，成本为30元/件，每天销售y（件）与销售单价x（元）之间存在一次函数关系，如图所示．‎ ‎（1）求y与x之间的函数关系式；‎ ‎（2）如果规定每天漆器笔筒的销售量不低于240件，当销售单价为多少元时，每天获取的利润最大，最大利润是多少？‎ ‎（3）该网店店主热心公益事业，决定从每天的销售利润中捐出150元给希望工程，为了保证捐款后每天剩余利润不低于3600元，试确定该漆器笔筒销售单价的范围．‎ ‎【分析】（1）可用待定系数法来确定y与x之间的函数关系式；‎ ‎（2）根据利润＝销售量×单件的利润，然后将（1）中的函数式代入其中，求出利润和销售单件之间的关系式，然后根据其性质来判断出最大利润；‎ ‎（3）首先得出w与x的函数关系式，进而利用所获利润等于3600元时，对应x的值，根据增减性，求出x的取值范围．‎ ‎【解答】解：（1）设y＝kx+b，‎ ‎∵直线y＝kx+b经过点（40，300），（55，150），‎ ‎∴，‎ 解得：．‎ 故y与x之间的函数关系式为：y＝﹣10x+700，‎ ‎（2）由题意，得 ‎﹣10x+700≥240，‎ 解得x≤46，‎ ‎∴30＜x≤46，‎ 设利润为w＝（x﹣30）•y＝（x﹣30）（﹣10x+700），‎ w＝﹣10x2+1000x﹣21000＝﹣10（x﹣50）2+4000，‎ ‎∵﹣10＜0，‎ ‎∴x＜50时，w随x的增大而增大，‎ ‎∴x＝46时，w最大＝﹣10（46﹣50）2+4000＝3840，‎ 答：当销售单价为46元时，每天获取的利润最大，最大利润是3840元；‎ ‎（3）w﹣150＝﹣10x2+1000x﹣21000﹣150＝3600，‎ ‎﹣10（x﹣50）2＝﹣250，‎ x﹣50＝±5，‎ x1＝55，x2＝45，‎ 如图所示，由图象得：‎ 当45≤x≤55时，捐款后每天剩余利润不低于3600元．‎ ‎23．（11分）如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx﹣5与x轴交于A（﹣1，0），B（5，0）两点，与y轴交于点C．‎ ‎（1）求抛物线的函数表达式；‎ ‎（2）如图2，CE∥x轴与抛物线相交于点E，点H是直线CE下方抛物线上的动点，过点H且与y轴平行的直线与BC，CE分别相交于点F，G，试探究当点H运动到何处时，四边形CHEF的面积最大，求点H的坐标；‎ ‎（3）若点K为抛物线的顶点，点M（4，m）是该抛物线上的一点，在x轴，y轴上分别找点P，Q，使四边形PQKM的周长最小，求出点P，Q的坐标．‎ ‎【分析】（1）根据待定系数法直接确定出抛物线解析式；‎ ‎（2）先求出直线BC的解析式，进而求出四边形CHEF的面积的函数关系式，即可求出；‎ ‎（3）利用对称性找出点P，Q的位置，进而求出P，Q的坐标．‎ ‎【解答】解：（1）∵点A（﹣1，0），B（5，0）在抛物线y＝ax2+bx﹣5上，‎ ‎∴，‎ 解得，‎ ‎∴抛物线的表达式为y＝x2﹣4x﹣5，‎ ‎（2）设H（t，t2﹣4t﹣5），‎ ‎∵CE∥x轴，‎ ‎∴点E的纵坐标为﹣5，‎ ‎∵E在抛物线上，‎ ‎∴x2﹣4x﹣5＝﹣5，‎ ‎∴x＝0（舍）或x＝4，‎ ‎∴E（4，﹣5），‎ ‎∴CE＝4，‎ ‎∵B（5，0），C（0，﹣5），‎ ‎∴直线BC的解析式为y＝x﹣5，‎ ‎∴F（t，t﹣5），‎ ‎∴HF＝t﹣5﹣（t2﹣4t﹣5）＝﹣（t﹣）2+，‎ ‎∵CE∥x轴，HF∥y轴，‎ ‎∴CE⊥HF，‎ ‎∴S四边形CHEF＝CE•HF＝﹣2（t﹣）2+，‎ ‎∴H（，﹣）；‎ ‎（3）如图2，∵K为抛物线的顶点，‎ ‎∴K（2，﹣9），‎ ‎∴K关于y轴的对称点K'（﹣2，﹣9），‎ ‎∵M（4，m）在抛物线上，‎ ‎∴M（4，﹣5），‎ ‎∴点M关于x轴的对称点M'（4，5），‎ ‎∴直线K'M'的解析式为y＝x﹣，‎ ‎∴P（，0），Q（0，﹣）．‎ ‎24．（12分）（1）问题发现 如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE．‎ 填空：‎ ‎①∠AEB的度数为　60°　；‎ ‎②线段AD，BE之间的数量关系为　AD＝BE　．‎ ‎（2）拓展探究 如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点A，D，E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM，‎ AE，BE之间的数量关系，并说明理由．‎ ‎（3）解决问题 如图3，在正方形ABCD中，CD＝，若点P满足PD＝1，且∠BPD＝90°，请直接写出点A到BP的距离．‎ ‎【分析】（1）由条件易证△ACD≌△BCE，从而得到：AD＝BE，∠ADC＝∠BEC．由点A，D，E在同一直线上可求出∠ADC，从而可以求出∠AEB的度数．‎ ‎（2）仿照（1）中的解法可求出∠AEB的度数，证出AD＝BE；由△DCE为等腰直角三角形及CM为△DCE中DE边上的高可得CM＝DM＝ME，从而证到AE＝2CH+BE．‎ ‎（3）由PD＝1可得：点P在以点D为圆心，1为半径的圆上；由∠BPD＝90°可得：点P在以BD为直径的圆上．显然，点P是这两个圆的交点，由于两圆有两个交点，接下来需对两个位置分别进行讨论．然后，添加适当的辅助线，借助于（2）中的结论即可解决问题．‎ ‎【解答】解：（1）①如图1，‎ ‎∵△ACB和△DCE均为等边三角形，‎ ‎∴CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°．‎ ‎∴∠ACD＝∠BCE．‎ 在△ACD和△BCE中，‎ ‎∴△ACD≌△BCE（SAS）．‎ ‎∴∠ADC＝∠BEC．‎ ‎∵△DCE为等边三角形，‎ ‎∴∠CDE＝∠CED＝60°．‎ ‎∵点A，D，E在同一直线上，‎ ‎∴∠ADC＝120°．‎ ‎∴∠BEC＝120°．‎ ‎∴∠AEB＝∠BEC﹣∠CED＝60°．‎ 故答案为：60°．‎ ‎②∵△ACD≌△BCE，‎ ‎∴AD＝BE．‎ 故答案为：AD＝BE．‎ ‎（2）∠AEB＝90°，AE＝BE+2CM．‎ 理由：如图2，‎ ‎∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，‎ ‎∴CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝90°．‎ ‎∴∠ACD＝∠BCE．‎ 在△ACD和△BCE中，‎ ‎∴△ACD≌△BCE（SAS）．‎ ‎∴AD＝BE，∠ADC＝∠BEC．‎ ‎∵△DCE为等腰直角三角形，‎ ‎∴∠CDE＝∠CED＝45°．‎ ‎∵点A，D，E在同一直线上，‎ ‎∴∠ADC＝135°．‎ ‎∴∠BEC＝135°．‎ ‎∴∠AEB＝∠BEC﹣∠CED＝90°．‎ ‎∵CD＝CE，CM⊥DE，‎ ‎∴DM＝ME．‎ ‎∵∠DCE＝90°，‎ ‎∴DM＝ME＝CM．‎ ‎∴AE＝AD+DE＝BE+2CM．‎ ‎（3）点A到BP的距离为或．‎ 理由如下：‎ ‎∵PD＝1，‎ ‎∴点P在以点D为圆心，1为半径的圆上．‎ ‎∵∠BPD＝90°，‎ ‎∴点P在以BD为直径的圆上．‎ ‎∴点P是这两圆的交点．‎ ‎①当点P在如图3①所示位置时，‎ 连接PD、PB、PA，作AH⊥BP，垂足为H，‎ 过点A作AE⊥AP，交BP于点E，如图3①．‎ ‎∵四边形ABCD是正方形，‎ ‎∴∠ADB＝45°．AB＝AD＝DC＝BC＝，∠BAD＝90°．‎ ‎∴BD＝2．‎ ‎∵DP＝1，‎ ‎∴BP＝．‎ ‎∵∠BPD＝∠BAD＝90°，‎ ‎∴A、P、D、B在以BD为直径的圆上，‎ ‎∴∠APB＝∠ADB＝45°．‎ ‎∴△PAE是等腰直角三角形．‎ 又∵△BAD是等腰直角三角形，点B、E、P共线，AH⊥BP，‎ ‎∴由（2）中的结论可得：BP＝2AH+PD．‎ ‎∴＝2AH+1．‎ ‎∴AH＝．‎ ‎②当点P在如图3②所示位置时，‎ 连接PD、PB、PA，作AH⊥BP，垂足为H，‎ 过点A作AE⊥AP，交PB的延长线于点E，如图3②．‎ 同理可得：BP＝2AH﹣PD．‎ ‎∴＝2AH﹣1．‎ ‎∴AH＝．‎ 综上所述：点A到BP的距离为或．‎ ‎25．先化简，再求值：，其中．‎ ‎【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将化简后的x的值代入计算可得．‎ ‎【解答】解：原式＝（+）÷‎ ‎＝•‎ ‎＝，‎ 当＝4﹣1＝3时，‎ 原式＝＝﹣．‎