2020九年级数学下二次函数的图象与性质

2020九年级数学下二次函数的图象与性质

‎26．2　二次函数的图象与性质 ‎1．二次函数y＝ax2的图象与性质 知|识|目|标 ‎1．根据画一次函数图象的步骤，能够用描点法作出二次函数y＝ax2的图象．‎ ‎2．通过对比几个二次函数图象的共同点和不同点，理解二次函数的性质，并能根据其性质解决问题．‎ 目标一　会画二次函数y＝ax2的图象 例1 教材补充例题 画二次函数y＝－x2的图象．‎ ‎【归纳总结】‎ ‎1．画二次函数y＝ax2的图象的步骤：‎ 用描点法画二次函数的图象分三步：列表、描点、连线．‎ 列表：根据二次函数的关系式用表格的形式列出部分点的坐标；‎ 描点：把表格中坐标对应的点描到平面直角坐标系内；‎ 连线：用光滑的曲线顺次连结各点．‎ ‎2．画二次函数y＝ax2的图象的四点技巧：‎ ‎(1)二次函数的图象是轴对称图形，列表时先找到函数图象的对称轴，然后在对称轴两侧对称地取自变量的值；‎ ‎(2)列好表后，观察表中各点在坐标系中对应的大致位置，根据需要画出平面直角坐标系；‎ ‎(3)因为二次函数的自变量的取值是一切实数，所以二次函数图象的两端是无限延伸的；‎ ‎(4)点取得越多，图象越精确，图象必须光滑，顶点不能画成尖的，当描出的相邻两点相距较远时，可先用线段连结这两点，再把此段图象修成光滑的曲线．‎ 目标二　能理解二次函数y＝ax2的性质 例2 教材补充例题 已知二次函数y＝2x2和y＝－2x2的图象如图26－2－1‎ 6‎ 所示，根据图象回答下列问题：‎ ‎(1)指出①的函数关系式是什么，②的函数关系式是什么；‎ ‎(2)写出函数y＝2x2和y＝－2x2的图象的对称轴、顶点坐标及对称轴左、右两边y随x的变化情况；‎ ‎(3)二次函数y＝2x2和y＝－2x2何时取得最大值或最小值？‎ 图26－2－1‎ 例3 高频考题 下列说法中错误的是(　　)‎ A．在函数y＝－x2中，当x＝0时，y有最大值 B．在函数y＝2x2中，当x＞0时，y随x的增大而增大 C．在抛物线y＝ax2中，若抛物线的开口向下，则a＞0‎ D．不论a是正数还是负数，抛物线y＝ax2的顶点都是原点 ‎【归纳总结】二次函数y＝ax2的图象与性质的应用：‎ 二次函数的图象与性质一般包括图象的开口方向和对称性、函数值的变化情况以及最值．运用二次函数的图象与性质解题需注意以下两点：(1)在二次函数y＝ax2中，a的符号决定图象的开口方向、有最大值(或最小值)以及函数值的变化情况，反过来，由图象的开口方向、有最大值(或最小值)以及函数值的变化情况可以确定a的符号；(2)利用二次函数的图象与性质解题时，一般要画出草图，利用图象的直观性解决问题．‎ 知识点一　二次函数y＝ax2的图象 二次函数y＝ax2的图象是一条________，它是轴对称图形，对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的________．‎ ‎[点拨]当自变量是全体实数时，抛物线是向上或向下无限伸展的．‎ 知识点二　二次函数y＝ax2的图象与性质 二次函数 a的符号 图象 图象的开口方 向 图象的顶点坐标 图象的对称轴 函数值y随x的变化情况 最值 y＝ax2‎ a>0‎ ‎____‎ ‎(0，0)‎ ‎____‎ 当x<0时，函数值y随x的增大而________；当x>0时，函数值y随x的增大而________‎ 图象有最______点，当x＝0时，y最小值＝0‎ 6‎ a<0‎ ‎____‎ ‎(0，0)‎ ‎____‎ 当x<0时，函数值y随x的增大而________；当x>0时，函数值y随x的增大而________‎ 图象有最____点，当x＝0时，y最大值＝0‎ ‎1.注意：|a|越大，抛物线的开口越小；|a|越小，抛物线的开口越大．‎ ‎2．二次函数的函数值y随x的变化情况要以对称轴为界分左右两部分分别描述．‎ 晓明用描点法作函数y＝x2的图象，过程如下：‎ 解：列表如下：‎ x ‎－2‎ ‎－1‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ y＝x2‎ ‎4‎ ‎1‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎4‎ ‎　　描点、连线，如图26－2－2所示．‎ 图26－2－2‎ 晓明的解答正确吗？如果不正确，存在哪些问题？请你写出正确的解答过程．‎ 6‎ 教师详解详析 ‎【目标突破】‎ 例1　[解析] 二次函数y＝－x2的图象是轴对称图形，顶点坐标是(0，0)，所以列表时从x＝0往两边取适当的自变量的值，并计算对应的函数值，再把相应的点描到平面直角坐标系中，然后用光滑的曲线顺次连结各点．‎ 解：列表：‎ x ‎…‎ ‎－3‎ ‎－2‎ ‎－1‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎…‎ y ‎…‎ ‎－4.5‎ ‎－2‎ ‎－0.5‎ ‎0‎ ‎－0.5‎ ‎－2‎ ‎－4.5‎ ‎…‎ ‎　　在平面直角坐标系中描点、连线，得到二次函数y＝－x2的图象，如图所示．‎ 例2　解：观察图象可以看出：‎ ‎(1)①的函数关系式是y＝2x2，②的函数关系式是y＝－2x2.‎ ‎(2)函数y＝2x2的图象的对称轴是y轴，顶点坐标是(0，0)，在y轴左侧，y随x的增大而减小，在y轴右侧，y随x的增大而增大．函数y＝－2x2的图象的对称轴是y轴，顶点坐标是(0，0)，在y轴左侧，y随x的增大而增大，在y轴右侧，y随x的增大而减小．‎ ‎(3)二次函数y＝2x2，当x＝0时，y取得最小值0；二次函数y＝－2x2，当x＝0时，y取得最大值0.‎ 例3　[答案] C　‎ 备选目标　二次函数的图象与性质的应用 例　已知二次函数y＝2x2.‎ ‎(1)点A(1，a)，B(－2，b)均在二次函数y＝2x2的图象上，比较a，b的大小；‎ 6‎ ‎(2)M，N是二次函数y＝2x2的图象上的点，它们的横坐标分别为2和，在y轴上找一点P，使得PM＋PN最小．‎ ‎[解析] (1)根据点A，B均在函数y＝2x2的图象上，将横坐标分别代入关系式，求出纵坐标a，b的值，再比较大小，也可以利用图象进行比较，还可以利用函数值的变化情况比较其大小．(2)求出点M，N的坐标，再作点M关于y轴的对称点M′，连结NM′，与y轴的交点即为点P.‎ 解：(1)方法一：通过计算得a＝2，b＝8，故a＜b.‎ 方法二：画出函数y＝2x2的图象，如图①，并把点A，B描于图上，可得a＜b.‎ 方法三：点B(－2，b)与点B′(2，b)关于y轴对称，点A与点B′均在对称轴的右侧．因为在对称轴右侧，函数值y随x的增大而增大，且1<2，故a＜b.‎ ‎(2)易得点M，N的坐标分别为(2，8)，.作点M关于y轴的对称点M′，则M′(－2，8)，连结NM′，与y轴的交点即为点P，如图②所示．设NM′所在直线对应的函数关系式为y＝kx＋n，则解得即y＝－3x＋2，当x＝0时，y＝2，所以点P的坐标为(0，2)．‎ ‎【总结反思】‎ ‎[小结] 知识点一　抛物线　顶点 知识点二　向上　y轴　减小　增大　低　向下　y轴　增大　减小　高 6‎ ‎[反思] 晓明的解答不正确．错误的原因有三个：一是列表时取的数据不全面；二是没有用光滑的曲线连结相邻的点；三是所画的抛物线没有向上延长．‎ 正解：列表如下：‎ x ‎…‎ ‎－2‎ ‎－1‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎…‎ y＝x2‎ ‎…‎ ‎4‎ ‎1‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎4‎ ‎…‎ 描点、连线，如图所示．‎ 6‎