江苏省盐城市2013届高三年级第二次模拟考试数学试卷

江苏省盐城市2013届高三年级第二次模拟考试数学试卷

江苏省盐城市2013届高三年级第二次模拟考试 数学试卷 ‎（总分160分，考试时间120分钟）‎ 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分。不需写出解题过程，请把答案写在答题纸的指定位置上。‎ ‎⒈若集合，且，则实数的值为 。‎ ‎⒉若复数满足（为虚数单位），则 。‎ ‎⒊现有在外观上没有区别的5件产品，其中3件合格，2件不合格，从中任意抽检2件，则一件合格，另一件不合格的概率为 。‎ ‎⒋已知正六棱锥的底面边长是3，侧棱长为5，则该正六棱锥的体积是 。‎ ‎⒌若，是两个单位向量，，，且⊥，则，的夹角为 。‎ ‎⒍如图，该程序运行后输出的结果为 。‎ ‎⒎函数，的单调递增区间为 。‎ ‎⒏若等比数列满足且（且），则的值为 。‎ ‎⒐过点且与直线：和：都相切的所有圆的半径之和为 。‎ ‎⒑设函数满足对任意的，且。已知当时，有，则的值为 。‎ ‎⒒椭圆（）的左焦点为F，直线与椭圆相交于A，B两点，若的周长最大时，的面积为，则椭圆的离心率为 。‎ ‎⒓定义运算，则关于非零实数的不等式的解集为 。‎ ‎⒔若点G为的重心，且AG⊥BG，则的最大值为 。‎ ‎⒕若实数、、、满足，则的最小值为 。‎ 二、解答题：本大题共6小题，计90分。解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内。‎ ‎⒖（本小题满分14分）已知函数。‎ ‎⑴求的最小正周期；‎ ‎⑵求在区间上的最大值和最小值及取得最值时的值。‎ ‎⒗（本小题满分14分）如图，在四棱锥P－ABCD中，PA=PB=PD=AB=BC=CD=DA=DB=2，E为的PC中点。‎ ‎⑴求证：PA∥平面BDE；‎ ‎⑵求证：平面PBC⊥平面PDC。‎ ‎⒘（本小题满分14分）如图，在海岸线一侧C处有一个美丽的小岛，某旅游公司为方便游客，在上设立了A、B两个报名点，满足A、B、C中任意两点间的距离为10千米。公司拟按以下思路运作：先将A、B两处游客分别乘车集中到AB之间的中转点D处（点D异于A、B两点），然后乘同一艘游轮前往C岛。据统计，每批游客A处需发车2辆，B处需发车4辆，每辆汽车每千米耗费2元，游轮每千米耗费12元。设∠，每批游客从各自报名点到C岛所需运输成本S元。‎ ‎⑴写出S关于的函数表达式，并指出的取值范围；‎ ‎⑵问中转点D距离A处多远时，S最小？‎ ‎⒙（本小题满分16分）如图，圆O与离心率为的椭圆T：（）相切于点M。‎ ‎⑴求椭圆T与圆O的方程；‎ ‎⑵过点M引两条互相垂直的两直线、与两曲线分别交于点A、C与点B、D（均不重合）。‎ ‎①若P为椭圆上任一点，记点P到两直线的距离分别为、，求的最大值；‎ ‎②若，求与的方程。‎ ‎⒚（本小题满分16分）设函数（，）。‎ ‎⑴若，求在上的最大值和最小值；‎ ‎⑵若对任意，都有，求的取值范围；‎ ‎⑶若在上的最大值为，求的值。‎ ‎⒛（本小题满分16分）设是各项均为非零实数的数列的前项和，给出如下两个命题上：‎ 命题：是等差数列；命题：等式对任意（）恒成立，其中是常数。‎ ‎⑴若是的充分条件，求的值；‎ ‎⑵对于⑴中的与，问是否为的必要条件，请说明理由；‎ ‎⑶若为真命题，对于给定的正整数（）和正数M，数列满足条件，试求的最大值。‎ 盐城市2013届高三年级第二次模拟考试 数学附加部分 ‎（本部分满分40分，考试时间30分钟）‎ ‎21．[选做题]在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，计20分。请把答案写在答题纸的指定区域内。‎ A．（选修4－1：几何证明选讲）‎ 如图，AB是⊙O的直径，C、E为⊙O上的点，且CA平分∠‎ BAE，DC是⊙O的切线，交AE的延长线于点D。求证：CD⊥AE。‎ B．（选修4－2：矩阵与变换）‎ 求曲线在矩阵MN对应的变换作用下得到的曲线方程，其中 ， 。‎ C．（选修4－4：坐标系与参数方程）‎ 已知圆C的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为，求直线截圆C所得的弦长。‎ D．（选修4－5：不等式选讲）‎ 若，证明 ‎[必做题]第22、23题，每小题10分，计20分。请把答案写在答题纸的指定区域内。‎ ‎22．（本小题满分10分）‎ 正三棱柱的所有棱长都为4，D为的中点。‎ ‎（1）求证：⊥平面；‎ ‎（2）求二面角的余弦值。‎ ‎23．（本小题满分10分）‎ 已知数列满足，。‎ ‎（1）证明：（）；‎ ‎（2）证明：。‎ 盐城市2013届高三年级第二次模拟考试 数学参考答案 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.‎ ‎1. 4 2. 3. 4. 5. 6. 16 7. 8.16 ‎ ‎9. 42 10. 11. 12. 13. 14. 二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内.‎ ‎15．解：（Ⅰ）‎ ‎………………………………………………………………………………………2分 ‎……………………………………………………………………………………………4分 所以 ‎……………………………………………………………………………………………7分 ‎（Ⅱ）因为，所以……………………………………………………9分 所以，所以，当即时，，‎ 当即时，，……………………………………………………………14分 ‎16.证明(1)连接交于,连接 ‎∵四边形是菱形, ∴是中点, ……………………………………………………………2分 又为中点.∴∥………………………………………………………………………………4分 又,∴∥平面……………………………………………………7分 ‎(2)在△中,易得∴,∴………………………9分 ‎∴在△中可求得,同理在△中可求得 ‎∴在△中可得,即⊥………………………………………………………11分 又,为中点, ∴⊥……………………………………………………………12分 ‎⊥面,又面∴平面平面………………………………………14分 ‎17．解: (1)由题在中，．‎ 由正弦定理知，得 ‎……………3分 ‎……………………………………………………………………7分 ‎(2)，令，得……………………………………………………10分 当时，；当时，，当时取得最小值………………12分 此时，‎ 中转站距处千米时，运输成本最小……………………………………………………14分 ‎18．解: (1)由题意知: 解得可知:‎ 椭圆的方程为与圆的方程…………………………………………………4分 ‎(2)设因为⊥,则因为 所以,………………………………………………7分 因为 所以当时取得最大值为，此时点…………9分 ‎(3)设的方程为,由解得；‎ 由解得………………………………………………………………11分 把中的置换成可得，………………………………12分 所以，‎ ‎，‎ 由得解得…………………………………………15分 所以的方程为，的方程为 或的方程为，的方程为…………………………………………………16分 ‎19．解(1) …………………………………………………… 2分 ‎∴在内, ，在 ‎∴在内, 为增函数，在内为减函数 ‎∴函数的最大值为，最小值为………………………………4分 ‎（2）∵对任意有，∴‎ 从而有∴………………………………………………………………………………6分 又∴在内为减函数，在内为增函数,只需，则 ‎∴的取值范围是……………………………………………………………………………10分 ‎（3）由知①②，‎ ‎①加②得又∵∴∴……………………………………14分 将代入①②得∴……………………………………………………………………16分 ‎20．解：（1）设的公差为，则原等式可化为 所以，‎ 即对于恒成立，所以…………………………………………………4分 ‎（2）当时，假设是否为的必要条件，即“若①对于任意的恒成立，则为等差数列”. ‎ 当时，显然成立.……………………………………………………………………………6分 当时，②，由①-②得，‎ ‎，即③.‎ 当时，，即、、成等差数列，‎ 当时，④，即.所以为等差数列，即是否为的必要条件. ……………………………………………………………………………………………………10分 ‎(3)由，可设，所以.‎ 设的公差为，则，所以，‎ 所以，‎ ‎，所以的最大值为……………16分 A B C DD E O 附加题答案 ‎21. A、【证明】连结OC，所以∠OAC=∠OCA，‎ 又因为CA平分∠BAE，所以∠OAC=∠EAC，‎ 于是∠EAC=∠OCA，所以OC//AD. ‎ 又因为DC是⊙O的切线，所以CD⊥OC， CD⊥AE………………… 10分 B．解：MN==，………………………………………………………………4分 设是曲线上任意一点，点在矩阵MN对应的变换下变为点，‎ 则有，于是，.……………………………………8分 代入得，‎ 所以曲线在MN对应的变换作用下得到的曲线方程为………………………10分 C．圆的方程为 ；直线的方程为 .‎ 故所求弦长为.…………………………………………………………………………10分 D．证明：由柯西不等式可得 ‎…………………7分 又，所以.………………………………………………10分 ‎22. 解：取BC中点O，连AO，∵为正三角形，‎ ‎∴，‎ ‎∵在正三棱柱中，平面ABC平面,∴平面，‎ 取中点为,以O为原点，,,的方向为，轴的正方向，建立空间直角坐标系，则.∴,‎ ‎∵,.‎ ‎∴，,∴面………………………………………………………5分（2）设平面的法向量为,。‎ ‎，∴，∴，，令，得为平面的一个法向量，由（1）知面，‎ ‎∴为平面的法向量，，‎ ‎∴二面角的余弦值为………………………………………………………………10分 ‎23.（1）因为所以 假设当时，因为，‎ 所以，由数学归纳法知，当时.………………………………5分 ‎（2）由（1）知，得，‎ 所以所以即 所以，以此类推，得，问题得证. …………10分 ‎ ‎