北京市2008-2019年中考数学分类汇编四边形pdf含解析

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北京市2008-2019年中考数学分类汇编四边形pdf含解析

第 1页(共 17页) 2008~2019 北京中考数学分类(四边形) 一.解答题(共 12 小题) 1.如图,在菱形 ABCD 中,AC 为对角线,点 E,F 分别在 AB,AD 上,BE=DF,连接 EF. (1)求证:AC⊥EF; (2)延长 EF 交 CD 的延长线于点 G,连接 BD 交 AC 于点 O.若 BD=4,tanG= ,求 AO 的长. 2.如图,在四边形 ABCD 中,AB∥DC,AB=AD,对角线 AC,BD 交于点 O,AC 平分∠ BAD,过点 C 作 CE⊥AB 交 AB 的延长线于点 E,连接 OE. (1)求证:四边形 ABCD 是菱形; (2)若 AB= ,BD=2,求 OE 的长. 3.如图,在四边形 ABCD 中,BD 为一条对角线,AD∥BC,AD=2BC,∠ABD=90°,E 为 AD 的中点,连接 BE. (1)求证:四边形 BCDE 为菱形; (2)连接 AC,若 AC 平分∠BAD,BC=1,求 AC 的长. 4.如图,在四边形 ABCD 中,∠ABC=90°,AC=AD,M,N 分别为 AC,CD 的中点,连 第 2页(共 17页) 接 BM,MN,BN. (1)求证:BM=MN; (2)∠BAD=60°,AC 平分∠BAD,AC=2,求 BN 的长. 5.在▱ ABCD 中,过点 D 作 DE⊥AB 于点 E,点 F 在边 CD 上,DF=BE,连接 AF,BF. (1)求证:四边形 BFDE 是矩形; (2)若 CF=3,BF=4,DF=5,求证:AF 平分∠DAB. 6.如图,在▱ ABCD 中,AE 平分∠BAD,交 BC 于点 E,BF 平分∠ABC,交 AD 于点 F, AE 与 BF 交于点 P,连接 EF,PD. (1)求证:四边形 ABEF 是菱形; (2)若 AB=4,AD=6,∠ABC=60°,求 tan∠ADP 的值. 7.如图,在▱ ABCD 中,F 是 AD 的中点,延长 BC 到点 E,使 CE= BC,连接 DE,CF. (1)求证:四边形 CEDF 是平行四边形; (2)若 AB=4,AD=6,∠B=60°,求 DE 的长. 8.如图,在四边形 ABCD 中,对角线 AC,BD 交于点 E,∠BAC=90°,∠CED=45°, 第 3页(共 17页) ∠DCE=30°,DE= ,BE=2 .求 CD 的长和四边形 ABCD 的面积. 9.如图,在△ABC 中,∠ACB=90°,D 是 BC 的中点,DE⊥BC,CE∥AD,若 AC=2, CE=4,求四边形 ACEB 的周长. 10.已知:如图,在梯形 ABCD 中,AD∥BC,AB=DC=AD=2,BC=4.求∠B 的度数及 AC 的长. 11.如图,在梯形 ABCD 中,AD∥BC,∠B=90°,∠C=45°,AD=1,BC=4,E 为 AB 中点,EF∥DC 交 BC 于点 F,求 EF 的长. 12.如图,在梯形 ABCD 中,AD∥BC,AB⊥AC,∠B=45°,AD= ,BC=4 ,求 DC 的长. 第 4页(共 17页) 2008~2019 北京中考数学分类(四边形) 参考答案与试题解析 一.解答题(共 12 小题) 1.如图,在菱形 ABCD 中,AC 为对角线,点 E,F 分别在 AB,AD 上,BE=DF,连接 EF. (1)求证:AC⊥EF; (2)延长 EF 交 CD 的延长线于点 G,连接 BD 交 AC 于点 O.若 BD=4,tanG= ,求 AO 的长. 【解答】(1)证明:连接 BD,如图 1 所示: ∵四边形 ABCD 是菱形, ∴AB=AD,AC⊥BD,OB=OD, ∵BE=DF, ∴AB:BE=AD:DF, ∴EF∥BD, ∴AC⊥EF; (2)解:如图 2 所示: ∵由(1)得:EF∥BD, ∴∠G=∠ADO, ∴tanG=tan∠ADO= = , ∴OA= OD, ∵BD=4, ∴OD=2, ∴OA=1. 第 5页(共 17页) 2.如图,在四边形 ABCD 中,AB∥DC,AB=AD,对角线 AC,BD 交于点 O,AC 平分∠ BAD,过点 C 作 CE⊥AB 交 AB 的延长线于点 E,连接 OE. (1)求证:四边形 ABCD 是菱形; (2)若 AB= ,BD=2,求 OE 的长. 【解答】解:(1)∵AB∥CD, ∴∠OAB=∠DCA, ∵AC 为∠DAB 的平分线, ∴∠OAB=∠DAC, ∴∠DCA=∠DAC, ∴CD=AD=AB, ∵AB∥CD, ∴四边形 ABCD 是平行四边形, ∵AD=AB, ∴▱ ABCD 是菱形; (2)∵四边形 ABCD 是菱形, 第 6页(共 17页) ∴OA=OC,BD⊥AC,∵CE⊥AB, ∴OE=OA=OC, ∵BD=2, ∴OB= BD=1, 在 Rt△AOB 中,AB= ,OB=1, ∴OA= =2, ∴OE=OA=2. 3.如图,在四边形 ABCD 中,BD 为一条对角线,AD∥BC,AD=2BC,∠ABD=90°,E 为 AD 的中点,连接 BE. (1)求证:四边形 BCDE 为菱形; (2)连接 AC,若 AC 平分∠BAD,BC=1,求 AC 的长. 【解答】(1)证明:∵AD=2BC,E 为 AD 的中点, ∴DE=BC, ∵AD∥BC, ∴四边形 BCDE 是平行四边形, ∵∠ABD=90°,AE=DE, ∴BE=DE, ∴四边形 BCDE 是菱形. (2)解:连接 AC. ∵AD∥BC,AC 平分∠BAD, ∴∠BAC=∠DAC=∠BCA, ∴AB=BC=1, 第 7页(共 17页) ∵AD=2BC=2, ∴sin∠ADB= , ∴∠ADB=30°, ∴∠DAC=30°,∠ADC=60°, 在 Rt△ACD 中,∵AD=2, ∴CD=1,AC= . 4.如图,在四边形 ABCD 中,∠ABC=90°,AC=AD,M,N 分别为 AC,CD 的中点,连 接 BM,MN,BN. (1)求证:BM=MN; (2)∠BAD=60°,AC 平分∠BAD,AC=2,求 BN 的长. 【解答】(1)证明:在△CAD 中,∵M、N 分别是 AC、CD 的中点, ∴MN∥AD,MN= AD, 在 RT△ABC 中,∵M 是 AC 中点, ∴BM= AC, ∵AC=AD, ∴MN=BM. (2)解:∵∠BAD=60°,AC 平分∠BAD, ∴∠BAC=∠DAC=30°, 第 8页(共 17页) 由(1)可知,BM= AC=AM=MC, ∴∠BMC=∠BAM+∠ABM=2∠BAM=60°, ∵MN∥AD, ∴∠NMC=∠DAC=30°, ∴∠BMN=∠BMC+∠NMC=90°, ∴BN2=BM2+MN2, 由(1)可知 MN=BM= AC=1, ∴BN= 5.在▱ ABCD 中,过点 D 作 DE⊥AB 于点 E,点 F 在边 CD 上,DF=BE,连接 AF,BF. (1)求证:四边形 BFDE 是矩形; (2)若 CF=3,BF=4,DF=5,求证:AF 平分∠DAB. 【解答】(1)证明:∵四边形 ABCD 是平行四边形, ∴AB∥CD. ∵BE∥DF,BE=DF, ∴四边形 BFDE 是平行四边形. ∵DE⊥AB, ∴∠DEB=90°, ∴四边形 BFDE 是矩形; (2)解:∵四边形 ABCD 是平行四边形, ∴AB∥DC, ∴∠DFA=∠FAB. 在 Rt△BCF 中,由勾股定理,得 BC= = =5, ∴AD=BC=DF=5, ∴∠DAF=∠DFA, 第 9页(共 17页) ∴∠DAF=∠FAB, 即 AF 平分∠DAB. 6.如图,在▱ ABCD 中,AE 平分∠BAD,交 BC 于点 E,BF 平分∠ABC,交 AD 于点 F, AE 与 BF 交于点 P,连接 EF,PD. (1)求证:四边形 ABEF 是菱形; (2)若 AB=4,AD=6,∠ABC=60°,求 tan∠ADP 的值. 【解答】(1)证明:∵四边形 ABCD 是平行四边形, ∴AD∥BC. ∴∠DAE=∠AEB. ∵AE 是角平分线, ∴∠DAE=∠BAE. ∴∠BAE=∠AEB. ∴AB=BE. 同理 AB=AF. ∴AF=BE. ∴四边形 ABEF 是平行四边形. ∵AB=BE, ∴四边形 ABEF 是菱形. (2)解:作 PH⊥AD 于 H, ∵四边形 ABEF 是菱形,∠ABC=60°,AB=4, ∴AB=AF=4,∠ABF=∠AFB=30°,AP⊥BF, ∴AP= AB=2, ∴PH= ,AH=1, ∴DH=5, 第 10页(共 17页) ∴tan∠ADP= = . 7.如图,在▱ ABCD 中,F 是 AD 的中点,延长 BC 到点 E,使 CE= BC,连接 DE,CF. (1)求证:四边形 CEDF 是平行四边形; (2)若 AB=4,AD=6,∠B=60°,求 DE 的长. 【解答】证明:(1)在▱ ABCD 中,AD∥BC,且 AD=BC. ∵F 是 AD 的中点, ∴DF= . 又∵CE= BC, ∴DF=CE, ∵DF∥CE, ∴四边形 CEDF 是平行四边形; 第 11页(共 17页) (2)解:如图,过点 D 作 DH⊥BE 于点 H. 在▱ ABCD 中,∵∠B=60°,AD∥BC, ∴∠B=∠DCE, ∴∠DCE=60°. ∵AB=4, ∴CD=AB=4, ∴CH= CD=2,DH=2 . 在▱ CEDF 中,CE=DF= AD=3,则 EH=1. ∴在 Rt△DHE 中,根据勾股定理知 DE= = . 8.如图,在四边形 ABCD 中,对角线 AC,BD 交于点 E,∠BAC=90°,∠CED=45°, ∠DCE=30°,DE= ,BE=2 .求 CD 的长和四边形 ABCD 的面积. 【解答】解:过点 D 作 DH⊥AC, ∵∠CED=45°,DH⊥EC,DE= , ∴EH=DH, ∵EH2+DH2=ED2, ∴EH2=1, ∴EH=DH=1, 又∵∠DCE=30°, ∴DC=2,HC= , 第 12页(共 17页) ∵∠AEB=45°,∠BAC=90°, BE=2 , ∴AB=AE=2, ∴AC=2+1+ =3+ , ∴S 四边形 ABCD= ×2×(3+ )+ ×1×(3+ )= . 9.如图,在△ABC 中,∠ACB=90°,D 是 BC 的中点,DE⊥BC,CE∥AD,若 AC=2, CE=4,求四边形 ACEB 的周长. 【解答】解:∵∠ACB=90°,DE⊥BC, ∴AC∥DE. 又∵CE∥AD, ∴四边形 ACED 是平行四边形. ∴DE=AC=2. 在 Rt△CDE 中,由勾股定理得 CD= =2 . ∵D 是 BC 的中点, ∴BC=2CD=4 . 在△ABC 中,∠ACB=90°,由勾股定理得 AB= =2 . ∵D 是 BC 的中点,DE⊥BC, ∴EB=EC=4. ∴四边形 ACEB 的周长=AC+CE+EB+BA=10+2 . 10.已知:如图,在梯形 ABCD 中,AD∥BC,AB=DC=AD=2,BC=4.求∠B 的度数及 AC 的长. 第 13页(共 17页) 【解答】解:解法一:分别作 AF⊥BC,DG⊥BC,F、G 是垂足, ∴∠AFB=∠DGC=90°,AF∥DG, ∵AD∥BC, ∴四边形 AFGD 是矩形. ∴AF=DG, ∵AB=DC, ∴Rt△AFB≌Rt△DGC. ∴BF=CG, ∵AD=2,BC=4, ∴BF=1, 在 Rt△AFB 中, ∵cosB= = , ∴∠B=60°, ∵BF=1, ∴AF= , ∵FC=3, 由勾股定理, 得 AC=2 , ∴∠B=60°,AC=2 . 解法二:过 A 点作 AE∥DC 交 BC 于点 E, ∵AD∥BC, ∴四边形 AECD 是平行四边形. ∴AD=EC,AE=DC, ∵AB=DC=AD=2,BC=4, ∴AE=BE=EC=AB, 第 14页(共 17页) 即 AB=BE=AE,AE=CE, ∴△BAC 是直角三角形,△ABE 是等边三角形, ∴∠BAE=60°=∠AEB,∠EAC=∠ACE= ∠AEB=30°, ∴∠BAC=60°+30°=90°,∠B=60°. 在 Rt△ABC 中, AC=ABtan∠B=AB•tan60°=2 , ∴∠B=60°,AC=2 . 11.如图,在梯形 ABCD 中,AD∥BC,∠B=90°,∠C=45°,AD=1,BC=4,E 为 AB 中点,EF∥DC 交 BC 于点 F,求 EF 的长. 【解答】解:解法一:如图 1,过点 D 作 DG⊥BC 于点 G ∵AD∥BC,∠B=90°, ∴∠A=90 度. 可得四边形 ABGD 为矩形. ∴BG=AD=1,AB=DG. ∵BC=4, ∴GC=3. ∵∠DGC=90°,∠C=45°, 第 15页(共 17页) ∴∠CDG=45 度. ∴DG=GC=3. ∴AB=3. 又∵E 为 AB 中点, ∴BE= AB= . ∵EF∥DC, ∴∠EFB=45 度. 在△BEF 中,∠B=90 度. ∴EF= = . 解法二:如图 2,延长 FE 交 DA 的延长线于点 G.∵AD∥BC,EF∥DC, ∴四边形 GFCD 为平行四边形,∠G=∠1. ∴GD=FC. ∵EA=EB,∠2=∠3, ∴△GAE≌△FBE. ∴AG=BF. ∵AD=1,BC=4, 设 AG=x,则 BF=x,CF=4﹣x,GD=x+1. ∴x+1=4﹣x. 解得 x= .∵∠C=45°, ∴∠1=45 度. 在△BEF 中,∠B=90°, ∴EF= . 第 16页(共 17页) 12.如图,在梯形 ABCD 中,AD∥BC,AB⊥AC,∠B=45°,AD= ,BC=4 ,求 DC 的长. 【解答】解:解法一: 如图 1,分别过点 A,D 作 AE⊥BC 于点 E,DF⊥BC 于点 F. ∴AE∥DF. 又 AD∥BC, ∴四边形 AEFD 是矩形. ∴EF=AD= . ∵AB⊥AC,∠B=45°,BC=4 , ∴AB=AC. ∴AE=EC= BC=2 . ∴DF=AE=2 ,CF=EC﹣EF= 在 Rt△DFC 中,∠DFC=90°, ∴DC= . 解法二: 如图 2,过点 D 作 DF∥AB,分别交 AC,BC 于点 E,F. ∵AB⊥AC,∴∠AED=∠BAC=90 度. ∵AD∥BC, ∴∠DAE=180°﹣∠B﹣∠BAC=45 度. 在 Rt△ABC 中,∠BAC=90°,∠B=45°,BC=4 , 第 17页(共 17页) ∴AC=BC•sin45°=4 =4 在 Rt△ADE 中,∠AED=90°,∠DAE=45°,AD= , ∴DE=AE=1. ∴CE=AC﹣AE=3. 在 Rt△DEC 中,∠CED=90°, ∴DC= . 声明:试 题解析著作权 属菁优网所有 ,未经书面同 意,不得复制 发布 日期:2020/1/19 9:08:28 ;用户: 金雨教育;邮 箱:309593466@qq.com ;学号: 335385
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