2020年秋九年级数学上册 第3章 图形的相似

2020年秋九年级数学上册 第3章 图形的相似

‎3.5　相似三角形的应用 知识点 1　利用相似三角形测量宽度 ‎1．如图3－5－1，测量小玻璃管口径的量具ABC，AB的长为‎10 cm，AC被分为60等份．如果小玻璃管口DE正好对着量具上20等份处(DE∥AB)，那么小玻璃管口径DE的长是(　　)‎ A. cm B. cm C．‎7 cm D．‎‎6 cm 图3－5－1‎ ‎　　　‎ 图3－5－2‎ ‎2．如图3－5－2，为估算某条河的宽度，在河对岸边选定一个目标点A，在近岸取点B，C，D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，点E在BC上，并且点A，E，D在同一条直线上，若测得BE＝‎20 m，EC＝‎10 m，CD＝‎20 m，则河的宽度AB为(　　)‎ A．‎60 m B．‎40 m C．‎30 m D．‎‎20 m ‎3．教材习题3.5第3题变式如图3－5－3，一条河的两岸有一段是平行的，在河的南岸边每隔‎5米有一棵树，在河的北岸边每隔‎50米有一根电线杆，小丽站在离南岸‎15米的点P处看北岸，发现北岸相邻的两根电线杆恰好被南岸的两棵树遮住，并且在这两棵树之间还有四棵树，求河的宽度．‎ 图3－5－3‎ 知识点 2　利用相似三角形测量高度(深度)‎ ‎4．如图3－5－4，某学生用长为‎2.8 m的竹竿AB测量学校旗杆CD的高度，移动竹竿，使竹竿、旗杆顶端的影子恰好落在地面上的同一点O处，此时竹竿与这一点的距离OB＝‎8 m，与旗杆的距离BD＝‎22 m，则旗杆CD的高为(　　)‎ A．‎105 m B．‎77 m C．‎10.5 m D．‎‎7.7 m 7‎ 图3－5－4‎ ‎　　　　‎ 图3－5－5‎ ‎5．2017·眉山“今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深几何？”这是我国古代数学著作《九章算术》中的“井深几何”问题，它的题意可以由图3－5－5获得，则井深为(　　)‎ A．1.25尺 B．57.5尺 C．6.25尺 D．56.5尺 ‎6．如图3－5－6是小孔成像实验，火焰AC通过小孔O照射到屏幕上，形成倒立的实像，像长BD＝‎2 cm，OA＝‎60 cm，OB＝‎10 cm，求火焰AC的长．‎ 图3－5－6‎ ‎7．如图3－5－7(示意图)，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上，已知纸板的两条直角边DE＝‎40 cm，EF＝‎20 cm，测得边DF离地面的高度AC＝‎1.5 m，CD＝‎8 m，求树高AB.‎ 图3－5－7‎ 7‎ ‎8．2017·绵阳为测量操场上旗杆的高度，小丽同学想到了物理学中平面镜成像的原理．她拿出随身携带的镜子和卷尺，先将镜子放在脚下的地面上，然后后退，直到她站直身子刚好能从镜子里看到旗杆的顶端E，标记好脚掌中心位置为B，测得脚掌中心位置B到镜面中心C的距离是‎50 cm，镜面中心C距离旗杆底部D的距离为‎4 m，如图3－5－8所示．已知小丽同学的身高是‎1.54 m，眼睛位置A距离小丽头顶的距离是‎4 cm，则旗杆DE的高度等于(　　)‎ A．‎10 m B．‎12 m C．‎12.4 m D．‎‎12.32 m 图3－5－8‎ ‎　　　‎ 图3－5－9‎ ‎9．如图3－5－9所示，某一时刻，一电线杆AB的影子分别落在地面和墙壁上．此时，小明竖起‎1米高的标杆(PQ)，量得其影长(QR)为‎0.5米，此时，他又量得电线杆AB落在地面上的影子长为‎3米，墙壁上的影子CD高为‎2米．小明利用这些数据很快算出了电线杆AB的高为(　　)‎ A．‎5米 B．‎6米 C．‎7米 D．‎‎8米 ‎10．如图3－5－10(示意图)，M，N为山两侧的两个村庄，为了两村交通方便，根据国家的惠民政策，政府决定打一直线涵洞，工程人员为计算工程量，必须计算M，N两点之间的距离，选择测量点A，B，C，点B，C分别在AM，AN上，现测得AM＝‎1千米，AN＝1.8千米，AB＝‎54米，BC＝‎45米，AC＝‎30米，求M，N两点之间的距离．‎ 图3－5－10‎ 7‎ ‎11．教材复习题第17题变式如图3－5－11(示意图)，某水平地面上建筑物的高度为AB，在点D和点F处分别竖立高是‎2 m的标杆CD和EF，两标杆相隔‎52 m，并且建筑物AB、标杆CD和EF在同一竖直平面内，从标杆CD后退‎2 m到点G处，在G处测得建筑物顶端A和标杆顶端C在同一条直线上；从标杆FE后退‎4 m到点H处，在H处测得建筑物顶端A和标杆顶端E在同一条直线上，求建筑物的高．‎ 图3－5－11‎ ‎ ‎ ‎12．某校九年级(1)班的一节数学活动课安排了测量操场上旗杆AB的高度．甲、乙、丙三个学习小组设计的测量方案如图3－5－12(示意图)所示，甲组测得图中BO＝‎20米，OD＝‎3.4米，CD＝‎1.7米；乙组测得图中CD＝‎1.5米，同一时刻影长FD＝‎0.9米，EB＝‎6米；丙组测得图中EF∥AB，FH∥BD，BD＝‎30米，EF＝‎0.2米，人的臂长(FH)为‎0.6米．请你任选一种方案，利用试验数据求出该校旗杆的高度．‎ 图3－5－12‎ ‎　　　　‎ ‎1．A　[解析] ∵DE∥AB，∴△CDE∽△CAB，∴DE∶AB＝CD∶AC，∴DE 7‎ ‎∶10＝40∶60，解得DE＝(cm)，∴小玻璃管口径DE的长是 cm.故选A.‎ ‎2．B　[解析] ∵AB⊥BC，CD⊥BC，∴∠ABE＝∠DCE＝90°.‎ 又∵∠AEB＝∠DEC，‎ ‎∴△BAE∽△CDE，∴＝.‎ ‎∵BE＝‎20 m，CE＝‎10 m，CD＝‎20 m，‎ ‎∴＝，解得AB＝40(m)．‎ 故选B.‎ ‎3．解：过点P作PF⊥AB于点F，交CD于点E，如图所示．‎ 设河宽为x米．‎ ‎∵AB∥CD，‎ ‎∴∠PDC＝∠PBF，∠PCD＝∠PAB，‎ ‎∴△PDC∽△PBA，∴＝，‎ ‎∴＝.‎ 依题意知CD＝25米，AB＝50米，‎ ‎∴＝，解得x＝15.‎ 答：河的宽度为15米．‎ ‎4．C　[解析] ∵AB⊥OD，CD⊥OD，∴AB∥CD，∴△AOB∽△COD，∴＝.‎ 若设旗杆的高为x m，则＝，解得x＝10.5.故选C.‎ ‎5．B　[解析] 依题意有△ABF∽△ADE，∴AB∶AD＝BF∶DE，‎ 即5∶AD＝0.4∶5，解得AD＝62.5，‎ ‎∴BD＝AD－AB＝62.5－5＝57.5(尺)．故选B.‎ ‎6．解：∵AC∥BD，∴△OBD∽△OAC，‎ ‎∴＝，即＝，‎ ‎∴AC＝12(cm)．‎ 答：火焰AC的长为12 cm.‎ ‎7．解：∵∠D＝∠D，∠DEF＝∠DCB，‎ 7‎ ‎∴△DEF∽△DCB，‎ ‎∴＝，即＝，‎ 解得BC＝4(m)．‎ ‎∵AC＝‎1.5 m，‎ ‎∴AB＝AC＋BC＝1.5＋4＝5.5(m)，‎ 答：树高AB为5.5 m.‎ ‎8．B　[解析] 由题意可得AB＝‎1.5 m，BC＝‎0.5 m，DC＝‎4 m，△ABC∽△EDC，则＝，即＝，解得DE＝12(m)．故选B.‎ ‎9． D　[解析] 延长AC交BD的延长线于点E，易知△CDE∽△PQR，‎ ‎∴＝，即＝，‎ ‎∴DE＝1(米)，∴BE＝3＋1＝4(米)．‎ 又易知△ABE∽△PQR，‎ ‎∴＝，即＝，‎ ‎∴AB＝8(米)．‎ ‎10．连接MN，‎ ‎∵＝＝，＝＝，‎ ‎∴＝.‎ 又∵∠BAC＝∠NAM，‎ ‎∴△BAC∽△NAM，‎ ‎∴＝，‎ 即＝，∴MN＝1500(米)．‎ 答：M，N两点之间的距离为1500米．‎ ‎11．解：∵AB⊥BH，CD⊥BH，EF⊥BH，‎ ‎∴AB∥CD∥EF，‎ ‎∴△CDG∽△ABG，△EFH∽△ABH，‎ ‎∴＝，＝.‎ ‎∵CD＝DG＝EF＝‎2 m，DF＝‎52 m，FH＝‎4 m，‎ ‎∴＝，‎ ＝，‎ ‎∴＝，‎ 解得BD＝52(m)，‎ 7‎ ‎∴＝，‎ 解得AB＝54(m)．‎ 答：建筑物的高为54 m.‎ ‎12．解：选择甲组方案计算：‎ 在△ABO和△CDO中，‎ 因为∠ABO＝∠CDO＝90°，∠AOB＝∠COD，‎ 所以△ABO∽△CDO，‎ 所以＝，所以AB＝.‎ 又BO＝20米，OD＝3.4米，CD＝1.7米，‎ 所以AB＝10米，‎ 即该校旗杆的高度为10米．‎ 选择乙组方案计算：‎ 在△ABE和△CDF中，因为∠ABE＝∠CDF＝90°，∠AEB＝∠CFD，‎ 所以△ABE∽△CDF，所以＝.‎ 又CD＝1.5米，FD＝0.9米，EB＝6米，‎ 所以AB＝10米，‎ 即该校旗杆的高度为10米．‎ 选择丙组方案计算：‎ 由FH∥BD，可得△CFH∽△CBD，‎ 所以＝.‎ 由EF∥AB，可得△CFE∽△CBA，‎ 所以＝，所以＝.‎ 又BD＝30米，EF＝0.2米，FH＝0.6米，‎ 所以AB＝10米，‎ 即该校旗杆的高度为10米．‎ 7‎