2020年山东省济南市平阴县中考数学一模试卷
2020年山东省济南市平阴县中考数学一模试卷
一、选择题（共12小题，每小题4分，满分48分）
1. 5的相反数是( )
A.15 B.5 C.−15 D.−5
2. 如图所示的几何体的主视图是（ ）
A. B. C. D.
3. 2020庚子鼠年，新型冠状病毒席卷全国，据统计，截止到3月8号，全国已有346支医疗队、42600余名医护人员抵达湖北救援，数字42600用科学记数法表示为（ ）
A.0.426×105 B.4.26×104 C.4.26×105 D.42.6×103
4. 下列智能手机的功能图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
5. 将等腰直角三角形纸片和矩形纸片按如图方式叠放在一起，若∠1=30∘，则∠2的度数为( )
A.10∘ B.15∘ C.20∘ D.30∘
6. 下列运算正确的是（ ）
A.a3⋅a2＝a6 B.a7÷a4＝a3 C.(−3a)2＝−6a2 D.(a−1)2＝a2−1
7. 某射击运动员在训练中射击了10次，成绩如图所示，下列结论不正确的是（ ）
A.众数是8 B.中位数是8 C.平均数是8 D.极差是4
8. 实数a、b、c满足a>b且ac
x−2 ，并写出它的所有整数解．
如图，在▱ABCD中，E、F为对角线BD上的两点，且∠BAE＝∠DCF．求证：BF＝DE．
某商场用14500元购进甲、乙两种矿泉水共500箱，矿泉水的成本价与销售价如表（二）所示：
类别
成本价（元/箱）
销售价（元/箱）
甲
25
35
乙
35
48
求：
(1)购进甲、乙两种矿泉水各多少箱？
(2)该商场售完这500箱矿泉水，可获利多少元？
第29页 共30页 ◎ 第30页 共30页
如图AB是⊙O的直径，PA与⊙O相切于点A，BP与⊙O相交于点D，C为⊙O上的一点，分别连接CB、CD，∠BCD＝60∘．
(1)求∠ABD的度数；
(2)若AB＝6，求PD的长度．
央视“经典咏流传”开播以来受到社会广泛关注，我市某校就“中华文化我传承-地方戏曲进校园”的喜爱情况进行了随机调查，对收集的信息进行统计，绘制了下面两副尚不完整的统计图，请你根据统计图所提供的信息解答下列问题：图中A表示“很喜欢”，B表示“喜欢”，C表示“一般”，D表示“不喜欢”．
（1）被调查的总人数是________人，扇形统计图中C部分所对应的扇形圆心角的度数为________；
（2）补全条形统计图；
（3）若该校共有学生1800人，请根据上述调查结果，估计该校学生中D类有________人；
（4）在抽取的A类5人中，刚好有3个女生2个男生，从中随机抽取两个同学担任两角色，用树形图或列表法求出被抽到的两个学生性别相同的概率．
如图，一次函数y＝−x+3的图象与反比例函数y=kx(k≠0)在第一象限的图象交于A(1, a)和B两点，与x轴交于点C．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）若点P在x轴上，且△APC的面积为5，求点P的坐标；
（3）若点P在y轴上，是否存在点P，使△ABP是以AB为一直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的P点坐标；若不存在，请说明理由．
如图1，在Rt△ABC中，∠B＝90∘，AB＝4，BC＝2，点D、E分别是边BC、AC的中点，连接DE．将△CDE绕点C逆时针方向旋转，记旋转角为α．
（1）问题发现
①当α＝0∘时，AEBD=________；
②当α＝180∘时，AEBD=________．
（2）拓展探究
试判断：当0∘≤α<360∘时，AEBD的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明．
（3）问题解决
△CDE绕点C逆时针旋转至A、B、E三点在同一条直线上时，求线段BD的长．
第29页 共30页 ◎ 第30页 共30页
如图，已知抛物线y＝ax2+bx+5经过A(−5, 0)，B(−4, −3)两点，与x轴的另一个交点为C，顶点为D，连结CD．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）点P为该抛物线上一动点（与点B、C不重合），设点P的横坐标为t．
①当点P在直线BC的下方运动时，求△PBC的面积的最大值；
②该抛物线上是否存在点P，使得∠PBC＝∠BCD？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．
第29页 共30页 ◎ 第30页 共30页
参考答案与试题解析
2020年山东省济南市平阴县中考数学一模试卷
一、选择题（共12小题，每小题4分，满分48分）
1.
【答案】
D
【考点】
相反数
【解析】
根据相反数的概念解答即可．
【解答】
解：根据相反数的定义有：5的相反数是−5．
故选D.
2.
【答案】
A
【考点】
简单组合体的三视图
【解析】
根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．
【解答】
从正面看是一个矩形中间上面挖去一个矩形，
3.
【答案】
B
【考点】
科学记数法--表示较大的数
【解析】
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【解答】
42600＝4.26×104，
4.
【答案】
C
【考点】
轴对称图形
中心对称图形
【解析】
根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【解答】
A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；
C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项正确；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误．
5.
【答案】
B
【考点】
等腰直角三角形
平行线的性质
【解析】
根据平行线的性质，即可得出∠1=∠ADC=30∘，再根据等腰直角三角形ADE中，∠ADE=45∘，即可得到∠2=45∘−30∘=15∘．
【解答】
解：如图，
∵ AB // CD，
∴ ∠ADC=∠1=30∘.
又∵ 等腰直角三角形ADE中，∠ADE=45∘，
∴ ∠2=45∘−30∘=15∘.
故选B.
6.
【答案】
B
【考点】
幂的乘方与积的乘方
同底数幂的除法
完全平方公式
同底数幂的乘法
【解析】
分别根据同底数幂的乘法法则，同底数幂的除法法则，积的乘方运算法则以及完全平方公式逐一判断即可．
【解答】
A．a3⋅a2＝a5，故本选项不合题意；
B．a7÷a4＝a3，正确；
C．(−3a)2＝9a2，故本选项不合题意；
D．(a−1)2＝a2−2a+1，故本选项不合题意．
7.
【答案】
C
第29页 共30页 ◎ 第30页 共30页
【考点】
众数
折线统计图
中位数
算术平均数
极差
【解析】
根据众数、中位数、平均数以及极差的算法进行计算，即可得到不正确的选项．
【解答】
由图可得，数据8出现3次，次数最多，所以众数为8，故A选项正确，不合题意；
10次成绩排序后为：6，7，7，8，8，8，9，9，10，10，所以中位数是：12(8+8)＝8，故B选项正确，不合题意；
平均数为110(6+7×2+8×3+9×2+10×2)＝8.2，故C选项错误，符合题意；
极差为10−6＝4，故D选项正确，不合题意；
8.
【答案】
A
【考点】
数轴
实数
在数轴上表示实数
【解析】
根据不等式的性质，先判断c的正负．再确定符合条件的对应点的大致位置．
【解答】
因为a>b且acb，c<0条件，故满足条件的对应点位置可以是A．
选项B不满足a>b，选项C、D不满足c<0，故满足条件的对应点位置不可以是B、C、D．
9.
【答案】
D
【考点】
由实际问题抽象为分式方程
【解析】
设甲每小时做x个零件，根据甲做120个所用的时间与乙做150个所用的时间相等得出方程解答即可．
【解答】
解：设甲每小时做x个零件，可得：120x=150x+8.
故选D.
10.
【答案】
A
【考点】
求阴影部分的面积
解直角三角形
特殊角的三角函数值
扇形面积的计算
【解析】
根据题意，作出合适的辅助线，即可求得DE的长、∠DOB的度数，然后根据图形可知阴影部分的面积是△ABC的面积减去△AOD的面积和扇形BOD的面积，从而可以解答本题．
【解答】
解：如图，连接OD，过点D作DE⊥AB于点E.
∵ 在Rt△ABC中，
∠ABC=90∘，AB=23，BC=2，
∴ tan∠BAC=BCAB=223=33，
∴ ∠BAC=30∘，
∴ ∠DOB=60∘.
∵ OD=12AB=3，
∴ DE=32，
∴ 阴影部分的面积是：
23×22−3×322−60×π×(3)2360
=534−π2.
故选A.
11.
【答案】
B
【考点】
解直角三角形的应用-方向角问题
【解析】
根据题意得，∠CAB＝65∘−20∘，∠ACB＝40∘+20∘＝60∘，AB＝302，过B作BE⊥AC于E，解直角三角形即可得到结论．
【解答】
解：根据题意得，∠CAB=65∘−20∘=45∘，
∠ACB=40∘+20∘=60∘，AB=302，
过B作BE⊥AC于E，
∴ ∠AEB=∠CEB=90∘
第29页 共30页 ◎ 第30页 共30页
，
在Rt△ABE中，∵ ∠ABE=45∘，AB=302，
∴ AE=BE=22AB=30km，
在Rt△CBE中，∵ ∠ACB=60∘，
∴ CE=33BE=103km，
∴ AC=AE+CE=30+103，
∴ A，C两港之间的距离为(30+103)km，
故选B.
12.
【答案】
C
【考点】
一次函数图象上点的坐标特点
含字母系数的二次函数
二次函数图象上点的坐标特征
【解析】
分a>0，a<0两种情况讨论，根据题意列出不等式组，可求a的取值范围．
【解答】
解：∵ 抛物线y=ax2−x+1(a≠0)与线段AB有两个不同的交点，
∴ 令12x+12=ax2−x+1，则2ax2−3x+1=0，
∴ Δ=9−8a>0，
∴ a<98.
①当a<0时，a+1+1≤0，a−1+1≤1，
解得：a≤−2，
∴ a≤−2；
②当a>0时，a+1+1≥0，a−1+1≥1，
解得：a≥1，
∴ 1≤a<98.
综上所述：1≤a<98或a≤−2.
故选C.
二.填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）
【答案】
(x+2)2
【考点】
因式分解-运用公式法
【解析】
本题中没有公因式，总共三项，其中有两项能化为两个数的平方和，第三项正好为这两个数的积的2倍，直接运用完全平方公式进行因式分解．
【解答】
x2+4x+4＝(x+2)2．
【答案】
1x−2
【考点】
分式的加减运算
【解析】
首先通分，然后根据异分母的分式相加减的法则计算即可．
【解答】
4x2−4+1x+2
=4x2−4+x−2x2−4
=x+2x2−4
=1x−2
【答案】
22
【考点】
列表法与树状图法
【解析】
设袋中黑球的个数为x，利用概率公式得到方程，解方程即可．
【解答】
设袋中黑球的个数为x，
根据题意得55+23+x=110，
解得x＝22，
即袋中黑球的个数为22个．
【答案】
8
第29页 共30页 ◎ 第30页 共30页
【考点】
正多边形和圆
【解析】
根据正n边形的中心角是360n即可求解．
【解答】
正多边形的边数是：36045=8．
【答案】
20
【考点】
一次函数的应用
【解析】
根据题意，可知甲乙两地的距离是30km，小王从甲地到乙地用的时间为3h，从而可以求得小王的速度，然后根据图象可知，两人1h时相遇，从而可以求得小李的速度，本题得以解决．
【解答】
由图象可得，
小王的速度为30÷3＝10(km/h)，
则小李的速度为：30÷1−10＝30−10＝20(km/h)，
【答案】
①④⑤
【考点】
矩形的性质
翻折变换（折叠问题）
【解析】
由折叠的性质，可得∠DMC＝∠EMC，CD＝CE，∠AMP＝∠EMP，AB＝GE，由平角的定义可求∠PME+∠CME=12×180∘＝90∘，可判断①正确；由折叠的性质可得∠GEC＝180∘，可判断②正确；设AB＝x，则AD＝22x，由勾股定理可求MP和PC的长，即可判断③错误，先求出PB=22x，即可判断④正确，由平行线分线段成比例可求PG＝2EF，可判断⑤正确，即可求解．
【解答】
∵ 沿着CM折叠，点D的对应点为E，
∴ ∠DMC＝∠EMC，CD＝CE，
∵ 再沿着MP折叠，使得AM与EM重合，折痕为MP，
∴ ∠AMP＝∠EMP，AB＝GE，
∵ ∠AMD＝180∘，
∴ ∠PME+∠CME=12×180∘＝90∘，
∴ △CMP是直角三角形；故①正确；
∵ 沿着CM折叠，点D的对应点为E，
∴ ∠D＝∠MEC＝90∘，
∵ 再沿着MP折叠，使得AM与EM重合，折痕为MP，
∴ ∠MEG＝∠A＝90∘，
∴ ∠GEC＝180∘，
∴ 点C、E、G在同一条直线上，故②错误；
∵ AD＝22AB，
∴ 设AB＝x，则AD＝22x，
∵ 将矩形ABCD对折，得到折痕MN；
∴ DM=12AD=2x，
∴ CM=DM2+CD2=3x，
∵ ∠PMC＝90∘，MN⊥PC，
∴ CM2＝CN⋅CP，
∴ CP=3x22x=322x，
∴ PN＝CP−CN=22x，
∴ PM=MN2+PN2=62x，
∴ PCPM=326=3，
∴ PC=3PM，故③错误，
∵ PC=322x，
∴ PB＝BC−PC＝22x−322x=22x，
∴ BPAB=22xx=22，
∴ BP=22AB，故④正确，
∵ ∠MEC＝∠G＝90∘，
∴ PG // ME，
∴ CECG=EFPG，
∵ AB＝GE＝CD＝CE，
∴ CG＝2CE，
∴ PG＝2EF，故⑤正确，
三、解答题：（本大题共9个小题，共78分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
【答案】
原式=2+1−2×12+5
＝2+1−1+5
＝7．
【考点】
零指数幂、负整数指数幂
零指数幂
实数的运算
特殊角的三角函数值
【解析】
第29页 共30页 ◎ 第30页 共30页
直接利用特殊角的三角函数值以及零指数幂的性质、二次根式的性质、负整数指数幂的性质分别化简得出答案．
【解答】
原式=2+1−2×12+5
＝2+1−1+5
＝7．
【答案】
解不等式①得：x≥1，
解不等式②得：x<4，
所以，原不等式组的解集是1≤x<4，
它的所有整数解有：x＝1；x＝2；x＝3．
【考点】
一元一次不等式组的整数解
解一元一次不等式组
【解析】
分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的方法部分确定出不等式组的解集，进而求出整数解即可．
【解答】
解不等式①得：x≥1，
解不等式②得：x<4，
所以，原不等式组的解集是1≤x<4，
它的所有整数解有：x＝1；x＝2；x＝3．
【答案】
证明：∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AB // CD，AB＝CD，
∴ ∠ABE＝∠CDF，
在△ABE和△DCF中，
∠BAE=∠DCFAB=CD∠ABE=∠CDF
∴ △ABE≅△DCF(ASA)，
∴ BE＝DF，
∴ BE+EF＝DF+EF，
即BF＝DE．
【考点】
全等三角形的性质与判定
平行四边形的性质
【解析】
欲证明BF＝DE，只要证明△ABE≅△DCF即可．
【解答】
证明：∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AB // CD，AB＝CD，
∴ ∠ABE＝∠CDF，
在△ABE和△DCF中，
∠BAE=∠DCFAB=CD∠ABE=∠CDF
∴ △ABE≅△DCF(ASA)，
∴ BE＝DF，
∴ BE+EF＝DF+EF，
即BF＝DE．
【答案】
解：(1)设购进甲矿泉水x箱，购进乙矿泉水y箱，
依题意，得：x+y=500,25x+35y=14500,
解得：x=300,y=200.
答：购进甲矿泉水300箱，购进乙矿泉水200箱．
(2)(35−25)×300+(48−35)×200=5600（元）．
答：该商场售完这500箱矿泉水，可获利5600元．
【考点】
二元一次方程组的应用——销售问题
【解析】
（1）设购进甲矿泉水x箱，购进乙矿泉水y箱，根据该商场用14500元购进甲、乙两种矿泉水共500箱，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）根据总利润＝单箱利润×销售数量，即可求出结论．
【解答】
解：(1)设购进甲矿泉水x箱，购进乙矿泉水y箱，
依题意，得：x+y=500,25x+35y=14500,
解得：x=300,y=200.
答：购进甲矿泉水300箱，购进乙矿泉水200箱．
(2)(35−25)×300+(48−35)×200=5600（元）．
答：该商场售完这500箱矿泉水，可获利5600元．
【答案】
解：(1)如图，连接AD．
∵ BA是⊙O直径，
∴ ∠BDA＝90∘．
∵ BD=BD，
第29页 共30页 ◎ 第30页 共30页
∴ ∠BAD＝∠C＝60∘．
∴ ∠ABD＝90∘−∠BAD＝90∘−60∘＝30∘．
(2)∵ AP是⊙O的切线，
∴ ∠BAP＝90∘．
在Rt△BAD中，∵ ∠ABD＝30∘，
∴ DA=12BA=12×6＝3．
∴ BD=3DA＝33．
在Rt△BAP中，∵ cos∠ABD=ABPB，
∴ cos30∘=6PB=32．
∴ BP＝43．
∴ PD＝BP−BD＝43−33=3．
【考点】
圆周角定理
切线的性质
【解析】
（1）解法一：要的圆周角定理得：∠ADB＝90∘，由同弧所对的圆周角相等和直角三角形的性质可得结论；
解法二：根据同弧所对的圆心角是圆周角的2倍可得∠BOD＝120∘，由同圆的半径相等和等腰三角形的性质可得结论；
（2）如图1，根据切线的性质可得∠BAP＝90∘，根据直角三角形30∘角的性质可计算AD的长，由勾股定理计算DB的长，由三角函数可得PB的长，从而得PD的长．
【解答】
解：(1)如图，连接AD．
∵ BA是⊙O直径，
∴ ∠BDA＝90∘．
∵ BD=BD，
∴ ∠BAD＝∠C＝60∘．
∴ ∠ABD＝90∘−∠BAD＝90∘−60∘＝30∘．
(2)∵ AP是⊙O的切线，
∴ ∠BAP＝90∘．
在Rt△BAD中，∵ ∠ABD＝30∘，
∴ DA=12BA=12×6＝3．
∴ BD=3DA＝33．
在Rt△BAP中，∵ cos∠ABD=ABPB，
∴ cos30∘=6PB=32．
∴ BP＝43．
∴ PD＝BP−BD＝43−33=3．
【答案】
50,216∘
如图所示，总人数为50人，则B的人数＝50−5−30−5＝10（人）；
补全条形统计图如图：
180
设3个女生分别为女1，女2，女3，2个男生分别为男1，男2，所有可能出现的结果如下表：
女1
女2
女3
男1
男2
女1
（女1，女2）
（女1，女3）
（女1，男1）
（女1，男2）
女2
（女2，女1）
（女2，女3）
（女2，男1）
（女2，男2）
女3
（女3，女1）
（女3，女2）
（女3，男1）
（女3，男2）
男1
（男1，女1）
（男1，女2）
（男1，女3）
（男1，男2）
男2
（男2，女1）
（男2，女2）
（男2，女3）
（男2，男1）
从中随机抽取两个同学担任两角色，所有可能的结果有20种，每种结果的可能性都相同，其中，抽到性别相同的结果有8种，
所以P（被抽到的两个学生性别相同）=820=25．
【考点】
列表法与树状图法
扇形统计图
用样本估计总体
第29页 共30页 ◎ 第30页 共30页
条形统计图
【解析】
（1）由A的人数除以所占百分比得出调查的总人数；由360∘乘以C部分所占的比例即可得出C部分所对应的扇形圆心角的度数；
（2）求出B部分的人数，补全条形统计图即可；
（3）由该校总人数乘以D类所占的比例即可得出答案；
（4）由列表法和概率公式即可得出答案．
【解答】
5÷10%＝50（人），扇形统计图中C部分所对应的扇形圆心角的度数为360∘×3050=216∘；
故答案为：50； 216∘；
如图所示，总人数为50人，则B的人数＝50−5−30−5＝10（人）；
补全条形统计图如图：
1800×550=180（人）；
故答案为：180；
设3个女生分别为女1，女2，女3，2个男生分别为男1，男2，所有可能出现的结果如下表：
女1
女2
女3
男1
男2
女1
（女1，女2）
（女1，女3）
（女1，男1）
（女1，男2）
女2
（女2，女1）
（女2，女3）
（女2，男1）
（女2，男2）
女3
（女3，女1）
（女3，女2）
（女3，男1）
（女3，男2）
男1
（男1，女1）
（男1，女2）
（男1，女3）
（男1，男2）
男2
（男2，女1）
（男2，女2）
（男2，女3）
（男2，男1）
从中随机抽取两个同学担任两角色，所有可能的结果有20种，每种结果的可能性都相同，其中，抽到性别相同的结果有8种，
所以P（被抽到的两个学生性别相同）=820=25．
【答案】
把点A(1, a)代入y＝−x+3，得a＝2，
∴ A(1, 2)，
把A(1, 2)代入反比例函数y=kx，
∴ k＝1×2＝2；
∴ 反比例函数的表达式为y=2x；
∵ 一次函数y＝−x+3的图象与x轴交于点C，
∴ C(3, 0)，
设P(x, 0)，
∴ PC＝|3−x|，
∴ S△APC=12|3−x|×2＝5，
∴ x＝−2或x＝8，
∴ P的坐标为(−2, 0)或(8, 0)；
存在，
理由如下：联立y=−x+3y=2x ，
解得：x1=1y1=2 或x1=2y1=1 ，
∴ B点坐标为(2, 1)，
∵ 点P在y轴上，
∴ 设P(0, m)，
∴ AB=(1−2)2+(2−1)2=2，AP=(1−0)2+(2−m)2，PB=(2−0)2+(1−m)2，
若BP为斜边，
∴ BP2＝AB2+AP2 ，
即 ((2−0)2+(1−m)2)2=2+((1−0)2+(2−m)2)2，
解得：m＝1，
∴ P(0, 1)；
若AP为斜边，
∴ AP2＝PB2+AB2 ，
即 ((1−0)2+(2−m)2)2=((2−0)2+(1−m)2)2+2，
解得：m＝−1，
∴ P(0, −1)；
综上所述：P(0, 1)或 P(0, −1)．
【考点】
反比例函数综合题
【解析】
（1）将点A坐标代入两个解析式可求a的值，k的值，即可求解；
（2）设P(x, 0)，由三角形的面积公式可求解；
（3）分两种情况讨论，由两点距离公式分别求出AP，AB，BP的长，由勾股定理可求解．
第29页 共30页 ◎ 第30页 共30页
【解答】
把点A(1, a)代入y＝−x+3，得a＝2，
∴ A(1, 2)，
把A(1, 2)代入反比例函数y=kx，
∴ k＝1×2＝2；
∴ 反比例函数的表达式为y=2x；
∵ 一次函数y＝−x+3的图象与x轴交于点C，
∴ C(3, 0)，
设P(x, 0)，
∴ PC＝|3−x|，
∴ S△APC=12|3−x|×2＝5，
∴ x＝−2或x＝8，
∴ P的坐标为(−2, 0)或(8, 0)；
存在，
理由如下：联立y=−x+3y=2x ，
解得：x1=1y1=2 或x1=2y1=1 ，
∴ B点坐标为(2, 1)，
∵ 点P在y轴上，
∴ 设P(0, m)，
∴ AB=(1−2)2+(2−1)2=2，AP=(1−0)2+(2−m)2，PB=(2−0)2+(1−m)2，
若BP为斜边，
∴ BP2＝AB2+AP2 ，
即 ((2−0)2+(1−m)2)2=2+((1−0)2+(2−m)2)2，
解得：m＝1，
∴ P(0, 1)；
若AP为斜边，
∴ AP2＝PB2+AB2 ，
即 ((1−0)2+(2−m)2)2=((2−0)2+(1−m)2)2+2，
解得：m＝−1，
∴ P(0, −1)；
综上所述：P(0, 1)或 P(0, −1)．
【答案】
5,5
如图2，
当0∘≤α<360∘时，AEBD的大小没有变化，
∵ ∠ECD＝∠ACB，
∴ ∠ECA＝∠DCB，
又∵ ECDC=ACBC=5，
∴ △ECA∽△DCB，
∴ AEBD=ECDC=5．．
①如图3−1中，当点E在AB的延长线上时，
在Rt△BCE中，CE=5，BC＝2，
∴ BE=EC2−BC2=5−4=1，
∴ AE＝AB+BE＝5，
∵ AEBD=5，
∴ BD=55=5．
②如图3−2中，当点E在线段AB上时，
易知BE＝1，AE＝4−1＝3，
∵ AEBD=5，
∴ BD=355，
综上所述，满足条件的BD的长为355或5．
【考点】
几何变换综合题
【解析】
（1）①当α＝0∘时，在Rt△ABC中，由勾股定理，求出AC的值是多少；然后根据点D、E分别是边BC、AC的中点，分别求出AE、BD的大小，即可求出的AEBD值是多少．
②α＝180∘时，可得AB // DE，然后根据ACAE=BCDB，求出AEBD的值是多少即可．
（2）首先判断出∠ECA＝∠DCB，再根据ECDC=ACBC=5
第29页 共30页 ◎ 第30页 共30页
，判断出△ECA∽△DCB，然后由相似三角形的对应边成比例，求得答案．
（3）分两种情形：①如图3−1中，当点E在AV的延长线上时，②如图3−2中，当点E在线段AB上时，分别求解即可．
【解答】
①当α＝0∘时，
∵ Rt△ABC中，∠B＝90∘，
∴ AC=AB2+BC2=22+42=25，
∵ 点D、E分别是边BC、AC的中点，
∴ AE=12AC=5，BD=12BC＝1，
∴ AEBD=5．
②如图1−1中，
当α＝180∘时，
可得AB // DE，
∵ ACAE=BCBD，
∴ AEBD=ACBC=5．
故答案为：①5，②5．
如图2，
当0∘≤α<360∘时，AEBD的大小没有变化，
∵ ∠ECD＝∠ACB，
∴ ∠ECA＝∠DCB，
又∵ ECDC=ACBC=5，
∴ △ECA∽△DCB，
∴ AEBD=ECDC=5．．
①如图3−1中，当点E在AB的延长线上时，
在Rt△BCE中，CE=5，BC＝2，
∴ BE=EC2−BC2=5−4=1，
∴ AE＝AB+BE＝5，
∵ AEBD=5，
∴ BD=55=5．
②如图3−2中，当点E在线段AB上时，
易知BE＝1，AE＝4−1＝3，
∵ AEBD=5，
∴ BD=355，
综上所述，满足条件的BD的长为355或5．
【答案】
将点A、B坐标代入二次函数表达式得：25a−5b+5=016a−4b+5=−3 ，解得：a=1b=6 ，
故抛物线的表达式为：y＝x2+6x+5…①，
令y＝0，则x＝−1或−5，
即点C(−1, 0)；
①如图1，过点P作y轴的平行线交BC于点G，
第29页 共30页 ◎ 第30页 共30页
将点B、C的坐标代入一次函数表达式并解得：
直线BC的表达式为：y＝x+1…②，
设点G(t, t+1)，则点P(t, t2+6t+5)，
S△PBC=12PG(xC−xB)=32(t+1−t2−6t−5)=−32t2−152t−6，
∵ −32<0，∴ S△PBC有最大值，当t=−52时，其最大值为278；
②设直线BP与CD交于点H，
当点P在直线BC下方时，
∵ ∠PBC＝∠BCD，∴ 点H在BC的中垂线上，
线段BC的中点坐标为(−52, −32)，
过该点与BC垂直的直线的k值为−1，
设BC中垂线的表达式为：y＝−x+m，将点(−52, −32)代入上式并解得：
直线BC中垂线的表达式为：y＝−x−4…③，
同理直线CD的表达式为：y＝2x+2…④，
联立③④并解得：x＝−2，即点H(−2, −2)，
同理可得直线BH的表达式为：y=12x−1…⑤，
联立①⑤并解得：x=−32或−4（舍去−4），
故点P(−32, −74)；
当点P(P′)在直线BC上方时，
∵ ∠PBC＝∠BCD，∴ BP′ // CD，
则直线BP′的表达式为：y＝2x+s，将点B坐标代入上式并解得：s＝5，
即直线BP′的表达式为：y＝2x+5…⑥，
联立①⑥并解得：x＝0或−4（舍去−4），
故点P(0, 5)；
故点P的坐标为P(−32, −74)或(0, 5)．
【考点】
二次函数综合题
【解析】
（1）将点A、B坐标代入二次函数表达式，即可求解；
（2）①S△PBC=12PG(xC−xB)，即可求解；②分点P在直线BC下方、上方两种情况，分别求解即可．
【解答】
将点A、B坐标代入二次函数表达式得：25a−5b+5=016a−4b+5=−3 ，解得：a=1b=6 ，
故抛物线的表达式为：y＝x2+6x+5…①，
令y＝0，则x＝−1或−5，
即点C(−1, 0)；
①如图1，过点P作y轴的平行线交BC于点G，
将点B、C的坐标代入一次函数表达式并解得：
直线BC的表达式为：y＝x+1…②，
设点G(t, t+1)，则点P(t, t2+6t+5)，
S△PBC=12PG(xC−xB)=32(t+1−t2−6t−5)=−32t2−152t−6，
∵ −32<0，∴ S△PBC有最大值，当t=−52时，其最大值为278；
②设直线BP与CD交于点H，
当点P在直线BC下方时，
∵ ∠PBC＝∠BCD，∴ 点H在BC的中垂线上，
线段BC的中点坐标为(−52, −32)，
过该点与BC垂直的直线的k值为
第29页 共30页 ◎ 第30页 共30页
−1，
设BC中垂线的表达式为：y＝−x+m，将点(−52, −32)代入上式并解得：
直线BC中垂线的表达式为：y＝−x−4…③，
同理直线CD的表达式为：y＝2x+2…④，
联立③④并解得：x＝−2，即点H(−2, −2)，
同理可得直线BH的表达式为：y=12x−1…⑤，
联立①⑤并解得：x=−32或−4（舍去−4），
故点P(−32, −74)；
当点P(P′)在直线BC上方时，
∵ ∠PBC＝∠BCD，∴ BP′ // CD，
则直线BP′的表达式为：y＝2x+s，将点B坐标代入上式并解得：s＝5，
即直线BP′的表达式为：y＝2x+5…⑥，
联立①⑥并解得：x＝0或−4（舍去−4），
故点P(0, 5)；
故点P的坐标为P(−32, −74)或(0, 5)．
第29页 共30页 ◎ 第30页 共30页
