冀教九下二次函数的应用

冀教九下二次函数的应用

‎34.4二次函数的应用 教学设计思想：本节主要研究的是与二次函数有关的实际问题，重点是实际应用题，在教学过程中让学生运用二次函数的知识分析问题、解决问题，在运用中体会二次函数的实际意义。二次函数与一元二次方程、一元二次不等式有密切联系，在学习过程中应把二次函数与之有关知识联系起来，融会贯通，使学生的认识更加深刻。另外，在利用图像法解方程时，图像应画得准确一些，使求得的解更准确，在求解过程中体会数形结合的思想。‎ 教学目标：‎ ‎1．知识与技能 会运用二次函数计其图像的知识解决现实生活中的实际问题。‎ ‎2．过程与方法 通过本节内容的学习，提高自主探索、团结合作的能力，在运用知识解决问题中体会二次函数的应用意义及数学转化思想。‎ ‎3．情感、态度与价值观 通过学生之间的讨论、交流和探索，建立合作意识和提高探索能力，激发学习的兴趣和欲望。‎ 教学重点：解决与二次函数有关的实际应用题。‎ 教学难点：二次函数的应用。‎ 教学媒体：幻灯片，计算器。‎ 教学安排：3课时。‎ 教学方法：小组讨论，探究式。‎ 教学过程：‎ 第一课时：‎ Ⅰ.情景导入：‎ 师：由二次函数的一般形式y=（a≠0），你会有什么联想？‎ 生：老师，我想到了一元二次方程的一般形式（a≠0）。‎ 师：不错，正因为如此，有时我们就将二次函数的有关问题转化为一元二次方程的问题 来解决。‎ 现在大家来做下面这两道题：（幻灯片显示）‎ ‎1．解方程。‎ ‎2．画出二次函数y=的图像。‎ 教师找两个学生解答，作为板书。‎ Ⅱ.新课讲授 同学们思考下面的问题，可以共同讨论：‎ ‎1．二次函数y=的图像与x轴交点的横坐标是什么？它与方程的根有什么关系？‎ ‎2．如果方程（a≠0）有实数根，那么它的根和二次函数y=的图像与x轴交点的横坐标有什么关系？‎ 生甲：老师，由画出的图像可以看出与x轴交点的横坐标是-1、2；方程的两个根是-1、2，我们发现方程的两个解正好是图像与x轴交点的横坐标。‎ 生乙：我们经过讨论，认为如果方程（a≠0）有实数根，那么它的根等于二次函数y=的图像与x轴交点的横坐标。‎ 师：说的很好；‎ 教师总结：一般地，如果二次函数y=的图像与x轴相交，那么交点的横坐标就是一元二次方程=0的根。‎ 师：我们知道方程的两个解正好是二次函数图像与x轴的两个交点的横坐标，那么二次函数图像与x轴的交点问题可以转化为一元二次方程的根的问题，我们共同研究下面问题。‎ ‎[学法]：通过实例，体会二次函数与一元二次方程的关系，解一元二次方程实质上就是求二次函数为0的自变量x的取值，反映在图像上就是求抛物线与x轴交点的横坐标。‎ 问题：已知二次函数y=。‎ ‎（1）观察这个函数的图像（图34-9），一元二次方程=0的两个根分别在哪两个整数之间？‎ ‎（2）①由在0至1范围内的x值所对应的y值（见下表），你能说出一元二次方程=0精确到十分位的正根吗？‎ x ‎0‎ ‎0.1‎ ‎0.2‎ ‎0.3‎ ‎0.4‎ ‎0.5‎ ‎0.6‎ ‎0.7‎ ‎0.8‎ ‎0.9‎ ‎1‎ y ‎-1‎ ‎-0.89‎ ‎-0.76‎ ‎-0.61‎ ‎-0.44‎ ‎-0.25‎ ‎-0.04‎ ‎-0.19‎ ‎0.44‎ ‎0.71‎ ‎1‎ ‎②由在0.6至0.7范围内的x值所对应的y值（见下表），你能说出一元二次方程=0精确到百分位的正根吗？‎ x ‎0.60‎ ‎0.61‎ ‎0.62‎ ‎0.63‎ ‎0.64‎ ‎0.65‎ ‎0.66‎ ‎0.67‎ ‎0.68‎ ‎0.69‎ ‎0.70‎ y ‎-0.040‎ ‎-0.018‎ ‎0.004‎ ‎0.027‎ ‎0.050‎ ‎0.073‎ ‎0.096‎ ‎0.119‎ ‎0.142‎ ‎0.166‎ ‎0.190‎ ‎（3）请仿照上面的方法，求出一元二次方程=0的另一个精确到十分位的根。‎ ‎（4）请利用一元二次方程的求根公式解方程=0，并检验上面求出的近似解。‎ 第一问很简单，可以请一名同学来回答这个问题。‎ 生：一个根在（-2，-1）之间，另一个在（0，1）之间；根据上面我们得出的结论。‎ 师：回答的很正确；我们知道图像与x轴交点的横坐标就是方程的根，所以我们可以通过观看图象就能说出方程的两个根。现在我们共同解答第（2）问。‎ 教师分析：我们知道方程的一个根在（0，1）之间，那么我们观看（0，1）这个区间的图像，y值是随着x值的增大而不断增大的，y值也是从负数过渡到正数，而当y=0时所对应的x值就是方程的根。现在我们要求的是方程的近似解，那么同学们想一想，答案是什么呢？‎ 生：通过列表可以看出，在（0.6，0.7）范围内，y值有-0.04至0.19，如果方程精确到十分位的正根，x应该是0.6。‎ 类似的，我们得出方程精确到百分位的正根是0.62。‎ 对于第三问，教师可以让学生自己动手解答，教师在下面巡视，观察其中发现的问题。‎ 最后师生共同利用求根公式，验证求出的近似解。‎ 教师总结：我们发现，当二次函数（a≠0）的图像与ｘ轴有交点时，根据图像与ｘ轴的交点，就可以确定一元二次方程的根在哪两个连续整数之间。为了得到更精确的近似解，对在这两个连续整数之间的ｘ的值进行细分，并求出相应得ｙ值，列出表格，这样就可以得到一元二次方程所要求的精确度的近似解。‎ Ⅲ.练习 已知一个矩形的长比宽多‎3m，面积为6。求这个矩形的长（精确到十分位）。‎ 板书设计：‎ 二次函数的应用（1）‎ 一、导入 总结：‎ 二、新课讲授 三、练习 第二课时：‎ 师：在我们的实际生活中你还遇到过哪些运用二次函数的实例？‎ 生：老师，我见过好多。如周长固定时长方形的面积与它的长之间的关系：圆的面积与它的直径之间的关系等。‎ 师：好，看这样一个问题你能否解决：‎ 活动1：如图34-10，张伯伯准备利用现有的一面墙和40ｍ长的篱笆，把墙外的空地围成四个相连且面积相等的矩形养兔场。‎ 回答下面的问题：‎ ‎1．设每个小矩形一边的长为xm，试用x表示小矩形的另一边的长。‎ ‎2．设四个小矩形的总面积为y，请写出用x表示y的函数表达式。‎ ‎3．你能利用公式求出所得函数的图像的顶点坐标，并说出y的最大值吗？‎ ‎4．你能画出这个函数的图像，并借助图像说出y的最大值吗？‎ 学生思考，并小组讨论 解：已知周长为‎40m，一边长为xm，看图知，另一边长为m。‎ 由面积公式得 y=（x·）‎ 化简得 y=‎ 代入顶点坐标公式，得顶点坐标x=4，y=5。y的最大值为5。‎ 画函数图像：‎ 通过图像，我们知道y的最大值为5。‎ 师：通过上面这个例题，我们能总结出几种求y的最值得方法呢？‎ 生：两种；一种是画函数图像，观察最高（低）点，可以得到函数的最值；另外一种可以利用顶点坐标公式，直接计算最值。‎ 师：这位同学回答的很好，看来同学们是都理解了，也知道如何求函数的最值。‎ 总结：由此可以看出，在利用二次函数的图像和性质解决实际问题时，常常需要根据条件建立二次函数的表达式，在求最大（或最小）值时，可以采取如下的方法：‎ ‎（1）画出函数的图像，观察图像的最高（或最低）点，就可以得到函数的最大（或最小）值。‎ ‎（2）依照二次函数的性质，判断该二次函数的开口方向，进而确定它有最大值还是最小值；再利用顶点坐标公式，直接计算出函数的最大（或最小）值。‎ 师：现在利用我们前面所学的知识，解决实际问题。‎ 活动2：如图34-11，已知AB=2，C是AB上一点，四边形ACDE和四边形CBFG，都是正方形，设BC=x，‎ ‎（1）AC=______;‎ ‎（2）设正方形ACDE和四边形CBFG的总面积为S，用x表示S的函数表达式为S=_____.‎ ‎（3）总面积S有最大值还是最小值？这个最大值或最小值是多少？‎ ‎（4）总面积S取最大值或最小值时，点C在AB的什么位置？‎ 教师讲解：二次函数进行配方为y=，当a>0时，抛物线开口向上，此时当x=时，；当a<0时，抛物线开口向下，此时当x=时，。对于本题来说，自变量x的最值范围受实际条件的制约，应为0≤x≤2。此时y相应的就有最大值和最小值了。通过画出图像，可以清楚地看到y的最大值和最小值以及此时x的取值情况。在作图像时一定要准确认真，同时还要考虑到x的取值范围。‎ 解答过程（板书）‎ 解：（1）当BC=x时，AC=2-x（0≤x≤2）。‎ ‎（2）S△CDE=,S△BFG=,‎ 因此，S=+=2-4x+4=2+2，‎ 画出函数S=+2（0≤x≤2）的图像，如图‎34-4-3‎。‎ ‎（3）由图像可知：当x=1时，；当x=0或x=2时，。‎ ‎（4）当x=1时，C点恰好在AB的中点上。‎ 当x=0时，C点恰好在B处。‎ 当x=2时，C点恰好在A处。‎ ‎[教法]：在利用函数求极值问题，一定要考虑本题的实际意义，弄明白自变量的取值范围。在画图像时，在自变量允许取得范围内画。‎ 练习：‎ 如图，正方形ABCD的边长为4，P是边BC上一点，QP⊥AP，并且交DC与点Q。‎ ‎（1）Rt△ABP与Rt△PCQ相似吗？为什么？‎ ‎（2）当点P在什么位置时，Rt△ADQ的面积最小？最小面积是多少？‎ 小结：利用二次函数的增减性，结合自变量的取值范围，则可求某些实际问题中的极值，求极值时可把配方为y=的形式。‎ 板书设计：‎ 二次函数的应用（2）‎ 活动1： 总结方法：‎ 活动2： 练习：‎ ‎ 小结：‎ 第三课时：‎ 我们这部分学习的是二次函数的应用，在解决实际问题时，常常需要把二次函数问题转化为方程的问题。‎ 师：在日常生活中，有哪些量之间的关系是二次函数关系？大家观看下面的图片。‎ ‎（幻灯片显示交通事故、紧急刹车）‎ 师：你知道两辆车在行驶时为什么要保持一定的距离吗？‎ 学生思考，讨论。‎ 师：汽车在行驶中，由于惯性作用，刹车后还要向前滑行一段距离才能停住，这段距离叫做刹车距离。刹车距离是分析、处理道路交通事故的一个重要原因。‎ 请看下面一个道路交通事故案例：‎ 甲、乙两车在限速为‎40km/h的湿滑弯道上相向而行，待望见对方。同时刹车时已经晚了，两车还是相撞了。事后经现场勘查，测得甲车的刹车距离是‎12m，乙车的刹车距离超过‎10m，但小于‎12m。根据有关资料，在这样的湿滑路面上，甲车的刹车距离S甲（m）与车速x（km/h）之间的关系为S甲=0.1x+0.01x2，乙车的刹车距离S乙（m）与车速x（km/h）之间的关系为S乙=。‎ 教师提问：1.你知道甲车刹车前的行驶速度吗？甲车是否违章超速？‎ ‎2.你知道乙车刹车前的行驶速度在什么范围内吗？乙车是否违章超速？‎ 学生思考！教师引导。‎ 对于二次函数S甲=0.1x+0.01x2：‎ ‎（1）当S甲=12时，我们得到一元二次方程0.1x+0.01x2=12。请谈谈这个一元二次方程这个一元二次方程的实际意义。‎ ‎（2）当S甲=11时，不经过计算，你能说明两车相撞的主要责任者是谁吗？‎ ‎（3）由乙车的刹车距离比甲车的刹车距离短，就一定能说明事故责任者是甲车吗？为什么？‎ 生甲：我们能知道甲车刹车前的行驶速度，知道甲车的刹车距离，又知道刹车距离与车速的关系式，所以车速很容易求出，求得x=‎30km，小于限速‎40km/h，故甲车没有违章超速。‎ 生乙：同样，知道乙车刹车前的行驶速度，知道乙车的刹车距离的取值范围，又知道刹车距离与车速的关系式，求得x在‎40km/h与‎48km/h（不包含‎40km/h）之间。可见乙车违章超速了。‎ 同学们，从这个事例当中我们可以体会到，如果二次函数y=（a≠0）的某一函数值y=M。就可利用一元二次方程=M，确定它所对应得x值，这样，就把二次函数与一元二次方程紧密地联系起来了。‎ 下面看下面的这道例题：‎ 当路况良好时，在干燥的路面上，汽车的刹车距离s与车速v之间的关系如下表所示：‎ v/（km/h）‎ ‎40‎ ‎60‎ ‎80‎ ‎100‎ ‎120‎ s/m ‎2‎ ‎4.2‎ ‎7.2‎ ‎11‎ ‎15.6‎ ‎（1）在平面直角坐标系中描出每对（v，s）所对应的点，并用光滑的曲线顺次连结各点。‎ ‎（2）利用图像验证刹车距离s（m）与车速v（km/h）是否有如下关系：‎ ‎（3）求当s=‎9m时的车速v。‎ 学生思考，亲自动手，提高学生自主学习的能力。‎ 教师提问，学生回答正确答案，教师再进行讲解。‎ 课上练习：‎ 某产品的成本是20元/件，在试销阶段，当产品的售价为x元/件时，日销量为（200-x）件。‎ ‎（1）写出用售价x（元/件）表示每日的销售利润y（元）的表达式。‎ ‎（2）当日销量利润是1500元时，产品的售价是多少？日销量是多少件？‎ ‎（3）当售价定为多少时，日销量利润最大？最大日销量利润是多少？‎ 课堂小结：本节课主要是利用函数求极值的问题，解决此类问题时，一定要考虑到本题的实际意义，弄明白自变量的取值范围。在画图像时，在自变量允许取的范围内画。‎ 板书设计：‎ 二次函数的应用（3）‎ 一、案例 二、例题 分析： 练习：‎ ‎ 总结： ‎