湖南省岳阳市中考数学试题（含解析）

湖南省岳阳市中考数学试题（含解析）

‎2018 年湖南省岳阳市中考数学试卷 一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 3 分，满分 24 分，在每道小题给出的四 个选项中，选出符合要求的一项）‎ ‎1．（3 分）2018 的倒数是（ ）‎ A．2018 B． C．﹣ D．﹣2018‎ ‎2．（3 分）下列运算结果正确的是（ ）‎ A．a3•a2=a5 B．（a3）2=a5 C．a3+a2=a5 D．a﹣2=﹣a2‎ ‎3．（3 分）函数 y= 中自变量 x 的取值范围是（ ）‎ A．x＞3 B．x≠3C．x≥3D．x≥0‎ ‎4．（3 分）抛物线 y=3（x﹣2）2+5 的顶点坐标是（ ）‎ A．（﹣2，5） B．（﹣2，﹣5） C．（2，5） D．（2，﹣5）‎ ‎5．（3 分）已知不等式组 ，其解集在数轴上表示正确的是（ ）‎ A． B ．‎ C． D．‎ ‎6．（3 分）在“美丽乡村”评选活动中，某乡镇 7 个村的得分如下：98，90，88，‎ ‎96，92，96，86，这组数据的中位数和众数分别是（ ）‎ A．90，96 B．92，96 C．92，98 D．91，92‎ ‎7．（3 分）下列命题是真命题的是（ ）‎ A．平行四边形的对角线相等 B．三角形的重心是三条边的垂直平分线的交点 C．五边形的内角和是 540°‎ D．圆内接四边形的对角相等 ‎8．（3 分）在同一直角坐标系中，二次函数 y=x2 与反比例函数 y= （x＞0）的图 象如图所示，若两个函数图象上有三个不同的点 A（x1，m），B（x2，m），C（x3，‎ m），其中 m 为常数，令 ω=x1+x2+x3，则 ω 的值为（ ）‎ 第 1 页（共 22 页）‎ A．1 B．m C．m2 D．‎ 二、填空题（本大题共 8 小题，每小题 4 分，满分 32 分）‎ ‎9．（4 分）因式分解：x2﹣4= ．‎ ‎10．（4 分 ）2018 年岳阳市教育扶贫工作实施方案出台，全市计划争取“全面改薄”‎ 专项资金 120000000 元，用于改造农村义务教育薄弱学校 100 所，数据 120000000‎ 科学记数法表示为 ．‎ ‎11．（4 分）关于 x 的一元二次方程 x2+2x+k=0 有两个不相等的实数根，则 k 的取 值范围是 ．‎ ‎12．（4 分）已知 a2+2a=1，则 3（a2+2a）+2 的值为 ．‎ ‎13．（4 分）在﹣2，1，4，﹣3，0 这 5 个数字中，任取一个数是负数的概率是 ．‎ ‎14．（4 分）如图，直线 a∥b，∠l=60°，∠2=40°，则∠3= ．‎ ‎15．（4 分）《九章算术》是我国古代数学名著，书中有下列问题：“今有勾五步，‎ 股十二步，问勾中容方几何？”其意思为：“今有直角三角形，勾（短直角边）长 为 5 步，股（长直角边）长为 12 步，问该直角三角形能容纳的正方形边长最大 是多少步？”该问题的答案是 步．‎ 第 2 页（共 22 页）‎ ‎16．（4 分）如图，以 AB 为直径的⊙O 与 CE 相切于点 C，CE 交 AB 的延长线于点 E，直径 AB=18，∠A=30°，弦 CD⊥AB，垂足为点 F，连接 AC，OC，则下列结论 正确的是 ．（写出所有正确结论的序号）‎ ‎① = ；‎ ‎②扇形 OBC 的面积为 π；‎ ‎③△OCF∽△OEC；‎ ‎④若点 P 为线段 OA 上一动点，则 AP•OP 有最大值 20.25．‎ 三、解答题（本大题共 8 小题，满分 64 分，解答应写出文字说明，证明过程或 演算步骤）‎ ‎17．（6 分）计算：（﹣1）2﹣2sin45°+（π﹣2018）0+|﹣ |‎ ‎18．（6 分）如图，在平行四边形 ABCD 中，AE=CF，求证：四边形 BFDE 是平行 四边形．‎ ‎19．（8 分）如图，某反比例函数图象的一支经过点 A（2，3）和点 B（点 B 在点 A 的右侧），作 BC⊥y 轴，垂足为点 C，连结 AB，AC．‎ ‎（1）求该反比例函数的解析式；‎ ‎（2）若△ABC 的面积为 6，求直线 AB 的表达式．‎ 第 3 页（共 22 页）‎ ‎20．（8 分）为了树立文明乡风，推进社会主义新农村建设，某村决定组建村民 文体团队，现围绕“你最喜欢的文体活动项目（每人仅限一项）”，在全村范围内 随机抽取部分村民进行问卷调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计 图．请你根据统计图解答下列问题：‎ ‎（1）这次参与调查的村民人数为 人；‎ ‎（2）请将条形统计图补充完整；‎ ‎（3）求扇形统计图中“划龙舟”所在扇形的圆心角的度数；‎ ‎（4）若在“广场舞、腰鼓、花鼓戏、划龙舟”这四个项目中任选两项组队参加端 午节庆典活动，请用列表或画树状图的方法，求恰好选中“花鼓戏、划龙舟”这两 个项目的概率．‎ ‎21．（8 分）为落实党中央“长江大保护”新发展理念，我市持续推进长江岸线保护，‎ 还洞庭湖和长江水清岸绿的自然生态原貌．某工程队负责对一面积为 33000 平方 米的非法砂石码头进行拆除，回填土方和复绿施工，为了缩短工期，该工程队增 加了人力和设备，实际工作效率比原计划每天提高了 20%，结果提前 11 天完成 任务，求实际平均每天施工多少平方米？‎ ‎22．（8 分）图 1 是某小区入口实景图，图 2 是该入口抽象成的平面示意图．已 知入口 BC 宽 3.9 米，门卫室外墙 AB 上的 O 点处装有一盏路灯，点 O 与地面 BC 的距离为 3.3 米，灯臂 OM 长为 1.2 米（灯罩长度忽略不计），∠AOM=60°．‎ ‎（1）求点 M 到地面的距离；‎ 第 4 页（共 22 页）‎ ‎（2）某搬家公司一辆总宽 2.55 米，总高 3.5 米的货车从该入口进入时，货车需 与护栏 CD 保持 0.65 米的安全距离，此时，货车能否安全通过？若能，请通过计 算说明；若不能，请说明理由．（参考数据： ≈1.73，结果精确到 0.01 米）‎ ‎23．（10 分）已知在 Rt△ABC 中，∠BAC=90°，CD 为∠ACB 的平分线，将∠ACB 沿 CD 所在的直线对折，使点 B 落在点 B′处，连结 AB'，BB'，延长 CD 交 BB'于点 E，设∠ABC=2α（0°＜α＜45°）．‎ ‎（1）如图 1，若 AB=AC，求证：CD=2BE；‎ ‎（2）如图 2，若 AB≠AC，试求 CD 与 BE 的数量关系（用含 α 的式子表示）；‎ ‎（3）如图 3，将（2）中的线段 BC 绕点 C 逆时针旋转角（α+45°），得到线段 FC，‎ 连结 EF 交 BC 于点 O，设△COE 的面积为 S1，△COF 的面积为 S2，求 （用含 α 的式子表示）．‎ ‎24．（10 分）已知抛物线 F：y=x2+bx+c 的图象经过坐标原点 O，且与 x 轴另一交 点为（﹣ ，0）．‎ ‎（1）求抛物线 F 的解析式；‎ ‎（2）如图 1，直线 l：y= x+m（m＞0）与抛物线 F 相交于点 A（x1，y1）和点 第 5 页（共 22 页）‎ B（x2，y2）（点 A 在第二象限），求 y2﹣y1 的值（用含 m 的式子表示）；‎ ‎（3）在（2）中，若 m= ，设点 A′是点 A 关于原点 O 的对称点，如图 2．‎ ‎①判断△AA′B 的形状，并说明理由；‎ ‎②平面内是否存在点 P，使得以点 A、B、A′、P 为顶点的四边形是菱形？若存在，‎ 求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由．‎ 第 6 页（共 22 页）‎ ‎2018 年湖南省岳阳市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 3 分，满分 24 分，在每道小题给出的四 个选项中，选出符合要求的一项）‎ ‎1．（3 分）2018 的倒数是（ ）‎ A．2018 B． C．﹣ D．﹣2018‎ ‎【解答】解：2018 的倒数是 ，‎ 故选：B．‎ ‎2．（3 分）下列运算结果正确的是（ ）‎ A．a3•a2=a5 B．（a3）2=a5 C．a3+a2=a5 D．a﹣2=﹣a2‎ ‎【解答】解：A、a3•a2=a5，正确，故本选项符合题意；‎ B、（a3）2=a6，故本选项不符合题意；‎ C、不是同类项不能合并，故本选项不符合题意；‎ D、a﹣2= ，故本选项不符合题意，‎ 故选：A．‎ ‎3．（3 分）函数 y= 中自变量 x 的取值范围是（ ）‎ A．x＞3 B．x≠3C．x≥3D．x≥0‎ ‎【解答】解：函数 y= 中 x﹣3≥0，‎ 所以 x≥3，‎ 故选：C．‎ ‎4．（3 分）抛物线 y=3（x﹣2）2+5 的顶点坐标是（ ）‎ A．（﹣2，5） B．（﹣2，﹣5） C．（2，5） D．（2，﹣5）‎ ‎【解答】解：抛物线 y=3（x﹣2）2+5 的顶点坐标为（2，5），‎ 第 7 页（共 22 页）‎ 故选：C．‎ ‎5．（3 分）已知不等式组 ，其解集在数轴上表示正确的是（ ）‎ A． B ．‎ C． D．‎ ‎【解答】解： ，‎ 解①得：x＜2，‎ 解②得：x≥﹣1，‎ 故不等式组的解集为：﹣1≤x＜2，‎ 故解集在数轴上表示为： ．‎ 故选：D．‎ ‎6．（3 分）在“美丽乡村”评选活动中，某乡镇 7 个村的得分如下：98，90，88，‎ ‎96，92，96，86，这组数据的中位数和众数分别是（ ）‎ A．90，96 B．92，96 C．92，98 D．91，92‎ ‎【解答】解：将数据从小到大排列：86，88，90，92，96，96，98；可得中位数 为 92，众数为 96．‎ 故选：B．‎ ‎7．（3 分）下列命题是真命题的是（ ）‎ A．平行四边形的对角线相等 B．三角形的重心是三条边的垂直平分线的交点 C．五边形的内角和是 540°‎ D．圆内接四边形的对角相等 ‎【解答】解：平行四边形的对角线互相平分，A 是假命题；‎ 三角形的重心是三条边的中线的交点，B 是假命题；‎ 第 8 页（共 22 页）‎ 五边形的内角和=（5﹣2）×180°=540°，C 是真命题；‎ 圆内接四边形的对角互补，D 是假命题；‎ 故选：C．‎ ‎8．（3 分）在同一直角坐标系中，二次函数 y=x2 与反比例函数 y= （x＞0）的图 象如图所示，若两个函数图象上有三个不同的点 A（x1，m），B（x2，m），C（x3，‎ m），其中 m 为常数，令 ω=x1+x2+x3，则 ω 的值为（ ）‎ A．1 B．m C．m2 D．‎ ‎【解答】解：设点 A、B 在二次函数 y=x2 图象上，点 C 在反比例函数 y= （x＞0）‎ 的图象上．因为 AB 两点纵坐标相同，则 A、B 关于 y 轴对称，则 x1+x2=0，因为 点 C（x3，m）在反比例函数图象上，则 x3=‎ ‎∴ω=x1+x2+x3=x3=‎ 故选：D．‎ 二、填空题（本大题共 8 小题，每小题 4 分，满分 32 分）‎ ‎9．（4 分）因式分解：x2﹣4= （x+2）（x﹣2） ．‎ ‎【解答】解：x2﹣4=（x+2）（x﹣2）．‎ 故答案为：（x+2）（x﹣2）．‎ ‎10．（4 分 ）2018 年岳阳市教育扶贫工作实施方案出台，全市计划争取“全面改薄”‎ 专项资金 120000000 元，用于改造农村义务教育薄弱学校 100 所，数据 120000000‎ 科学记数法表示为 1.2×108 ．‎ ‎【解答】解：120000000=1.2×108，‎ 第 9 页（共 22 页）‎ 故答案为：1.2×108．‎ ‎11．（4 分）关于 x 的一元二次方程 x2+2x+k=0 有两个不相等的实数根，则 k 的取 值范围是 k＜1 ．‎ ‎【解答】解：由已知得：△=4﹣4k＞0，‎ 解得：k＜1．‎ 故答案为：k＜1．‎ ‎12．（4 分）已知 a2+2a=1，则 3（a2+2a）+2 的值为 5 ．‎ ‎【解答】解：∵a2+2a=1，‎ ‎∴3（a2+2a）+2=3×1+2=5，‎ 故答案为 5．‎ ‎13．（4 分）在﹣2，1，4，﹣3，0 这 5 个数字中，任取一个数是负数的概率是 ‎．‎ ‎【解答】解：任取一个数是负数的概率是：P= ，‎ 故答案为： ．‎ ‎14．（4 分）如图，直线 a∥b，∠l=60°，∠2=40°，则∠3= 80° ．‎ ‎【解答】解：∵a∥b，‎ ‎∴∠4=∠l=60°，‎ ‎∴∠3=180°﹣∠4﹣∠2=80°，‎ 故答案为：80°．‎ 第 10 页（共 22 页）‎ ‎15．（4 分）《九章算术》是我国古代数学名著，书中有下列问题：“今有勾五步，‎ 股十二步，问勾中容方几何？”其意思为：“今有直角三角形，勾（短直角边）长 为 5 步，股（长直角边）长为 12 步，问该直角三角形能容纳的正方形边长最大 是多少步？”该问题的答案是 步．‎ ‎【解答】解：∵四边形 CDEF 是正方形，‎ ‎∴CD=ED，DE∥CF，‎ 设 ED=x，则 CD=x，AD=12﹣x，‎ ‎∵DE∥CF，‎ ‎∴∠ADE=∠C，∠AED=∠B，‎ ‎∴△ADE∽△ACB，‎ ‎∴ ，‎ ‎∴ ，‎ x= ，‎ ‎∴该直角三角形能容纳的正方形边长最大是 （步），‎ 故答案为： ．‎ 第 11 页（共 22 页）‎ ‎16．（4 分）如图，以 AB 为直径的⊙O 与 CE 相切于点 C，CE 交 AB 的延长线于点 E，直径 AB=18，∠A=30°，弦 CD⊥AB，垂足为点 F，连接 AC，OC，则下列结论 正确的是 ①③ ．（写出所有正确结论的序号）‎ ‎① = ；‎ ‎②扇形 OBC 的面积为 π；‎ ‎③△OCF∽△OEC；‎ ‎④若点 P 为线段 OA 上一动点，则 AP•OP 有最大值 20.25．‎ ‎【解答】解：∵弦 CD⊥AB，‎ ‎∴ = ，所以①正确；‎ ‎∴∠BOC=2∠A=60°，‎ ‎∴扇形 OBC 的面积= = π，所以②错误；‎ ‎∵⊙O 与 CE 相切于点 C，‎ ‎∴OC⊥CE，‎ ‎∴∠OCE=90，‎ ‎∵∠COF=∠EOC，∠OFC=∠OCE，‎ ‎∴△OCF∽△OEC；所以③正确；‎ AP•OP=（9﹣OP）•OP=﹣（OP﹣3）2+9，‎ 当 OP=3 时，AP•OP 的最大值为 9，所以④错误．‎ 第 12 页（共 22 页）‎ 故答案为①③．‎ 三、解答题（本大题共 8 小题，满分 64 分，解答应写出文字说明，证明过程或 演算步骤）‎ ‎17．（6 分）计算：（﹣1）2﹣2sin45°+（π﹣2018）0+|﹣ |‎ ‎【解答】解：原式=1﹣2× +1+‎ ‎=1﹣ +1+‎ ‎=2．‎ ‎18．（6 分）如图，在平行四边形 ABCD 中，AE=CF，求证：四边形 BFDE 是平行 四边形．‎ ‎【解答】证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形，‎ ‎∴AB∥CD，且 AB=CD，‎ 又∵AE=CF，‎ ‎∴BE=DF，‎ ‎∴BE∥DF 且 BE=DF，‎ ‎∴四边形 BFDE 是平行四边形．‎ ‎19．（8 分）如图，某反比例函数图象的一支经过点 A（2，3）和点 B（点 B 在点 A 的右侧），作 BC⊥y 轴，垂足为点 C，连结 AB，AC．‎ ‎（1）求该反比例函数的解析式；‎ ‎（2）若△ABC 的面积为 6，求直线 AB 的表达式．‎ 第 13 页（共 22 页）‎ ‎【解答】解：（1）由题意得，k=xy=2×3=6‎ ‎∴反比例函数的解析式为 y= ．‎ ‎（2）设 B 点坐标为（a，b），如图 ，‎ 作 AD⊥BC 于 D，则 D（2，b）‎ ‎∵反比例函数 y= 的图象经过点 B（a，b）‎ ‎∴b=‎ ‎∴AD=3﹣ ．‎ ‎∴S△ABC= BC•AD ‎= a（3﹣ ）=6‎ 解得 a=6‎ ‎∴b= =1‎ ‎∴B（6，1）．‎ 设 AB 的解析式为 y=kx+b，‎ 将 A（2，3），B（6，1）代入函数解析式，得 ‎，‎ 第 14 页（共 22 页）‎ 解得 ，‎ 直线 AB 的解析式为 y=﹣ x+4．‎ ‎20．（8 分）为了树立文明乡风，推进社会主义新农村建设，某村决定组建村民 文体团队，现围绕“你最喜欢的文体活动项目（每人仅限一项）”，在全村范围内 随机抽取部分村民进行问卷调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计 图．请你根据统计图解答下列问题：‎ ‎（1）这次参与调查的村民人数为 120 人；‎ ‎（2）请将条形统计图补充完整；‎ ‎（3）求扇形统计图中“划龙舟”所在扇形的圆心角的度数；‎ ‎（4）若在“广场舞、腰鼓、花鼓戏、划龙舟”这四个项目中任选两项组队参加端 午节庆典活动，请用列表或画树状图的方法，求恰好选中“花鼓戏、划龙舟”这两 个项目的概率．‎ ‎【解答】解：（1）这次参与调查的村民人数为：24÷20%=120（人）；‎ 故答案为：120；‎ ‎（2）喜欢广场舞的人数为：120﹣24﹣15﹣30﹣9=42（人），‎ 如图所示：‎ 第 15 页（共 22 页）‎ ‎；‎ ‎（3）扇形统计图中“划龙舟”所在扇形的圆心角的度数为： ×360°=90°；‎ ‎（4）如图所示：‎ ‎，‎ 一共有 12 种可能，恰好选中“花鼓戏、划龙舟”这两个项目的有 2 种可能，‎ 故恰好选中“花鼓戏、划龙舟”这两个项目的概率为： ．‎ ‎21．（8 分）为落实党中央“长江大保护”新发展理念，我市持续推进长江岸线保护，‎ 还洞庭湖和长江水清岸绿的自然生态原貌．某工程队负责对一面积为 33000 平方 米的非法砂石码头进行拆除，回填土方和复绿施工，为了缩短工期，该工程队增 加了人力和设备，实际工作效率比原计划每天提高了 20%，结果提前 11 天完成 任务，求实际平均每天施工多少平方米？‎ ‎【解答】解：设原计划平均每天施工 x 平方米，则实际平均每天施工 1.2x 平方 米，‎ 根据题意得： ﹣ =11，‎ 解得：x=500，‎ 经检验，x=500 是原方程的解，‎ ‎∴1.2x=600．‎ 第 16 页（共 22 页）‎ 答：实际平均每天施工 600 平方米．‎ ‎22．（8 分）图 1 是某小区入口实景图，图 2 是该入口抽象成的平面示意图．已 知入口 BC 宽 3.9 米，门卫室外墙 AB 上的 O 点处装有一盏路灯，点 O 与地面 BC 的距离为 3.3 米，灯臂 OM 长为 1.2 米（灯罩长度忽略不计），∠AOM=60°．‎ ‎（1）求点 M 到地面的距离；‎ ‎（2）某搬家公司一辆总宽 2.55 米，总高 3.5 米的货车从该入口进入时，货车需 与护栏 CD 保持 0.65 米的安全距离，此时，货车能否安全通过？若能，请通过计 算说明；若不能，请说明理由．（参考数据： ≈1.73，结果精确到 0.01 米）‎ ‎【解答】解：（1）如图，过 M 作 MN⊥AB 于 N，交 BA 的延长线于 N，‎ Rt△OMN 中，∠NOM=60°，OM=1.2，‎ ‎∴∠M=30°，‎ ‎∴ON= OM=0.6，‎ ‎∴NB=ON+OB=3.3+0.6=3.9；‎ 即点 M 到地面的距离是 3.9 米；‎ ‎（2）取 CE=0.65，EH=2.55，‎ ‎∴HB=3.9﹣2.55﹣0.65=0.7，‎ 过 H 作 GH⊥BC，交 OM 于 G，过 O 作 OP⊥GH 于 P，‎ ‎∵∠GOP=30°，‎ ‎∴tan30°= = ，‎ ‎∴GP= OP= ≈0.404，‎ ‎∴GH=3.3+0.404=3.704≈3.70＞3.5，‎ 第 17 页（共 22 页）‎ ‎∴货车能安全通过．‎ ‎23．（10 分）已知在 Rt△ABC 中，∠BAC=90°，CD 为∠ACB 的平分线，将∠ACB 沿 CD 所在的直线对折，使点 B 落在点 B′处，连结 AB'，BB'，延长 CD 交 BB'于点 E，设∠ABC=2α（0°＜α＜45°）．‎ ‎（1）如图 1，若 AB=AC，求证：CD=2BE；‎ ‎（2）如图 2，若 AB≠AC，试求 CD 与 BE 的数量关系（用含 α 的式子表示）；‎ ‎（3）如图 3，将（2）中的线段 BC 绕点 C 逆时针旋转角（α+45°），得到线段 FC，‎ 连结 EF 交 BC 于点 O，设△COE 的面积为 S1，△COF 的面积为 S2，求 （用含 α 的式子表示）．‎ ‎【解答】解：（1）如图 1 中，‎ 第 18 页（共 22 页）‎ ‎∵B、B′关于 EC 对称，‎ ‎∴BB′⊥EC，BE=EB′，‎ ‎∴∠DEB=∠DAC=90°，‎ ‎∵∠EDB=∠ADC，‎ ‎∴∠DBE=∠ACD，‎ ‎∵AB=AC，∠BAB′=∠DAC=90°，‎ ‎∴△BAB′≌CAD，‎ ‎∴CD=BB′=2BE．‎ ‎（2）如图 2 中，结论：CD=2•BE•tan2α．‎ 理由：由（1）可知：∠ABB′=∠ACD，∠BAB′=∠CAD=90°，‎ ‎∴△BAB′∽△CAD，‎ ‎∴ = = ，‎ ‎∴ = ，‎ ‎∴CD=2•BE•tan2α．‎ ‎（3）如图 3 中，‎ 第 19 页（共 22 页）‎ 在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°﹣2α，‎ ‎∵EC 平分∠ACB，‎ ‎∴∠ECB= （90°﹣2α）=45°﹣α，‎ ‎∵∠BCF=45°+α，‎ ‎∴∠ECF=45°﹣α+45°+α=90°，‎ ‎∴∠BEC+∠ECF=180°，‎ ‎∴BB′∥CF，‎ ‎∴ = = =sin（45°﹣α），‎ ‎∵ = ，‎ ‎∴ =sin（45°﹣α）．‎ ‎24．（10 分）已知抛物线 F：y=x2+bx+c 的图象经过坐标原点 O，且与 x 轴另一交 点为（﹣ ，0）．‎ ‎（1）求抛物线 F 的解析式；‎ ‎（2）如图 1，直线 l：y= x+m（m＞0）与抛物线 F 相交于点 A（x1，y1）和点 B（x2，y2）（点 A 在第二象限），求 y2﹣y1 的值（用含 m 的式子表示）；‎ ‎（3）在（2）中，若 m= ，设点 A′是点 A 关于原点 O 的对称点，如图 2．‎ ‎①判断△AA′B 的形状，并说明理由；‎ ‎②平面内是否存在点 P，使得以点 A、B、A′、P 为顶点的四边形是菱形？若存在，‎ 求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由．‎ 第 20 页（共 22 页）‎ ‎【解答】解：（1）∵抛物线 y=x2+bx+c 的图象经过点（0，0）和（﹣ ，0），‎ ‎∴ ，解得： ，‎ ‎∴抛物线 F 的解析式为 y=x2+ x．‎ ‎（2）将 y= x+m 代入 y=x2+ x，得：x2=m，‎ 解得：x1=﹣ ，x2= ，‎ ‎∴y1=﹣ +m，y2= +m，‎ ‎∴y2﹣y1=（ +m）﹣（﹣ +m）= （m＞0）．‎ ‎（3）∵m= ，‎ ‎∴点 A 的坐标为（﹣ ， ），点 B 的坐标为（ ，2）．‎ ‎∵点 A′是点 A 关于原点 O 的对称点，‎ ‎∴点 A′的坐标为（ ，﹣）．‎ ‎①△AA′B 为等边三角形，理由如下：‎ ‎∵A（﹣ ，），B（ ，2），A′（ ，﹣），‎ ‎∴AA′= ，AB= ，A′B= ，‎ ‎∴AA′=AB=A′B，‎ ‎∴△AA′B 为等边三角形．‎ ‎②∵△AA′B 为等边三角形，‎ ‎∴存在符合题意得点 P，且以点 A、B、A′、P 为顶点的菱形分三种情况，设点 P 的坐标为（x，y）．‎ ‎（i）当 A′B 为对角线时，有 ，‎ 解得： ，‎ ‎∴点 P 的坐标为（2 ，）；‎ 第 21 页（共 22 页）‎ ‎（ii）当 AB 为对角线时，有 ，‎ 解得： ，‎ ‎∴点 P 的坐标为（﹣ ，）；‎ ‎（iii）当 AA′为对角线时，有 ，‎ 解得： ，‎ ‎∴点 P 的坐标为（﹣ ，﹣2）．‎ 综上所述：平面内存在点 P，使得以点 A、B、A′、P 为顶点的四边形是菱形，点 P 的坐标为（2 ， ）、（ ﹣ ， ）和（﹣ ，﹣2）．‎ 第 22 页（共 22 页）‎