2013年浙江丽水中考数学试卷及答案(解析版)

2013年浙江丽水中考数学试卷及答案(解析版)

2013 年浙江丽水市中考试题 数 学 （满分 150 分，考试时间 120 分钟） 一、选择题（每小题 3 分，满分 30 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请将正确选项 的代号填写在答题卷相应的空格内） 1．（2013 浙江丽水，1，3 分）在数 0，2， 3 ， 1.2 中，属于负整数的是（ ） A．0 B．2 C． 3 D． 1.2 【答案】C 2．（2013 浙江丽水，2，3 分）化简 2 3a a  的结果是（ ） A． a B． a C．5a D． 5a 【答案】B 3．（2013 浙江丽水，3，3 分）用 3 块相同的立方块搭成几何体如图所示，则它的主视图是（ ） 【答案】A 4．（2013 浙江丽水，4，3 分）若关于 x 的不等式组的解表示在数轴上如图所示，则这个不等式组的解是 （ ） A． 2x  B． 1x  C．1 2x  D．1 2x  【答案】D 5．（2013 浙江丽水，5，3 分）如图， AB ∥CD ， AD 和 BC 相交于点O ， 20A   ， 100COD   ， 则 C 的度数（ ） A．80° B．70° C．60° D．50° 【答案】C 6．（2013 浙江丽水，6，3 分）王老师对本班 40 名学生的血型作了统计，列出如下的统计表，则本班 A 型 血的人数是（ ） 组别 A 型 B 型 AB 型 O 型 频率 0.4 0.35 0.1 0.15 A．16 人 B．14 人 C．4 人 D．6 人 【答案】A 7．（2013 浙江丽水，7，3 分）一元二次方程 2( 6) 16x   可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一 次方程是 6 4x   ，则另一个一元一次方程是（ ） A． 6 4x    B． 6 4x   C． 6 4x   D． 6 4x    【答案】D 8．（2013 浙江丽水，8，3 分）一条水管的截面如图所示，已知排水管的半径 10OB  ，水面宽 16AB  ， 则截面圆心O 到水面的距离OC 是（ ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】C 9．（2013 浙江丽水，9，3 分）若二次函数 2y ax 的图象过点 ( 2,4)P  ，则该图象必经过点（ ） A． (2,4) B． ( 2, 4)  C． ( 2,4) D． (4, 2) 【答案】A 10．（2013 浙江丽水，10，3 分）如图 1，在 RT ABC ， 90ACB   ，点 P 以每秒1cm 的速度从点 A 出发，沿折线 AC—CB 运动，到点 B 停止，过点 P 作 PD⊥AB，垂足为 D，PD 的长 ( )y cm 与点 P 的 运动时间 x （秒）的函数图象如图 2 所示.当点 P 运动 5 秒时，PD 的长是（ ） A．1.5 cm B．1.2 cm C．1.8 cm D．2 cm 【答案】B 二、填空题（本题有 6 小题，每小题 4 分，共 24 分） 11．（2012 浙江丽水，11，4 分）分解因式： 2 2x x  _______________ 【答案】 ( 2)x x  12．（2012 浙江丽水，12，4 分）分式方程 1 2 0x   的解是___________________ 【答案】 1 2x  13．（2012 浙江丽水，13，4 分）合作小组的 4 位同学坐在课桌旁讨论问题，学生 A 的座位如图所示，学 生 B，C，D 随机坐到其他三个座位上，则学生 B 坐在 2 号座位的概率是__________ 【答案】 1 3 14．（2012 浙江丽水，14，4 分）如图在 RT ABC 中， A RT   ， ABC 的平分线 BD 交 AC 于点 D， AD=3，BC=10，则 BDC 的面积是__________ 【答案】15 15．（2012 浙江丽水，15，4 分）如图，四边形 ABCD 与 AEFG 都是菱形，其中点 C 在 AF 上，点 E，G 分别在 BC，CD 上，若 135BAD   ， 75EAG   ，则 AB AE  ___________ 【答案】 1 3 2  16．（2012 浙江丽水，16，4 分）如图，点 P 是反比例函数 ( 0)ky kx   ；图象上的点，PA 垂直 x 轴于点 ( 1,0)A  ，点 C 的坐标为 (1,0) ，PC 交 y 轴于点 B，连结 AB，已知 5AB  （1） k 的值是_________； （2）若 ( , )M a b 是该反比例函数图象上的点，且满足 MBA ABC   ，则 a 的取值范围是________ 【答案】（1） 4 （2） 0 2a  或 11 33 11 33 2 2a     三、解答题（本题有 8 小题，共 66 分，各小题都必须写出解答过程） 17．（2013 浙江丽水，17，6 分）计算： 018 2 ( )2     【答案】原式 2 2 2 1 2 1     18．（2013 浙江丽水，18，6 分）先化简，再求值： 2( 2) (1 )(1 )a a a    ，其中 3 4a   【答案】解：原式 2 24 4 1 4 5a a a a       当 3 4a   时 原式 34 ( ) 5 24      19．（2013 浙江丽水，19，6 分）一个长方体木箱沿斜面下滑，当木箱滑至如图位置时， 3AB  m ．已知 木箱高 3BE  m ，斜面坡角为 30°，求木箱端点 E 距地面 AC 的高度 EF． 【答案】解：连结 AE，在 RT∆ABE 中，已知 3AB  ， 3BE  ， ∴ 2 2 2 3AE AB BE   又 3tan 3 BEEAB AB    ，∴ 30EAB   在 RT∆AEF 中， 60EAF EAB BAC       ， ∴ 3sin 2 3 sin 60 2 3 32EF AE EAF        答：木箱端点 E 距地面 AC 的高度是 3 m ． 20．（2013 浙江丽水，20，8 分）如图，科技小组准备用材料围建一个面积为 60 2m 的矩形科技园 ABCD， 其中一边 AB 靠墙，墙长为 12 m ．设 AD 的长为 x m ，DC 的长为 y m ． （1）求 y 与 x 之间的函数关系式； （2）若围成的矩形科技园 ABCD 的三边材料总长不超过 26 m ，材料 AD 和 DC 的长都是整米数，求出满 足条件的所有围建方案． 【答案】 （1） 如图，AD 的长为 x ，DC 的长为 y ， 由题意，得 60xy  ，即 60y x  ． ∴所求的函数关系式为 60y x  ． （2） 由 60y x  ，且 ,x y 都是正整数， x 可取 1，2，3，4，5，6，，10，12，15，20，30，60 但∵ 2 26x y  ， 0 12y  ∴符合条件的有： 5x  时， 12y  ； 6x  时， 10y  ； 10x  时， 6y  答：满足条件的围建方案： 5 , 12AD m DC m  或 6 , 10AD m DC m  或 10 , 6AD m DC m  ． 21．（2013 浙江丽水，21，8 分）如图，在△ABC 中，AB=AC，∠BAC=54°，以 AB 为直径的⊙O 分别 交 AC，BC 于点 D，E，过点 B 作⊙O 的切线，交 AC 的延长线于点 F． （1） 求证：BE=CE； （2）求 CBF 的度数； （3）若 AB=6，求 AD 的长． 【答案】解：（1）连结 AE，∵AB 是⊙O 的直径， ∴ 90AEB  ，即 AE BC ， 又∵AB=AC， ∴BE=CE． （2）∵∠BAC=54°，AB=AC， ∴∠ABC=63°， 又∵BF 是⊙O 的切线，∴ 90ABF   ． ∴ 27CBF ABF ABC       （3）连结 OD，∵OA=OD，∠BAC=54°， ∴ 72AOD   ． 又∵AB=6， ∴OA=3 ． ∴  72 3 6 180 5AD    ． 22．（2013 浙江丽水，22，10 分）本学期开学初，学校体育组对九年级某班 50 名学生进行了跳绳项目的 测试，根据测试成绩制作了下面两个统计图． 根据统计图解答下列问题： （1）本次测试的学生中，得 4 分的学生有多少人？ （2）本次测试的平均分是多少分？ （3）通过一段时间的训练，体育组对该班学生的跳绳项目进行第二次测试，测得成绩的最低分为 3 分， 且得 4 分和 5 分的人数共 45 人，平均分比第一次提高了 0.8 分，问第二次测试中得 4 分、5 分的学生 各有多少人？ 【答案】 （1）得 4 分的学生有 50 50% 25  人 （2）平均分 2 10 3 50 10% 4 25 5 10 3.750          （分） （3）设第二次测试中得 4 分的学生有 x 人，得 5 分的学生有 y 人， 由题意，得 45 3 5 4 5 (3.7 0.8) 50 x y x y          解得： 15 30 x y    答：第二次测试中得 4 分的学生有 15 人，得 5 分的学生有 30 人． 23．（2013 浙江丽水，23，10 分）如图，已知抛物线 21 2y x bx  与直线 2y x 交于点 (0,0)O ， ( ,12)A a ．点 B 是抛物线上O ， A 之间的一个动点，过点 B 分别作 x 轴、 y 轴的平行线与直线OA 交于点C ， E ． （1）求抛物线的函数解析式； （2）若点C 为OA 的中点，求 BC 的长； （3）以 BC ， BE 为边构造矩形 BCDE ，设点 D 的坐标为 ( , )m n ，求出 m ， n 之间的关系式． 【答案】解：（1）∵点 ( ,12)A a 在直线 2y x 上，∴12 2a ，即 6a  ． ∴点 A 的坐标为 (6,12) ． 又∵点 A 是抛物线 21 2y x bx  上的一点， 把 (6,12)A 代入 21 2y x bx  ，得 1b   ． ∴抛物线的函数解析式为 21 2y x x  ． （2）∵点 C 为 OA 的中点，∴点 C 的坐标为 (3,6) ． 把 6y  代入 21 2y x x  ，解得： 1 1 13x   ， 2 1 13x   （舍去）， ∴ 1 13 3 13 2BC      （3）∵点 D 的坐标为 ( , )m n ， ∴点 E 的坐标为 1( , )2 n n ，点 C 的坐标为 ( ,2 )m m ． ∴点 B 的坐标为 1( ,2 )2 n m ，把 1( ,2 )2 n m 代入 21 2y x x  ， 可得 21 1 16 4m n n  ．∴ m ， n 之间的关系式是 21 1 16 4m n n  ． 24．（2013 浙江丽水，24，12 分）如图 1，点 A 是 x 轴正半轴上的动点，点 B 坐标为 (0,4) ，M 是线段 AB 的中点．将点 M 绕点 A 顺时针方向旋转 90°得到点 C，过点 C 作 x 轴的垂线，垂足为 F，过点 B 作 y 轴 的垂线与直线 CF 相交于点 E，点 D 是点 A 关于直线 CF 的对称点，连结 AC，BC，CD，设点 A 的横坐标 为t ． （1）当 2t  时，求 CF 的长； （2）①当t 为何值时，点 C 落在线段 BD 上； ②设∆BCE 的面积为 S，求 S 与t 之间的函数关系式； （3）如图 2，当点 C 与点 E 重合时，将∆CDF 沿 x 轴左右平移得到 C D F   ，再将 A，B，C ， D 为顶 点的四边形沿C F 剪开，得到两个图形，用这两个拼成不重叠且无缝隙的图形恰好是三角形．请直接写出 所有符合上述条件的点 C 的坐标． 【答案】 解：（1）当 2t  时，OA=2， ∵点 B (0,4) ，∴OB=4． 又∵ 90BAC  ，AB=2AC，可证 RT∆ABO∽RT∆CAF． ∴ 1 4 2 2 AF CF  ，即 1CF  ． （2）①当OA t 时，∵RT∆ABO∽RT∆CAF， ∴ 1 2CF t ，AF=2， ∴FD=2， 4OD t  ． ∵点 C 落在线段 BD 上，∴RT∆CFD∽RT∆BOD， ∴ 1 2 2 4 4 t t  ，整理得 2 4 16 0t t   ， 解得： 1 2 5 2t   ， 2 2 5 2t    （舍去）． ∴当 2 5 2t   时，点 C 落在线段 BD 上． 图 1 图 2 ②当点 C 与点 E 重合时，CF=4，可得 8t OA  ． 当 0 8t  时， 21 1 1 1 3( 2)(4 ) 42 2 2 4 2S BE CE t t t t        ； 当 8t  时， 21 1 1 1 3( 2)( 4) 42 2 2 4 2S BE CE t t t t       ． （3）点 C 的坐标为： (12,4) ， (8,4) ， (2,4) ． 理由如下： ①如图 1，当 F C AF   时，点 F的坐标为 (12,0) ， 根据 C D F   ≌ FAH  ， CB H 为拼成的三角形，此时 C 的坐标为 (12,4) ； ②如图 2，当点 F与点 A 重合时，点 F的坐标为 (8,0) ， 根据 CO A ≌ BAC ， CO D  为拼成的三角形，此时 C的坐标为 (8,4) ； ③如图 3，当 BC F D   时，点 F的坐标为 (2,0) ， 根据 CB H ≌ D F H  ， CAF  为拼成的三角形，此时 C 的坐标为 (2,4) ； 图 1 图 2 图 3