北师大 版九年级数学上册《1.1 菱形的性质与判定》

北师大 版九年级数学上册《1.1 菱形的性质与判定》

1.1菱形的性质与判定一．选择题1．如图，四边形ABCD是菱形，AC＝8，DB＝6，DH⊥AB于H，则DH等于（　　）A．B．C．5D．42．菱形具有而平行四边形不一定具有的性质是（　　）A．两组对边分别平行B．两组对角分别相等C．对角线互相平分D．对角线互相垂直3．如图，在周长为12的菱形ABCD中，AE＝1，AF＝2，若P为对角线BD上一动点，则EP+FP的最小值为（　　）A．1B．2C．3D．44．如图，在菱形ABCD中，M，N分别在AB，CD上，且AM＝CN，MN与AC交于点O，连接BO．若∠DAC＝28°，则∠OBC的度数为（　　）A．28°B．52°C．62°D．72°5．如图，菱形ABCD的周长为8cm，高AE长为cm，则对角线AC长和BD长之比为（　　） A．1：2B．1：3C．1：D．1：6．菱形OACB在平面直角坐标系中的位置如图所示，点C的坐标是（6，0），点A的纵坐标是1，则点B的坐标是（　　）A．（3，1）B．（3，﹣1）C．（1，﹣3）D．（1，3）7．如图，在菱形ABCD中，AB＝6，∠ABD＝30°，则菱形ABCD的面积是（　　）A．18B．18C．36D．368．如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，添加下列条件不能判定▱ABCD是菱形的只有（　　）A．AC⊥BDB．AB＝BCC．AC＝BDD．∠1＝∠29．如图，在菱形ABCD中，AB＝5，对角线AC＝6．若过点A作AE⊥BC，垂足为E，则AE的长为（　　） A．4B．C．D．5二．填空题10．如图，若菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（3，0），（﹣2，0），点D在y轴上，则点C的坐标是　　．11．已知菱形ABCD的面积为24cm2，若对角线AC＝6cm，则这个菱形的边长为　　cm．12．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC＝8，BD＝6，OE⊥AD于点E，交BC于点F，则EF的长为　　．13．如图，四边形ABCD是平行四边形，AC与BD相交于点O，添加一个条件：　　，可使它成为菱形．14．如图，菱形ABCD中，AB＝4，∠B＝60°，E，F分别是BC，DC上的点，∠EAF＝60°，连接EF，则△AEF的面积最小值是　　． 15．已知菱形的周长为40cm，两个相邻角度数比为1：2，则较短的对角线长为　　，面积为　　．16．如图，菱形ABCD的边长是2cm，E是AB的中点，且DE丄AB，则菱形ABCD的面积为　　cm2．17．如图，菱形ABCD的周长为8，两邻角的比为2：1，则对角线的长分别为　　．三．解答题18．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，BA＝BC，BD平分∠ABC．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）过点D作DE⊥BD，交BC的延长线于点E，若BC＝5，BD＝8，求四边形ABED的周长．19．如图，AD是△ABC的角平分线，过点D分别作AC和AB的平行线，交AB于E，交AC 于F，求证：四边形AEDF是菱形．20．如图，E，F是菱形ABCD对角线上的两点，且AE＝CF．（1）求证：四边形BEDF是菱形；（2）若∠DAB＝60°，AD＝6，AE＝DE，求菱形BEDF的周长．21．如图，BD是△ABC的角平分线，过点D作DE∥BC交AB于点E，DF∥AB交BC于点F．（1）求证：四边形BEDF为菱形；（2）如果∠A＝100°，∠C＝30°，求∠BDE的度数．22．已知，AD是△ABC的角平分线，DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F．求证：四边形AEDF是菱形． 23．如图，菱形ABCD中，点E、F分别是BC、CD边的中点．求证：AE＝AF． 参考答案一．选择题1．解：∵四边形ABCD是菱形，∴AO＝OC，BO＝OD，AC⊥BD，∵AC＝8，DB＝6，∴AO＝4，OB＝3，∠AOB＝90°，由勾股定理得：AB＝＝5，∵S菱形ABCD＝，∴，∴DH＝，故选：A．2．解：A、不正确，两组对边分别平行；B、不正确，两组对角分别相等，两者均有此性质正确，；C、不正确，对角线互相平分，两者均具有此性质；D、菱形的对角线互相垂直但平行四边形却无此性质．故选：D．3．解：作F点关于BD的对称点F′，连接EF′交BD于点P，则PF＝PF′．∴EP+FP＝EP+F′P． 由两点之间线段最短可知：当E、P、F′在一条直线上时，EP+FP的值最小，此时EP+FP＝EP+F′P＝EF′．∵四边形ABCD为菱形，周长为12，∴AB＝BC＝CD＝DA＝3，AB∥CD，∵AF＝2，AE＝1，∴DF＝DF′＝AE＝1，∴四边形AEF′D是平行四边形，∴EF′＝AD＝3．∴EP+FP的最小值为3．故选：C．4．解：∵四边形ABCD为菱形，∴AB∥CD，AB＝BC，∴∠MAO＝∠NCO，∠AMO＝∠CNO，在△AMO和△CNO中，∵，∴△AMO≌△CNO（ASA），∴AO＝CO，∵AB＝BC，∴BO⊥AC， ∴∠BOC＝90°，∵∠DAC＝28°，∴∠BCA＝∠DAC＝28°，∴∠OBC＝90°﹣28°＝62°．故选：C．5．解：如图，设AC，BD相交于点O，∵菱形ABCD的周长为8cm，∴AB＝BC＝2cm，∵高AE长为cm，∴BE＝＝1（cm），∴CE＝BE＝1cm，∴AC＝AB＝2cm，∵OA＝1cm，AC⊥BD，∴OB＝＝（cm），∴BD＝2OB＝2cm，∴AC：BD＝1：．故选：D．6．解：连接AB交OC于点D，∵四边形OACB是菱形， ∴AB⊥OC，AD＝BD＝1，OD＝CD＝3，∴点B的坐标是（3，﹣1）．故选：B．7．解：过点A作AE⊥BC于E，如图：，∵在菱形ABCD中，AB＝6，∠ABD＝30°，∴∠BAE＝30°，∵AE⊥BC，∴AE＝3，∴菱形ABCD的面积是＝18，故选：B．8．解：A、正确．对角线垂直的平行四边形的菱形．B、正确．邻边相等的平行四边形是菱形．C、错误．对角线相等的平行四边形是矩形，不一定是菱形．D、正确．可以证明平行四边形ABCD的邻边相等，即可判定是菱形．故选：C．9．解：连接BD，交AC于O点，∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC＝CD＝AD＝5，∴AC⊥BD，AO＝AC，BD＝2BO，∴∠AOB＝90°，∵AC＝6，∴AO＝3，∴B0＝＝4，∴DB＝8，∴菱形ABCD的面积是×AC•DB＝×6×8＝24，∴BC•AE＝24，AE＝，故选：C．二．填空题10．解：∵菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（3，0），（﹣2，0），点D在y轴上，∴AB＝5，∴AD＝5，∴由勾股定理知：OD＝＝＝4，∴点C的坐标是：（﹣5，4）．故答案为：（﹣5，4）． 11．解：菱形ABCD的面积＝AC•BD，∵菱形ABCD的面积是24cm2，其中一条对角线AC长6cm，∴另一条对角线BD的长＝8cm；边长是：＝5cm．故答案为：5．12．解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OB＝BD＝3，OC＝AC＝4，在Rt△BOC中，由勾股定理得，BC＝＝5，∵S△OBC＝×OB×OC＝×BC×OF，∴OF＝，∴EF＝．故答案为．13．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴当AB＝BC时，平行四边形ABCD是菱形，当AC⊥BD时，平行四边形ABCD是菱形．故答案为：AB＝BC或AC⊥BD等．14．解：当AE⊥BC时， ∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∠ACB＝60°，∴∠B＝∠ACF＝60°，∵AD∥BC，∴∠AEB＝∠EAD＝∠EAF+∠FAD＝60°+∠FAD，∠AFC＝∠D+∠FAD＝60°+∠FAD，∴∠AEB＝∠AFC，在△ABE和△ACF中，，∴△ABE≌△ACF（AAS），∴AE＝AF，∵∠EAF＝60°，∴△AEF是等边三角形，∵当AE⊥BC时，AB＝4，∴AE＝，∴△AEF的面积最小值＝，故答案为：．15．解：根据已知可得，菱形的边长AB＝BC＝CD＝AD＝10cm，∠ABC＝60°，∠BAD＝120°，∴△ABC为等边三角形，∴AC＝AB＝10cm，AO＝CO＝5cm， 在Rt△AOB中，根据勾股定理得：BO＝＝5，∴BD＝2BO＝10（cm），则S菱形ABCD＝×AC×BD＝×10×10＝50（cm2）；故答案为：10cm，50cm2．16．解：∵E是AB的中点，∴AE＝1cm，∵DE丄AB，∴DE＝＝cm．∴菱形的面积为：2×＝2cm2．故答案为：2．17．解：∵菱形的周长为8，∴菱形的边长是：8×＝2，∵两个邻角的比是1：2，∴较大的角是120°，较小的角是60°，∴这个菱形的对角线AC所对的角是60°，由菱形的性质得到，AC与菱形的两边构成的三角形是等边三角形，∴AC＝2，BD＝2××tan60°＝2． 故答案为：2和2．三．解答题18．（1）证明：∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠CBD，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，∴∠ADB＝∠ABD，∴AD＝AB，∵BA＝BC，∴AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∵BA＝BC，∴四边形ABCD是菱形；（2）解：∵DE⊥BD，∴∠BDE＝90°，∴∠DBC+∠E＝∠BDC+∠CDE＝90°，∵CB＝CD，∴∠DBC＝∠BDC，∴∠CDE＝∠E，∴CD＝CE＝BC，∴BE＝2BC＝10，∵BD＝8， ∴DE＝＝6，∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝AB＝BC＝5，∴四边形ABED的周长＝AD+AB+BE+DE＝26．19．证明：∵AD是△ABC的角平分线，∴∠EAD＝∠FAD，∵DE∥AC，DF∥AB，∴四边形AEDF是平行四边形，∠EAD＝∠ADF，∴∠FAD＝∠FDA∴AF＝DF，∴四边形AEDF是菱形．20．（1）证明：连接BD，交AC于O，如图所示：∵四边形ABCD是菱形，∴OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，∵AE＝CF，∴OE＝OF，∴四边形BEDF是平行四边形，∵EF⊥BD， ∴四边形BEDF是菱形；（2）解：∵∠DAB＝60°，∴∠DAE＝30°，∠ADB＝60°，∵AD＝6，∴OD＝AD＝3，∵AE＝DE，∴∠DAE＝∠ADE，∠ADE＝∠EDO＝30°，在Rt△DEO中，DE＝＝2，∴菱形BEDF的周长＝4DE＝8．21．（1）证明：∵DE∥BC，DF∥AB∴四边形DEBF是平行四边形∵DE∥BC∴∠EDB＝∠DBF∵BD平分∠ABC∴∠ABD＝∠DBF＝∠ABC∴∠ABD＝∠EDB∴DE＝BE且四边形BEDF为平行四边形∴四边形BEDF为菱形； （2）解：∵∠A＝100°，∠C＝30°，∴∠ABC＝180°﹣100°﹣30°＝50°，∵四边形BEDF为菱形，∴∠EDF＝∠ABC＝50°，∠BDE＝∠EDF＝25°．22．证明：∵DE∥AC，DF∥AB，∴四边形AEDF是平行四边形，∠EDA＝∠FAD，∵AD是△ABC的角平分线，∴∠EAD＝∠FAD，∴∠EAD＝∠EDA，∴EA＝ED，∴四边形AEDF为菱形．23．证明：在菱形ABCD中，AB＝BC＝CD＝AD，∠B＝∠D，…（3分）∵点E、F分别是BC、CD边的中点，∴BE＝BC，DF＝CD，∴BE＝DF，∴△ABE≌△ADF，…（7分）∴AE＝AF．…（9分）