（浙教版）九年级数学下册 同步备课系列专题1

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第1章锐角三角函数1.2锐角三角函数的计算（第2课时）一、单选题1．如图，在正方形纸片ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点，沿过点B的直线折叠，使点C落在EF上，落点为N，折痕交CD边于点M，BM与EF交于点P，再展开．则下列结论中：①CM＝DM；②∠ABN＝30°；③AB2＝3CM2；④△PMN是等边三角形．正确的有（　　）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【解析】∵△BMN是由△BMC翻折得到的，∴BN=BC，又点F为BC的中点，在Rt△BNF中，sin∠BNF=，∴∠BNF=30°，∠FBN=60°，∴∠ABN=90°-∠FBN=30°，故②正确；在Rt△BCM中，∠CBM=∠FBN=30°， ∴tan∠CBM=tan30°=，∴BC=CM，AB2=3CM2故③正确；∠NPM=∠BPF=90°-∠MBC=60°，∠NMP=90°-∠MBN=60°，∴△PMN是等边三角形，故④正确；由题给条件，证不出CM=DM，故①错误．故正确的有②③④，共3个．故选C．2．关于的方程有两个相等的实数根，则锐角的度数（）A．等于B．等于C．等于D．不影响方程的解【答案】C【分析】根据方程有两个相等的实数根，则，算出的值，然后根据特殊角的三角函数值得出角的度数．【详解】解：∵一元二次方程有两个相等的实数根，∴，解得，则．故选：C．【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式，特殊角的三角函数值，解题的关键是根据条件算出的值从而得到角的度数．3．如图，直线AB与反比例函数（k＞0）交于点A（m，4），B（-4，n），与x轴，y轴交于点C， D，连接OA，OB，若tan∠AOD+tan∠BOC=3，则k=（）A．24B．20C．16D．12【答案】A【分析】根据点在反比例函数上，将点代入反比例函数得4m=﹣4n，tan∠AOD+tan∠BOC=3可得，联立两式得解方程组即可求得m和n的值，再将点A代入解析式即可求得k值．【详解】解：∵点A（m，4），B（-4，n）在反比例函数（k＞0）上，∴4m=﹣4n①，又∵tan∠AOD+tan∠BOC=3，∴②，联立①②，解得：，∴点A（6，4），将点A代入，则k=24．【点睛】 此题考查待定系数法求反比例函数解析式，结合锐角三角函数及反比例函数图像上点的坐标特征列一元二次方程求出参数值，是解此题的关键．4．在平面直角坐标系中,边长为的正方形的两顶点分别在轴、轴的正半轴上,点在原点.现将正方形绕点顺时针旋转,与轴相交于点,如图,当时,点的坐标为（）A．B．C．D．【答案】C【分析】过点A作AE⊥x轴，作BF⊥AE，垂足分别是E，F，可证△AFB≌△AEO，所以AF=OE，BF=AE，根据OA=，根据含有30°的直角三角形性质可求OE，AE的长度，即可求B点坐标．【详解】过点A作AE⊥x轴，作BF⊥AE，垂足分别是E，F．如图∵∠AOD=60°，AE⊥OD∴∠OAE=30°∴OE=OA=，AE=OE= ∵∠OAE+∠AOE=90°，∠OAE+∠EAB=90°∴∠AOE=∠AFB，且∠AEO=∠AFB=90°，OA=OB∴△AOE≌△AFB（AAS）∴AF=OE=，BF=AE=∴EF=-∴B故选C．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、直角三角函数，解题的关键是掌握全等三角形的判定和性质、直角三角函数.5．下列运算正确的是()A．B．C．D．【答案】B【分析】根据有理数的混合运算法则、特殊角的三角函数值、整式的加减运算分别计算即可判断．【详解】A、，该选项错误；B、，该选项正确；C、，该选项错误； D、，该选项错误；故选：B．【点睛】本题考查了有理数的混合运算、整式的加减运算，熟记特殊角的三角函数值、熟练掌握运算法则是解题的关键．6．在△ABC中，，则下列说法错误的是（　　）A．∠A+∠B=90°B．C．D．【答案】B【分析】根据题意，先求出∠A，∠B，∠C的度数，从而判断的形状，再利用相关知识进行判断即可得解.【详解】由三角形的内角和可知，∵∴∴为等腰直角三角形∴，∴∴则选项A，C，D正确，故选：B.【点睛】 本题主要考查了三角形内角的计算以及三角形形状的确定，勾股定理等相关知识，熟练掌握勾股定理及三角形的内角和定理是解决本题的关键.7．的倒数为（　　）A．-2B．C．D．【答案】C【分析】写出的值，根据倒数的概念计算即可．【详解】解：，则的倒数，故选：C．【点睛】本题考查的是特殊角的三角函数值、倒数的概念，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．8．的值等于（）．A．B．1C．D．【答案】B【分析】根据cos60°=，即可求得答案．【详解】 解：=2×=1故选：1【点睛】本题考查了特殊角的三角函数的计算，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．二、填空题9．计算：2cos30°﹣﹣（）-2＝_____．【答案】﹣2﹣4【分析】根据特殊角的三角函数值、二次根式的性质、负整数指数幂计算．【详解】解：原式＝2×﹣3﹣4＝﹣3﹣4＝﹣2﹣4，故答案为：﹣2﹣4．10．如图所示的网格是正方形网格，则___________(填“＞”、“=”或“＜”)．【答案】< 【分析】根据tan∠AOB与tan∠COD的大小比较即可求解．【详解】解：根据题意可知tan∠AOB＝，tan∠COD＝，∴∠AOB＜∠COD，故答案为：＜．【点睛】本题考查了锐角三角函数的增减性，构建直角三角形求角的三角函数值进行判断，熟练掌握锐角三角函数的增减性是关键．11．如图所示，中，，OA=2，AB=1，把绕点O旋转150°后得到，则点的坐标为_______【答案】或(-2，0)【分析】需要分类讨论：在把绕点顺时针旋转和逆时针旋转后得到时点的坐标．【详解】解：中，，，，∴， ．如图1，当绕点顺时针旋转后得到△，过作轴交于点则，则可得：即有，因为在第三象限，则的坐标是；如图2，当绕点逆时针旋转后得到△，则，即在轴上，并有：， 因为在第二象限，则的坐标是；综上所述，点的坐标为或．故答案是：或．【点睛】本题考查了坐标与图形变化旋转．能进行分类讨论，是解题的关键．12．在中，，则的形状是__________．【答案】钝角三角形【分析】根据非负数的性质得到，，从而求出∠A与∠B的度数，即可判断△ABC的形状．【详解】∵∴，即，∴，∴∴是钝角三角形故答案为：钝角三角形 【点睛】本题考查了非负数的性质，三角形的分类与特殊角度的三角函数值，熟记特殊角度的三角函数值是解题的关键．13．如图为我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的图形，人们称它为“赵爽弦图”．图形是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形的面积是120，小正方形面积是20，则＝___________．【答案】【分析】根据正方形的面积公式可得大正方形的边长为2，小正方形的边长为2，再根据直角三角形的边角关系列式即可求解．【详解】解：∵大正方形的面积是120，小正方形面积是20，∴大正方形的边长为2，小正方形的边长为2，∴2cosθ﹣2sinθ＝2，∴cosθ﹣sinθ＝，∴（sinθ﹣cosθ）2＝，∴sin2θ﹣2sinθ•cosθ+cos2θ＝， ∴1﹣2sinθ•cosθ＝，∴sinθ•cosθ＝．∴，故答案为：．【点睛】本题主要考查了三角函数的综合应用，准确计算是解题的关键．14．计算：=_______________．【答案】【分析】直接利用绝对值的性质、二次根式的性质、特殊角的三角函数值以及负指数幂的性质分别化简得出答案．【详解】解：原式===.【点睛】本题考查了实数的混合运算，解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值，熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式等考点的运算．三、解答题 15．（1）计算：；（2）化简：．【答案】（1）-3；（2）1【分析】（1）先计算各个部分，然后再进行加减运算；（2）先利用平方差和完全平方公式化简减号右边的式子，再与减号左边的式子进行化简即可．【详解】（1）原式；（2）原式＝1．【点睛】本题考查实数的混合运算，分式的化简，特殊角的三角函数值．（1）掌握二次根式、负整数指数幂运算、绝对值、三角函数的知识点是解答本题的关键．（2）掌握分式化简的方法是解答本题的关键．16．计算：．【答案】【分析】 根据绝对值的性质，特殊角的三角函数值，零次幂，负整数指数幂进行运算即可．【详解】【点睛】本题考查了绝对值的性质，特殊角的三角函数值，零次幂，负整数指数幂，熟知以上运算是解题的关键．17．（1）计算：（2）解方程组：【答案】（1）5，（2）【分析】（1）根据负整指数幂、零指数幂、特殊角的三角函数值以及二次根式的性质计算即可；（2）利用代入消元法解方程组即可．【详解】解：（1）原式 （2）由②得，将③代入得：，解得：将代入，解得：故原方程组的解为：．【点睛】本题是一道关于计算的综合题目，涉及到的知识点有负整指数幂、零指数幂、特殊角的三角函数值、二次根式的性质以及解二元一次方程组，难度不大，但综合性较强，对学生的计算能力有一定的要求．18．（1）计算：（1）（2）化简并求值：，其中满足．【答案】（1）；（2）；．【分析】（1）先利用实数的运算方法，求出负指数幂，零次幂，特殊三角函数值，绝对值化简，再求和即可．（2）先对分式进行化简，再解一元二次方程，解得两个a的值，因为分母不能为零，所以，只能把a=-1代入求． 【详解】（1）解：原式．（2）原式====解得，因为分式分母不为，所以，把代入，原式．【点晴】（1）本题主要考查实数的运算，熟练掌握负指数幂，零指数，特殊三角函数值，绝对值化简是解题的关键．（2）本题主要是考查分式的化简与求值，本题一个易错点就是在把a代入求值时，没有考虑分式有意义的条件，导致两个答案．19．（1）．（2）．【答案】（1）；（2）．【分析】 （1）首先求出特殊角的三角函数值，然后根据实数加减混合运算法则计算即可；（2）首先求出特殊角的三角函数值，然后化简，然后根据实数加减混合运算法则计算即可．【详解】（1）==1-1+2=2；（2）===．【点睛】本题考查了特殊锐角三角函数值的混合运算，关键是记忆30º、45º和60º的三角函数值．20．如图1，已知矩形ABCD中，AB=6，BC=8，O是对角线AC的中点，点E从A点沿AB向点B运动，运动过程中连接OE，过O作OF⊥OE交BC于F，连接EF，(1)当点E与点A重合时，如图2，求的值；(2)运动过程中，的值是否与(1)中所求的值保持不变，并说明理由； (3)当EF平分∠OEB时，求AE的长．【答案】（1）；（2）不变；（3）【分析】（1）当点E与点A重合时，∠OEF=∠FCA，求出即可求解；（2）根据位似的性质即可求解；（3）根据角平分线的性质，得OF=FB，根据勾股定理求出AC，，设BF=FO=x，求出FC=，列方程，求出x，再解直角三角形BEF，求出BE，最后求出AE问题可解．【详解】解：（1）如图2，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，∴AC=，，当点E与A重合时，∵O是对角线AC的中点，OF⊥OE，∴AF=FC，∴∠OEF=∠FCA，∴；（2）运动过程中，的值是否与(1)中所求的值保持不变．理由：∵平移后点E和点F与其对应点和的连接经过同一点B， ∴△EOF与平移后的图形是位似图形，∴∠OEF的大小不变，∴运动过程中，的值也不变；（3）当EF平分∠OEB时，，，，设，，∵BF+FC=BC，∴，解得，，，在Rt△BFC中，，，． 【点睛】本题考察了矩形的性质，位似的性质，勾股定理，锐角三角函数，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，一元一次方程等知识，重点考察了学生应用数学能力．