人教版 九年级下册寒假同步课程（培优版）4比例与相似的性质

人教版 九年级下册寒假同步课程（培优版）4比例与相似的性质

比例线段与相似三角形性质内容基本要求略高要求较高要求相似了解比例的基本性质，了解线段的比、成比例线段，会判断四条线段是否成比例，会利用线段的比例关系求未知线段；了解黄金分割；知道相似多边形及其性质；认识现实生活中物体的相似；了解图形的位似关系会用比例的基本性质解决有关问题；会用相似多边形的性质解决简单的问题；能利用位似变换将一个图形放大或缩小相似三角形了解两个三角形相似的概念会利用相似三角形的性质与判定进行简单的推理和计算；会利用三角形的相似解决实际问题相似多边形知道相似多边形及其性质；认识现实生活中物体的相似会用相似多边形的性质解决简单问题模块一比例的性质☞比例线段1．这一性质称为比例的基本性质,由它可推出许多比例形式;2．(反比定理);3．(或)(更比定理);4．(合比定理);5．(分比定理);6．(合分比定理);7．(等比定理)．【例1】若，则下列各式不成立的是（）A．B．C．D．20 【巩固】若，则=．【巩固】若，，则=（　　）A．B．C．D．【例1】如果，则等于（　　）A．B．C．D．【巩固】如果，那么等于()A．B．C．D．【拓展】若，则等于（　　）A．B．C．D．【拓展】已知，且，则=（　　）A．B．C．D．【例2】若，则的值为（　　）A．B．C．或D．不存在【巩固】已知一张地图的比例尺是，若、两地的实际距离为，则画在地图上的距离是．20 【巩固】已知，则直线一定经过（　　）A．，B．，C．，D．，【拓展】若，则一次函数的图象必定经过的象限是（　　）A．第一、二象限B．第一、二、三象限C．第二、三、四象限D．第三、四象限【拓展】某校每位学生上、下学期各选择一个社团，下表为该校学生上、下学期各社团的人数比例．若该校上、下学期的学生人数不变，相较于上学期，下学期各社团的学生人数变化，下列叙述何者正确？（　　）舞蹈社溜冰社魔術社上学期下学期A．舞蹈社不变，溜冰社减少B．舞蹈社不变，溜冰社不变C．舞蹈社增加，溜冰社减少D．舞蹈社增加，溜冰社不变☞黄金分割点如图，若线段上一点把线段分成两条线段和（），且使是和的比例中项（即）则称线段被点黄金分割，点叫线段的黄金分割点．设，则，即有一元二次方程,根据公式法解得：，因为，所以有，即，20 ，与的比叫做黄金比．【例1】如图所示，在黄金分割矩形中，分出一个正方形，求．【巩固】为平行四边形的边延长线上的一点，且为的黄金分割点，即，交于．已知，求的长．模块二平行线分线段成比例定理平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例．如图，，则．若将称为上，称为下，称为全，上述比例式可以形象地表示为．当三条平行线退化成两条的情形时，就成了“”字型，“”字型．则有．20 【例1】如图，小明站在处看甲、乙两楼顶上的点和点三点在同一直线上，点分别在点的正下方，且三点在同一直线上，相距米，相距米，乙楼高米，则甲楼的高为（小明身高忽略不计）()A．米B．米C．米D．米【巩固】如图，在中，，，，．（1）求的值；（2）求的长．【例8】如图，在的边上任取两点和，过点作的平行线交于点，过点作的平行线交于点，求证：．【巩固】如图，中，，有一内接正方形，连接交于，，，求．20 【巩固】如图，，且，若，求的长．【例5】如图，在平行四边形中，，，是上的任一点，过点作，与平行四边形的两条边分别交于点、，设，，则能反映与之间关系的图象是（　　）20 A．B．C．D．【例1】如图，已知梯形中，，对角线、分别交中位线于点、，且，那么等于．【巩固】已知线段、，求作线段，使，正确的作法是（　　）A．B．C．D．【拓展】在中，底边上的两点、把三等分，是上的中线，、分别交于、两点，求证：．20 模块三相似三角形的性质☞对应角相似三角形对应角相等【例9】已知，是⊙O的直径，且是圆上一点，小聪透过平举的放大镜从正上方看到水平桌面上的三角形图案的（如图所示），那么下列关于与放大镜中的关系描述正确的是（　　）【巩固】如图，若,试找出图中所有的对应角、对应边，并用式子表示．☞对应边相似三角形对应边成比例【例10】三角形三边之比为，与它相似的三角形最长边是，另两边之各是（）20 A．15cmB．18cmC．21cmD．24cm【巩固】的三边长分别为、、，的两边长分别为和，若与相似，则的第三条边长．【拓展】已知的三边长分别为20、50、60，现要利用长度分别为30和60的细木条各一根，做一个三角形木架与相似，要求以其中一根为边，将另一根截成两段（允许有余料）作为另外两边，那么另外两边的长度（单位：）分别为多少？☞中线、高线、角平分线相似三角形的对应中线、高线、角平分线的比等于相似比【例1】如图与相似，是中边上的中线，是中边上的中线，试证明：（为相似比）．【巩固】已知与相似且对应中线的比为，则与的周长比为（）．20 【巩固】若两个相似三角形的相似比是，则这两个三角形对应中线的比是．【例1】如图与相似，是中边上的高线，是中边上的高线，求证：（为相似比）．【巩固】两个相似三角形的面积比与它们对应高之比之间的关系为．【巩固】如果两个相似三角形对应高的比为，那么这两个相似三角形的相似比为．【例2】如图与相似，是中的角平分线，是中的角平分线，则有（为相似比）．20 【巩固】两个相似三角形对应高之比为，那么它们对应中线之比为（　　）A．B．C．D．☞周长比、面积比相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方【例1】如图1，与相似，则有（为相似比）．应用比例的等比性质有．【例2】若，它们的面积比为，则的相似比为（　　）A．B．C．D．【例3】已知，它们的相似比是，的周长为，则的周长为（）．20 【巩固】若两个相似三角形的面积之比为，则它们的周长之比为（　　）A．B．C．D．【例1】已知，且，则的面积与的面积之比为（　　）A．B．C．D．【例2】在和中，，，．如果的周长是，面积是，那么的周长、面积依次是．【巩固】如图，已知分别是的边上的一点，，且，那么等于（）A．B．C．D．【拓展】如图，在中，．若、、的面积分别为、、，则的面积为．20 ☞三角形相似的综合【例1】一张等腰三角形纸片，底边长，底边上的高的长为．现沿底边依交从下往上裁剪宽度均为的矩形纸条，如图所示．已知剪得的纸条中有一张是正方形，则这张正方形纸条是（）A．第4张B．第5张C．第6张D．第7张【巩固】如图所示，路边有两根电线杆，其中，，用铁丝将两杆固定，求铁丝与铁丝的交点处距离地面的高度．【拓展】如图，在中，为边的中点，为边上的任意一点，交于点．（1）当时，求的值；20 （2）当时，求的值；（3）试猜想时的值，并证明你的猜想．模块四位似位似图形：两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相较于一点，对应边互相平行，像这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．位似变换的坐标：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或．位似的性质：（1）位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比．（2）位似图形的对应线段的比等于相似比．（3）位似图形的周长比等于相似比．（4）位似图形的面积比等于相似比的平方．【例1】如图，下列各组图形中是位似图形的为　　　()（1）（2）（3）（4）A．（1）（2）（3）（4）B．（2）（4）C．（1）（2）（4）D．（1）（2）（3）【巩固】如图，小“鱼”与大“鱼”是位似图形，已知小“鱼”上一个“顶点”的坐标为，那么大“鱼”上对应“顶点”的坐标为（）20 A．B．C．D．【巩固】如图，正五边形是由正五边形经过位似变换得到的，，则下列结论正确的理（）A．B．C．D．【巩固】判断满足下列关系的与是否是位似图形，如果是，请指出位似中心．（1）如图1所示，相交于点，且；（2）如图2所示，相交于点，且．20 【例1】七边形位似于七边形，它们的面积之比为,已知位似中心到点的距离为，那么到的距离为多少？【巩固】如图，与是位似图形，点、、、、共线，点为位似中心．（1）与平行吗?试说明理由；（2）若，，求的长．【拓展】如图，在平面直角形坐标系中，正方形都是由正方形经过位似变换得到的，点是位似中心．(1)你能找出正方形以为位似中心，相似比是的位似图形吗？(2)正方形是正方形的位似图形吗？如果是，求相似比；(3)由正方形得到它的位似图形正方形，求相似比；(4)我们把横坐标、纵坐标都为整数的点称为整点，观察图中每个正方形四条边上的整点个数．猜测：正方形以为位似中心，相似比为的位似图形的四条边上整点个数之和是多少？20 课堂检测1．已知：．求．2．如图所示，乐器上的一根弦，两个端点固定在乐器面板上，支撑点是靠近点的黄金分割点（即是与的比例中项），支撑点是靠近点的黄金分割点，则，．3．如图，在中，为边的中点，为边上的任意一点，交于点．（1）当时，求的值；20 （2）当时，求的值；（3）试猜想时的值，并证明你的猜想．总结复习1．通过本堂课你学会了．2．掌握的不太好的部分．3．老师点评：①．②．③．课后作业1．已知：，求证：是的比例中项．2．已知：，则．20 1．已知，求的值．2．如图，在中，是的中点，是上一点，且，连接并延长，交的延长线于，则_______．5．用一个倍的放大镜去观察一个三角形，下列说法中正确的是（　　）①三角形的每个角都扩大倍；②三角形的每条边都扩大倍；③三角形的面积扩大倍；④三角形的周长扩大倍．20 ．①②．①③．②④．②③20