新人教数学九年级下册：达标训练（28-2解直角三角形）

新人教数学九年级下册：达标训练（28-2解直角三角形）

达标训练基础•巩固1.如图28.2-21，电线杆AB的中点C处有一标志物，在地面D点处测得标志物的仰角为45°，若点D到电线杆底部点B的距离为a，则电线杆AB的长可表示为()图28.2-21A.aB.2aC.D.思路解析：直接用等腰直角三角形的性质.答案：B2.如图28.2-22，梯形护坡石坝的斜坡AB的坡度i=1∶3，坝高BC为2米，则斜坡AB的长是()图28.2-22A.米B.米C.米D.6米思路解析：坡度的定义，所以BC∶AC∶AB=1∶3∶.答案：B3.AE、CF是锐角△ABC的两条高，如果AE∶CF=3∶2，则sinA∶sinC等于()A.3∶2B.2∶3C.9∶4D.4∶9思路解析：画出图形，在Rt△AFC中，sinA=；在Rt△AEC中，sinC=.所以sinA∶sinC==CF∶AE=2∶3.答案：B4.如图28.2-23，等腰三角形ABC的顶角为120°，腰长为10，则底边上的高AD=________.图28.2-23思路解析：等腰三角形顶角平分线垂直平分底边，Rt△ADC中，AC=10，∠DAC=60°. 答案：55.如图28.2-24是一口直径AB为4米，深BC为2米的圆柱形养蛙池，小青蛙们晚上经常坐在池底中心O观赏月亮，则它们看见月亮的最大视角∠COD=_______度(不考虑青蛙的身高).图28.2-24思路解析：在Rt△OBC中，OB=OC，可以得到∠BOC=45°，所以∠COD=2∠BOC=90°.答案：90°6.如图28.2-25，小勇想估测家门前的一棵树的高度，他站在窗户C处，观察到树顶端A正好与C处在同一水平线上，小勇测得树底B的俯角为60°，并发现B点距墙脚D之间恰好铺设有六块边长为0.5米的正方形地砖，因此测算出B点到墙脚之间的距离为3米，请你帮助小勇算出树的高度AB约多少米？(结果保留1位小数)图28.2-25思路解析：在Rt△ABC中，∠A=90°,∠BCA=60°，AC=3米，用正切函数关系求出AB的长.解：如图，在Rt△ABC中，AC=BD=3米，tan∠BCA=，所以AB=AC×tan∠BCA=3×tan60°=3×≈5.2(米).答：树的高度AB约为5.2米.综合•应用7.如图28.2-26，天空中有一个静止的广告气球C，从地面A点测得C点的仰角为45°，从地面B点测得C点的仰角为60°.已知AB=20米，点C和直线AB在同一铅垂平面上，求气球离地面的高度(结果保留一位小数).图28.2-26思路解析：作出气球离地面的高度，构成了直角三角形，利用直角三角形求解.解：作CD⊥AB,垂足为D.设气球离地面的高度是x米.在Rt△ACD中，∠CAD=45°，所以AD=CD=x.在Rt△CBD中，∠CBD=60°，所以tan60°=，BD=. 因为AB=AD-BD，所以20=x-.解得x≈47.3(米).答：气球离地面的高度约是47.3米.8.初三(5)班综合实践小组去湖滨花园测量人工湖的长，如图28.2-27所示，A、D是人工湖边的两座雕塑，AB、BC是湖滨花园的小路，小东同学进行如下测量，B点在A点北偏东60°方向，C点在B点北偏东45°方向，C点在D点正东方向，且测得AB=20米，BC=40米，求AD的长.(结果精确到0.01米)图28.2-27思路解析：作高构造直角三角形并寻找线段之间的关系.解：过点B作BE⊥AD，BF⊥CD，垂足分别为E、F.由题意，知AD⊥CD.因为四边形BFDE为矩形，所以BF=ED.在Rt△ABE中，AE=AB×cos∠EAB，在Rt△BCF中，BF=BC×cos∠FBC，所以AD=AE+BF=20×cos60°+40×cos45°=20×+40×=10+，即AD≈10+20×1.414=38.28(米).9.如图28.2-28，城市规划期间，要拆除一电线杆AB，已知距电线杆水平距离14米的D处有一大坝，背水坡的坡度i=2∶1，坝高CF为2米，在坝顶C处测得杆顶A的仰角为30°，D、E之间是宽为2米的人行道.请问：在拆除电线杆AB时，为确保行人安全，是否需要将此人行道封上?请说明理由(在地面上，以点B为圆心，以AB长为半径的圆形区域为危险区域).图28.2-28思路解析：有没有必要将此人行道封上，就要看电线杆倒下时，能不能到达人行道上，若AB＞BE，则电线杆会倒到人行道上.只要计算出AB的长，利用30°仰角这个条件，可以在点Ｃ处作CH⊥AB，在Rt△AHC中解直角三角形.解：在拆除电线杆AB时，不需要将此人行道封上.理由如下：作CH⊥AB，垂足为H. 在Rt△CDF中，I=，所以DF=CF=×2=1(米).所以HC=BF=BD+DF=14+1=15(米).在Rt△AHC中，tan∠ACH=，所以AH=HC×tan∠ACH=15×tan30°=15×≈8.7(米).因此AB=AH+HB=AH+CF=8.7+2=10.7(米).因为BE=BD-DE=14-2=12(米)，10.7<12,所以电线杆不会倒到人行道上，不需要将此人行道封上.回顾•展望10.(2010湖北武汉模拟)如图28.2-29，某飞机于空中A处探测倒地面目标B，此时从飞机上看目标B的俯角α=30°，飞行高度AC=1200米，则飞机到目标B的距离AB为()图28.2-29A.1200米B.2400米C.米D.米思路解析：∠ABC=α，解直角三角形.答案：B11.(山东泰州模拟)一人乘雪橇沿坡比1∶的斜坡笔直滑下，滑下的距离s(米)与时间t(秒)间的关系为s=10t＋2t2，若滑到坡底的时间为4秒，则此人下降的高度为()图28.2-30A.72mB.36mC.36mD.m思路解析：根据公式，算出斜坡的坡长，构造斜边为s的直角三角形，用坡比的定义解答.答案：C12.(湖北荆州模拟)如图28.2-31，测量队为了测量某地区山顶P的海拔高度，选M点作为观测点，从M点测量山顶P的仰角为30°，在比例尺为1∶50000的该地区等高线地形图上，量得这两点的图上距离为6厘米，则山顶P的海拔高度为()图28.2-31 A.1732米B.1982米C.3000米D.3250米思路解析：等高线地图上，两点的图上距离是指两点的水平距离，山顶的海拔高度是指P点的竖直高度，画出视线、两点的水平距离、高度的示意图，它们可以构成直角三角形，通过解直角三角形求出.如图，在Rt△POM中，∠O=90°，∠M=30°，OM=6×500=3000(米)，因为tanM=，所以OP=OM×tan30°=3000×≈1732(米).答案：A13.(2010吉林长春模拟)某商场门前的台阶截面积如图28.2-32所示.已知每级台阶的席度(如CD)均为0.3m，高度(如BE)均为0.2m.现将此台阶改造成供轮椅行走的斜坡，并且设计斜坡的倾斜角∠A为9°，计算从斜坡的起点A到台阶前点B的距离(精确到0.1m)(参考数据：sin9°≈0.16，cos9°≈0.99，tan9°≈0.16).图28.2-32思路解析：根据图形，构造直角三角形.解：如图，过C作CF⊥AB交AB的延长线于F.由条件，得CF=0.8m，BF=0.9m.在Rt△CAF中，∵tanA=，∴AF≈=5(m).∴AB=AF-BF=5-0.9=4.1(m).答：从斜坡起点A到台阶前点B的距离约为4.1m.14.(2010四川广安模拟)如图28.2-33，海上有一灯塔P，在它周围3海里处有暗礁.一艘客轮以9海里/时的速度由西向东航行,行至A点处测得P在它的北偏东60°的方向,继续行驶20分钟后,到达B处又测得灯塔P在它的北偏东45°方向.问客轮不改变方向继续前进有无触礁的危险?图28.2-33思路解析：构造直角三角形，用方程求解点P到AB的距离，若这个距离大于3海里，表明客轮在暗礁范围外，客轮不会触礁.解：过P作PC⊥AB于C点，据题意知:AB=9×=3. ∵∠PCB=90°，∠PBC=90°-45°=45°,∴PC=BC.在Rt△PAC中，∠PAB=90°-60°=30°，∴tan30°=,即.∴.∴客轮不改变方向继续前进无触礁危险.15.(2010浙江诸暨模拟)如图28.2-34，由山脚下的一点A测得山顶D的仰角是45°，从A沿倾斜角为30°的山坡前进1500米到B，再次测得山顶D的仰角为60°，求山高CD.图28.2-34思路解析：题目中知道AB的长，需要把AB转化到直角三角形中，考虑∠DBE=60°，过点B分别向AC、DC作垂线，构成直角三角形.解：过点B作CD、AC的垂线，垂足分别为E、F.∵∠BAC=30°，AB=1500米,∴BF=EC=750米，AF=米.设FC=x米,∵∠DBE=60°,∴DE=米.又∵∠DAC=45°,∴AC=CD,即+x=750+米.得x=750.∴CD=(750+)米.答：山高CD为(750+)米.16.如图28.2-35所示，A、B为两个村庄，AB、BC、CD为公路，BD为田地，AD为河宽，且CD与AD互相垂直.现在要从E处开始铺设通往村庄A、村庄B的一条电缆，共有如下两种铺设方案： 图28.2-35方案一：E→D→A→B;方案二：E→C→B→A.经测量得AB=千米，BC=10千米，CE=6千米，∠BDC=45°，∠ABD=15°.已知：地下电缆的修建费为2万元/千米，水下电缆的修建费为4万元/千米.(1)求出河宽AD(结果保留根号)；(2)求出公路CD的长；(3)哪种方案铺设电缆的费用低？请说明你的理由.思路解析：这是一道几何应用题，解题时要善于把实际问题抽象成几何图形，并领会图形中的几何元素代表的意义，由题意可分析出，当A点距台风中心不超过160千米时，会受台风影响，若过A作AD⊥BC于D，设E，F分别表示A市受台风影响的最初、最后时台风中心的位置，则AE=AF=160千米；当台风中心位于D处时，A市受台风影响的风力最大.解：(1)如图，经过点A作AD⊥BC，垂足为D.在Rt△ABD中，AB=220，∠B=30°.所以AD=110(千米).由题意，当A点距台风中心不超过160千米时，将会受到台风的影响.故该城市会受到这次台风的影响.(2)由题意，当A点距台风中心不超过160千米时，将会受到台风的影响，由对称性可以知道AE=AF=160千米.当台风中心从E处移到F处时，该城市都会受到这次台风的影响.在Rt△ADE中，由勾股定理，得.所以EF=(千米).因为该台风中心以15千米／时的速度移动.所以这次台风影响该城市的持续时间为(小时).(3)当台风中心位于D处时，A市所受这次台风的风力最大，其最大风力为(级).17.台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力.如图28.2-36，据气象观测，距沿海某城市A的正南方向220千米B处有一台风中心，其中心最大风力为12级，每远离台风中心20千米，风力就会减弱一级，该台风中心现正以15千米/时的速度沿北偏东30°方向往C移动，且台风中心风力不变.若城市所受风力达到或超过四级，则称为受台风影响. 图28.2-36(1)该城市是否会受到这次台风的影响?请说明理由.(2)若会受到台风影响，那么台风影响该城市的持续时间有多长?(3)该城市受到台风影响的最大风力为几级?思路解析：本题的实质是解两个非直角三角形，一般是适当作高，运用特殊角解直角三角形.在△ABD中，过点B作AD边的高，得到一个等腰直角三角形(大三角形)和一个含30°的特殊直角三角形.同理，CD的长也可以在△BCD中作高计算得到.比较两个方案，就是计算两种方案的铺设费用大小，A→D需铺设水下电缆.解：(1)过点B作BF⊥AD，交DA的延长线于F(如图)，在Rt△ABF中，AB=,∠BAF=60°，所以BF=AB×sin60°==6(千米)，AF=AB×cos60°=(千米).在Rt△BDF中，DF=BF=6(千米)，所以BD=(千米).因此，河宽AD=DF-AF=6-(千米).(2)作BH⊥CD于点H.在Rt△BDH中，BH=HD=6千米，在Rt△CBH中，(千米).因此，公路CD=CH+HD=14(千米).(3)选择方案二铺设电缆的费用低.理由如下：方案一需要的费用：8×2+(6-)×4+×2=40(万元)； 方案二需要的费用：6×2＋10×2＋×2=22＋≈35.9(万元).