新人教版九年级数学上个单元测试卷(含答案)+九年级数学上册全册教案
新人教版九年级数学上单元测试卷(含答案)+九年级数学上册全册教案新人教版九年级数学上单元测试卷(含答案)第二十一章过关自测卷（100分，45分钟）一、选择题（每题3分，共21分）1.下列方程是关于x的一元二次方程的是（）A.ax2+bx+c=0B.=2C.x2+2x=y2－1D.3(x+1)2=2(x+1)2.若一元二次方程ax2+bx+c=0有一根为0，则下列结论正确的是（）A.a=0B.b=0C.c=0D.c≠03.一元二次方程x2－2x－1=0的根的情况为（）A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根C.只有一个实数根D.没有实数根4.方程x2+6x=5的左边配成完全平方式后所得方程为（）A.(x+3)2=14B.(x－3)2=14C.(x+6)2=12D.以上答案都不对5.已知x=2是关于x的方程x2－2a=0的一个根，则2a－1的值是（）A.3B.4C.5D.66.某县为发展教育事业，加强了对教育经费的投入，2012年投入3亿元，预计2014年投入5亿元．设教育经费的年平均增长率为x，根据题意，下面所列方程正确的是（）A．3（1+x)2=5B．3x2=5C.3(1+x％)2=5D.3(1+x)+3(1+x)2=57.使代数式x2－6x－3的值最小的x的取值是（）A.0B.－3C.3D.－9二、填空题（每题3分，共18分）8.已知x=1是一元二次方程x2+mx+n=0的一个根，则m2+2mn+n2的值为________．9.如果方程ax2+2x+1=0有两个不等实数根，则实数a的取值范围是____________.
10.已知α、β是一元二次方程x2－4x－3=0的两实数根，则代数式（α－3）（β－3）=________．11.在一幅长50cm，宽30cm的风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图1所示，如果要使整个挂图的面积是1800cm2,设金色纸边的宽为xcm，那么x满足的方程为________________.图112．已知x是一元二次方程x2+3x－1=0的实数根，那么代数式的值为________．13.三角形的每条边的长都是方程x2－6x+8=0的根，则三角形的周长是_______________.三、解答题（14、19题每题12分，15题8分，16题9分，其余每题10分，共61分）14.我们已经学习了一元二次方程的四种解法：因式分解法，开平方法，配方法和公式法．请从以下一元二次方程中任选一个，并选择你认为适当的方法解这个方程．①x2－3x+1=0;②(x－1)2=3；③x2－3x=0;④x2－2x=4．15.已知关于x的方程x2＋kx－2＝0的一个解与方程=3的解相同.（1）求k的值；
（2）求方程x2＋kx－2＝0的另一个解.16.关于x的一元二次方程x2－3x－k=0有两个不相等的实数根．（1）求k的取值范围；（2）请选择一个k的负整数值，并求出方程的根．17.〈绍兴〉某公司投资新建了一商场,共有商铺30间.据预测,当每间的年租金定为10万元时,可全部租出.每间的年租金每增加5000元,少租出商铺1间.该公司要为租出的商铺每间每年交各种费用1万元,未租出的商铺每间每年交各种费用5000元.（1）当每间商铺的年租金定为13万元时,能租出多少间？
（2）当每间商铺的年租金定为多少万元时,该公司的年收益（收益＝租金－各种费用）为275万元？18.中秋节前夕，旺客隆超市采购了一批土特产，根据以往销售经验，每天的售价与销售量之间有如下表的关系：每千克售价（元）38373635...20每天销售量（千克）50525456...86设当单价从38元/千克下调到x元/千克时，销售量为y千克.（1）根据上述表格中提供的数据，通过在直角坐标系中描点、连线等方法，猜测并求出y与x的函数解析式；（2）如果这种土特产的成本价是20元/千克，为使某一天的利润为780元，那么这一天的销售价应为多少元/千克？（利润=销售总金额－成本）19.如图2，A、B、C、D为矩形的四个顶点，AB=16cm，AD=6cm，动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，一直到达B为止，点Q以2cm/s的速度向点D移动.（1）P、Q两点从出发开始到几秒时四边形PBCQ的面积为33cm2？图2
（2）P、Q两点从出发开始到几秒时，点P和点Q的距离是10cm？第二十二章过关自测卷（100分,45分钟）一、选择题（每题4分，共32分）1.抛物线y=ax2+bx－3过点（2，4），则代数式8a+4b+1的值为（）A.－2B.2C.15D.－152.图1是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m，水面宽4m.如图2建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是（）图1图2A.y=－2x2B.y=2x2
C.y=－x2D.y=x23.〈恩施州〉把抛物线y=x2－1先向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到的抛物线的解析式为（）A.y=(x+1)2－3B.y=(x－1)2－3C.y=(x+1)2+1D.y=(x－1)2+14.〈常州〉二次函数y=ax2+bx+c（a、b、c为常数且a≠0）中的x与y的部分对应值如下表：x－3－2－1012345y1250－3－4－30512给出了结论：（1）二次函数y=ax2+bx+c有最小值，最小值为－3；（2）当－＜x＜2时，y＜0；（3）二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个交点，且它们分别在y轴两侧.则其中正确结论的个数是（）A.3B.2C.1D.05.〈舟山〉若一次函数y=ax+b（a≠0）的图象与x轴的交点坐标为（－2，0），则抛物线y=ax2+bx的对称轴为（）A.直线x=1B.直线x=－2C.直线x=－1D.直线x=－46.设一元二次方程（x－1）（x－2）=m（m＞0）的两实根分别为α，β，且α＜β，则α，β满足（）A.1＜α＜β＜2B.1＜α＜2＜βC.α＜1＜β＜2D.α＜1且β＞27.〈内江〉若抛物线y=x2－2x+c与y轴的交点为（0，－3），则下列说法不正确的是（）A.抛物线开口向上B.抛物线的对称轴是直线x=1C.当x=1时，y的最大值为－4D.抛物线与x轴的交点为（－1，0），（3，0）8.〈南宁〉已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图3所示，下列说法错误的是（）A.图象关于直线x=1对称B.函数y=ax2+bx+c（a≠0）的最小值是－4C.－1和3是方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根D.当x＜1时，y随x的增大而增大
图3二、填空题（每题4分，共32分）9.已知抛物线y=－x2+2，当1≤x≤5时，y的最大值是______.10.已知二次函数y=x2+bx－2的图象与x轴的一个交点为（1，0），则它与x轴的另一个交点坐标是__________.11.已知函数y=(k－3)x2+2x+1的图象与x轴有公共点，则k的取值范围是________.12.一小球被抛出后，距离地面的高度h（米）和飞行时间t（秒）满足下面函数关系式：h=－5(t－1)2+6，则小球距离地面的最大高度是________.13.二次函数y=ax2+bx的图象如图4，若一元二次方程ax2+bx+m=0有实数根，则m的最大值为__________.图4图514.如图5，已知函数y=－与y=ax2+bx（a>0，b>0）的图象交于点P，点P的纵坐标为1，则关于x的方程ax2+bx+=0的解为_______.15.将一条长为20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，则这两个正方形面积之和的最小值是__________cm2.16.如图6，把抛物线y=x2平移得到抛物线m，抛物线m经过点A(－6，0)和原点O(0，0)，它的顶点为P，它的对称轴与抛物线y=x2交于点Q，则图中阴影部分的面积为__________.
图6三、解答题（每题12分，共36分）17.〈牡丹江〉如图7，已知二次函数y=x2+bx+c的图象过点A（1，0），C（0，－3）.（1）求此二次函数的解析式；（2）在抛物线上存在一点P使△ABP的面积为10，请求出点P的坐标.图718.在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，已知抛物线y=x2－(k+2)x+k2+1.（1）k取什么值时，此抛物线与x轴有两个交点？（2）若此抛物线与x轴交于A(x1,0)、B(x2,0)两点(点A在点B左侧)，且x1+x2=3，求k的值.
19.〈广州〉已知抛物线y1=ax2+bx+c过点A(1,0)，顶点为B，且抛物线不经过第三象限.（1）使用a、c表示b;（2）判断点B所在象限，并说明理由；（3）若直线y2=2x+m经过点B，且与该抛物线交于另一点C,求当x≥1时y1的取值范围.
第二十三章过关自测卷（100分,45分钟）一、选择题（每题3分，共24分）1．已知下列命题：①关于一点对称的两个图形一定不全等；②关于一点对称的两个图形一定是全等图形；③两个全等的图形一定关于一点对称.其中真命题的个数是（）A．0B．1C．2D．32．〈江苏泰州〉下列标志图(图1)中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）图13．如图2，在正方形ABCD中，E为DC边上的点，连接BE，将△BCE绕点C顺时针方向旋转90°得到△DCF，连接EF，若∠BEC＝60°，则∠EFD的度数为（）图2A.10°B.15°C.20°D.25°4．如图3①，将正方形纸片两次对折，并剪出一个菱形小洞后铺平，得到的图形是图3②中的（）图35．如图4所示的图案中，绕自身的某一点旋转180°后还能与自身重合的图形的个数是（）
图4A.1B.2C.3D.46.已知a＜0，则点P（－a2，－a+1）关于原点的对称点P′在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限7.将正方体骰子（相对面上的点数分别为1和6、2和5、3和4）放置于水平桌面上，如图5①．在图5②中，将骰子向右翻滚90°，然后在桌面上按逆时针方向旋转90°，则完成一次变换．若骰子的初始位置为图5①所示的状态，那么按上述规则连续完成10次变换后，骰子朝上一面的点数是（）图5A．6B．5C．3D．28．如图6，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=2，将△ABC绕点C按顺时针方向旋转n度后，得到△EDC，此时，点D在AB边上，斜边DE交AC边于点F，则n的大小和图中阴影部分的面积分别为（）A.30，2B.60，2C.60，D.60，图6二、填空题（每题4分，共24分）9．如图7，E、F分别是正方形ABCD的边BC、CD上的点，BE=CF，连接AE、BF．将△ABE绕正方形的中心按逆时针方向旋转到△BCF，旋转角为α（0°＜α＜180°），则α=_______．图710.如图8，△ABC的顶点坐标分别为A（4，6）、B（5，2）、C（2，1），如果将△ABC绕点C按逆时针方向旋转90°，得到△A′B′C，那么点A的对应点A′的坐标是_______．
图811.如图9，△ABC的3个顶点都在5×5的网格（每个小正方形的边长均为1个单位长度）的格点上，将△ABC绕点B顺时针旋转到△A′BC′的位置，且点A′、C′仍落在格点上，则线段AB扫过的图形的面积是_______平方单位（结果保留π）．图9图1012.直线y=x+3上有一点P(3,n)，则点P关于原点的对称点P′为_______.13.如图10，△ABC是直角三角形，BC是斜边，将△ABP绕点A逆时针旋转后，能与△ACP′重合，若AP=3，则PP′的长是_______．14.如图11①，在△AOB中，∠AOB=90°，OA=3，OB=4．将△AOB沿x轴依次以点A、B、O为旋转中心顺时针旋转，分别得到图11②、图11③、…，则旋转得到的图11⑩的直角顶点的坐标为_______．图11三、解答题（17题10分，18题12分，19题14分，其余每题8分，共52分）15.如图12，在平面直角坐标系中，三角形②③是由三角形①依次旋转后所得的图形．图12
（1）在图中标出旋转中心P的位置，并写出它的坐标；（2）在图中画出再次旋转后的三角形④．16．如图13所示，（1）观察图①～④中阴影部分构成的图案，请写出这四个图案都具有的两个共同特征：图13（2）借助图⑤的网格，请设计一个新的图案，使该图案同时具有你在解答（1）中所给出的两个共同特征．（注意：①新图案与图①～④的图案不能重合；②只答第(2)问而没有答第（1）问的解答不得分）17.如图14，矩形ABCD和矩形AEFG关于点A中心对称，（1）四边形BDEG是菱形吗？请说明理由；图14（2）若矩形ABCD面积为2，求四边形BDEG的面积．
18.如图15，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，每个小方格的边长为1个单位长度．正方形ABCD顶点都在格点上，其中，点A的坐标为（1，1）．（1）若将正方形ABCD绕点A顺时针方向旋转90°，点B到达点B1，点C到达点C1，点D到达点D1，求点B1、C1、D1的坐标;图15（2）若线段AC1的长度与点D1的横坐标的差恰好是一元二次方程x2+ax+1=0的一个根，求a的值．19.〈潍坊〉如图16①所示，将一个边长为2的正方形ABCD和一个长为2、宽为1的长方形CEFD拼在一起，构成一个大的长方形ABEF．现将小长方形CEFD绕点C顺时针旋转至长方形CE′F′D′，旋转角为α．
图16（1）当点D′恰好落在EF边上时，求旋转角α的值；（2）如图16②，G为BC中点，且0°＜α＜90°，求证：GD′=E′D；（3）小长方形CEFD绕点C顺时针旋转一周的过程中，△DCD′与△CBD′能否全等？若能，直接写出旋转角α的值；若不能，说明理由．第二十四章过关自测卷（100分,45分钟）一、选择题（每题4分，共32分）1.〈重庆〉如图1，AB是⊙O的切线，B为切点，AO与⊙O交于点C，若∠BAO=40°，则∠OCB
的度数为（）A．40°B．50°C．65°D．75°图1图22.〈甘肃兰州〉如图2是一圆柱形输水管的横截面，阴影部分为有水部分，如果水面AB宽为8cm，水面最深地方的高度为2cm，则该输水管的半径为（）A．3cmB．4cmC．5cmD．6cm3.〈甘肃兰州〉圆锥底面圆的半径为3cm，其侧面展开图是半圆，则圆锥母线长为（）A．3cmB．6cmC．9cmD．12cm图3图44.如图3，边长为a的六角螺帽在桌面上滚动（没有滑动）一周，则它的中心O点所经过的路径长为（）A．6aB．5aC．2aπD．aπ5.〈山东泰安〉如图4，已知AB是⊙O的直径，AD切⊙O于点A，点C是的中点，则下列结论不成立的是（）A．OC//AEB．EC=BCC．∠DAE=∠ABED．AC⊥OE6.〈2013,晋江市质检〉如图5，动点M，N分别在直线AB与CD上，且AB//CD，∠BMN与∠MND的平分线相交于点P，若以MN为直径作⊙O，则点P与⊙O的位置关系是（）图5A．点P在⊙O外B．点P在⊙O内C．点P在⊙O上D．以上都有可能7.△ABC中，AB=AC，∠A为锐角，CD为AB边上的高，I为△ACD的内切圆圆心，则∠AIB的度数是（）A．120°B．125°C．135°D．150°8.〈贵州遵义〉如图6，将边长为1cm的等边三角形ABC沿直线l向右翻动（不滑动），点B
从开始到结束，所经过路径的长度为（）图6A．πcmB．cmC．πcmD．3cm二、填空题（每题4分，共24分）9.〈四川巴中〉如图7，已知⊙O是△ABD的外接圆，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD=58°，则∠BCD等于________.图7图810.〈重庆〉如图8，一个圆心角为90°的扇形，半径OA=2，那么图中阴影部分的面积为________（结果保留π）．11.〈贵州遵义〉如图9，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=1，E为BC边上的一点，以A为圆心，AE为半径的圆弧交AB于点D，交AC的延长于点F，若图中两个阴影部分的面积相等，则AF的长为________（结果保留根号）．图9图1012.如图10，△ABC为等边三角形，AB=6，动点O在△ABC的边上从点A出发沿着A→C→B→A的路线匀速运动一周，速度为每秒1个单位长度，以O为圆心、为半径的圆在运动过程中与△ABC的边第二次相切时是出发后第________秒．13.如图11,正六边形ABCDEF中,AB=2,P是ED的中点,连接AP,则AP的长为________.
图11图1214.如图12，AB为半圆O的直径，C为半圆的三等分点，过B，C两点的半圆O的切线交于点P，若AB的长是2a，则PA的长是________．三、解答题（15题9分，16题10分，17题11分，18题14分，共44分）15.如图13所示，△ABC中，∠ACB=90°，AC=2cm，BC=4cm，CM是AB边上的中线，以C为圆心，以cm长为半径画圆，则点A，B，M与⊙C的位置关系如何？图1316.如图14，已知CD是⊙O的直径，点A为CD延长线上一点，BC=AB，∠CAB=30°.（1）求证：AB是⊙O的切线；图14（2）若⊙O的半径为2，求的长．17.如图15，从一个直径为4的圆形铁片中剪下一个圆心角为90°的扇形ABC．（1）求这个扇形的面积；
图15（2）在剩下的材料中，能否从③中剪出一个圆作为底面，与扇形ABC围成一个圆锥？若不能，请说明理由；若能，请求出剪的圆的半径是多少．18.如图16，在平面直角坐标系中，以坐标原点O为圆心，2为半径画⊙O，P是⊙O上一动点，且P在第一象限内，过点P作⊙O的切线与x轴相交于点A，与y轴相交于点B．（1）点P在运动时，线段AB的长度也在发生变化，请写出线段AB长度的最小值，并说明理由；图16（2）在⊙O上是否存在一点Q，使得以Q，O，A，P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．
第二十五章过关自测卷（100分,45分钟）一、选择题（每题3分，共24分）1.〈大连〉一个不透明的袋子中有3个红球和2个黄球，这些球除颜色外完全相同．从袋子中随机摸出一个球，它是黄球的概率为（）A．B．C．D．2.〈牡丹江〉小明制作了十张卡片，上面分别标有1～10这十个数．从这十张卡片中随机抽取一张恰好能被4整除的概率是（）A．B．C．D．3.〈贵阳〉一个不透明的盒子里有n个除颜色外其他完全相同的小球，其中有6个黄球．每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在30%，那么可以推算出n大约是（）A．6B．10C．18D．204.一纸箱内有红、黄、蓝、绿四种颜色的纸牌，且图1所示为各颜色纸牌数量的统计图．若小华自箱内抽出一张牌，且每张牌被抽出的机会相等，则他抽出红色牌或黄色牌的机（概）率为（）A．B．C．D．
图15.小江玩投掷飞镖的游戏，他设计了一个如图2所示的靶子，点E、F分别是矩形ABCD的两边AD、BC上的点，EF∥AB，点M、N是EF上任意两点，则投掷一次，飞镖落在阴影部分的概率是（）A.B.C.D.图26.〈临沂〉如图3，在平面直角坐标系中，点A1，A2在x轴上，点B1，B2在y轴上，其坐标分别为A1（1，0），A2（2，0），B1（0，1），B2（0，2），分别以A1、A2、B1、B2其中的任意两点与点O为顶点作三角形，所作三角形是等腰三角形的概率是（）A.B.C.D.图3图47.在学习概率时，老师说：“掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率是”，小明做了下列三个模拟试验来验证．①取一枚新硬币，在桌面上进行抛掷，计算正面朝上的次数与总次数的比值；②把一个质地均匀的圆形转盘平均分成偶数份，并依次标上奇数和偶数，转动转盘，计算指针落在奇数区域的次数与总次数的比值；③将一个圆形纸板放在水平的桌面上，纸板正中间放一个圆锥（如图4），从圆锥的正上方往下撒米粒，计算其中一半纸板上的米粒数与纸板上总米粒数的比值．
上面的试验中，不科学的有（）A．0个B．1个C．2个D．3个8.小强、小亮、小文三位同学玩投硬币游戏．三人同时各投出一枚均匀硬币，若出现三个正面向上或三个反面向上，则小强赢；若出现两个正面向上一个反面向上，则小亮赢；若出现一个正面向上两个反面向上，则小文赢．下面说法正确的是（）A．小强赢的概率最小B．小文赢的概率最小C．小亮赢的概率最小D．三人赢的概率相等二、填空题（每题3分，共18分）9.〈长沙〉在一个不透明的盒子中装有n个小球，它们只有颜色上的区别，其中有2个红球，每次摸球前先将盒中的球摇匀，随机摸出一个球记下颜色后再放回盒中，通过大量重复试验后发现，摸到红球的频率稳定于0.2，那么可以推算出n大约是_______．10.一只昆虫在如图5所示的树枝上爬行，假定昆虫在每个岔路口都会随机地选择一条路径，则它停留在A叶面的概率是_______.图5图611.如图6，电路图上有编号为①②③④⑤⑥共6个开关和一个小灯泡，闭合开关①或同时闭合开关②③或同时闭合开关④⑤⑥都可使这个小灯泡发光，问任意闭合电路上其中的两个开关，小灯泡发光的概率为_______．12.王红和刘芳两人在玩转盘游戏，如图7，把转盘甲、乙分别分成3等份，并在每一份内标上数字，游戏规则是：转动两个转盘，停止后，指针所指的两个数字之和为7时，王红胜；数字之和为8时，刘芳胜．那么这二人中获胜可能性较大的是_______．图713.〈重庆〉在平面直角坐标系xOy中,直线y=－x+3与两坐标轴围成一个△AOB.现将背面完全相同,正面分别标有数1、2、3、、的5张卡片洗匀后，背面朝上，从中任取一张，将该卡片上的数作为点P的横坐标，将该数的倒数作为点P的纵坐标，则点P落在△AOB内的概率为_______.14.〈济宁〉甲、乙、丙三人站成一排合影留念，则甲、乙二人相邻的概率是_______.三、解答题（18题10分，19，20题每题12分，其余每题8分，共58分）15.已知口袋内装有黑球和白球共120个，请你设计一个方案估计一下口袋内有多少个黑球，多少个白球？
16.在一个口袋中有4个完全相同的小球，把它们分别标号为1、2、3、4，随机地摸出一个小球然后放回，再随机地摸出一个小球，求下列事件的概率：（1）两次摸出的小球的标号相同；（2）两次摸出的小球标号的和等于4．17.〈扬州〉端午节期间，扬州某商场为了吸引顾客，开展有奖促销活动，设立了一个可以自由转动的转盘，转盘被分成4个面积相等的扇形，四个扇形区域里分别标有“10元”、“20元”、“30元”、“40元”的字样（如图8）．规定：同一日内，顾客在本商场每消费满100元就可以转转盘一次，商场根据转盘指针指向区域所标金额返还相应数额的购物券，某顾客当天消费240元，转了两次转盘．（1）该顾客最少可得_______元购物券，最多可得______元购物券；（2）请用画树状图或列表的方法，求该顾客所获购物券金额不低于50元的概率．图818.〈包头〉甲、乙两人在玩转盘游戏时，把两个可以自由转动的转盘A、B分成4等份、3等份的扇形区域，并在每一小区域内标上数字（如图9所示），指针的位置固定．游戏规则：同时转动两个转盘，当转盘停止后，若指针所指两个区域的数字之和为3的倍数，则甲胜；若指针所指两个区域的数字之和为4的倍数，则乙胜．如果指针落在分割线上，则需要重新转动转盘．
（1）试用列表或画树状图的方法，求甲获胜的概率；图9（2）请问这个游戏规则对甲、乙双方公平吗？试说明理由．19.有三张正面分别写有数－2,－1，1的卡片，它们的背面完全相同，将这三张卡片背面朝上洗匀后随机抽取一张，以其正面的数作为x的值，放回卡片洗匀，再从三张卡片中随机抽取一张，以其正面的数作为y的值，两次结果记为（x，y）.（1）用画树状图法或列表法表示（x，y）所有可能出现的结果；（2）求使代数式有意义的（x，y）出现的概率；（3）化简代数式，并求使代数式的值为整数的（x，y）出现的概率.20.〈潍坊〉随着我国汽车产业的发展，城市道路拥堵问题日益严峻，某部门对15个城市的交通状况进行了调查，得到的数据如下表所示．
城市项目北京太原杭州沈阳广州深圳上海桂林南通海口南京温州威海兰州中山上班花费时间（分钟）523334344846472324243725242518上班堵车时间（分钟）1412121212111177665550（1）根据上班花费时间，将下面的频数分布直方图（如图10）补充完整；图10（2）求15个城市的平均上班堵车时间（计算结果保留一位小数）；（3）规定：城市的堵车率=×100%，比如，北京的堵车率=×100%≈36.8%；沈阳的堵车率=×100%≈54.5%，某人欲从北京，沈阳，上海，温州四个城市中任意选取两个作为出发目的地，求选取的两个城市的堵车率都超过30%的概率．
期末选优拔尖测试（120分,90分钟）一、选择题（每题3分，共24分）1.如图1所示的图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是()图12.下列成语所描述的事件是必然事件的是（）A．水中捞月B．拔苗助长C．守株待兔D．瓮中捉鳖3.如图2,AB是⊙O的直径，∠ACD=15°，则∠BAD的度数为（）A．75°B．72°C．70°D．65°图2图34.有一块长为30m，宽为20m的矩形菜地，准备修筑同样宽的三条直路（如图3），把菜地分成六块作为试验田，种植不同品种的蔬菜，并且种植蔬菜面积为矩形菜地面积的，设道路的宽度为xm，下列方程：①30x+20x×2=30×20×；②30x+20x×2－2x2=30×20×；③(30－2x)(20－x)=30×20×,其中正确的是（）A．①②B．①③C．②③D．①②③5.已知关于x的一元二次方程x2－2x=m有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（）A．m<1B．m<－2C．m=0D．m>－16.半径相等的圆内接正三角形、正方形、正六边形的边长之比为（）A．1∶∶B．∶∶1C．3∶2∶1D．1∶2∶3
图47.如图4，点A、B、C、D为圆O的四等分点，动点P从圆心O出发，沿O－C－D－O的路线作匀速运动.设运动时间为t秒，∠APB的度数为y度，则如图5所示图象中表示y与t之间函数关系最恰当的是（）图5图68.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图6所示,则下列5个代数式：ab,ac,a－b+c,b2－4ac,2a+b中,值大于0的个数为（）A．5B．4C．3D．2二、填空题（每题3分，共21分）9.(陕西)在平面直角坐标系中,将抛物线y=x2－x－6向上(下)或向左(右)平移m个单位,使平移后的抛物线恰好经过原点,则m的最小值为_______.10.已知点P(a,－3)关于原点的对称点为P1(－2,b),则a+b的值是_______.11.已知2－是一元二次方程x2－4x+c=0的一个根，则方程的另一个根是_______.12.如图7所示，某工厂的大门是抛物线形水泥建筑物，大门的地面宽度为8m，两侧距地面3m高处各有一壁灯，两壁灯间的水平距离为6m，则厂门的高度约为_______.（精确到0.1m）图713.一圆锥的侧面展开后是扇形,该扇形的圆心角为120°,半径为6cm,则此圆锥的表面积为_______cm2.14.已知⊙O1和⊙O2的半径分别是一元二次方程x2－5x+6=0的两根,且O1O2=1,则⊙O1和⊙O2的位置关系是_______.15.如图8,Rt△ABC的边BC位于直线l上,AC=,∠ACB=90°,∠A=30°;若Rt△ABC由现在的位置向右无滑动地翻转,当点A第3次落在直线l上时,点A所经过的路线的长为_______(结果用含π的式子表示).图8三、解答题（16～18题每题6分，19～22题每题8分，23题11分，24题14分，共75分）
16.已知抛物线经过两点A（1，0），B（0，－3），且对称轴是直线x=2，求此抛物线的解析式.17.解方程x2－4x+2=0.（用配方法）18.已知：△ABC的两边AB、AC的长是关于x的一元二次方程x2－(2k+1)x+k(k+1)=0的两个实数根,第三边BC的长为5.(1)k为何值时,△ABC是以BC为斜边的直角三角形?(2)k为何值时,△ABC是等腰三角形?并求△ABC的周长.19.现有形状、大小和颜色完全一样的三张卡片，上面分别标有数字“1”“2”“3”，第一次从这三张卡片中随机抽取一张，记下数字后放回；第二次再从这三张卡片中随机抽取一张并记下数字.请用列表或画树状图的方法表示出上述试验所有可能的结果，并求第二次抽取的数字大于第一次抽取的数字的概率.
20.已知正方形ABCD和正方形AEFG有一个公共点A，点G、E分别在线段AD、AB上.（1）如图9（1），连接DF、BF，若将正方形AEFG绕点A按顺时针方向旋转，判断命题：“在旋转的过程中线段DF与BF的长始终相等.”是否正确，若正确请说明理由，若不正确请举反例说明；图9（2）若将正方形AEFG绕点A按顺时针方向旋转，连接DG，在旋转的过程中，你能否找到一条线段的长与线段DG的长始终相等.并以图9（2）为例说明理由.21.如图10，AC是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，点B是⊙O上的一点，且∠BAC=30°，∠APB=60°.（1）求证：PB是⊙O的切线；图10（2）若⊙O的半径为2，求弦AB及PA，PB的长.
22.“五一”期间，小明和同学一起到游乐场游玩.如图11为某游乐场大型摩天轮的示意图，其半径是20m，它匀速旋转一周需要24分钟，最底部点B离地面1m.小明乘坐的车厢经过点B时开始计时.（1）计时4分钟后小明离地面的高度是多少？图11（2）在旋转一周的过程中，小明将有多长时间连续保持在离地面31m以上的空中？23.为了实现“畅通市区”的目标，市地铁一号线准备动工，市政府现对地铁一号线第15标段工程进行招标，施工距离全长为300米.经招标协定，该工程由甲、乙两公司承建，甲、乙两公司施工方案及报价分别为：（1）甲公司施工单价y1（万元/米）与施工长度x（米）之间的函数关系为y1=27.8－0.09x,(2)乙公司施工单价y2（万元/米）与施工长度x（米）之间的函数关系为y2=15.8－0.05x.(注:工程款=施工单价×施工长度)(1)如果不考虑其他因素,单独由甲公司施工,那么完成此项工程需工程款多少万元?(2)考虑到设备和技术等因素,甲公司必须邀请乙公司联合施工,共同完成该工程.因设备共享，两公司联合施工时市政府可节省工程款140万元（从工程款中扣除）.①如果设甲公司施工a米（0
0）(1)写出A、B、D三点的坐标；图12（2）当m为何值时，点Ｍ在直线ＥＤ上？判定此时直线ED与圆的位置关系；（3）当m变化时，用m表示△AED的面积S，并在直角坐标系中画出S关于m的函数图象示意图.第二十一章参考答案及点拨一、1.D2.C3.B4.A5.C6.A7.C二、8.19.a＜1且a≠010.－611.x2+40x－75=012.13.6或10或12三、14.解：①x1,2=；②x1,2=1±；③x1=0，x2=3；④x1,2=1±.点拨:①可选择公式法,②选择直接开平方法,③选择因式分解法,④选择配方法;任选一题即可.
15.解：（1）k=－1.(2)方程的另一个解为x=－1.16.解：（1）∵方程有两个不相等的实数根，∴(－3)2－4(－k)＞0．即4k>－9，解得，k>－．（2）若k是负整数，则k只能为－1或－2．如果k＝－1，原方程为x2－3x+1=0．解得x1=，x2=．点拨:(2)题答案不唯一.17.解：（1）∵30000÷5000＝6,∴能租出24间.（2）设每间商铺的年租金增加x万元,则(30－)×（10＋x）－(30－)×1－×0.5＝275，整理得2x2－11x＋5＝0，∴x＝5或x＝0.5，∴每间商铺的年租金定为10.5万元或15万元.18.解：在直角坐标系中描点、连线略.易知y与x满足一次函数关系.（1）设y与x之间的函数解析式是y=kx+b（k≠0）．根据题意，得20k+b=86,35k+b=56.解得k=－2,b=126.所以，所求的函数解析式是y=－2x+126．（2）设这一天的销售价为x元／千克．根据题意，得(x－20)(－2x+126)=780．整理后，得x2－83x+1650=0．解得x1=33，x2=50．答：这一天的销售价应为33元/千克或50元/千克．19.解：（1）如答图1，设P、Q两点从出发开始到x秒时四边形PBCQ的面积为33cm2,得AP=3xcm,CQ=2xcm,所以PB=16－3x(cm).因为(PB+CQ)×BC×=33，所以（16－3x+2x）×6×=33，解得x=5，所以P、Q两点从出发开始到5秒时四边形PBCQ的面积为33cm2.答图1（2）设P、Q两点从出发开始到y秒时，点P和点Q间的距离是10cm.如答图1,过点Q作QE⊥AB于E，得EB=QC=2ycm，EQ=BC=6cm，所以PE=PB－BE=PB－QC=16－3y－2y=16－5y(cm),在直角三角形PEQ中，PE2+EQ2=PQ2,得(16－5y)2+62=102，即25y2－160y+192=0，
解得y1=,y2=,经检验均符合题意.所以P、Q两点从出发开始到秒或秒时，点P和点Q间的距离是10cm.第二十二章参考答案及点拨一、1.C2.C3.B4.B点拨：本题考查了二次函数的最值，抛物线与x轴的交点，仔细分析表格数据，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键.5.C6.D点拨：令m=0，则函数y=（x－1）（x－2）的图象与x轴的交点分别为（1，0），（2，0），画出函数图象(如答图1)，利用数形结合即可求出α，β的取值范围.∵m＞0，∴α＜1，β＞2.故选D.答图17.C8.D二、9.点拨：∵拋物线y=－x2+2的二次项系数a=－＜0，∴该抛物线开口向下；又∵常数项c=2，∴该抛物线与y轴交于点（0，2）；而对称轴就是y轴，∴当1≤x≤5时，y=－x2+2中y随x的增大而减小，∴当1≤x≤5时，y最大值=－+2=.10.(－2，0)11.k≤4点拨：分为两种情况：①当k－3≠0时，(k－3)x2＋2x＋1=0，=b2－4ac=22－4(k－3)×1=－4k＋16≥0，k≤4；②当k－3=0时，y=2x＋1，与x轴有交点.故k≤4.12.6米13.3点拨：方法一：图象法，由ax2+bx+m=0得ax2+bx=－m，一元二次方程ax2+bx+m=0有实数根，得函数y=ax2+bx与函数y=－m的图象有交点，所以－m≥－3,m≤3;方法二：因为一元二次方程ax2+bx+m=0有实数根,所以b2－4am≥0,由y=ax2+bx的图象可得顶点纵坐标，=－3，b2=12a,所以12a－4am≥0,解得m≤3.14.x=－315.12.5点拨：设一段铁丝的长度为xcm，则另一段长度为（20－x)cm，S=x2+（20－x）（20－x
）=（x－10）2+12.5,∴当x=10时，S最小为12.5cm2.16.点拨：（1）平移后抛物线的表达式与原来的抛物线的表达式中的a相同，可以通过待定系数法求抛物线的表达式；（2）不规则图形的面积要通过割补、拼接转化为规则图形的面积，这是解本题的关键.三、17.解：（1）∵二次函数y=x2+bx+c的图象过点A（1，0），C（0，－3），∴解得∴二次函数的解析式为y=x2+2x－3；（2）∵当y=0时，x2+2x－3=0，解得：x1=－3，x2=1,∴A（1，0），B（－3，0），∴AB=4，设P（m，n），∵△ABP的面积为10，∴AB·|n|=10，解得：n=±5，当n=5时，m2+2m－3=5，解得：m=－4或2，∴P点坐标为（－4，5）或（2，5）；当n=－5时，m2+2m－3=－5，方程无解，故P点坐标为（－4，5）或（2，5）.18.解：（1）∵抛物线y=x2－(k+2)x+k2+1与x轴有两个交点，若令y=0,即x2－(k+2)x+k2+1=0,则有=－(k+2)2－4×1×(k2+1)>0,k2+4k+4－k2－4>0,4k>0,∴k>0，即k>0时，此抛物线与x轴有两个交点.（2）∵抛物线y=x2－(k+2)x+k2+1与x轴交于A(x1,0)、B（x2,0）两点,∴x1,2=，∵点A在点B左侧，即x10，∴x1=，x2=>0，∴.∵x1+=3，∴x1+x2=3，即+=3，即k=1.19.解：（1）把点A（1,0）的坐标代入函数解析式即可得到b=－a－c.（2）若a＜0，则抛物线开口向下，抛物线必过第三象限，所以a＜0不成立.当a>0时，抛物线开口向上，B在第四象限.理由如下：由题意，ax2+bx+c=0可变形为ax2－(a+c)x+c=0，解得x1=1,x2=,a≠c，所以抛物线与x轴有两个交点.又因为抛物线不经过第三象限,所以a>0，且顶点在第四象限;（3）由（2）知抛物线与x轴两个交点为A（1，0）与（，0）.∵直线y2=2x+m与该抛物线交于点B、点C(,b+8)，∴点C就是抛物线与x轴的一个交点，即b+8=0，b
=－8，此时－a－c=－8，y1=ax2－8x+c，抛物线顶点B的坐标为（，）.把B、C两点坐标代入直线解析式y2=2x+m，得ac+2c=24.又a+c=8，解得a=c=4（与a≠c矛盾，舍去）或a=2，c=6.∴y1=2x2－8x+6，B（2，－2）.画出上述二次函数的图象(如答图2)，观察图象知，当x≥1时，y1的最小值为顶点纵坐标－2，且无最大值.∴当x≥1时，y1的取值范围是y1≥－2.答图2点拨：二次函数的问题通常都是求解析式、求对称轴、求顶点坐标、求最值以及与其他知识的综合等，本题基本上综合了上述各种问题，解题的方法就是牢牢抓住二次函数的对称轴的求法，顶点坐标的求法，以及最值的求法.第二十三章参考答案及点拨一、1．B2.B3．B点拨：由旋转性质得△BCE≌△DCF，所以∠DFC=∠BEC=60°，CE=CF，又∠ECF=90°，所以∠EFC=45°，所以∠EFD=∠DFC－∠EFC=60°－45°=15°.4.C5.D点拨：四个图形都是中心对称图形，所以绕自身的某一点旋转180°后都与自身重合.6.D7.B点拨：先向右翻滚，然后再逆时针旋转叫做一次变换，那么连续3次变换是一个循环．本题先要找出3次变换是一个循环，然后再求10被3整除后余数是1，从而确定第10次变换的结果与第1次变换相同．8.C二、9.90°10.（－3，3）点拨：△A′B′C的位置如答图1．答图111.点拨：在Rt△ABC中，由勾股定理，得AB===，由图形可知，线段
AB扫过的图形为扇形ABA′，旋转角为90°，∴线段AB扫过的图形的面积为=．12.（－3，－6）点拨：把x=3代入y=x+3得y=6,所以P（3,6），P′（－3，－6）.13.3点拨:∵△ABP绕点A逆时针旋转后，能与△ACP′重合，∴AP′=AP，∠CAP′=∠BAP，∴∠PAP′=∠PAC+∠CAP′=∠PAC+∠BAP=∠BAC=90°，∴△PAP′为等腰直角三角形，PP′为斜边，∴PP′=AP=3.14.（36，0）点拨：在△AOB中，∠AOB=90°，OA=3，OB=4，则AB=5，每旋转3次为一循环，则图③④的直角顶点坐标为（12，0），图⑥⑦的直角顶点坐标为（24，0），所以，图⑨⑩的直角顶点坐标为（36，0）．三、15.解:（1）旋转中心点P位置如答图2所示，点P的坐标为(0，1)；（2）旋转后的三角形④如答图2所示．答图216．解：（1）①都是轴对称图形；②面积都等于四个小正方形的面积之和．（2）答案不唯一，只要设计的图案同时具有所给出的两个共同特征，均正确，例如：同时具备特征①②的部分图案如答图3所示：答图317.解：（1）四边形BDEG是菱形.理由：因为矩形ABCD和矩形AEFG关于点A中心对称，所以BE和DG互相平分，四边形BDEG是平行四边形；又因为∠DAB=90°，所以四边形BDEG是菱形.（2）因为矩形ABCD面积为2，所以△DAB的面积为1，所以菱形BDEG的面积为4.18.解：（1）如答图4，B1、C1、D1的坐标分别为：B1（2，－1），C1（4，0），D1（3，2）；（2）连接AC1，根据勾股定理，AC1==，∴线段AC1的长度与点D1的横坐标的差是－3，∴（－3)2+（10－3)a+1=0,整理得（－3)a=－20+6,解得a=－2.
答图419.(1)解：∵长方形CEFD绕点C顺时针旋转至长方形CE′F′D′，∴CD′=CD=2，在Rt△CED′中，CD′=2，CE=1，∴∠CD′E=30°，∵CD∥EF，∴α=30°；(2)证明：∵G为BC中点，∴CG=1，∴CG=CE，∵长方形CEFD绕点C顺时针旋转至长方形CE′F′D′，∴∠D′CE′=∠DCE=90°，CE=CE′.∴∠GCD′=∠DCE′=90°+α.在△GCD′和△E′CD中，∴△GCD′≌△E′CD，∴GD′=E′D；(3)解：能．旋转角α为135°或315°.第二十四章参考答案及点拨一、1.C点拨：∵AB是⊙O的切线，B为切点，∴OB⊥AB，即∠OBA=90°，∵∠BAO=40°，∴∠O=50°，∵OB=OC，∴∠OCB=（180°－∠O）=65°．故选C．2.C点拨：如答图1所示，过圆心O作OD⊥AB于点D，连接OA.答图1∵OD⊥AB，∴AD=AB=×8=4(cm).设OA=rcm，则OD=(r－2)cm，在Rt△AOD中，OA2=OD2+AD2，即r2=（r－2）2+42，解得r=5．
故选C．3.B点拨：解答本题运用了方程思想.由题意得圆锥的底面周长是6πcm，设母线长是lcm，则lπ=6π，解得：l=6．故选B．4.C点拨：分析可知，六角螺帽在桌面上滚动（没有滑动）一周，它的中心O点所经过的路径长为×6=2aπ．故选C．5.D点拨：A.∵点C是的中点，∴OC⊥BE，∵AB为圆O的直径，∴AE⊥BE，∴OC∥AE，本选项正确；B.∵=，∴EC=BC，本选项正确；C.∵AD为圆O的切线，∴AD⊥OA，∴∠DAE+∠EAB=90°，∵∠ABE+∠EAB=90°，∴∠DAE=∠ABE，本选项正确；D.AC不一定垂直于OE，本选项错误.故选D.6.C点拨：∵AB∥CD，∴∠BMN+∠MND=180°，∵∠BMN与∠MND的平分线相交于点P，∴∠PMN=∠BMN，∠PNM=∠MND，∴∠PMN+∠PNM=90°.∴∠MPN=180°－（∠PMN+∠PNM）=180°－90°=90°.∴以MN为直径作⊙O时，OP=MN=⊙O的半径，∴点P在⊙O上．故选C．7.C点拨：如答图2，连接IC．答图2∵CD为AB边上的高，∴∠ADC=90°，∴∠BAC+∠ACD=90°.∵I为△ACD的内切圆圆心，∴AI，CI分别是∠BAC和∠ACD的平分线，∴∠IAC+∠ICA=（∠BAC+∠ACD）=×90°=45°，∴∠AIC=135°.又∵AB=AC，∠BAI=∠CAI，AI=AI,∴△AIB≌△AIC，∴∠AIB=∠AIC=135°．故选C．8.C点拨：结合题图和已知条件，易知点B经过的路径长
=2×(cm)．故选C．二、9.32°点拨：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∵∠ABD=58°，∴∠A=90°－∠ABD=32°，∴∠BCD=∠A=32°．10.π－2点拨：S扇形OAB==π，S△AOB=×2×2=2，则S阴影=S扇形OAB－S△AOB=π－2．11.点拨：解答本题运用了方程思想.∵图中两个阴影部分的面积相等，∴S扇形ADF=S△ABC，即=·AC·BC，又∵AC=BC=1，∴AF2=，∴AF=．12.4点拨：如答图3所示,根据题意，作O′D⊥BC于D，则O′D=．在Rt△O′CD中，∠C=60°，O′D=，∴O′C=2，∴O′A=6－2=4.∴以O为圆心、为半径的圆在运动过程中与△ABC的边第二次相切时是出发后第4秒．答图3答图413.点拨：连接AE，如答图4,由题意易得AE=2,EP=1,∠AEP=90°.∴在Rt△AEP中，AP===.14.a点拨：连接OC,OP，如答图5所示.∵C为半圆的三等分点，
答图5∴∠BOC=120°,已知PC，PB都是半圆O的切线，由切线长定理可得：∠POB=∠BOC=60°.在Rt△POB中，OB=a，∠POB=60°，则PB=a；在Rt△ABP中，由勾股定理得：AP==a.三、15.解：∵CA=2cm＜cm，∴点A在⊙C内;∵BC=4cm＞cm，∴点B在⊙C外；在△ABC中，∠ACB=90°,∴由勾股定理，得AB==2（cm）.∵CM是AB边上的中线，∴CM=AB=cm，∴CM=⊙C的半径，∴点M在⊙C上．16.（1）证明：连接OB，如答图6所示：答图6∵BC=AB，∠CAB=30°，∴∠ACB=∠CAB=30°，又∵OC=OB，∴∠CBO=∠ACB=30°，∴∠AOB=∠CBO+∠ACB=60°.在△ABO中，∠CAB=30°，∠AOB=60°，可得∠ABO=90°，即AB⊥OB，∴AB是⊙O的切线.（2）解：∵OB=2，∠BOD=60°，∴的长度l=π．点拨：
此题考查了切线的判定，等腰三角形的性质，三角形的外角性质以及弧长公式的运用.切线的判定方法有两种：有切点连半径，证明垂直；无切点作垂线，证明垂线段等于半径．17.解：（1）如答图7所示，连接BC．由∠BAC=90°得BC为⊙O的直径，∴BC=4.在Rt△ABC中，由勾股定理可得：AB=AC=2，∴S扇形ABC==2π.答图7（2）不能．如答图7所示，连接AO并延长交于点D，交⊙O于点E，则DE=4－2．而l==π，设能与扇形ABC围成圆锥的底面圆的直径为d，则dπ=π，∴d=．又∵DE=4－2＜d=，即围成圆锥的底面圆的直径大于DE，∴不能围成圆锥．点拨：（1）由勾股定理求出扇形的半径，再根据扇形面积公式求值．（2）题需要求出③中最大圆的直径以及圆锥底面圆的直径（圆锥底面圆的周长即为弧BC的长）,然后进行比较即可．18.解：（1）线段AB长度的最小值为4.理由如下：连接OP，如答图8所示.
答图8∵AB切⊙O于P，∴OP⊥AB.取AB的中点C，则AB=2OC；当OC=OP时，OC最短，即AB最短，此时AB=4.（2）设存在符合条件的点Q.答图9如答图9,设四边形APOQ为平行四边形,∵∠APO=90°，∴四边形APOQ为矩形，又∵OP=OQ，∴四边形APOQ为正方形，∴OQ=QA，∠QOA=45°.在Rt△OQA中，根据OQ=2，∠AOQ=45°，得Q点坐标为（，－）；如答图10，设四边形APQO为平行四边形,答图10∵OQ∥PA，∠APO=90°，∴∠POQ=90°，又∵OP=OQ，∴∠PQO=45°，∵PQ∥OA，∴PQ⊥y轴.设PQ⊥y轴于点H，在Rt△OHQ中，根据OQ=2，∠HQO=45°，
得Q点坐标为（－，）．∴符合条件的点Q的坐标为（－，）或（，－）．方法规律：解答本题运用了分类讨论思想.（1）如答图8，设AB的中点为C，连接OP，由于AB是⊙O的切线，故△OPC是直角三角形，所以当OC与OP重合时，OC最短,即AB最短.（2）分两种情况：如答图9，当四边形APOQ是正方形时，△OPA，△OAQ都是等腰直角三角形，可求得点Q的坐标为（，－）;如答图10，可求得∠QOP=∠OPA=90°，由于OP=OQ，故△OPQ是等腰直角三角形，可求得点Q的坐标为（－，）．第二十五章参考答案及点拨一、1.B点拨：袋子中球的总数为2+3=5，∴取到黄球的概率为.故选B.2.C点拨：1~10中能被4整除的数有4、8，总共有10张卡片，2÷10=.所以从中随机抽取一张恰好能被4整除的概率是.故选C.3.D点拨：由题意可得，×100%=30%，解得n=20.故估计n大约是20.故选D.4.B方法规律：解答本题运用了数形结合思想，图中共有各色纸牌3+3+5+4=15（张），其中，红色纸牌3张，黄色纸牌3张，所以抽出红色纸牌或黄色纸牌的机率==,故选B.5.C方法规律：解答本题运用了数形结合思想及分割法，将图形分为四边形ABFE和四边形DCFE两部分，概率等于相应的面积与总面积之比.∵四边形ABFE内阴影部分的面积=×四边形ABFE的面积，四边形DCFE内阴影部分的面积=×四边形DCFE的面积，∴阴影部分的面积=×矩形ABCD的面积，∴飞镖落在阴影部分的概率是.故选C.6.D点拨：∵以A1、A2、B1、B2其中的任意两点与点O为顶点作三角形，共可以作4个三角形.所作三角形是等腰三角形只有：△OA1B1，△OA2B2，∴所作三角形是等腰三角形的概率是=.故选D.7.A点拨：①由于一枚质地均匀的硬币只有正反两面，因此正面朝上的概率是；②把一个质地均匀的圆形转盘平均分成偶数份，并依次标上奇数和偶数，则标奇数和偶数的部分各占一半，指针落在奇数区域的次数与总次数的比值为；
③由于圆锥是均匀的，因此落在圆形纸板上的米粒的个数也是均匀地分布的，与纸板面积成正比，可验证其中一半纸板上的米粒数与纸板上总米粒数的比值为.∴三个试验均科学，故选A.8.A点拨：设有A、B、C三枚硬币，共有以下8种情况：（用1表示正，0表示反）1，1，1；0，0，0；1，1，0；1，0，0；1，0，1；0，1，1；0，1，0；0，0，1.于是P（小强赢）==,P（小亮赢）=,P（小文赢）=，∴小强赢的概率最小.故选A.二、9.10点拨：由题意，得=0.2.解得n=10.故估计n大约是10.故答案为10.10.点拨：根据题意可得，昆虫共有6种等可能的选择结果.而停留在A叶面的只有1种结果，所以它停留在A叶面的概率是.11.点拨：本题应注意物理知识的应用，即不要搞错灯泡的发光情况.列表得：1234566（1，6）（2，6）（3，6）（4，6）（5，6）—5（1，5）（2，5）（3，5）(4，5)—（6，5）4（1，4）（2，4）（3，4）—（5，4）（6，4）3（1，3）（2，3）—（4，3）（5，3）（6，3）2（1，2）—（3，2）（4，2）（5，2）（6，2）1—（2，1）（3，1）（4，1）（5，1）（6，1）∴一共有30种情况，任意闭合电路上其中的两个开关，小灯泡发光的有12种情况，∴任意闭合电路上其中的两个开关，小灯泡发光的概率为=.12.王红方法规律：解答本题运用了比较法，即列举出所有情况，分别求得两人获胜的概率，比较即可.如答图1所示.答图1∴共9种情况，和为7的情况有3种，王红获胜的概率为=.和为8的情况有2种，刘芳获胜的概率为.∴王红获胜的可能性较大.故答案为王红.13.
14.点拨：画树状图如答图2所示.∵共有6种等可能的结果，甲、乙二人相邻的有4种情况，∴甲、乙二人相邻的概率是=.故答案为.答图2三、15.解：设口袋内有x个黑球，则有白球（120－x)个，从袋中任意摸出一球，记下其颜色，再把它放回去混合均匀，不断重复上述过程，若共摸了a次，其中黑球b个，则有=,解得x=,即口袋内有个黑球，有(120－)个白球.方法规律：本题通过设元，利用概率相等将已知与未知联系起来，构造方程求解.解答本题体现了方程思想.16.解：（1）树状图如答图3.答图3两次摸出的小球的标号相同的情况有4种，概率P==.（2）树状图如答图4.答图4共有16种等可能的结果，其中两次摸出的小球标号的和等于4的有3种，∴两次摸出的小球标号的和等于4的概率P=.17.解：（1）如答图5所示，画树状图得：
答图5则该顾客最少可得20元购物券，最多可得80元购物券.故答案为：20；80；（2）树状图如答图5所示，∵共有16种等可能的结果，该顾客所获购物券金额不低于50元的有10种情况，∴该顾客所获购物券金额不低于50元的概率为=.点拨：本题考查的是用列表法或画树状图法求概率.列表法或画树状图法可以不重复不遗漏地列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合于两步或两步以上完成的事件.注意概率等于所求情况数与总情况数之比.18.解：（1）列表如下：转盘A转盘B12343（1，3）（2，3）（3，3）（4，3）4（1，4）（2，4）（3，4）（4，4）5（1，5）（2，5）（3，5）（4，5）∵数字之和共有12种等可能的结果，其中和是3的倍数的结果有4种，∴P（甲）==.（2）∵和是4的倍数的结果有3种，∴P（乙）==.∵≠,即P（甲）≠P（乙），∴这个游戏规则对甲、乙双方不公平.方法规律：判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平.19.解：（1）用列表法表示（ｘ，y）所有可能出现的结果如下：第一次第二次－2－11－2（－2，－2）（－1，－2）（1，－2）－1（－2，－1）（－1，－1）（1，－1）1（－2，1）（－1，1）（1，1）（2）∵（ｘ，y）所有可能出现的结果共有9个，使代数式+有意义的（x,y
)有（－1,－2)，（1，－2），（－2，－1），（－2，1）4个结果.∴使代数式+有意义的（ｘ，y）出现的概率是.（3）+=+===.∵在使代数式+有意义的4个结果中，使代数式的值为整数的（ｘ，y）有（1，－2），（－2,1）2个结果，∴使代数式+的值为整数的（ｘ，y）出现的概率是.考点：列表法或画树状图法，概率,代数式有意义的条件，代数式的化简求值.点拨：（1）根据题意列出表格或画树状图，即可表示出（ｘ，y）所有可能出现的结果.（2）根据（1）中的表格或树状图找出使代数式+有意义的结果数，再除以所有结果数即可.（3）先化简，再在使代数式+有意义的4个结果中找出使代数式的值为整数的（ｘ，y）的结果数，再除以所有结果数即可.20.解：（1）上班花费时间在30分钟到40分钟之间的城市有4个，40分钟到50分钟之间的城市有3个，补充频数分布直方图，如答图6所示.答图6（2）平均上班堵车时间=（14+12×4+11×2+7×2+6×2+5×3+0）=≈8.3（分钟）.（3）上海的堵车率：×100%≈30.6%，温州的堵车率：×100%=25%，堵车率超过30%的城市有北京、上海、沈阳；从四个城市中选两个的所有情况有6种：（北京，沈阳），（北京，上海），（北京，温州），（沈阳，上海），（沈阳，温州），（上海，温州）.其中两个城市的堵车率均超过30%的情况有3种：（北京，沈阳），（北京，上海），（沈阳，上海）.∴
选取的两个城市的堵车率都超过30%的概率P=.方法规律：解答本题运用了数形结合思想，解题的关键是仔细地读图表，并从统计图表中得到进一步解题的有关信息.此类考题是中考的高频考点.（1）根据数据表分别得出上班花费时间在30分钟到40分钟之间和40分钟到50分钟之间的城市个数，进而补充直方图；（2）根据各城市堵车时间求出平均数即可；（3）根据表中数据分别求出各城市堵车率，进而利用概率公式求解即可.期末选优拔尖测试参考答案及点拨一、1.C2.D3.A4.C5.D6.B7.C8.C二、9.210.511.2+12.6.9m13.16π14.内切15.(4+)π三、16.解：设抛物线的解析式为y=a(x－2)2+k.把A(1,0),B(0,－3)的坐标代入,得解得∴y=－(x－2)2+1=－x2+4x－3.17.解：移项，得x2－4x=－2，配方，得x2－4x+4=－2+4，即（x－2）2=2，所以x－2=±，x1=2+，x2=2－.18.解：(1)∵x2－(2k+1)x+k(k+1)=0,∴(x－k)·［x－(k+1)］=0,∴x1=k,x2=k+1.由勾股定理，得k2+(k+1)2=52,解得k1=3,k2=－4(舍去).∴当k=3时,△ABC是以BC为斜边的直角三角形.(2)当△ABC是等腰三角形时,有三种情况:①AB=AC,而在一元二次方程中,由于b2－4ac=［－(2k+1)］2－4k(k+1)=1,即AB≠AC.因此此种情况不存在;②AB=BC或AC=BC.此时x=5是已知方程的一个根，所以52－5(2k+1)+k(k+1)=0,解得k1=4,k2=5.当k1=4时,方程的两个根为x1=k=4,x2=k+1=5,此时等腰三角形的三边长为4,5,5,可以构成三角形,∴此时等腰三角形的周长为4+5+5=14;当k=5时,方程的两个根为x1=k=5,x2=k+1=6,此时等腰三角形的三边长为5,5,6,可以构成三角形,∴此时等腰三角形的周长为6+5+5=16.19.解：画树状图如答图1：∵共有9种等可能的结果,第二次抽取的数字大于第一次抽取的数字的有3种情况,∴第二次抽取的数字大于第一次抽取的数字的概率为:=.
答图120.解：（1）不正确，当F在线段AB上时，设大正方形边长为a，小正方形边长为b,计算可得DF=>a,BF=｜AB－AF｜=｜a－｜BF,即此时DF≠BF;(2)BE=DG.理由：连接BE，在△ADG和△ABE中，∵AD=AB，∠DAG=∠BAE，AG=AE，∴△ADG≌△ABE（SAS），∴BE=DG.21.（1）证明：连接OB.∵OA=OB,∴∠OBA=∠BAC=30°.∴∠AOB=180°－30°－30°=120°.∵PA切⊙O于点A,∴OA⊥PA,∴∠OAP=90°.∵四边形的内角和为360°，∴∠OBP=360°－90°－60°－120°=90°.∴OB⊥PB.又∵点B是⊙O上的一点，∴PB是⊙O的切线.（2）解：连接OP.∵PA、PB是⊙O的切线，∴PA=PB，∠OPA=∠OPB=∠APB=30°.在Rt△OAP中，∠OAP=90°，∠OPA=30°，∴OP=2OA=2×2=4，∴PA===2.∵PA=PB,∠APB=60°,∴PA=PB=AB=2.22.解：(1)设4分钟后小明到达点C,过点C作CD⊥OB于点D,如答图2，DA即为小明离地面的高度,∵∠COD=×4=60°，∴OD=OC=×20=10（m），∴DA=20－10+1=11（m）.答:计时4分钟后小明离地面的高度是11m;答图2(2)当旋转到E处时,作弦EF⊥AO交AO的延长线于点H,连接OE,OF,此时EF离地面高度为HA.当HA=31m时,OH=31－1－20=10（m）,∴OH=OE,∴∠HOE=60°,∴∠FOE=120°.
∵摩天轮每分钟旋转的角度为:=15°,∴由点E旋转到F所用的时间为:=8(分钟).答:在旋转一周的过程中,小明将有8分钟的时间连续保持在离地面31m以上的空中.23.解：(1)由题意得:(27.8－0.09×300)×300=240(万元).答:甲公司单独完成此项工程需工程款240万元.(2)①(300－a)(0.05a+0.8)由题意,得P=(27.8－0.09a)a+(0.05a+0.8)(300－a)－140=27.8a－0.09a2－0.05a2+14.2a+100=－0.14a2+42a+100②当P=2900时,－0.14a2+42a+100=2900,整理,得:a2－300a+20000=0,解得:a1=100,a2=200,∴300－a=200或300－a=100.答:应将200米或100米长的施工距离安排给乙公司施工.24.解：(1)令y=0,则－(x+m)(x－3m)=0,解得x1=－m，x2=3m.∵m>0,∴A(－m,0)，B(3m,0).令x=0,则y=m,即D(0,m).(2)设直线ED的解析式为y=kx+b,将点E(－3,0)、D（0，m）的坐标代入解析式中，得解得∴直线ED的解析式为y=∵y=－(x+m)(x－3m)=－(x－m)2+m,∴顶点M的坐标为.把代入y=得m2=m,解得m=0或m=1.∵m>0,∴m=1.∴当m=1时,点M在直线ED上.连接CD,点C为AB的中点,坐标为C(m,0),即(1,0).∵OD=,OC=1,∴CD=2,点D在圆上.
又∵OE=3,OE2+OD2=ED2=12,EC2=16,CD2=4，∴CD2+DE2=EC2.∴∠EDC=90°,∴直线ED与⊙C相切.答图3(3)S△AED=m·｜3－m｜.当03时,S△AED=AE·OD=m（m－3），即S=m2－m.图象示意图如答图3中的实线部分.九年级第一学期数学教学进度表+全册教案周序日期教学工作内容及课时安排18.24—8.3021.1一元二次方程221.2降次——解一元二次方程228.31—9.621.2降次——解一元二次方程539.7—9.1321.3实际问题与一元二次方程及数学活动2《一元二次方程》单元小结与练习349.14—9.2021.1二次函数的图像与性质559.21—9.2721.2二次函数与一元二次方程221.3实际问题与二次函数2《二次函数》单元小结与练习169.28—10.423.1图形的旋转223.2中心对称3710.5—10.1123.3课题学习图案设计2《旋转》单元考及讲评3
810.12—10.1824.1圆5910.19—10.2524.2点、直线、圆和圆的位置关系51010.26—11.1期中考复习1111.2—11.8期中考试与试卷分析1211.9—11.1524.3正多边形和圆224.4弧长和扇形面积21311.16—11.2124.4弧长和扇形面积2《圆》单元考及讲评31411.23—11.2925.1随机事件与概率41511.30—12.625.2用列举法求概率325.3用频率估计概率11612.7—12.1325.4课题学习及数学活动2《概率初步》单元考及讲评21712.14—12.20九年级数学下册内容1812.21—12.27九年级数学下册内容1912.28—1.3九年级数学下册内容201.4—1.10期末考复习211.11—1.17期末考复习及考试
教学时间课题21.1一元二次方程课型新授教学媒体多媒体教学目标知识技能1.理解一元二次方程概念是以未知数的个数和次数为标准的.2.掌握一元二次方程的一般形式以及三种特殊形式，能将一个一元二次方程化为一般形式3.理解二次根式的根的概念，会判断一个数是否是一个一元二次方程的根过程方法1..通过根据实际问题列方程，向学生渗透知识来源于生活.2.通过观察，思考，交流，获得一元二次方程的概念及其一般形式和其它三种特殊形式.3.经历观察，归纳一元二次方程的概念，一元二次方程的根的概念，情感态度通过生活学习数学，并用数学解决生活中的问题来激发学生的学习热情．教学重点一元二次方程的概念，一般形式和一元二次方程的根的概念教学难点通过提出问题，建立一元二次方程的数学模型，再由一元一次方程的概念迁移到一元二次方程的概念．教学过程设计教学程序及教学内容师生行为设计意图一、复习引入导语：小学五年级学习过简易方程，上初中后学习了一元一次方程，二元一次方程组，可化为一元一次方程的分式方程，运用方程方法可以解决众多代数问题和几何求值问题，是非常常见的一种数学方法。从这节课开始学习一元二次方程知识.先来学习一元二次方程的有关概念.二、探究新知l探究课本问题2分析：1.参赛的每两个队之间都要比赛一场是什么意思？2.全部比赛场数是多少？若设应邀请x个队参赛，如何用含x的代数式表示全部比赛场数？整理所列方程后观察：1.方程中未知数的个数和次数各是多少？2.下列方程中和上题的方程有共同特点的方程有哪些？4x+3=0；；；；l概念归纳：1.一元二次方程定义：分析：首先它是整式方程，然后未知数的个数是1，最高次数是2.2.一元二次方程的一般形式：分析：.为什么规定≠0？.方程左边各项之间的运算关系是什么？关于x的一元二次方程的各项分别是什么？各项系数是什么？3.特殊形式：；；l课本例题分析：类比一元一次方程的去括号，移项，合并同类项，进行同解变形，化为一般形式后再写出各项系数，注意方程一般形式中的“-”是性质符号负号，不是运算符号减号.点题，板书课题.学生读题找等量关系列方程.学生观察所列方程整理后的特点，把握方程结构，初步感知一元二次方程概念.学生尝试叙述，然后师生归纳师生分析概念和一般形式.学生根据相关概念作答，复习巩固.学生类比一元一次方程的解尝试叙述联系曾经学习过的方程知识衔接本章，明确本节课内容淡化列方程难度，重点突出方程特点通过比较，对一元二次方程的概念达到共识，从而为掌握概念作准备.全面理解和掌握识记、理解相关概念通过类比，迁移提高
l一元二次方程的根的概念1.类比一元一次方程的根的概念获得一元二次方程的根的概念2.下面哪些数是方程x2+5x+6=0的根？-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4．3.你能用以前所学的知识求出下列方程的根吗？（1）x2-64=0（2）x2+1=0（3）x2-3x=0（4）4.思考：一元一次方程一定有一个根，一元二次方程呢？5.排球邀请赛问题中，所列方程的根是8和-7，但是答案只能有一个，应该是哪个？归纳：一元二次方程的根的情况一元二次方程的解要满足实际问题三、课堂训练1.课本练习2补充：1).在下列方程中，一元二次方程的个数是（）．①3x2+7=0②ax2+bx+c=0③（x-2）（x+5）=x2-1④3x2-=0A．1个B．2个C．3个D．4个2）.关于x的方程（a-1）x2+3x=0是一元二次方程，则a范围________．3).已知方程5x2+mx-6=0的一个根是x=3，则m的值为________4).关于x的方程（2m2+m）xm+1+3x=6可能是一元二次方程吗？四、小结归纳1.一元二次方程的概念及其一般形式，能将一个一元二次方程化为一般形式，并正确指出其各项系数.2.一元二次方程的根的概念，能判断一个数是否是一个一元二次方程的根.五、作业设计必做：P4：1.2.4.6.7选做：.P29：3.5.7学生思考，讨论完成，学生独立完成，教师巡视指导，了解学生掌握情况，并集中订正师生归纳总结，学生作笔记.加深对概念理解和运用，同时对一元二次方程的根的情况初步感知使学生巩固提高，了解学生掌握情况纳入知识系统教学反思
教学时间课题21.2.1配方法(1)课型新授教学媒体多媒体教学目标知识技能1.理解一元二次方程“降次”的转化思想．2.根据平方根的意义解形如x2=p（p≥0）的一元二次方程，然后迁移到解（mx+n）2=p（p≥0）型的一元二次方程．3.把一般形式的一元二次方程（二次项系数是1，一次项系数是偶数）与左边是含有未知数的完全平方式右边是非负常数的一元二次方程对比，引入配方法，并掌握.过程方法1.通过根据实际问题列方程，向学生渗透知识来源于生活.2.通过观察，思考，对比获得一元二次方程的解法-----直接开平方法，配方法情感态度通过生活学习数学，并用数学解决生活中的问题来激发学生的学习热情．教学重点1.运用开平方法解形如（mx+n）2=p（p≥0）的方程；领会降次──转化的数学思想．2用配方法解二次项是1，一次项系数是偶数的一元二次方程教学难点降次思想，配方法教学过程设计教学程序及教学内容师生行为设计意图一、复习引入导语：已经学习了一元二次方程的概念，本节课开始学习其解法,首先学习直接开平方法，配方法.二、探究新知l探究课本问题1分析：1.用列方程方法解题的等量关系是什么？2.解方程的依据是什么？3.方程的解是什么？问题的答案是什么？4.该方程的结构是怎样的？归纳：可根据数的开方的知识解形如x2=p（p≥0）的一元二次方程，方程有两个根，但是不一定都是实际问题的解.l解决课本思考1如何理解降次？2本题中的一元二次方程是通过什么方法降次的？3能化为（x+m）2=n（n≥0）的形式的方程需要具备什么特点？归纳：1运用平方根知识将形如x2=p（p≥0）或（mx+n）2=p（p≥0）的一元二次方程降次，转化为两个一元一次方程，解一元一次方程即可；2左边是含有未知数的完全平方式，右边是非负常数的一元二次方程可化为（x+m）2=n（n≥0）.l探究课本问题21.根据题意列方程并整理成一般形式.2.将方程x2+6x-16=0和x2+6x+9=2对比，怎样将方程x2+6x-16=0化为像x2+6x+9=2一样，左边是含有未知数的完全平方式，右边是非负常数的方程？完成填空：x2+6x+=（x+）2方程移项之后，两边应加什么数，可将左边配成完全平方式？l归纳：点题，板书课题.学生读题找等量关系列方程，思考解方程的依据.学生观察所列方程特点，辨析方程的解与问题的答案.学生尝试描述何为降次及方法，把握方程结构特点，初步体会直接开平方法解一元二次方程.教师组织学生讨论，尝试回答，教师及时肯定并总结学生审读并列方程组织学生讨论，交流然后师生总结开门见山明确本节课内容淡化列方程难度，重点突出解方程方法，关注方程的解，以及方程的解要受到实际问题的检验，作出取舍.理解降次，初步感知方程结构特点，更好把握直接开平方法，并为配方法的学习作铺垫感知一元二次方程的实际应用在比较中发现配方法的实质
用配方法解二次项系数是1且一次项系数是偶数的一元二次方程的一般步骤及注意事项:先将常数项移到方程右边，然后给方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成完全平方式的三项式形式，再将左边写成平方形式，右边完成有理数加法运算，到此，方程变形为（x+m）2=n（n≥0）的形式.三、课堂训练课本练习:四、小结归纳1.根据平方根的意义，用直接开平方法解形如（mx+n）2=p（p≥0）的一元二次方程.2.用配方法解二次项系数是1，一次项系数是偶数的一元二次方程，特别地，移项后方程两边同加一次项系数的一半的平方.3.在用方程解决实际问题时，方程的根一定全实际是问题的解，但是实际问题的解一定是方程的根.五、作业设计必做：P16：1、2、3（1）（2）选做：下面补充作业补充作业：1．若8x2-16=0，则x的值是_________．2．如果方程2（x-3）2=72，那么，这个一元二次方程的两根是________．3．若x2-4x+p=（x+q）2，那么p、q的值分别是（）．A．p=4，q=2B．p=4，q=-2C．p=-4，q=2D．p=-4，q=-24．方程3x2+9=0的根为（）．A．3B．-3C．±3D．无实数根5.已知x2-8x+15=0，左边化成含有x的完全平方形式，其中正确的是（）．A．x2-8x+（-4）2=31B．x2-8x+（-4）2=1C．x2+8x+42=1D．x2-4x+4=-116．某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长25m），另三边用木栏围成，木栏长40m．（1）鸡场的面积能达到180m2吗？能达到200m吗？（2）鸡场的面积能达到210m2吗？学生独立完成，教师巡视指导，了解学生掌握情况，并集中订正师生归纳总结，学生作笔记.总结成文，为熟练运用作准备使学生巩固提高纳入知识系统教学反思
教学时间课题21.2.1配方法(2)课型新授教学媒体多媒体教学目标知识技能1.进一步理解配方法和配方的目的.2.掌握运用配方法解一元二次方程的步骤．3.会利用配方法熟练灵活地解二次项系数不是1的一元二次方程.过程方法通过对比用配方法解二次项系数是1的一元二次方程，解二次项系数不是1的一元二次方程，经历从简单到复杂的过程，对配方法全面认识.情感态度1.通过对配方法的探究活动，培养学生勇于探索的学习精神．2.感受数学的严谨性和数学结论的确定性.3.温故知新，培养学生利用旧知解决问题的能力.教学重点用配方法解一元二次方程教学难点用配方法解二次项系数不是1的一元二次方程，首先方程两边都除以二次项系数，将方程化为二次项系数是1的类型.教学过程设计教学程序及教学内容师生行为设计意图一、复习引入导语：我们在上节课，已经学习了用直接开平方法解形如x2=p（p≥0）或（mx+n）2=p（p≥0）的一元二次方程，以及用配方法解二次项系数是1，一次项系数是偶数的一元二次方程，这节课继续学习配方法解一元二次方程.二、探究新知1.填空：2.填空：=3.解下列方程：x2-8x+7=02x2+8x-2=02x2+1=3x3x2-6x+4=0题目设置说明：1.与上节课衔接（二次项系数为1）2.至二次项系数不为1.二次项系数化为1后，的一次项系数为偶数.为后面做铺垫.的一次项系数为分数，无解.分析：（1）解方程，复习用配方法解二次项系数为1的一元二次方程步骤；（2）对比的解法得到方程的解法，总结出用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程的一般步骤：.把常数项移到方程右边；.方程两边同除以二次项系数，化二次项系数为1；.方程两边都加上一次项系数一半的平方；.原方程变形为（x+m）2=n的形式；.点题，板书课题.让学生独立完成，复习巩固上节课内容.通过对比方程结构，尝试解方程，探讨二次项系数不是1的一元二次方程的解法，教师组织学生讨论，师生交流看法，肯定其可行性，总结出一般步骤.让学生运用总结出的一般步骤解方程，其中需要先整理，无解.回顾上节课内容以得以衔接复习完全平方式的，为下面用配方法解方程作铺垫温故知新，对比探究，发现二次项系数不是1的一元二次方程的解法，培养学生发现问题的能力通过学生亲自解方程的感受与经验，总结成文，为熟练运用作准备
如果右边是非负数，就可以直接开平方求出方程的解，如果右边是负数，则一元二次方程无解．(3)运用总结的配方法步骤解方程，先观察将其变形，即将一次项移到方程的左边，常数项移到方程的右边；解方程配方后右边是负数，确定原方程无解.(4)不写出完整的解方程过程，到哪一步就可以确定方程的解得情况？三、课堂训练1.方程()A.B.C.D.2．配方法解方程2x2-x-2=0应把它先变形为（）．A．（x-）2=B．（x-）2=0C．（x-）2=D．（x-）2=3．下列方程中，一定有实数解的是（）．A．x2+1=0B．（2x+1）2=0C．（2x+1）2+3=0D．（x-a）2=a4.解决课本练习2（2）到（6）5.已知x2+y2+z2-2x+4y-6z+14=0，则x+y+z的值是（）．A．1B．2C．-1D．-26.，，是的三条边当时，试判断的形状.证明四、小结归纳用配方法解一元二次方程的步骤：1.把原方程化为的形式，2.把常数项移到方程右边；3.方程两边同除以二次项系数，化二次项系数为1；4.方程两边都加上一次项系数一半的平方；5.原方程变形为（x+m）2=n的形式；6.如果右边是非负数，就可以直接开平方求出方程的解，如果右边是负数，则一元二次方程无解．不写出完整的解方程过程，原方程变形为（x+m）2=n的形式后，若n为0，原方程有两个相等的实数根；若n为正数，原方程有两个不相等的实数根；若n为负数，则原方程无实数根.五、作业设计必做：P9：2;P17：3根据上述方程的根的情况，学生思考并叙述学生先自主，再合作交流，总结经验，完成.教师巡视指导，了解学生掌握情况，对于好的做法，加以鼓励表扬.并集体进行交流评价，体会方法，形成规律.学生归纳，总结阐述，体会，反思.并做出笔记.初步了解一元二次方程的根的情况，并为公式法的学习奠定基础使学生自主探究，进一步领会配方思想，并熟练进行配方.加强教学反思，帮助学生养成系统整理知识的学习惯加深认识，深化提高，形成学生自己的知识体系.教学反思
教学时间课题21.2.2公式法课型新授教学媒体多媒体教学目标知识技能1.理解一元二次方程求根公式的推导过程.2.掌握公式结构，知道使用公式前先将方程化为一般形式，通过判别式判断根的情况.3.会利用求根公式解简单数字系数的一元二次方程.过程方法1.经历从用配方法解数字系数的一元二次方程到解字母系数的一元二次方程，探索求根公式，发展学生合情合理的推理能力，并认识到配方法是理解公式的基础.；2.通过对公式的推导，认识到一元二次方程的求根公式适用于所有的一元二次方程，操作简单.3.提高学生的运算能力，并养成良好的运算习惯.情感态度1.感受数学的严谨性和数学结论的确定性.2.提高学生运算能力，使学生获得成功体验，建立学习信心.教学重点求根公式的推导，公式的正确使用教学难点求根公式的推导教学过程设计教学程序及教学内容师生行为设计意图一、复习引入导语：我们学习了用配方法解数字系数的一元二次方程，能否用配方法解一般形式的一元二次方程？二、探究新知活动1.学生观察下面两个方程思考它们有何异同？；6x2-7x+1=0活动2.按配方法一般步骤同时对两个方程求解：1.移项得到6x2-7x=-1，2.二次项系数化为1得到3.配方得到x2-x+（）2=-+（）2x2+x+（）2=-+（）24.写成（x+m）2=n形式得到（x-）2=，（x+）2=5.直接开平方得到x-=±，注意：（x+）2=是否可以直接开平方？活动3.对（x+）2=观察，分析，在时对的值与0的关系进行讨论活动4.归纳出一元二次方程的根的判别式和求根公式，公式法.活动5.初步使用公式解方程6x2-7x+1=0.教师提出问题，学生思考.学生观察思考尝试回答学生对比进行配方，通过自主探究，合作交流，展开对求根公式的推导让学生尝试对的值进行分析学生尝试归纳，师生总结学生初步使用公式，教师规范板书。之后总结使用公式步骤为推导公式作铺垫，激发学生探索欲望学生回顾配方法的解题思路，从数字系数过渡到字母系数进行配方，推导公式对比探究，结合字母表示数的特点，尝试推导求根公式，培养学生发现问题的能力通过学生亲自解方程的感受与经验，体会数式通性，为感受数学的严谨性和数学结论的确定性.对的值的情况具有不确定性进行讨论为以后熟练使用公式打基础
活动6.总结使用公式法的一般步骤：把方程整理成一般形式，确定a,b,c的值，注意符号求出的值，方程，当Δ＞0时，有两个不等实根；Δ=0时有两个相等实根；Δ<0时无实根.在≥0的前提下把a，b，c的值带入公式x=进行计算，最后写出方程的根.三、课堂训练1.利用一元二次方程的根的判别式判断下列方程的根的情况（1）2x2-4x-1=0（2）5x+2=3x2（3）（x-2）（3x-5）=0（4）4x2-3x+1=02.课本例2四、小结归纳本节课应掌握：1.用根的判别式判断一个一元二次方程是否有实数根2.用求根公式求一元二次方程的根3.一元二次方程求根公式适用于任意一个一元二次方程.五、作业设计必做：P17：4、5选做：P12：1、2补充作业：某电厂规定：该厂家属区的每户居民一个月用电量不超过A千瓦时，那么这户居民这个月只交10元电费，如果超过A千瓦时，那么这个月除了交10元用电费外超过部分还要按每千瓦时元收费．（1）若某户2月份用电90千瓦时，超过规定A千瓦时，则超过部分电费为多少元？（用A表示）（2）下表是这户居民3月、4月的用电情况和交费情况月份用电量（千瓦时）交电费总金额（元）3802544510根据上表数据，求电厂规定的A值为多少？学生独立完成，教师巡回检查，师生集体订正学生归纳，总结阐述，体会，反思.并做出笔记.使学生熟练使用本节课知识解题加强教学反思，帮助学生养成系统整理知识的学习习惯加深认识，深化提高，形成学生自己的知识体系.
教学反思
教学时间课题21.2.3因式分解法课型新授教学媒体多媒体教学目标知识技能1.了解因式分解法的概念.2.会用提公因式法和运用乘法公式将整理成一般形式的方程左边因式分解，根据两个因式的积等于0，必有因式为0，从而降次解方程.过程方法1.经历探索因式分解法解一元二次方程的过程，发展学生合情合理的推理能力.2.体验解决问题方法的多样性，灵活选择解方程的方法.情感态度积极探索方程不同解法，通过交流发现最优解法，获得成功体验.教学重点会用提公因式法和运用乘法公式将整理成一般形式的方程左边因式分解，从而降次解方程教学难点将整理成一般形式的方程左边因式分解教学过程设计教学程序及教学内容师生行为设计意图一、复习引入导语：我们学习了用配方法和公式法解一元二次方程，这节课我们来学习一种新的方法.二、探究新知1.因式分解x2-5x；；2x(x-3)-5(x-3);25y2-16；x2+12x+36；4x2+4x+1分析：复习因式分解知识，，为学习本节新知识作铺垫.2.若ab=0,则可以得到什么结论？分析：由积为0，得到a或b为0，为下面用因式分解法解方程作铺垫.3.试求下列方程的根：x(x-5)=0;(x-1)(x+1)=0；(2x-1)(2x+1)=0；(x+1)2=0;(2x-3)2=0.分析：解左边是两个一次式的积，右边是0的一元二次方程，初步体会因式分解法解方程实现降次的方法特点，只要令每个因式分别为0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解.4.试求下列方程的根4x2-11x=0;x(x-2)+(x-2)=0;(x-2)2-(2x-4)=025y2-16=0;(3x+1)2-(2x-1)2=0;(2x-1)2=(2-x)2x2+10x+25=0;9x2-24x+16=0;5x2-2x-=x2-2x+;2x2+12x+18=0;分析：观察由学过的一元二次方程到解法的回顾，引出新的解法学生观察式子特点，进行因式分解，为下面的学习作铺垫学生根据ab=0得到a=0或b=0，为下面学习作铺垫学生直接利用2的结论完成3中解方程让学生根据前面铺垫，尝试用因式分解法解三组方程，之后师揭示因式分解法概念，师生总结用因式分解法解一元二次方程的一般步骤学生回顾因式分解知识为学习本节新知识作铺垫对比探究，结合已有知识，尝试解题，培养学生发现问题的能力通过学生亲自解方程的感受与经验，感受数学的严谨性和数学结论的确定性.
三组方程的结构特点，在方程右边为0的前提下，对左边灵活选用合适的方法因式分解，并体会整体思想.总结用因式分解法解一元二次方程的一般步骤：首先使方程右边为0，其次将方程的左边分解成两个一次因式的积，再令两个一次因式分别为0，从而实现降次，得到两个一元一次方程，最后解这两个一元一次方程，它们的解就都能是原方程的解.这种解法叫做因式分解法.中的方程结构较复杂，需要先整理.5.选用合适方法解方程x2+x+=0；x2+x-2=0；(x-2)2=2-x；2x2-3=0.分析：四个方程最适合的解法依次是：利用完全平方公式，求根公式法，提公因式法，直接开平方法或利用平方差公式.归纳：配方法要先配方，再降次；公式法直接利用求根公式；因式分解法要先使方程一边为两个一次因式相乘，另一边为0，再分别使各一次因式等于0.配方法、公式法适用于所有一元二次方程，因式分解法用于某些一元二次方程.解一元二次方程的基本思路：化二元为一元，即降次.三、课堂训练1.完成课本练习2.补充练习：已知（x+y）2–x-y=0，求x+y的值．分析：先观察，并在本节课的知识情境下思考解题方法：先加括号，再提取公因式，体会整体思想的优越性.下面一元二次方程解法中，正确的是（）．A．（x-3）（x-5）=10×2，∴x-3=10，x-5=2，∴x1=13，x2=7B．（2-5x）+（5x-2）2=0，∴（5x-2）（5x-3）=0，∴x1=，x2=C．（x+2）2+4x=0，∴x1=2，x2=-2D．x2=x两边同除以x，得x=1今年初，湖北武穴市发生禽流感，某养鸡专业户在禽流感后，打算改建养鸡场，建一个面积为150m2的长方形养鸡场．为了节约材料，鸡场的一边靠着原有的一条墙，墙长am，另三边用竹篱围成，如果篱笆的长为35m，问鸡场长与宽各为多少？（其中a≥20m）四、小结归纳本节课应掌握：1.用因式分解法解一元二次方程2.归纳一元二次方程三种解法，比较它们的异同，能根据方程特点选择合适的方法解方程五、作业设计必做：P14：1、2；P17:6先观察，尝试选用合适方法解方程，之后交流，比较三种解法，便于选取合适的方法解方程学生尝试归纳，师生总结学生独立完成，教师巡回检查，师生集体订正学生归纳，总结阐述，体会，反思.并做出笔记.选用合适方法解方程，培养学生灵活解方程的能力，进一步加强对所学知识的理解和掌握通过归纳、比较方程的三种解法，进一步理解降次思想解方程让学生在巩固过程中掌握所学知识，培养应用意识和能力加强教学反思，帮助学生养成系统整理知识的学习惯加深认识，深化提高，形成学生自己的知识体系.教学反思
教学时间课题21.2.4一元二次方程的根与系数关系课型新授教学媒体多媒体教学目标知识技能1.熟练掌握一元二次方程的根与系数关系.2.灵活运用一元二次方程的根与系数关系解决实际问题.3.提高学生综合运用基础知识分析解决较复杂问题的能力.过程方法学生经历探索，尝试发现韦达定理，感受不完全归纳验证以及演绎证明.情感态度培养学生观察，分析和综合，判断的能力，激发学生发现规律的积极性，激励学生勇于探索的精神.教学重点一元二次方程的根与系数关系教学难点对根与系数关系的理解和推导教学过程设计教学程序及教学内容师生行为设计意图一、复习引入导语：一元二次方程的根与系数有着密切的关系，早在16世纪法国的杰出数学家韦达发现了这一关系，你能发现吗？二、探究新知1.课本思考分析：将（x-x1）（x-x2）=0化为一般形式x2-(x1+x2)x+x1x2=0与x2+px+q=0对比,易知p=-(x1+x2)，q=x1x2.即二次项系数是1的一元二次方程如果有实数根，则一次项系数等于两根和的相反数，常数项等于两根之积.2.跟踪练习求下列方程的两根x1、x2.的和与积.x2+3x+2=0；x2+2x-3=0;x2-6x+5=0;x2-6x-15=03.方程2x2-3x+1=0的两根的和、积与系数之间有类似的关系吗？分析：这个方程的二次项系数等于2，与上面情形有所不同，求出方程两根，再通过计算两根的和、积，检验上面的结论是否成立，若不成立，新的结论是什么？4.一般的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）中的a不一定是1，它的两根的和、积与系数之间有第3题中的关系吗？分析：利用求根公式，求出方程两根，再通过计算两根的和、积，得到方程的两个根x1、x2和系数a，b，c的关系，即韦达定理，也就是任何一个一元二次方程的根与系数的关系为：两根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两根之积等于常数项与二次项系数的比.求根公式是在一般形式下推导得到，根与系数的关系由求根公式得到，因此，任何一个一元二次方程化为一般形式后根与系数之间都有这一关系.5.跟踪练习求下列方程的两根x1、x2.的和与积.3x2+7x+2=0；3x2+7x-2=0;3x2-7x+2=0；3x2-7x-2=0；5x-1=4x2；5x2-1=4x2+x6.拓展练习已知一元二次方程2x2+bx+c=0的两个根是-1，3，则b=,c=.教师出示问题，引出课题学生初步了解本课所要研究的问题学生通过去括号、合并得到一般形式的一元二次方程，教师适时点拨，分析总结得到结论.学生独自完成巩固上诉知识教师出示探究问题，学生通过特殊例子入手，再通过一般形式推导证明，教师引导学生根据求根公式进行探究、交流，尝试发现结论学生独立解决，并交流创设问题情境，激发学生好奇心，求知欲通过思考问题，让学生知道二次项系数为1的一元二次方程的根与系数关系，为后面继续研究做铺垫让学生通过探究问题，体会从特殊到一般的认知过程，体会数学结论的确定性加深对韦达定理的理解，培养学生的应用意识和能力
已知关于x的方程x2+kx-2=0的一个根是1，则另一个根是,k的值是.若关于x的一元二次方程x2+px+q=0的两个根互为相反数，则p=;若两个根互为倒数，则q=.分析：方程中含有一个字母系数时利用方程一根的值可求得另一根和这个字母系数；方程中含有两个字母系数时利用方程的两根的值可求得这两个字母系数.二次项系数是1时，若方程的两根互为相反数或互为倒数，利用根与系数的关系可求得方程的一次项系数和常数项.两个根均为负数的一元二次方程是()A.4x2+21x+5=0B.6x2-13x-5=0C.7x2-12x+5=0D.2x2+15x-8=0.两根异号，且正根的绝对值较大的方程是（）A.4x2-3=0B.-3x2+5x-4=0C.0.5x2-4x-3=0D.2x2+x-=0.若关于x的一元二次方程2x2-3x+m=0,当m时方程有两个正根；当m时方程有两个负根；当m时方程有一个正根一个负根，且正根的绝对值较大.分析：根据方程的根的正负情况，结合根与系数关系，确定方程各项系数的符号，中还需考虑m的值还得受根的判别式的限制.三、课堂训练1.完成课本练习2.补充练习：x1，x2是方程3x2-2x-4=0的两根，利用根与系数的关系求下列各式的值：；；；四、小结归纳本节课应掌握：1.韦达定理二次项系数不是1的方程根与系数的关系2.运用韦达定理时，注意隐含条件：二次项系数不为0，△≥0；3.韦达定理的应用常见题型：不解方程，判断两个数是否是某一个一元二次方程的两根；已知方程和方程的一根，求另一个根和字母系数的值；由给出的两根满足的条件，确定字母系数的值；判断两个根的符号；不解方程求含有方程的两根的式子的值.五、作业设计必做：P17：7选做：补充作业：已知一元二次方程x2+3x+1=0的两个根是，求的值.先观察，尝试选用合适方法解题，之后交流，比较解法学生尝试归纳，师生总结学生独立完成，教师巡回检查，师生集体订正学生归纳，总结阐述，体会，反思.并做出笔记.通过学生亲自解题的感受与经验，感受数学的严谨性和数学结论的确定性.进一步加强对所学知识的理解和掌握通过归纳，进一步理解韦达定理及其应用加强教学反思，帮助学生养成系统整理知识的学习习惯，加深认识，深化提高，形成学生自己的知识体系.教学反思
教学时间课题21.3实际问题与一元二次方程（1）课型新授教学媒体多媒体教学目标知识技能1.使学生会列出一元二次方程解应用题，初步掌握利用一元二次方程解决生活中的实际问题.2.培养学生的阅读能力.过程方法1.通过根据实际问题列方程，向学生渗透知识来源于生活.2.通过观察，思考，交流，进一步提高逻辑思维和分析问题解决问题能力.3.经历观察，归纳列一元二次方程的一般步骤情感态度通过生活学习数学，并用数学解决生活中的问题来激发学生的学习热情．教学重点建立数学模型，找等量关系，列方程教学难点找等量关系，列方程教学过程设计教学程序及教学内容师生行为设计意图一、复习引入导语：同一元一次方程，二元一次方程（组）等一样，一元二次方程和实际问题，也有紧密的联系，本节课就来讨论如何利用一元二次方程来解决实际问题.二、探究新知l探究课本30页问题1分析：设正方体的棱长是xdm，则一个正方体的表面积是多少？10个呢？等量关系是什么？l探究课本38页问题分析：设物体经过xs落回地面，这时它离地面的高度是多少？l某人将2000元人民币按一年定期存入银行，到期后支取1000元用于购物，剩下的1000元及应得利息又全部按一年定期存入银行，若存款的利率不变，到期后本金和利息共1320元，求这种存款方式的年利率．（利息税为利息的20%）分析：设这种存款方式的年利率为x，第一次存2000元取1000元，剩下的本金和利息是1000+2000x·80%；第二次存，本金就变为1000+2000x·80%，其它依此类推．l课本46页探究2分析：设甲种药品的成本年平均下降率为x，则一年后甲种药品成本是多少？两年后甲种药品成本是多少？相关的等量关系是什么？类似的乙甲种药品成本的年平均下降率是多少？相关的等量关系是什么？方程的解都是该问题的解吗？如果不是，如何选择？为什么？如何回答课本46页思考？归纳：通过解决以上问题，列一元二次方程解实际问题的基本步骤是什么？与以前学过的列方程解实际问题的步骤有何异同？l某工厂第一季度的一月份生产电视机是1万台，第一季度生产电视机的总台数是3.31万台，求二月份、三月份生产电视机平均增长的百分率是多少？分析：设点题，板书课题.教师指导学生进行阅读，找关键词，题中数据，联系所要求的量，明确量与量的关系，设直接未知数，表示相关量，找等量关系尝试列方程，求根，根据实际问题要求，对根进行取舍.学生独立解答问题1，2，然后交流，讨论，达到共识.学生尝试叙述，然后师生归纳联系曾经学习过的方程应用衔接本节内容，明确本节课任务淡化解方程，重点突出列方程弄清问题背景，把有关数量关系分析透彻，特别是找出可以作为列方程依据的主要相等关系让学生更加熟练地列方程解应用题，并强化运用.把握百分率问题的解题技巧
平均增长率是x，则二月份生产电视机的台数是多少？三月份生产电视机的台数是多少？第一季度生产电视机的总台数还可以怎样表示？等量关系是什么？归纳：以上这几道题与我们以前所学的一元一次、二元一次方程（组）、分式方程等为背景建立数学模型是一样的，而我们借助的是一元二次方程为背景建立数学模型来分析实际问题和解决问题的类型．三、课堂训练补充练习：．一台电视机成本价为a元，销售价比成本价增加25%，因库存积压，所以就按销售价的70%出售，那么每台售价为（）．A．（1+25%）（1+70%）a元B．70%（1+25%）a元C．（1+25%）（1-70%）a元D．（1+25%+70%）a元．某商场的标价比成本高p%，当该商品降价出售时，为了不亏损成本，售价的折扣（即降低的百分数）不得超过d%，则d可用p表示为（）．A．B．pC．D．．2009年一月份越南发生禽流感的养鸡场100家，后来二、三月份新发生禽流感的养鸡场共250家，设二、三月份平均每月禽流感的感染率为x，依题意列出的方程是（）．A．100（1+x）2=250B．100（1+x）+100（1+x）2=250C．100（1-x）2=250D．100（1+x）2四、小结归纳1.列一元二次方程解应用题的一般步骤2.利用一元二次方程解决实际生活中的百分率问题五、作业设计必做：P18：1、2、3选做：P19：9补充作业：上海甲商场七月份利润为100万元，九月份的利率为121万元，乙商场七月份利率为200万元，九月份的利润为288万元，那么哪个商场利润的年平均上升率较大?师引导生对照上题，分析找出两题的异同点让学生体会建立数学模型思想，分析、解决实际问题.学生独立完成，教师巡视指导，了解学生掌握情况，并集中订正师生归纳总结，学生作笔记.通过类比，联系新旧知识，明确共性.使学生巩固提高，了解学生掌握情况纳入知识系统，总结本节课内容，把握利用列一元二次方程解常见实际问题的题的技巧教学反思
教学时间课题21.3实际问题与一元二次方程（2）课型新授教学媒体多媒体教学目标知识技能1.能根据以流感为问题背景，按一定传播速度逐步传播的问题；以封面设计为问题背景，边衬的宽度问题中的数量关系列出一元二次方程，体会方程刻画现实世界的模型作用.2.培养学生的阅读能力与分析能力.3.能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理.过程方法通过自主探究，独立思考与合作交流，使学生弄清实际问题的背景，挖掘隐藏的数量关系，把有关数量关系分析透彻，找出可以作为列方程依据的主要相等关系，正确的建立一元二次方程.情感态度在分析解决问题的过程中逐步深入地体会一元二次方程的应用价值.教学重点建立数学模型，找等量关系，列方程教学难点找等量关系，列方程教学过程设计教学程序及教学内容师生行为设计意图一、复习引入导语：通过上节课的学习，谈谈列一元二次方程解决实际问题的一般步骤及应注意的问题.二、探究新知l课本45页探究1分析：设每轮传染中平均一个人传染x了个人.这里的一轮指一个传染周期.第一轮的传染源有几个人？第一轮后有几个人被传染了流感？包括传染源在内，共有几个人患着流感？第二轮的传染源有几个人？第二轮后有几个人被传染了流感？包括第二轮的传染源在内，共有几个人患着流感？本题用来列方程的相等关系是什么？列出方程.拓展：课本思考.四轮呢？归纳：本题一流感为问题背景，讨论按一定传播速度逐步传播的问题，，特别需要注意的是，在第二轮传染中，在实际生活中，类似原型很多，比如细胞分裂，信息传播，传染病扩散，害虫繁殖等，一般就考虑两轮传播，这些问题有通性，在解题时有规律可循.l课本47页探究3分析：正中央的长方形与整个封面的长宽比例相同，是什么含义？上下边衬与左右边衬的宽度相等吗？如果不相等，应该有什么关系？若设正中央的长方形的长和宽分别为9a㎝，7a㎝，尝试表示边衬的长度，并探究上下边衬与左右边衬的宽度的数量关系？“应如何设计四周边衬的宽度？”是要求四周边衬的宽度，除了根据上下边衬与左右边衬的宽度比为，设上下边衬宽为与左右边衬宽为.还可以根据正中央的长方形长与宽的比为9：7，设正中央的长方形的长为9x㎝，宽为7x㎝.尝试列出方程.方程的两个根都是正数，但是它们不都是问题的解，需要根据它们的值的大小来确定哪个更合乎实际，这种取舍选择更多的要考虑问题的实际意义.点题，板书课题.教师提出问题，并指导学生进行阅读，独立思考，学生根据个人理解，回答教师提出的问题.弄清题意，设出未知数，并表示相关量，根据相等关系尝试列方程，求根.根据实际问题要求，对根进行选择确定问题的解.教师组织学生合作交流，达到共识，师生汇总生活中常见的类似问题，总结这类题的做题技巧.教师提出问题，让学生结合画图独立理解并解答问题，培养学生对几何图形的分析能力，将数学知识和实际问题相结合的应用意识联系上节课内容，进一步学习一元二次方程的应用弄清问题背景，特别注意分析清楚题意，题中没有特别说明，那么最早的患者没有痊愈，仍在继续传染别人.让学生掌握这一类题型将几何图形的问题用一元二次方程方法来解决
归纳：在实际生活中有许多几何图形的问题原型，可以用一元二次方程作为数学模型来分析和解决.对于比较复杂的问题，可以通过设间接未知数的方法来列方程.三、课堂训练补充练习：1．从正方形铁片，截去2cm宽的一条长方形，余下的面积是48cm2，则原来的正方形铁片的面积是（）．A．8cmB．64cmC．8cm2D．64cm22．如图，是长方形鸡场平面示意图，一边靠墙，另外三面用竹篱笆围成，若竹篱笆总长为35m，所围的面积为150m2，则此长方形鸡场的长、宽分别为_______．3.有一张长方形的桌子，长6尺，宽3尺，有一块台布的面积是桌面面积的2倍，并且铺在桌面上时，各边垂下的长度相同，求台布的长和宽各是多少?（精确到0．1尺）4.在一块长12m，宽8m的长方形平地中央，划出地方砌一个面积为8m2的长方形花台，要使花坛四周的宽地宽度一样，则这个宽度为多少?四小结归纳谈一节课的收获和体会.五、作业设计必做：P18：4-8选做：P19：10补充作业：某林场计划修一条长750m，断面为等腰梯形的渠道，断面面积为1.6m2，上口宽比渠深多2m，渠底比渠深多0.4m．（1）渠道的上口宽与渠底宽各是多少？（2）如果计划每天挖土48m3，需要多少天才能把这条渠道挖完？教师总结，学生体会学生独立完成，教师巡视指导，了解学生掌握情况，并集中订正师生归纳总结，学生作笔记.使学生巩固提高，了解学生掌握情况纳入知识系统，总结本节课内容，让学生体会方程刻画现实世界的模型作用.教学反思
第二十二章《一元二次方程》小结一、本章知识结构框图二、本章知识点概括1、相关概念（1）一元二次方程：等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。（2）一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0(a≠0)，其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项。（3）一元二次方程的根：一元二次方程的解也叫一元二次方程的根。用“夹逼”法估算出一元二次方程的根的取值范围．一次方程：一元一次方程，二元一次方程，三元方程整式方程二次方程：一元二次方程，二元二次方程*（4）有理方程高次方程：分式方程2、降次——解一元二次方程（1）配方法：通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫配方法．配方法是为了降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解．其步骤是:①方程化为一般形式；②移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项；③化二次项系数为1；④配方，方程两边都加上一次项系数一半的平方，使方程左边是完全平方式，从而原方程化为（mx+n）2=p的形式；⑤如果p≥0就可以用开平方降次来求出方程的解了，如果p<0，则原方程无实数根。（2）公式法：利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法．其方法为：先将一元二次方程化为一般形式ax2+bx+c=0，当⊿＝b2－4ac≥0时，将a、b、c代入求根公式x=（b2-4ac≥0）就得到方程的根．
（3）分解因式法：先因式分解使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0,从而降次．这种解法叫做因式分解法．步骤是：①通过移项将方程右边化为0；②通过因式分解将方程左边化为两个一次因式乘积；③令每个因式等于0，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，得一元二次方程的解。3、一元二次方程根的判别式（1）⊿＝b2－4ac叫一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式。（2）运用根的判别式，在不解方程的前提下判别根的情况：①⊿=b2－4ac＞0方程有两个不相等实数根；②⊿=b2－4ac=0方程有两个相等实数根；③⊿=b2－4ac＜0方程没有实数根；④⊿=b2－4ac≥0 方程有两个实数根。（3）应用：①不解方程，判别方程根的情况；②已知方程根的情况确定方程中字母系数的取值范围；③应用判别式证明方程的根的状况（常用到配方法）；注意：运用根的判别式的前提是该方程是一元二次方程，即：a≠0。*4、一元二次方程根与系数的关系（本部分内容为选学内容）（1）如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根是，那么（2）应用：①验根，不解方程，利用根与系数的关系可以检验两个数是不是一元二次方程的两个根；②已知方程的一个根，求另一根及未知系数的值；③已知方程的两根满足某种关系，求方程中字母系数的值或取值范围；④不解方程可以求某些关于的对称式的值，通常利用到：当=0且≤0，两根互为相反数；
当⊿≥0且=1，两根互为倒数。（重点强调：一元二次方程根与系数的关系是在二次项系数a≠0，⊿≥0前提条件下应用的，解题中一定要注意检验）⑩用公式法因式分解二次三项式ax2+bx+c(a≠0)：ax2+bx+c=a（x-x1）（x-x2）其中是方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根。5、实际问题与一元二次方程传播式分支问题；平均变化率问题；数字问题；利润问题；图形的面积问题；匀变速问题；握手、写信问题；银行利率问题；浓度问题；方案设计问题等。三、典型例题辨析1、在下列方程中，是一元二次方程的有________个．①3x2+7=0②ax2+bx+c=0③（x-2）（x+5）=x2-1④3x2-=02、当m时,关于x的方程(m+2)x|m|+3mx+1=0是一元二次方程.3、方程3x2-3=2x+1的二次项系数为________，一次项系数为_________，常数项为_________．4、根据下列表格的对应值：x3.233.243.253.26ax2+bx+c-0.06-0.020.030.09判断关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一个根x的取值范围是________。5、已知方程5x2+mx-6=0的一个根是x=3，则m的值为________．6、已知三角形两边长分别为2和4，第三边是方程x2-4x+3=0的解，则这个三角形的周长是_____．7、已知x2+y2+z2-2x+4y-6z+14=0，则x+y+z的值是_____．8、已知2和是关于的方程的两个根，则的值为，的值为.9、已知方程的两根为，则的值为。10、一个小组若干人，新年互送贺卡，若全组共送贺卡72张，则这个小组共_____人．11、一个两位数等于它的个位数的平方，且个位数字比十位数字大3，则这个两位数为_______．12、解下列方程：⑴⑵⑶⑷13、若关于的一元二次方程有两个实数根，求的取值范围.14、已知方程x2+(2k+1)x+k2-2=0的两实根的平方和等于11,求k的值。15、k为何值时，方程x2-（k+1）x+(k-2)=0
（1）两根互为相反数；（2）两根互为倒数；（3）有一根为零，另一根不为零.16、如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=8m，CB=6m，点P、Q同时由A，B两点出发分别沿AC、BC方向向点C匀速移动，它们的速度都是1m/s，几秒后△PCQ的面积为Rt△ACB面积的一半．17、某电脑公司2001年的各项经营中，一月份的营业额为200万元，一月、二月、三月的营业额共950万元，如果平均每月营业额的增长率相同，求这个增长率．（50%）18、在一块长12m，宽8m的长方形平地中央，划出地方砌一个面积为8m2的长方形花台，要使花坛四周的宽地宽度一样，则这个宽度为多少?19、某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件赢利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价一元，商场平均每天可多售出2件．①若商场平均每天赢利1200元，每件衬衫应降价多少元？（x1=10，x2=20）②每件衬衫降价多少元时，商场平均每天赢利最多？请你设计销售方案．（1250元）20、一辆汽车以20m/s的速度行驶，司机发现前方路面有情况，紧急刹车后汽车又滑行25m后停车．（1）从刹车到停车用了多少时间?（2）从刹车到停车平均每秒车速减少多少?（3）刹车后汽车滑行到15m时约用了多少时间（精确到0.1s）?作业：必做：P23：1-10选做：P24：11、12教学反思
教学时间课题26.1 二次函数（1）课型新授课教学目标知 识和能 力能够根据实际问题，熟练地列出二次函数关系式，并求出函数的自变量的取值范围过 程和方 法注重学生参与，联系实际，丰富学生的感性认识情 感态 度价值观培养学生的良好的学习习惯教学重点能够根据实际问题，熟练地列出二次函数关系式，并求出函数的自变量的取值范围。教学难点教学准备教师多媒体课件学生“五个一”课堂教学程序设计设计意图一、试一试1.设矩形花圃的垂直于墙的一边AB的长为xm，先取x的一些值，算出矩形的另一边BC的长，进而得出矩形的面积ym2．试将计算结果填写在下表的空格中，AB长x(m)123456789BC长(m)12面积y(m2)482．x的值是否可以任意取?有限定范围吗?3．我们发现，当AB的长(x)确定后，矩形的面积(y)也随之确定，y是x的函数，试写出这个函数的关系式，对于1.，可让学生根据表中给出的AB的长，填出相应的BC的长和面积，然后引导学生观察表格中数据的变化情况，提出问题：(1)从所填表格中，你能发现什么？(2)对前面提出的问题的解答能作出什么猜想?让学生思考、交流、发表意见，达成共识：当AB的长为5cm，BC的长为10m时，围成的矩形面积最大；最大面积为50m2。对于2，可让学生分组讨论、交流，然后各组派代表发表意见。形成共识，x的值不可以任意取，有限定范围，其范围是0＜x＜10。对于3，教师可提出问题，(1)当AB=xm时，BC长等于多少m?(2)面积y等于多少?并指出y=x(20－2x)(0＜x＜10)就是所求的函数关系式．二、提出问题某商店将每件进价为8元的某种商品按每件10元出售，一天可销出约100件．该店想通过降低售价、增加销售量的办法来提高利润，经过市场调查，发现这种商品单价每降低0.1元，其销售量可增加10件。将这种商品的售价降低多少时，能使销售利润最大?在这个问题中，可提出如下问题供学生思考并回答：1．商品的利润与售价、进价以及销售量之间有什么关系?[利润=(售价－进价)×销售量]2．如果不降低售价，该商品每件利润是多少元?一天总的利润是多少元?[10－8=2(元)，(10－8)×100=200(元)]3．若每件商品降价x元，则每件商品的利润是多少元?一天可销售约多少件商品?[(10－8－x)；(100＋100x)]
4．x的值是否可以任意取?如果不能任意取，请求出它的范围，[x的值不能任意取，其范围是0≤x≤2]5．若设该商品每天的利润为y元，求y与x的函数关系式。[y=(10－8－x)(100＋100x)(0≤x≤2)]将函数关系式y=x(20－2x)(0＜x＜10＝化为：y=－2x2＋20x(0＜x＜10)……………………………(1)将函数关系式y=(10－8－x)(100＋100x)(0≤x≤2)化为：y=－100x2＋100x＋20D(0≤x≤2)……………………(2)三、观察；概括1.教师引导学生观察函数关系式(1)和(2)，提出以下问题让学生思考回答；(1)函数关系式(1)和(2)的自变量各有几个?(各有1个)(2)多项式－2x2＋20和－100x2＋100x＋200分别是几次多项式?(分别是二次多项式)(3)函数关系式(1)和(2)有什么共同特点?(都是用自变量的二次多项式来表示的)(4)本章导图中的问题以及P1页的问题2有什么共同特点？让学生讨论、交流，发表意见，归结为：自变量x为何值时，函数y取得最大值。2．二次函数定义：形如y=ax2＋bx＋c(a、b、、c是常数，a≠0)的函数叫做x的二次函数，a叫做二次函数的系数，b叫做一次项的系数，c叫作常数项．四、课堂练习P3练习第1，2题。五、小结1．请叙述二次函数的定义．2，许多实际问题可以转化为二次函数来解决，请你联系生活实际，编一道二次函数应用题，并写出函数关系式。作业设计必做教科书P14：1、2选做教科书P14：7教学反思
教学时间课题26.1 二次函数（2）课型新授课教学目标知 识和能 力使学生会用描点法画出y=ax2的图象，理解抛物线的有关概念。过 程和方 法使学生经历、探索二次函数y=ax2图象性质的过程情 感态 度价值观培养学生观察、思考、归纳的良好思维习惯教学重点使学生理解抛物线的有关概念，会用描点法画出二次函数y=ax2的图象是教学的重点。教学难点用描点法画出二次函数y=ax2的图象以及探索二次函数性质是教学的难点。教学准备教师多媒体课件学生“五个一”课堂教学程序设计设计意图一、提出问题1，同学们可以回想一下，一次函数的性质是如何研究的?(先画出一次函数的图象，然后观察、分析、归纳得到一次函数的性质)2．我们能否类比研究一次函数性质方法来研究二次函数的性质呢?如果可以，应先研究什么?(可以用研究一次函数性质的方法来研究二次函数的性质，应先研究二次函数的图象)3．一次函数的图象是什么？二次函数的图象是什么?二、范例例1、画二次函数y=x2的图象。解：(1)列表：在x的取值范围内列出函数对应值表：x…－3－2－10123…y…9410149…(2)在直角坐标系中描点：用表里各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描点(3)连线：用光滑的曲线顺次连结各点，得到函数y=x2的图象，如图所示。提问：观察这个函数的图象，它有什么特点?让学生观察，思考、讨论、交流，归结为：它有一条对称轴，且对称轴和图象有一点交点。抛物线概念：像这样的曲线通常叫做抛物线。顶点概念：抛物线与它的对称轴的交点叫做抛物线的顶点．三、做一做1．在同一直角坐标系中，画出函数y=x2与y=-x2的图象，观察并比较两个图象，你发现有什么共同点？又有什么区别?2．在同一直角坐标系中，画出函数y=2x2与y=-2x2的图象，观察并比较这两个函数的图象，你能发现什么?3．将所画的四个函数的图象作比较，你又能发现什么?在学生画函数图象的同时，教师要指导中下水平的学生，讲评时，要引导学生讨论选几个点比较合适以及如何选点。两个函数图象的共同点以及它们的区别，可分组讨论。交流，让学生发表不同的意见，达成共识，两个函数的图象都是抛物线，都关于y轴对称，顶点坐标都是(0，0)，区别在于函数y=x2的图象开口向上，函数y=-x2的图象开口向下。四、归纳、概括函数y＝x2、y=-x2、y=2x2、y=-2x2是函数y=ax2的特例，由函数y＝x2、y=-x2、y＝2x2、y=-2x2的图象的共同特点，可猜想：
函数y=ax2的图象是一条________，它关于______对称，它的顶点坐标是______。如果要更细致地研究函数y=ax2图象的特点和性质，应如何分类？为什么?让学生观察y＝x2、y＝2x2的图象，填空；当a>0时，抛物线y=ax2开口______，在对称轴的左边，曲线自左向右______；在对称轴的右边，曲线自左向右______，______是抛物线上位置最低的点。图象的这些特点反映了函数的什么性质?先让学生观察下图，回答以下问题；(1)XA、XB大小关系如何?是否都小于0？(2)yA、yB大小关系如何?(3)XC、XD大小关系如何?是否都大于0?(4)yC、yD大小关系如何?(XAyB；XC0，XD>0，yCO时，函数值y随X的增大而______；当X＝______时，函数值y=ax2(a>0)取得最小值，最小值y=______以上结论就是当a>0时，函数y=ax2的性质。思考以下问题：观察函数y＝-x2、y=-2x2的图象，试作出类似的概括，当aO时，函数值y随x的增大而减小，当x=0时，函数值y＝ax2取得最大值，最大值是y＝0。作业设计必做教科书P14：3、4选做教科书P14：8教学反思教学时间课题26.1二次函数（3）课型新授课教学目标知 识和能 力使学生能利用描点法正确作出函数y＝ax2＋b的图象。过 程和方 法让学生经历二次函数y＝ax2＋bx＋c性质探究的过程，理解二次函数y＝ax2＋b的性质及它与函数y＝ax2的关系。情 感态 度价值观师生互动，学生动手操作，体验成功的喜悦教学重点会用描点法画出二次函数y＝ax2＋b的图象，理解二次函数y＝ax2＋b的性质，理解函数y＝ax2＋b与函数y＝ax2的相互关系教学难点正确理解二次函数y＝ax2＋b的性质，理解抛物线y＝ax2＋b与抛物线y＝ax2的关系教学准备教师多媒体课件学生“五个一”
课堂教学程序设计设计意图一、提出问题1．二次函数y＝2x2的图象是____，它的开口向_____，顶点坐标是_____；对称轴是______，在对称轴的左侧，y随x的增大而______，在对称轴的右侧，y随x的增大而______，函数y＝ax2与x＝______时，取最______值，其最______值是______。2．二次函数y＝2x2＋1的图象与二次函数y＝2x2的图象开口方向、对称轴和顶点坐标是否相同?二、分析问题，解决问题问题1：对于前面提出的第2个问题，你将采取什么方法加以研究?(画出函数y＝2x2和函数y＝2x2的图象，并加以比较)问题2，你能在同一直角坐标系中，画出函数y＝2x2与y＝2x2＋1的图象吗?教学要点1．先让学生回顾二次函数画图的三个步骤，按照画图步骤画出函数y＝2x2的图象。2．教师说明为什么两个函数自变量x可以取同一数值，为什么不必单独列出函数y＝2x2＋1的对应值表，并让学生画出函数y＝2x2＋1的图象．3．教师写出解题过程，同学生所画图象进行比较。解：(1)列表：x…－3－2－10123…y＝x2…188202818…y＝x2＋1…1993l3919…(2)描点：用表里各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描点。(3)连线：用光滑曲线顺次连接各点，得到函数y＝2x2和y＝2x2＋1的图象。（图象略）问题3：当自变量x取同一数值时，这两个函数的函数值之间有什么关系?反映在图象上，相应的两个点之间的位置又有什么关系?教师引导学生观察上表，当x依次取－3，－2，－1，0，1，2，3时，两个函数的函数值之间有什么关系，由此让学生归纳得到，当自变量x取同一数值时，函数y＝2x2＋1的函数值都比函数y＝2x2的函数值大1。教师引导学生观察函数y＝2x2＋1和y＝2x2的图象，先研究点(－1，2)和点(－1，3)、点(0，0)和点(0，1)、点(1，2)和点(1，3)位置关系，让学生归纳得到：反映在图象上，函数y＝2x2＋1的图象上的点都是由函数y＝2x2的图象上的相应点向上移动了一个单位。问题4：函数y＝2x2＋1和y＝2x2的图象有什么联系?由问题3的探索，可以得到结论：函数y＝2x2＋1的图象可以看成是将函数y＝2x2的图象向上平移一个单位得到的。问题5：现在你能回答前面提出的第2个问题了吗?让学生观察两个函数图象，说出函数y＝2x2＋1与y＝2x2的图象开口方向、对称轴相同，但顶点坐标不同，函数y＝2x2的图象的顶点坐标是(0，0)，而函数y＝2x2＋1的图象的顶点坐标是(0，1)。问题6：你能由函数y＝2x2的性质，得到函数y＝2x2＋1的一些性质吗?完成填空：当x______时，函数值y随x的增大而减小；当x______时，函数值y随x的增大而增大，当x______时，函数取得最______值，最______值y＝______．以上就是函数y＝2x2＋1的性质。三、做一做问题7：先在同一直角坐标系中画出函数y＝2x2－2与函数y＝2x2的图象，再作比较，说说它们有什么联系和区别?教学要点1．在学生画函数图象的同时，教师巡视指导；2．让学生发表意见，归纳为：函数y＝2x2－2与函数y＝2x2的图象的开口方向、对称轴相同，但顶点坐标不同。函数y＝2x2－2的图象可以看成是将函数y＝2x2的图象向下平移两个单位得到的。问题8：你能说出函数y＝2x2－2的图象的开口方向，对称轴和顶点坐标，以及这个函数的性质吗?教学要点1．让学生口答，函数y＝2x2－2的图象的开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标是(0，－2)；2．分组讨论这个函数的性质，各组选派一名代表发言，达成共识：当x＜0时，函数
值y随x的增大而减小；当x＞0时，函数值y随x的增大而增大，当x＝0时，函数取得最小值，最小值y＝－2。问题9：在同一直角坐标系中。函数y＝－x2＋2图象与函数y＝－x2的图象有什么关系?要求学生能够画出函数y＝－x2与函数y＝－x2＋2的草图，由草图观察得出结论：函数y＝－1/3x2＋2的图象与函数y＝－x2的图象的开口方向、对称轴相同，但顶点坐标不同，函数y＝－x2＋2的图象可以看成将函数y＝－x2的图象向上平移两个单位得到的。问题10：你能说出函数y＝－x2＋2的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗?[函数y＝－x2＋2的图象的开口向下，对称轴为y轴，顶点坐标是(0，2)]问题11：这个函数图象有哪些性质?让学生观察函数y＝－x2＋2的图象得出性质：当x＜0时，函数值y随x的增大而增大；当x＞0时，函数值y随x的增大而减小；当x＝0时，函数取得最大值，最大值y＝2。四、练习： P7练习。五、小结1．在同一直角坐标系中，函数y＝ax2＋k的图象与函数y＝ax2的图象具有什么关系?2．你能说出函数y＝ax2＋k具有哪些性质?作业设计必做教科书P14：5（1）选做练习册P109-114教学反思
教学时间课题26.1 二次函数（4）课型新授课教学目标知 识和能 力1．使学生能利用描点法画出二次函数y＝a(x—h)2的图象。过 程和方 法让学生经历二次函数y＝a(x－h)2性质探究的过程，理解函数y＝a(x－h)2的性质，理解二次函数y＝a(x－h)2的图象与二次函数y＝ax2的图象的关系。情 感态 度价值观教学重点会用描点法画出二次函数y＝a(x－h)2的图象，理解二次函数y＝a(x－h)2的性质，理解二次函数y＝a(x－h)2的图象与二次函数y＝ax2的图象的关系教学难点理解二次函数y＝a(x－h)2的性质，理解二次函数y＝a(x－h)2的图象与二次函数y＝ax2的图象的相互关系教学准备教师多媒体课件学生“五个一”课堂教学程序设计设计意图一、提出问题1．在同一直角坐标系内，画出二次函数y＝－x2，y＝－x2－1的图象，并回答：(1)两条抛物线的位置关系。(2)分别说出它们的对称轴、开口方向和顶点坐标。(3)说出它们所具有的公共性质。2．二次函数y＝2(x－1)2的图象与二次函数y＝2x2的图象的开口方向、对称轴以及顶点坐标相同吗?这两个函数的图象之间有什么关系?二、分析问题，解决问题问题1：你将用什么方法来研究上面提出的问题?(画出二次函数y＝2(x－1)2和二次函数y＝2x2的图象，并加以观察)问题2：你能在同一直角坐标系中，画出二次函数y＝2x2与y＝2(x－1)2的图象吗?教学要点1．让学生完成列表。2．让学生在直角坐标系中画出图来：3．教师巡视、指导。问题3：现在你能回答前面提出的问题吗?开口方向对称轴顶点坐标y＝2x2y＝2(x－1)2教学要点1．教师引导学生观察画出的两个函数图象．根据所画出的图象，完成以下填空：2．让学生分组讨论，交流合作，各组选派代表发表意见，达成共识：函数y＝2(x－1)2与y＝2x2的图象、开口方向相同、对称轴和顶点坐标不同；函数y＝2(x一1)2的图象可以看作是函数y＝2x2的图象向右平移1个单位得到的，它的对称轴是直线x＝1，顶点坐标是(1，0)。问题4：你可以由函数y＝2x2的性质，得到函数y＝2(x－1)2的性质吗?教学要点1.教师引导学生回顾二次函数y＝2x2的性质，并观察二次函数y＝2(x－1)2的图象；2．让学生完成以下填空：当x______时，函数值y随x的增大而减小；当x______时，函数值y随x的增大而增大；当x＝______时，函数取得最______值y＝______。三、做一做问题5：你能在同一直角坐标系中画出函数y＝2(x＋1)2与函数y＝2x2的图象，并比较它们的联系和区别吗?教学要点
1．在学生画函数图象的同时，教师巡视、指导；2．请两位同学上台板演，教师讲评；3．让学生发表不同的意见，归结为：函数y＝2(x＋1)2与函数y＝2x2的图象开口方向相同，但顶点坐标和对称轴不同；函数y＝2(x＋1)2的图象可以看作是将函数y＝2x2的图象向左平移1个单位得到的。它的对称轴是直线x＝－1，顶点坐标是(－1，0)。问题6；你能由函数y＝2x2的性质，得到函数y＝2(x＋1)2的性质吗?教学要点让学生讨论、交流，举手发言，达成共识：当x＜－1时，函数值y随x的增大而减小；当x＞－1时，函数值y随x的增大而增大；当x＝一1时，函数取得最小值，最小值y＝0。问题7：函数y＝－(x＋2)2图象与函数y＝－x2的图象有何关系?问题8：你能说出函数y＝－(x＋2)2图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗?问题9：你能得到函数y＝(x＋2)2的性质吗?教学要点让学生讨论、交流，发表意见，归结为：当x＜－2时，函数值y随x的增大而增大；当x＞－2时，函数值y随工的增大而减小；当x＝－2时，函数取得最大值，最大值y＝0。四、课堂练习： P8练习。五、小结：1．在同一直角坐标系中，函数y＝a(x－h)2的图象与函数y＝ax2的图象有什么联系和区别?2．你能说出函数y＝a(x－h)2图象的性质吗?3．谈谈本节课的收获和体会。作业设计必做教科书P14：5（2）选做练习册P115-116教学反思
教学时间课题26.1 二次函数（5）课型新授课教学目标知 识和能 力1．使学生理解函数y=a(x－h)2＋k的图象与函数y=ax2的图象之间的关系。2．会确定函数y=a(x－h)2＋k的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标。过 程和方 法让学生经历函数y=a(x－h)2＋k性质的探索过程，理解函数y=a(x－h)2＋k的性质。情 感态 度价值观教学重点确定函数y=a(x－h)2＋k的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，理解函数y=a(x－h)2＋k的图象与函数y=ax2的图象之间的关系，理解函数y=a(x－h)2＋k的性质教学难点正确理解函数y=a(x－h)2＋k的图象与函数y=ax2的图象之间的关系以及函数y=a(x－h)2＋k的性质教学准备教师多媒体课件学生“五个一”课堂教学程序设计设计意图一、提出问题1．函数y=2x2＋1的图象与函数y=2x2的图象有什么关系?(函数y=2x2＋1的图象可以看成是将函数y=2x2的图象向上平移一个单位得到的)2．函数y=2(x－1)2的图象与函数y=2x2的．图象有什么关系?(函数y=2(x－1)2的图象可以看成是将函数y=2x2的图象向右平移1个单位得到的，见P10图26.2.3)3．函数y=2(x－1)2＋1图象与函数y=2(x－1)2图象有什么关系?函数y=2(x－1)2＋1有哪些性质?二、试一试你能填写下表吗?y=2x2 向右平移的图象 1个单位y=2(x－1)2向上平移1个单位y=2(x－1)2＋1的图象开口方向向上对称轴y轴顶点(0，0)问题2：从上表中，你能分别找到函数y=2(x－1)2＋1与函数y=2(x－1)2、y=2x2图象的关系吗?问题3：你能发现函数y=2(x－1)2＋1有哪些性质?对于问题2和问题3，教师可组织学生分组讨论，互相交流，让各组代表发言，达成共识；函数y＝2(x－1)2＋1的图象可以看成是将函数y=2(x－1)2的图象向上平称1个单位得到的，也可以看成是将函数y=2x2的图象向右平移1个单位再向上平移1个单位得到的。当x＜1时，函数值y随x的增大而减小，当x＞1时，函数值y随x的增大而增大；当x=1时，函数取得最小值，最小值y=1。三、做一做问题4：在图26．2．3中，你能再画出函数y=2(x－1)2－2的图象，并将它与函数y=2(x－1)2的图象作比较吗?教学要点1．在学生画函数图象时，教师巡视指导；2．对“比较”两字做出解释，然后让学生进行比较。
问题5：你能说出函数y=－(x－1)2＋2的图象与函数y=－x2的图象的关系，由此进一步说出这个函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗?(函数y＝－(x－1)2＋2的图象可以看成是将函数y=－x2的图象向右平移一个单位再向上平移2个单位得到的，其开口向下，对称轴为直线x=1，顶点坐标是(1，2)四、课堂练习：P10练习。五、小结1．通过本节课的学习，你学到了哪些知识？还存在什么困惑?2．谈谈你的学习体会。作业设计必做教科书P14：5（3）选做教科书P15：11教学反思
教学时间课题26.1 二次函数（6）课型新授课教学目标知 识和能 力1．使学生掌握用描点法画出函数y＝ax2＋bx＋c的图象。2．使学生掌握用图象或通过配方确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标。过 程和方 法让学生经历探索二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标以及性质的过程，理解二次函数y＝ax2＋bx＋c的性质。情 感态 度价值观教学重点用描点法画出二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和通过配方确定抛物线的对称轴、顶点坐标教学难点理解二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的性质以及它的对称轴(顶点坐标分别是x＝－、(－，)教学准备教师多媒体课件学生“五个一”课堂教学程序设计设计意图一、提出问题1．你能说出函数y＝－4(x－2)2＋1图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗？(函数y＝－4(x－2)2＋1图象的开口向下，对称轴为直线x＝2，顶点坐标是(2，1)。2．函数y＝－4(x－2)2＋1图象与函数y＝－4x2的图象有什么关系?(函数y＝－4(x－2)2＋1的图象可以看成是将函数y＝－4x2的图象向右平移2个单位再向上平移1个单位得到的)3．函数y＝－4(x－2)2＋1具有哪些性质?(当x＜2时，函数值y随x的增大而增大，当x＞2时，函数值y随x的增大而减小；当x＝2时，函数取得最大值，最大值y＝1)4．不画出图象，你能直接说出函数y＝－x2＋x－的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗?[因为y＝－x2＋x－＝－(x－1)2－2，所以这个函数的图象开口向下，对称轴为直线x＝1，顶点坐标为(1，－2)]5．你能画出函数y＝－x2＋x－的图象，并说明这个函数具有哪些性质吗?二、解决问题由以上第4个问题的解决，我们已经知道函数y＝－x2＋x－的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标。根据这些特点，可以采用描点法作图的方法作出函数y＝－x2＋x－的图象，进而观察得到这个函数的性质。说明：(1)列表时，应根据对称轴是x＝1，以1为中心，对称地选取自变量的值，求出相应的函数值。相应的函数值是相等的。(2)直角坐标系中x轴、y轴的长度单位可以任意定，且允许x轴、y轴选取的长度单位不同。所以要根据具体问题，选取适当的长度单位，使画出的图象美观。让学生观察函数图象，发表意见，互相补充，得到这个函数韵性质；当x＜1时，函数值y随x的增大而增大；当x＞1时，函数值y随x的增大而减小；当x＝1时，函数取得最大值，最大值y＝－2三、做一做1．请你按照上面的方法，画出函数y＝x2
－4x＋10的图象，由图象你能发现这个函数具有哪些性质吗?教学要点(1)在学生画函数图象的同时，教师巡视、指导；(2)叫一位或两位同学板演，学生自纠，教师点评。2．通过配方变形，说出函数y＝－2x2＋8x－8的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，这个函数有最大值还是最小值?这个值是多少?教学要点(1)在学生做题时，教师巡视、指导；(2)让学生总结配方的方法；(3)让学生思考函数的最大值或最小值与函数图象的开口方向有什么关系?这个值与函数图象的顶点坐标有什么关系?以上讲的，都是给出一个具体的二次函数，来研究它的图象与性质。那么，对于任意一个二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，如何确定它的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标?你能把结果写出来吗?教师组织学生分组讨论，各组选派代表发言，全班交流，达成共识；y＝ax2＋bx＋c＝a(x2＋x)＋c＝a[x2＋x＋()2－()2]＋c＝a[x2＋x＋()2]＋c－＝a(x＋)2＋当a＞0时，开口向上，当a＜0时，开口向下。对称轴是x＝－b/2a，顶点坐标是(－，)四、课堂练习： P12练习。五、小结： 通过本节课的学习，你学到了什么知识？有何体会？作业设计必做教科书P14：6选做教科书P15：12教学反思
教学时间课题26.1 二次函数（7）课型新授课教学目标知 识和能 力1．能根据实际问题列出函数关系式、2．使学生能根据问题的实际情况，确定函数自变量x的取值范围。过 程和方 法通过建立二次函数的数学模型解决实际问题，培养学生分析问题、解决问题的能力，提高学生用数学的意识。情 感态 度价值观教学重点根据实际问题建立二次函数的数学模型，并确定二次函数自变量的范围教学难点根据实际问题建立二次函数的数学模型，并确定二次函数自变量的范围教学准备教师多媒体课件学生“五个一”课堂教学程序设计设计意图一、复习旧知1．通过配方，写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标。(1)y＝6x2＋12x；(2)y＝－4x2＋8x－10[y＝6(x＋1)2－6，抛物线的开口向上，对称轴为x＝－1，顶点坐标是(－1，－6)；y＝－4(x－1)2－6，抛物线开口向下，对称轴为x＝1，顶点坐标是(1，－6))2.以上两个函数，哪个函数有最大值，哪个函数有最小值?说出两个函数的最大值、最小值分别是多少?(函数y＝6x2＋12x有最小值，最小值y＝－6，函数y＝－4x2＋8x－10有最大值，最大值y＝－6)二、范例有了前面所学的知识，现在就可以应用二次函数的知识去解决第2页提出的两个实际问题；例1、要用总长为20m的铁栏杆，一面靠墙，围成一个矩形的花圃，怎样围法才能使围成的花圃的面积最大?解：设矩形的宽AB为xm，则矩形的长BC为(20－2x)m，由于x＞0，且20－2x＞O，所以O＜x＜1O。围成的花圃面积y与x的函数关系式是y＝x(20－2x)即y＝－2x2＋20x配方得y＝－2(x－5)2＋50所以当x＝5时，函数取得最大值，最大值y＝50。因为x＝5时，满足O＜x＜1O，这时20－2x＝10。所以应围成宽5m，长10m的矩形，才能使围成的花圃的面积最大。例2．某商店将每件进价8元的某种商品按每件10元出售，一天可销出约100件，该店想通过降低售价,增加销售量的办法来提高利润，经过市场调查，发现这种商品单价每降低0.1元，其销售量可增加约10件。将这种商品的售价降低多少时，能使销售利润最大?教学要点(1)学生阅读第2页问题2分析，(2)请同学们完成本题的解答；(3)教师巡视、指导；(4)教师给出解答过程：解：设每件商品降价x元(0≤x≤2)，该商品每天的利润为y元。商品每天的利润y与x的函数关系式是：y＝(10－x－8)(100＋1OOx)即y＝－1OOx2＋1OOx＋200配方得y＝－100(x－)2＋225因为x＝时，满足0≤x≤2。所以当x＝时，函数取得最大值，最大值y＝225。
所以将这种商品的售价降低÷元时，能使销售利润最大。例3。用6m长的铝合金型材做一个形状如图所示的矩形窗框。应做成长、宽各为多少时，才能使做成的窗框的透光面积最大?最大透光面积是多少?先思考解决以下问题：(1)若设做成的窗框的宽为xm，则长为多少m?(m)(2)根据实际情况，x有没有限制?若有跟制，请指出它的取值范围，并说明理由。让学生讨论、交流，达成共识：根据实际情况，应有x＞0，且＞0，即解不等式组，解这个不等式组，得到不等式组的解集为O＜x＜2，所以x的取值范围应该是0＜x＜2。(3)你能说出面积y与x的函数关系式吗?(y＝x·，即y＝－x2＋3x)小结：让学生回顾解题过程，讨论、交流，归纳解题步骤：(1)先分析问题中的数量关系，列出函数关系式；(2)研究自变量的取值范围；(3)研究所得的函数；(4)检验x的取值是否在自变量的取值范围内，并求相关的值：(5)解决提出的实际问题。三、课堂练习：P13练习。四、小结： 1．通过本节课的学习，你学到了什么知识?存在哪些困惑? 2．谈谈你的收获和体会。作业设计必做教科书P15：9选做教科书P15：10教学反思
教学时间课题26.2用函数的观点看一元二次方程（1）课型新授课教学目标知 识和能 力通过探索，使学生理解二次函数与一元二次方程、一元二次不等式之间的联系。过 程和方 法使学生能够运用二次函数及其图象、性质解决实际问题，提高学生用数学的意识。情 感态 度价值观进一步培养学生综合解题能力，渗透数形结合思想。教学重点使学生理解二次函数与一元二次方程、一元二次不等式之间的联系，能够运用二次函数及其图象、性质去解决实际问题教学难点进一步培养学生综合解题能力，渗透数形结合的思想教学准备教师多媒体课件学生“五个一”课堂教学程序设计设计意图一、引言在现实生活中，我们常常会遇到与二次函数及其图象有关的问题，如拱桥跨度、拱高计算等，利用二次函数的有关知识研究和解决这些问题，具有很现实的意义。本节课，请同学们共同研究，尝试解决以下几个问题。二、探索问题问题1：某公园要建造一个圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面竖一根柱子，上面的A处安装一个喷头向外喷水。连喷头在内，柱高为0.8m。水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，如图(1)所示。根据设计图纸已知：如图(2)中所示直角坐标系中，水流喷出的高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数关系式是y＝－x2＋2x＋。(1)喷出的水流距水平面的最大高度是多少?(2)如果不计其他的因素，那么水池至少为多少时，才能使喷出的水流都落在水池内?教学要点1．让学生讨论、交流，如何将文学语言转化为数学语言，得出问题(1)就是求函数y＝－x2＋2x＋最大值，问题(2)就是求如图(2)B点的横坐标；2．学生解答，教师巡视指导；3．让一两位同学板演，教师讲评。问题2：一个涵洞成抛物线形，它的截面如图(3)所示，现测得，当水面宽AB＝1.6m时，涵洞顶点与水面的距离为2.4m。这时，离开水面1.5m处，涵洞宽ED是多少?是否会超过1m?教学要点
1．教师分析：根据已知条件，要求ED的宽，只要求出FD的长度。在如图(3)的直角坐标系中，即只要求出D点的横坐标。因为点D在涵洞所成的抛物线上，又由已知条件可得到点D的纵坐标，所以利用抛物线的函数关系式可以进一步算出点D的横坐标。2．让学生完成解答，教师巡视指导。3．教师分析存在的问题，书写解答过程。解：以AB的垂直平分线为y轴，以过点O的y轴的垂线为x轴，建立直角坐标系。这时，涵洞的横截面所成抛物线的顶点在原点，对称轴为y轴，开口向下，所以可设它的函数关系式为：y＝ax2(a＜0)(1)因为AB与y轴相交于C点，所以CB＝＝0.8(m)，又OC＝2.4m，所以点B的坐标是(0.8，－2.4)。因为点B在抛物线上，将它的坐标代人(1)，得－2.4＝a×0.82所以：a＝－因此，函数关系式是y＝－x2(2)。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。问题3：画出函数y＝x2－x－3/4的图象，根据图象回答下列问题。(1)图象与x轴交点的坐标是什么；(2)当x取何值时，y＝0?这里x的取值与方程x2－x－＝0有什么关系?(3)你能从中得到什么启发?教学要点1．先让学生回顾函数y＝ax2＋bx＋c图象的画法，按列表、描点、连线等步骤画出函数y＝x2－x－的图象。2．教师巡视，与学生合作、交流。3．教师讲评，并画出函数图象，如图(4)所示。4．教师引导学生观察函数图象，回答(1)提出的问题，得到图象与x轴交点的坐标分别是(－，0)和(，0)。5．让学生完成(2)的解答。教师巡视指导并讲评。6．对于问题(3)，教师组织学生分组讨论、交流，各组选派代表发表意见，全班交流，达成共识：从“形”的方面看，函数y＝x2－x－的图象与x轴交点的横坐标，即为方程x2－x－＝0的解；从“数”的方面看，当二次函数y＝x2－x－的函数值为0时，相应的自变量的值即为方程x2－x－＝0的解。更一般地，函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交点的横坐标即为方程ax2＋bx＋c＝0的解；当二次函数y＝ax2＋bx＋c的函数值为0时，相应的自变量的值即为方程ax2＋bx＋c＝0的解，这一结论反映了二次函数与一元二次方程的关系。三、试一试根据问题3的图象回答下列问题。(1)当x取何值时，y＜0?当x取何值时，y＞0?(当－＜x＜时，y＜0；当x＜－或x＞时，y＞0)(2)能否用含有x的不等式来描述(1)中的问题?(能用含有x的不等式采描述(1)中的问题，即x2－x－＜0的解集是什么?x2－x－＞0的解集是什么?)想一想：二次函数与一元二次不等式有什么关系?让学生类比二次函数与一元二次不等式方程的关系，讨论、交流，达成共识：(1)从“形”的方面看，二次函数y＝ax2＋bJ＋c在x轴上方的图象上的点的横坐标，即为一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0的解；在x轴下方的图象上的点的横坐标．即为一元二次不等式ax2＋bx＋c＜0的解。(2)从“数”的方面看，当二次函数y＝ax2＋bx＋c的函数值大于0时，相应的自变量的值即为一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0的解；当二次函数y＝ax2＋bx＋c的函数值小于0时，相应的自变量的值即为一元二次不等式ax2
＋bc＋c＜0的解。这一结论反映了二次函数与一元二次不等式的关系。四、小结：1．通过本节课的学习，你有什么收获?有什么困惑?2．若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴无交点，试说明，元二次方程ax2＋bx＋c＝0和一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0、ax2＋bx＋c＜0的解的情况。作业设计必做教科书P19：1、2选做教科书P20：5教学反思
教学时间课题26.2用函数的观点看一元二次方程（2）课型新授课教学目标知 识和能 力复习巩固用函数y＝ax2＋bx＋c的图象求方程ax2＋bx＋c＝0的解过 程和方 法让学生体验函数y＝x2和y＝bx＋c的交点的横坐标是方程x2＝bx＋c的解的探索过程，掌握用函数y＝x2和y＝bx＋c图象交点的方法求方程ax2＝bx＋c的解。情 感态 度价值观提高学生综合解题能力，渗透数形结合思想。教学重点用函数图象法求方程的解以及提高学生综合解题能力教学难点提高学生综合解题能力，渗透数形结合的思想教学准备教师多媒体课件学生“五个一”课堂教学程序设计设计意图一、复习巩固1．如何运用函数y＝ax2＋bx＋c的图象求方程ax2＋bx＋c的解?2．完成以下两道题：(1)画出函数y＝x2＋x－1的图象，求方程x2＋x－1＝0的解。(精确到0.1)(2)画出函数y＝2x2－3x－2的图象，求方程2x2－3x－2＝0的解。教学要点1．学生练习的同时，教师巡视指导，2．教师根据学生情况进行讲评。解：略函数y＝2x2－3x－2的图象与x轴交点的横坐标分别是x1＝－和x2＝2，所以一元二次方程的解是x1＝－和x2＝2。二、探索问题问题1：(P23问题4)育才中学初三(3)班学生在上节课的作业中出现了争论：求方程x2＝x十3的解时，几乎所有学生都是将方程化为x2－x－3＝0，画出函数y＝x2－x－3的图象，观察它与x轴的交点，得出方程的解。唯独小刘没有将方程移项，而是分别画出了函数y＝x2和y＝x＋2的图象，如图(3)所示，认为它们的交点A、B的横坐标－和2就是原方程的解．提问：1.这两种解法的结果一样吗?2．小刘解法的理由是什么?让学生讨论，交流，发表不同意见，并进行归纳。3．函数y＝x2和y＝bx＋c的图象一定相交于两点吗?你能否举出例子加以说明?4，函数y＝x2和y＝bx＋c的图象的交点横坐标一定是一元二次方程x2＝bx＋c的解吗?5．如果函数y＝x2和y＝bx＋c图象没有交点，一元二次方程x2＝bx＋c的解怎样?三、做一做利用图26．3．4，运用小刘方法求下列方程的解，并检验小刘的方法是否合理。(1)x2＋x－1＝0(精确到0.1)；(2)2x2－3x－2＝0。教学要点：①要把(1)的方程转化为x2＝－x＋1，画函数y＝x2和y＝－x＋1的图象；②要把(2)的方程转化为x2＝x＋1，画函数y＝x2和y＝x＋1的图象；③
在学生练习的同时，教师巡视指导；④解的情况分别与复习两道题的结果进行比较。四、综合运用已知抛物线y1＝2x2－8x＋k＋8和直线y2＝mx＋1相交于点P(3，4m)。(1)求这两个函数的关系式；(2)当x取何值时，抛物线与直线相交，并求交点坐标。解：(1)因为点P(3，4m)在直线y2＝mx＋1上，所以有4m＝3m＋1，解得m＝1所以y1＝x＋1，P(3，4)。因为点P(3，4)在抛物线y1＝2x2－8x＋k＋8上，所以有4＝18－24＋k＋8解得k＝2所以y1＝2x2－8x＋10(2)依题意，得解这个方程组，得，所以抛物线与直线的两个交点坐标分别是(3，4)，(1.5，2.5)。五、小结：1．如何用画函数图象的方法求方程韵解?2．你能根据方程组：的解的情况，来判定函数y＝x2与y＝bx＋c图象交点个数吗?请说说你的看法。作业设计必做教科书P20：3、4选做教科书P20：6教学反思
教学时间课题26.3 实际问题与二次函数（1）课型新授课教学目标知 识和能 力1．使学生掌握用待定系数法由已知图象上一个点的坐标求二次函数y＝ax2的关系式。2.使学生掌握用待定系数法由已知图象上三个点的坐标求二次函数的关系式。过 程和方 法让学生体验二次函数的函数关系式的应用，提高学生用数学意识。情 感态 度价值观教学重点已知二次函数图象上一个点的坐标或三个点的坐标，分别求二次函数y＝ax2、y＝ax2＋bx＋c的关系式教学难点已知图象上三个点坐标求二次函数的关系式教学准备教师多媒体课件学生“五个一”课堂教学程序设计设计意图一、创设问题情境如图，某建筑的屋顶设计成横截面为抛物线型(曲线AOB)的薄壳屋顶。它的拱高AB为4m，拱高CO为0.8m。施工前要先制造建筑模板，怎样画出模板的轮廓线呢?分析：为了画出符合要求的模板，通常要先建立适当的直角坐标系，再写出函数关系式，然后根据这个关系式进行计算，放样画图。如图所示，以AB的垂直平分线为y轴，以过点O的y轴的垂线为x轴，建立直角坐标系。这时，屋顶的横截面所成抛物线的顶点在原点，对称轴是y轴，开口向下，所以可设它的函数关系式为：y＝ax2(a＜0)(1)因为y轴垂直平分AB，并交AB于点C，所以CB＝＝2(cm)，又CO＝0.8m，所以点B的坐标为(2，－0.8)。因为点B在抛物线上，将它的坐标代人(1)，得－0.8＝a×22所以a＝－0.2因此，所求函数关系式是y＝－0.2x2。请同学们根据这个函数关系式，画出模板的轮廓线。二、引申拓展问题1：能不能以A点为原点，AB所在直线为x轴，过点A的x轴的垂线为y轴，建立直角坐标系?让学生了解建立直角坐标系的方法不是唯一的，以A点为原点，AB所在的直线为x轴，过点A的x轴的垂线为y轴，建立直角坐标系也是可行的。问题2，若以A点为原点，AB所在直线为x轴，过点A的x轴的垂直为y轴，建立直角坐标系，你能求出其函数关系式吗?分析：按此方法建立直角坐标系，则A点坐标为(0，0)，B点坐标为(4，0),OC所在直线为抛物线的对称轴，所以有AC＝CB，AC＝2m，O点坐标为(2；0．8)。即把问题转化为：已知抛物线过(0，0)、(4，0)；(2，0．8)三点，求这个二次函数的关系式。二次函数的一般形式是y＝ax2＋bx＋c，求这个二次函数的关系式，跟以前学过求一次函数的关系式一样，关键是确定o、6、c，已知三点在抛物线上，所以它的坐标必须适合所求的函数关系式；可列出三个方程，解此方程组，求出三个待定系数。解：设所求的二次函数关系式为y＝ax2＋bx＋c。因为OC所在直线为抛物线的对称轴，所以有AC＝CB，AC＝2m，拱高OC＝0.8m，所以O点坐标为(2，0.8)，A点坐标为(0，0)，B点坐标为(4，0)。
由已知，函数的图象过(0，0)，可得c＝0，又由于其图象过(2，0.8)、(4，0)，可得到解这个方程组，得所以，所求的二次函数的关系式为y＝－x2＋x。问题3：根据这个函数关系式，画出模板的轮廓线，其图象是否与前面所画图象相同?问题4：比较两种建立直角坐标系的方式，你认为哪种建立直角坐标系方式能使解决问题来得更简便?为什么?(第一种建立直角坐标系能使解决问题来得更简便，这是因为所设函数关系式待定系数少，所求出的函数关系式简单，相应地作图象也容易)请同学们阅渎P18例7。三、课堂练习例1．如图所示，求二次函数的关系式。分析：观察图象可知，A点坐标是(8，0)，C点坐标为(0，4)。从图中可知对称轴是直线x＝3，由于抛物线是关于对称轴的轴对称图形，所以此抛物线在x轴上的另一交点B的坐标是(－2，0)，问题转化为已知三点求函数关系式。解：观察图象可知，A、C两点的坐标分别是(8，0)、(0，4)，对称轴是直线x＝3。因为对称轴是直线x＝3，所以B点坐标为(－2，0)。设所求二次函数为y＝ax2＋bx＋c，由已知，这个图象经过点(0，4)，可以得到c＝4，又由于其图象过(8，0)、(－2，0)两点，可以得到解这个方程组，得所以，所求二次函数的关系式是y＝－x2＋x＋4练习：一条抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点(0，0)与(12，0)，最高点的纵坐标是3，求这条抛物线的解析式。四、小结：二次函数的关系式有几种形式，函数的关系式y＝ax2＋bx＋c就是其中一种常见的形式。二次函数关系式的确定，关键在于求出三个待定系数a、b、c，由于已知三点坐标必须适合所求的函数关系式，故可列出三个方程，求出三个待定系数。作业设计必做教科书P26：1、2、3选做教科书P26：7教学反思
教学时间课题26.3 实际问题与二次函数（2）课型新授课教学目标知 识和能 力1．复习巩固用待定系数法由已知图象上三个点的坐标求二次函数的关系式。2．使学生掌握已知抛物线的顶点坐标或对称轴等条件求出函数的关系式。过 程和方 法情 感态 度价值观教学重点根据不同条件选择不同的方法求二次函数的关系式教学难点根据不同条件选择不同的方法求二次函数的关系式教学准备教师多媒体课件学生“五个一”课堂教学程序设计设计意图一、复习巩固1．如何用待定系数法求已知三点坐标的二次函数关系式?2．已知二次函数的图象经过A(0，1)，B(1，3)，C(－1，1）。(1)求二次函数的关系式，(2)画出二次函数的图象；(3)说出它的顶点坐标和对称轴。答案：(1)y＝x2＋x＋1，(2)图略，(3)对称轴x＝－，顶点坐标为(－，)。3．二次函数y＝ax2＋bx＋c的对称轴，顶点坐标各是什么?[对称轴是直线x＝－，顶点坐标是(－，)]二、范例例1．已知一个二次函数的图象过点(0，1)，它的顶点坐标是(8，9)，求这个二次函数的关系式。分析：二次函数y＝ax2＋bx＋c通过配方可得y＝a(x＋h)2＋k的形式称为顶点式，(－h，k)为抛物线的顶点坐标，因为这个二次函数的图象顶点坐标是(8，9)，因此，可以设函数关系式为：y＝a(x－8)2＋9由于二次函数的图象过点(0，1)，将(0，1)代入所设函数关系式，即可求出a的值。请同学们完成本例的解答。例2．已知抛物线对称轴是直线x＝2，且经过(3，1)和(0，－5)两点，求二次函数的关系式。解法1：设所求二次函数的解析式是y＝ax2＋bx＋c，因为二次函数的图象过点(0，－5)，可求得c＝－5，又由于二次函数的图象过点(3，1)，且对称轴是直线x＝2，可以得解这个方程组，得：所以所求的二次函数的关系式为y＝－2x2＋8x－5。解法二；设所求二次函数的关系式为y＝a(x－2)2＋k，由于二次函数的图象经过(3，1)和(0，－5)两点，可以得到解这个方程组，得：所以，所求二次函数的关系式为y＝－2(x－2)2＋3，即y＝－2x2＋8x－5。例3。已知抛物线的顶点是(2，－4)，它与y轴的一个交点的纵坐标为4，求函数的关系式。解法1：设所求的函数关系式为y＝a(x＋h)2＋k，依题意，得y＝a(x－2)2－4因为抛物线与y轴的一个交点的纵坐标为4，所以抛物线过点(0，4)，于是a(0－2)2－4＝4，解得a＝2。所以，所求二次函数的关系式为y＝2(x－2)2－4，即y＝2x2－8x＋4。
解法2：设所求二次函数的关系式为y＝ax2＋bx＋c?依题意，得解这个方程组，得：所以，所求二次函数关系式为y＝2x2－8x＋4。三、课堂练习1.已知二次函数当x＝－3时，有最大值－1，且当x＝0时，y＝－3，求二次函数的关系式。解法1：设所求二次函数关系式为y＝ax2＋bx＋c，因为图象过点(0，3)，所以c＝3，又由于二次函数当x＝－3时，有最大值－1，可以得到：解这个方程组，得：所以，所求二次函数的关系式为y＝x2＋x＋3。解法2：所求二次函数关系式为y＝a(x＋h)2＋k，依题意，得y＝a(x＋3)2－1因为二次函数图象过点(0，3)，所以有3＝a(0＋3)2－1解得a＝所以，所求二次函数的关系为y＝44/9(x＋3)2－1，即y＝x2＋x＋3．小结：让学生讨论、交流、归纳得到：已知二次函数的最大值或最小值，就是已知该函数顶点坐标，应用顶点式求解方便，用一般式求解计算量较大。2．已知二次函数y＝x2＋px＋q的图象的顶点坐标是(5，－2)，求二次函数关系式。简解：依题意，得解得：p＝－10,q＝23所以，所求二次函数的关系式是y＝x2－10x＋23。四、小结1，求二次函数的关系式，常见的有几种类型?[两种类型：(1)一般式：y＝ax2＋bx＋c(2)顶点式：y＝a(x＋h)2＋k，其顶点是(－h，k)]2．如何确定二次函数的关系式?让学生回顾、思考、交流，得出：关键是确定上述两个式子中的待定系数，通常需要三个已知条件。在具体解题时，应根据具体的已知条件，灵活选用合适的形式，运用待定系数法求解。作业设计必做教科书P26：4、5、6选做教科书P26：8、9教学反思
教学时间课题《二次函数》小结与复习（1）课型新授课教学目标知 识和能 力理解二次函数的概念，掌握二次函数y＝ax2的图象与性质；会用描点法画抛物线，能确定抛物线的顶点、对称轴、开口方向，能较熟练地由抛物线y＝ax2经过适当平移得到y＝a(x－h)2＋k的图象。过 程和方 法情 感态 度价值观教学重点用配方法求二次函数的顶点、对称轴，根据图象概括二次函数y＝ax2图象的性质。教学难点二次函数图象的平移。教学准备教师多媒体课件学生“五个一”课堂教学程序设计设计意图一、结合例题精析，强化练习，剖析知识点1．二次函数的概念，二次函数y＝ax2(a≠0)的图象性质。例：已知函数是关于x的二次函数，求：(1)满足条件的m值；(2)m为何值时，抛物线有最低点?求出这个最低点．这时当x为何值时，y随x的增大而增大?(3)m为何值时，函数有最大值?最大值是什么?这时当x为何值时，y随x的增大而减小?学生活动：学生四人一组进行讨论，并回顾例题所涉及的知识点，让学生代表发言分析解题方法，以及涉及的知识点。教师精析点评，二次函数的一般式为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)。强调a≠0．而常数b、c可以为0，当b，c同时为0时，抛物线为y＝ax2(a≠0)。此时，抛物线顶点为(0，0)，对称轴是y轴，即直线x＝0。(1)使是关于x的二次函数，则m2＋m－4＝2，且m＋2≠0，即：m2＋m－4＝2，m＋2≠0，解得；m＝2或m＝－3，m≠－2(2)抛物线有最低点的条件是它开口向上，即m＋2＞0，(3)函数有最大值的条件是抛物线开口向下，即m＋2＜0。抛物线的增减性要结合图象进行分析，要求学生画出草图，渗透数形结合思想，进行观察分析。强化练习；已知函数是二次函数，其图象开口方向向下，则m＝_____，顶点为_____，当x_____0时，y随x的增大而增大，当x_____0时，y随x的增大而减小。2。用配方法求抛物线的顶点，对称轴；抛物线的画法，平移规律，例：用配方法求出抛物线y＝－3x2－6x＋8的顶点坐标、对称轴，并画出函数图象，说明通过怎样的平移，可得到抛物线y＝－3x2。学生活动：小组讨论配方方法，确定抛物线画法的步骤，探索平移的规律。充分讨论后让学生代表归纳解题方法与思路。教师归纳点评：(1)教师在学生合作讨论基础上强调配方的方法及配方的意义，指出抛物线的一般式与顶点式的互化关系：y＝ax2＋bx＋c————→y＝a(x＋)2＋(2)强调利用抛物线的对称性进行画图，先确定抛物线的顶点、对称轴，利用对称性列表、描点、连线。(3)抛物线的平移抓住关键点顶点的移动，分析完例题后归纳；投影展示：
强化练习：(1)抛物线y＝x2＋bx＋c的图象向左平移2个单位。再向上平移3个单位，得抛物线y＝x2－2x＋1，求：b与c的值。(2)通过配方，求抛物线y＝x2－4x＋5的开口方向、对称轴及顶点坐标，再画出图象。3．知识点串联，综合应用。例：如图，已知直线AB经过x轴上的点A(2，0)，且与抛物线y＝ax2相交于B、C两点，已知B点坐标为(1，1)。(1)求直线和抛物线的解析式；(2)如果D为抛物线上一点，使得△AOD与△OBC的面积相等，求D点坐标。学生活动：开展小组讨论，体验用待定系数法求函数的解析式。教师点评：(1)直线AB过点A(2，0)，B(1，1)，代入解析式y＝kx＋b，可确定k、b，抛物线y＝ax2过点B(1，1)，代人可确定a。求得：直线解析式为y＝－x＋2，抛物线解析式为y＝x2。(2)由y＝－x＋2与y＝x2，先求抛物线与直线的另一个交点C的坐标为(－2，4)，S△OBC＝S△ABC－S△OAB＝3。∵S△AOD＝S△OBC，且OA＝2∴D的纵坐标为3又∵D在抛物线y＝x2上，∴x2＝3，即x＝±∴D(－，3)或(，3)强化练习：函数y＝ax2(a≠0)与直线y＝2x－3交于点A(1，b)，求：(1)a和b的值；(2)求抛物线y＝ax2的顶点和对称轴；(3)x取何值时，二次函数y＝ax2中的y随x的增大而增大，(4)求抛物线与直线y＝－2两交点及抛物线的顶点所构成的三角形面积。二、课堂小结1．让学生反思本节教学过程，归纳本节课复习过的知识点及应用。2。投影：完成下表：作业设计必做教科书P31：1-9选做教科书P32：10、11
教学反思
教学时间课题《二次函数》小结与复习（2）课型新授课教学目标知 识和能 力会用待定系数法求二次函数的解析式，能结合二次函数的图象掌握二次函数的性质，能较熟练地利用函数的性质解决函数与圆、三角形、四边形以及方程等知识相结合的综合题。过 程和方 法情 感态 度价值观教学重点用待定系数法求函数的解析式、运用配方法确定二次函数的特征。教学难点会运用二次函数知识解决有关综合问题。教学准备教师多媒体课件学生“五个一”课堂教学程序设计设计意图一、例题精析，强化练习，剖析知识点用待定系数法确定二次函数解析式．例：根据下列条件，求出二次函数的解析式。(1)抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点(0，1)，(1，3)，(－1，1)三点。(2)抛物线顶点P(－1，－8)，且过点A(0，－6)。(3)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象过(3，0)，(2，－3)两点，并且以x＝1为对称轴。(4)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过一次函数y＝－3/2x＋3的图象与x轴、y轴的交点；且过(1，1)，求这个二次函数解析式，并把它化为y＝a(x－h)2＋k的形式。学生活动：学生小组讨论，并让学生阐述解题方法。教师归纳：二次函数解析式常用的有三种形式：(1)一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)(2)顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)(3)两根式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)当已知抛物线上任意三点时，通常设为一般式y＝ax2＋bx＋c形式。当已知抛物线的顶点与抛物线上另一点时，通常设为顶点式y＝a(x－h)2＋k形式。当已知抛物线与x轴的交点或交点横坐标时，通常设为两根式y＝a(x－x1)(x－x2)强化练习：已知二次函数的图象过点A(1，0)和B(2，1)，且与y轴交点纵坐标为m。(1)若m为定值，求此二次函数的解析式；(2)若二次函数的图象与x轴还有异于点A的另一个交点，求m的取值范围。二、知识点串联，综合应用例：如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c过点A(－1，0)，且经过直线y＝x－3与坐标轴的两个交点B、C。(1)求抛物线的解析式；(2)求抛物线的顶点坐标，(3)若点M在第四象限内的抛物线上，且OM⊥BC，垂足为D，求点M的坐标。学生活动：学生先自主分析，然后小组讨论交流。教师归纳：(1)求抛物线解析式，只要求出A、B，C三点坐标即可，设y＝x2－2x－3。(2)抛物线的顶点可用配方法求出，顶点为(1，－4)。(3)由|0B|＝|OC|＝3又OM⊥BC。所以，OM平分∠BOC设M(x，－x)代入y＝x2－2x－3解得x＝因为M在第四象限：∴M(，)
题后反思：此题为二次函数与一次函数的交叉问题，涉及到了用待定系数法求函数解析式，用配方法求抛物线的顶点坐标；等腰三角形三线合一等性质应用，求M点坐标时应考虑M点所在象限的符号特征，抓住点M在抛物线上，从而可求M的求标。强化练习；已知二次函数y＝2x2－(m＋1)x＋m－1。(1)求证不论m为何值，函数图象与x轴总有交点，并指出m为何值时，只有一个交点。(2)当m为何值时，函数图象过原点，并指出此时函数图象与x轴的另一个交点。(3)若函数图象的顶点在第四象限，求m的取值范围。三、课堂小结1．投影：让学生完成下表：2．归纳二次函数三种解析式的实际应用。3．强调二次函数与方程、圆、三角形，三角函数等知识综合的综合题解题思路。作业设计必做练习册P133-136选做练习册P137教学反思
教学时间课题《二次函数》小结与复习（3）课型新授课教学目标知 识和能 力1．使学生掌握二次函数模型的建立，并能运用二次函数的知识解决实际问题。2．能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系，获得用数学方法解决实际问题的经验，感受数学模型、思想在实际问题中的应用价值。过 程和方 法情 感态 度价值观教学重点利用二次函数的知识解决实际问题，并对解决问题的策略进行反思。教学难点将实际问题转化为函数问题，并利用函数的性质进行决策。教学准备教师多媒体课件学生“五个一”课堂教学程序设计设计意图一、例题精析，引导学法，指导建模1．何时获得最大利润问题。例：重庆市某区地理环境偏僻，严重制约经济发展，丰富的花木产品只能在本地销售，区政府对该花木产品每投资x万元，所获利润为P=－(x－30)2＋10万元，为了响应我国西部大开发的宏伟决策，区政府在制定经济发展的10年规划时，拟开发此花木产品，而开发前后可用于该项目投资的专项资金每年最多50万元，若开发该产品，在前5年中，必须每年从专项资金中拿出25万元投资修通一条公路，且5年修通，公路修通后，花木产品除在本地销售外，还可运往外地销售，运往外地销售的花木产品，每投资x万元可获利润Q=－(50－x)2＋(50－x)＋308万元。(1)若不进行开发，求10年所获利润最大值是多少?(2)若按此规划开发，求10年所获利润的最大值是多少?(3)根据(1)、(2)计算的结果，请你用一句话谈谈你的想法。学生活动：投影给出题目后，让学生先自主分析，小组进行讨论。教师活动：在学生分析、讨论过程中，对学生进行学法引导，引导学生先了解二次函数的基本性质，并学会从实际问题中抽象出二次函数的模型，借助二次函数的性质来解决这类实际应用题。教师精析：(1)若不开发此产品，按原来的投资方式，由P=－(x－30)2＋10知道，只需从50万元专款中拿出30万元投资，每年即可获最大利润10万元，则10年的最大利润为M1＝10×10=100万元。(2)若对该产品开发，在前5年中，当x=25时，每年最大利润是：P＝－(25－30)2＋10=9.5(万元)则前5年的最大利润为M2=9.5×5=47.5万元设后5年中x万元就是用于本地销售的投资。则由Q＝－(50－x)＋(50－x)＋308知，将余下的(50－x万元全部用于外地销售的投资．才有可能获得最大利润；则后5年的利润是：M3＝[－(x－30)2＋10]×5＋(－x2＋x＋308)×5＝－5(x－20)2＋3500故当x＝20时，M3取得最大值为3500万元。
∴10年的最大利润为M＝M2＋M3＝3547.5万元(3)因为3547.5＞100，所以该项目有极大的开发价值。强化练习：某公司试销一种成本单价为500元/件的新产品，规定试销时的销售单价不低于成本单价，又不高于800元/件，经试销调查，发现销售量y(件)与销售单价x(元/件)可近似看做—次函数y＝kx＋b的关系，如图所示。(1)根据图象，求一次函数y＝kx＋b的表达式，(2)设公司获得的毛利润(毛利润＝销售总价－成本总价)为S元，①试用销售单价x表示毛利润S；②试问销售单价定为多少时，该公司可获得最大利润?最大利润是多少?此时的销售量是多少?分析：(1)由图象知直线y＝kx＋b过(600，400)、(700，300)两点，代入可求解析式为y＝－x＋1000(2)由毛利润S＝销售总价－成本总价，可得S与x的关系式。S＝xy－500y＝x·(－x＋1000)－500(－x＋100)＝－x2＋1500x－500000＝－(x－750)2＋62500(500＜x＜800)所以，当销售定价定为750元时，获最大利润为62500元。此时，y＝－x＋1000＝－750＋1000＝250,即此时销售量为250件。2．最大面积是多少问题。例：某广告公司设计一幅周长为12米的矩形广告牌，广告设计费为每平方米1000元，设矩形的边长为x，面积为S平方米。(1)求出S与x之间的函数关系式；(2)请你设计一个方案，使获得的设计费最多，并求出这个设计费用；(3)为了使广告牌美观、大方，要求做成黄金矩形，请你按要求设计，并计算出可获得的设计费是多少?(精确到元)(参与资料：①当矩形的长是宽与(长＋宽)的比例中项时，这样的矩形叫做黄金矩形，②≈2.236)学生活动：让学生根据已有的经验，根据实际几何问题中的数量关系，建立恰当的二次函数模型，并借助二次函数的相关知识来解决这类问题。教师精析：(1)由矩形面积公式易得出S＝x·(6－x)＝－x2＋6x(2)确定所建立的二次函数的最大值，从而可得相应广告费的最大值。由S＝－x2＋6x＝－(x－3)2＋9，知当x＝3时，即此矩形为边长为3的正方形时，矩形面积最大，为9m2，因而相应的广告费也最多：为9×1000＝9000元。(3)构建相应的方程(或方程组)来求出矩形面积，从而得到广告费用的大小。设设计的黄金矩形的长为x米，则宽为(6－x)米。则有x2＝6·(6－x)解得x1＝－3－3(不合题意，舍去)，x2＝－3＋3。即设计的矩形的长为(3，3)米，宽为(9－3)米时，矩形为黄金矩形。此时广告费用约为：1000(3－3)(9－3)≈8498(元)二、课堂小结：让学生谈谈．通过本节课的学习，有哪些体验，如何将实际问题转化为二次函数问题，从而利用二次函数的性质解决最大利润问题，最大面积问题。作业设计必做练习册P138-140选做练习册P141教学反思
教学时间课题23.1图形的旋转（1）课型新授课教学目标知 识和能 力了解旋转及其旋转中心和旋转角的概念，了解旋转对应点的概念及其应用它们解决一些实际问题．过 程和方 法通过复习平移、轴对称的有关概念及性质，从生活中的数学开始，经历观察，产生概念，应用概念解决一些实际问题．情 感态 度价值观让学生经历观察、操作等过程，了解图形旋转的概念，激发学习热情．教学重点旋转及对应点的有关概念及其应用．教学难点从活生生的数学中抽出概念．教学准备教师多媒体课件学生“五个一”课堂教学程序设计设计意图一、复习引入（学生活动）请同学们完成下面各题．1．将如图所示的四边形ABCD平移，使点B的对应点为点D，作出平移后的图形．2．如图，已知△ABC和直线L，请你画出△ABC关于L的对称图形△A′B′C′．3．圆是轴对称图形吗？等腰三角形呢？你还能指出其它的吗？（口述）老师点评并总结：（1）平移的有关概念及性质．（2）如何画一个图形关于一条直线（对称轴）的对称图形并口述它既有的一些性质．（3）什么叫轴对称图形？二、探索新知我们前面已经复习平移等有关内容，生活中是否还有其它运动变化呢？回答是肯定的，下面我们就来研究．
1．请同学们看讲台上的大时钟，有什么在不停地转动？旋绕什么点呢？从现在到下课时钟转了多少度？分针转了多少度？秒针转了多少度？（口答）老师点评：时针、分针、秒针在不停地转动，它们都绕时针的中心．如果从现在到下课时针转了_______度，分针转了_______度，秒针转了______度．2．再看我自制的好像风车风轮的玩具，它可以不停地转动．如何转到新的位置？（老师点评略）3．第1、2两题有什么共同特点呢？共同特点是如果我们把时针、风车风轮当成一个图形，那么这些图形都可以绕着某一固定点转动一定的角度．像这样，把一个图形绕着某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转，点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角．如果图形上的点P经过旋转变为点P′，那么这两个点叫做这个旋转的对应点．下面我们来运用这些概念来解决一些问题．例1．如图，如果把钟表的指针看做三角形OAB，它绕O点按顺时针方向旋转得到△OEF，在这个旋转过程中：（1）旋转中心是什么？旋转角是什么？（2）经过旋转，点A、B分别移动到什么位置？解：（1）旋转中心是O，∠AOE、∠BOF等都是旋转角．（2）经过旋转，点A和点B分别移动到点E和点F的位置．例2．（学生活动）如图，四边形ABCD、四边形EFGH都是边长为1的正方形．（1）这个图案可以看做是哪个“基本图案”通过旋转得到的？（2）请画出旋转中心和旋转角．（3）指出，经过旋转，点A、B、C、D分别移到什么位置？（老师点评）（1）可以看做是由正方形ABCD的基本图案通过旋转而得到的．（2）画图略．（3）点A、点B、点C、点D移到的位置是点E、点F、点G、点H．最后强调，这个旋转中心是固定的，即正方形对角线的交点，但旋转角和对应点都是不唯一的．三、巩固练习教材P56练习1、2、3．四、应用拓展例3．两个边长为1的正方形，如图所示，让一个正方形的顶点与另一个正方形中心重合，不难知道重合部分的面积为，现把其中一个正方形固定不动，另一个正方形绕其中心旋转，问在旋转过程中，两个正方形重叠部分面积是否发生变化？说明理由．分析：设任转一角度，如图中的虚线部分，要说明旋转后正方形重叠部分面积不变，只要说明S△OEE`=S△ODD`，那么只要说明△OEF′≌△ODD′．解：面积不变．理由：设任转一角度，如图所示．在Rt△ODD′和Rt△OEE′中∠ODD′=∠OEE′=90°∠DOD′=∠EOE′=90°-∠BOE
OD=OD∴△ODD′≌△OEE′∴S△ODD`=S△OEE`∴S四边形OE`BD`=S正方形OEBD=五、归纳小结（学生总结，老师点评）本节课要掌握：1．旋转及其旋转中心、旋转角的概念．2．旋转的对应点及其它们的应用．作业设计必做教材P59:1、2、3．选做P60：6教学反思
教学时间课题23.1图形的旋转(2)课型新授课教学目标知 识和能 力理解对应点到旋转中心的距离相等；理解对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；理解旋转前、后的图形全等．掌握以上三个图形的旋转的基本性质的运用．过 程和方 法先复习旋转及其旋转中心、旋转角和旋转的对应点概念，接着用操作几何、实验探究图形的旋转的基本性质．情 感态 度价值观从事图形旋转基本性质的探索活动，进一步发展空间观察，培养运动几何的观点，增强审美意识．教学重点图形的旋转的基本性质及其应用．教学难点运用操作实验几何得出图形的旋转的三条基本性质．教学准备教师多媒体课件学生“五个一”课堂教学程序设计设计意图一、复习引入（学生活动）老师口问，学生口答．1．什么叫旋转？什么叫旋转中心？什么叫旋转角？2．什么叫旋转的对应点？3．请独立完成下面的题目．如图，O是六个正三角形的公共顶点，正六边形ABCDEF能否看做是某条线段绕O点旋转若干次所形成的图形？（老师点评）分析：能．看做是一条边（如线段AB）绕O点，按照同一方法连续旋转60°、120°、180°、240°、300°形成的．二、探索新知上面的解题过程中，能否得出什么结论，请回答下面的问题：1．A、B、C、D、E、F到O点的距离是否相等？2．对应点与旋转中心所连线段的夹角∠BOC、∠COD、∠DOE、∠EOF、∠FOA是否相等？3．旋转前、后的图形这里指三角形△OAB、△OBC、△OCD、△ODE、△OEF、△OFA全等吗？老师点评：（1）距离相等，（2）夹角相等，（3）前后图形全等，那么这个是否有一般性？下面请看这个实验．请看我手里拿着的硬纸板，我在硬纸板上挖下一个三角形的洞，再挖一个点O作为旋转中心，把挖好的硬纸板放在黑板上，先在黑板上描出这个挖掉的三角形图案（△ABC），然后围绕旋转中心O转动硬纸板，在黑板上再描出这个挖掉的三角形（△A′B′C′），移去硬纸板．
（分组讨论）根据图回答下面问题（一组推荐一人上台说明）1．线段OA与OA′，OB与OB′，OC与OC′有什么关系？2．∠AOA′，∠BOB′，∠COC′有什么关系？3．△ABC与△A′B′C′形状和大小有什么关系？老师点评：1．OA=OA′，OB=OB′，OC=OC′，也就是对应点到旋转中心相等．2．∠AOA′=∠BOB′=∠COC′，我们把这三个相等的角，即对应点与旋转中心所连线段的夹角称为旋转角．3．△ABC和△A′B′C′形状相同和大小相等，即全等．综合以上的实验操作和刚才作的（3），得出（1）对应点到旋转中心的距离相等；（2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；（3）旋转前、后的图形全等．例1．如图，△ABC绕C点旋转后，顶点A的对应点为点D，试确定顶点B对应点的位置，以及旋转后的三角形．分析：绕C点旋转，A点的对应点是D点，那么旋转角就是∠ACD，根据对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，即∠BCB′=ACD，又由对应点到旋转中心的距离相等，即CB=CB′，就可确定B′的位置，如图所示．解：（1）连结CD（2）以CB为一边作∠BCE，使得∠BCE=∠ACD（3）在射线CE上截取CB′=CB则B′即为所求的B的对应点．（4）连结DB′则△DB′C就是△ABC绕C点旋转后的图形．例2．如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，且DE=，△ABF是△ADE的旋转图形．（1）旋转中心是哪一点？（2）旋转了多少度？（3）AF的长度是多少？（4）如果连结EF，那么△AEF是怎样的三角形？分析：由△ABF是△ADE的旋转图形，可直接得出旋转中心和旋转角，要求AF的长度，根据旋转前后的对应线段相等，只要求AE的长度，由勾股定理很容易得到．△ABF与△ADE是完全重合的，所以它是直角三角形．解：（1）旋转中心是A点．（2）∵△ABF是由△ADE旋转而成的∴B是D的对应点∴∠DAB=90°就是旋转角（3）∵AD=1，DE=∴AE==∵对应点到旋转中心的距离相等且F是E的对应点
∴AF=（4）∵∠EAF=90°（与旋转角相等）且AF=AE∴△EAF是等腰直角三角形．三、巩固练习教材P58练习1、2．四、应用拓展例3．如图，K是正方形ABCD内一点，以AK为一边作正方形AKLM，使L、M在AK的同旁，连接BK和DM，试用旋转的思想说明线段BK与DM的关系．分析：要用旋转的思想说明就是要用旋转中心、旋转角、对应点的知识来说明．解：∵四边形ABCD、四边形AKLM是正方形∴AB=AD，AK=AM，且∠BAD=∠KAM为旋转角且为90°∴△ADM是以A为旋转中心，∠BAD为旋转角由△ABK旋转而成的∴BK=DM五、归纳小结（学生总结，老师点评）本节课应掌握：1．对应点到旋转中心的距离相等；2．对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；3．旋转前、后的图形全等及其它们的应用．作业设计必做教材P604、5．选做P60：7教学反思
教学时间课题23.1图形的旋转(3)课型新授课教学目标知 识和能 力理解选择不同的旋转中心、不同的旋转角度，会出现不同的效果，掌握根据需要用旋转的知识设计出美丽的图案．过 程和方 法复习图形旋转的基本性质，着重强调旋转中心和旋转角然后应用已学的知识作图，设计出美丽的图案．情 感态 度价值观让学生从事应用所学的知识进行图案设计的活动，享受成功的喜悦，激发学习热情．教学重点用旋转的有关知识画图．教学难点根据需要设计美丽图案．教学准备教师多媒体课件学生“五个一”课堂教学程序设计设计意图一、复习引入1．（学生活动）老师口问，学生口答．（1）各对应点到旋转中心的距离有何关系呢？（2）各对应点与旋转中心所连线段的夹角与旋转角有何关系？（3）两个图形是旋转前后的图形，它们全等吗？2．请同学独立完成下面的作图题．如图，△AOB绕O点旋转后，G点是B点的对应点，作出△AOB旋转后的三角形．（老师点评）分析：要作出△AOB旋转后的三角形，应找出三方面：第一，旋转中心：O；第二，旋转角：∠BOG；第三，A点旋转后的对应点：A′．二、探索新知从上面的作图题中，我们知道，作图应满足三要素：旋转中心、旋转角、对应点，而旋转中心、旋转角固定下来，对应点就自然而然地固定下来．因此，下面就选择不同的旋转中心、不同的旋转角来进行研究．1．旋转中心不变，改变旋转角画出以下图所示的四边形ABCD以O点为中心，旋转角分别为30°、60°的旋转图形．
2．旋转角不变，改变旋转中心画出以下图，四边形ABCD分别为O、O为中心，旋转角都为30°的旋转图形．因此，从以上的画图中，我们可以得到旋转中心不变，改变旋转角与旋转角不变，改变旋转中心会产生不同的效果，所以，我们可以经过旋转设计出美丽的图案．例1．如下图是菊花一叶和中心与圆圈，现以O为旋转中心画出分别旋转45°、90°、135°、180°、215°、270°、315°的菊花图案．分析：只要以O为旋转中心、旋转角以上面为变化，旋转长度为菊花的最长OA，按菊花叶的形状画出即可．解：（1）连结OA（2）以O点为圆心，OA长为半径旋转45°，得A．（3）依此类推画出旋转角分别为90°、135°、180°、215°、270°、315°的A、A、A、A、A、A．（4）按菊花一叶图案画出各菊花一叶．那么所画的图案就是绕O点旋转后的图形．例2．（学生活动）如图，如果上面的菊花一叶，绕下面的点O′为旋转中心，请同学画出图案，它还是原来的菊花吗？老师点评：显然，画出后的图案不是菊花，而是另外的一种花了．三、巩固练习教材P59练习．四、应用拓展例3．如图，如何作出该图案绕O点按逆时针旋转90°的图形．分析：该备案是一个比较复杂的图案，是作出几个复合图形组成的图案，因此，要先画出图中的关键点，这些关键点往往是图案里线的端点、角的顶点、圆的圆心等，然后再根据旋转的特征，作出这些关键点的对应点，最后再按原图案作出旋转后的图案．解：（1）连结OA，过O点沿OA逆时针作∠AOA′=90°
，在射线OA′上截取OA′=OA；（2）用同样的方法分别求出B、C、D、E、F、G、H的对应点B′、C′、D′、E′、F′、G′、H′；（3）作出对应线段A′B′、B′C′、C′D′、D′E′、E′F′、F′A′、A′G′、G′D′、D′H′、H′A′；（4）所作出的图案就是所求的图案．五、归纳小结（学生归纳，老师点评）本节课应掌握：1．选择不同的旋转中心、不同的旋转角，设计出美丽的图案；2．作出几个复合图形组成的图案旋转后的图案，要先求出图中的关键点──线的端点、角的顶点、圆的圆心等．作业设计必做教材P60：综合运用7、8．选做P60：9教学反思
教学时间课题23.2中心对称(1)课型新授课教学目标知 识和能 力了解中心对称、对称中心、关于中心的对称点等概念及掌握这些概念解决一些问题．过 程和方 法复习运用旋转知识作图，旋转角度变化，设计出不同的美丽图案来引入旋转180°的特殊旋转──中心对称的概念，并运用它解决一些实际问题．情 感态 度价值观让学生通过独立思考，自主探究和合作交流进一步体会旋转的数学内涵，获得知识，体验成功，享受学习乐趣．教学重点利用中心对称、对称中心、关于中心对称点的概念解决一些问题．教学难点从一般旋转中导入中心对称．教学准备教师多媒体课件学生“五个一”课堂教学程序设计设计意图一、复习引入请同学们独立完成下题．如图，△ABC绕点O旋转，使点A旋转到点D处，画出旋转后的三角形，并写出简要作法．老师点评：分析，本题已知旋转后点A的对应点是点D，且旋转中心也已知，所以关键是找出旋转角和旋转方向．显然，逆时针或顺时针旋转都符合要求，一般我们选择小于180°的旋转角为宜，故本题选择的旋转方向为顺时针方向；已知一对对应点和旋转中心，很容易确定旋转角．如图，连结OA、OD，则∠AOD即为旋转角．接下来根据“任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角”和“对应点到旋转中心的距离相等”这两个依据来作图即可．作法：（1）连结OA、OB、OC、OD；（2）分别以OB、OB为边作∠BOM=∠CON=∠AOD；（3）分别截取OE=OB，OF=OC；（4）依次连结DE、EF、FD；即：△DEF就是所求作的三角形，如图所示．二、探索新知问题：作出如图的两个图形绕点O旋转180°的图案，并回答下列的问题：1．以O为旋转中心，旋转180°后两个图形是否重合？2．各对称点绕O旋转180°后，这三点是否在一条直线上？
老师点评：可以发现，如图所示的两个图案绕O旋转180°都是重合的，即甲图与乙图重合，△OAB与△COD重合．像这样，把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心．这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点．例1．如图，四边形ABCD绕D点旋转180°，请作出旋转后的图案，写出作法并回答．（1）这两个图形是中心对称图形吗？如果是对称中心是哪一点？如果不是，请说明理由．（2）如果是中心对称，那么A、B、C、D关于中心的对称点是哪些点．分析：（1）根据中心对称的定义便直接可知这两个图形是中心对称图形，对称中心就是旋转中心．（3）旋转后的对应点，便是中心的对称点．解：作法：（1）延长AD，并且使得DA′=AD（2）同样可得：BD=B′D，CD=C′D（3）连结A′B′、B′C′、C′D，则四边形A′B′C′D为所求的四边形，如图23-44所示．答：（1）根据中心对称的定义便知这两个图形是中心对称图形，对称中心是D点．（2）A、B、C、D关于中心D的对称点是A′、B′、C′、D′，这里的D′与D重合．例2．如图，已知AD是△ABC的中线，画出以点D为对称中心，与△ABD成中心对称的三角形．分析：因为D是对称中心且AD是△ABC的中线，所以C、B为一对的对应点，因此，只要再画出A关于D的对应点即可．
解：（1）延长AD，且使AD=DA′，因为C点关于D的中心对称点是B（C′），B点关于中心D的对称点为C（B′）（2）连结A′B′、A′C′．则△A′B′C′为所求作的三角形，如图所示．三、巩固练习教材P64练习1．四、应用拓展例3．如图，在△ABC中，∠C=70°，BC=4，AC=4，现将△ABC沿CB方向平移到△A′B′C′的位置．（1）若平移的距离为3，求△ABC与△A′B′C′重叠部分的面积．（2）若平移的距离为x（0≤x≤4），求△ABC与△A′B′C′重叠部分的面积y，写出y与x的关系式．分析：（1）∵BC=4，AC=4∴△ABC是等腰直角三角形，易得△BDC′也是等腰直角三角形且BC′=1（2）∵平移的距离为x，∴BC′=4-x解：（1）∵CC′=3，CB=4且AC=BC∴BC′=C′D=1∴S△BDC`=×1×1=（2）∵CC′=x，∴BC′=4-x∵AC=BC=4∴DC′=4-x∴S△BDC`=（4-x）（4-x）=x2-4x+8五、归纳小结（学生归纳，老师点评）本节课应掌握：1．中心对称及对称中心的概念；2．关于中心的对称点的概念及其运用．作业设计必做教材P67：1．选做教学反思
教学时间课题23.2中心对称(2)课型新授课教学目标知 识和能 力理解关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分；理解关于中心对称的两个图形是全等图形；掌握这两个性质的运用．过 程和方 法复习中心对称的基本概念（中心对称、对称中心，关于中心的对称点），提出问题，让学生分组讨论解决问题，老师引导总结中心对称的基本性质．情 感态 度价值观让学生通过独立思考，自主探究和合作交流进一步体会旋转的数学内涵，获得知识，体验成功，享受学习乐趣．教学重点中心对称的两条基本性质及其运用．教学难点让学生合作讨论，得出中心对称的两条基本性质．教学准备教师多媒体课件学生“五个一”课堂教学程序设计设计意图一、复习引入（老师口问，学生口答）1．什么叫中心对称？什么叫对称中心？2．什么叫关于中心的对称点？3．请同学随便画一三角形，以三角形一顶点为对称中心，画出这个三角形关于这个对称中心的对称图形，并分组讨论能得到什么结论．（每组推荐一人上台陈述，老师点评）（老师）在黑板上画一个三角形ABC，分两种情况作两个图形（1）作△ABC一顶点为对称中心的对称图形；（2）作关于一定点O为对称中心的对称图形．第一步，画出△ABC．第二步，以△ABC的C点（或O点）为中心，旋转180°画出△A′B′和△A′B′C′，如图1和用2所示．(1)(2)从图1中可以得出△ABC与△A′B′C是全等三角形；
分别连接对称点AA′、BB′、CC′，点O在这些线段上且O平分这些线段．下面，我们就以图2为例来证明这两个结论．证明：（1）在△ABC和△A′B′C′中，
OA=OA′，OB=OB′，∠AOB=∠A′OB′∴△AOB≌△A′OB′∴AB=A′B′同理可证：AC=A′C′，BC=B′C′∴△ABC≌△A′B′C′（2）点A′是点A绕点O旋转180°后得到的，即线段OA绕点O旋转180°得到线段OA′，所以点O在线段AA′上，且OA=OA′，即点O是线段AA′的中点．同样地，点O也在线段BB′和CC′上，且OB=OB′，OC=OC′，即点O是BB′和CC′的中点．因此，我们就得到1．关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分．2．关于中心对称的两个图形是全等图形．例1．如图，已知△ABC和点O，画出△DEF，使△DEF和△ABC关于点O成中心对称．分析：中心对称就是旋转180°，关于点O成中心对称就是绕O旋转180°，因此，我们连AO、BO、CO并延长，取与它们相等的线段即可得到．解：（1）连结AO并延长AO到D，使OD=OA，于是得到点A的对称点D，如图所示．（2）同样画出点B和点C的对称点E和F．（3）顺次连结DE、EF、FD．则△DEF即为所求的三角形．例2．（学生练习，老师点评）如图，已知四边形ABCD和点O，画四边形A′B′C′D′，使四边形A′B′C′D′和四边形ABCD关于点O成中心对称（只保留作图痕迹，不要求写出作法）．二、巩固练习教材P64：练习2．
三、应用拓展例3．如图等边△ABC内有一点O，试说明：OA+OB>OC．分析：要证明OA+OB>OC，必然把OA、OB、OC转为在一个三角形内，应用两边之和大于第三边（两点之间线段最短）来说明，因此要应用旋转．以A为旋转中心，旋转60°，便可把OA、OB、OC转化为一个三角形内．解：如图，把△AOC以A为旋转中心顺时针方向旋转60°后，到△AO′B的位置，则△AOC≌△AO′B．∴AO=AO′，OC=O′B又∵∠OAO′=60°，∴△AO′O为等边三角形．∴AO=OO′在△BOO′中，OO′+OB>BO′即OA+OB>OC四、归纳小结（学生总结，老师点评）本节课应掌握：中心对称的两条基本性质：1．关于中心对称的两个图形，对应点所连线都经过对称中心，而且被对称中心所平分；2．关于中心对称的两个图形是全等图形及其它们的应用．作业设计必做P68：6、7选做P68：8．教学反思
教学时间课题23.2中心对称(3)课型新授课教学目标知 识和能 力了解中心对称图形的概念及中心对称图形的对称中心的概念，掌握这两个概念的应用．过 程和方 法复习两个图形关于中心对称的有关概念，利用这个所学知识探索一个图形是中心对称图形的有关概念及其它的运用．情 感态 度价值观从事图形旋转基本性质的探索活动，进一步发展空间观察，培养运动几何的观点，增强审美意识．教学重点中心对称图形的有关概念及其它们的运用．教学难点区别关于中心对称的两个图形和中心对称图形．教学准备教师多媒体课件学生“五个一”课堂教学程序设计设计意图一、复习引入1．（老师口问）口答：关于中心对称的两个图形具有什么性质？（老师口述）：关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分．关于中心对称的两个图形是全等图形．2．（学生活动）作图题．（1）作出线段AO关于O点的对称图形，如图所示．（2）作出三角形AOB关于O点的对称图形，如图所示．（2）延长AO使OC=AO，延长BO使OD=BO，连结CD则△COD为所求的，如图所示．
二、探索新知从另一个角度看，上面的（1）题就是将线段AB绕它的中点旋转180°，因为OA=OB，所以，就是线段AB绕它的中点旋转180°后与它重合．上面的（2）题，连结AD、BC，则刚才的两个关于中心对称的两个图形，就成平行四边形，如图所示．∵AO=OC，BO=OD，∠AOB=∠COD∴△AOB≌△COD∴AB=CD也就是，ABCD绕它的两条对角线交点O旋转180°后与它本身重合．因此，像这样，把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．（学生活动）例1：从刚才讲的线段、平行四边形都是中心对称图形外，每一位同学举出三个图形，它们也是中心对称图形．老师点评：老师边提问学生边解答．（学生活动）例2：请说出中心对称图形具有什么特点？老师点评：中心对称图形具有匀称美观、平稳．例3．求证：如图任何具有对称中心的四边形是平行四边形．分析：中心对称图形的对称中心是对应点连线的交点，也是对应点间的线段中点，因此，直接可得到对角线互相平分．证明：如图，O是四边形ABCD的对称中心，根据中心对称性质，线段AC、BD必过点O，且AO=CO，BO=DO，即四边形ABCD的对角线互相平分，因此，四边形ABCD是平行四边形．三、巩固练习教材P66练习．四、应用拓展例4．如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，若将矩形折叠，使C点和A点重合，求折痕EF的长．分析：将矩形折叠，使C点和A点重合，折痕为EF，就是A、C两点关于O点对称，这方面的知识在解决一些翻折问题中起关键作用，对称点连线被对称轴垂直平分，进而转化为中垂线性质和勾股定理的应用，求线段长度或面积．解：连接AF，
∵点C与点A重合，折痕为EF，即EF垂直平分AC．∴AF=CF，AO=CO，∠FOC=90°，又四边形ABCD为矩形，∠B=90°，AB=CD=3，AD=BC=4设CF=x，则AF=x，BF=4-x，由勾股定理，得AC2=BC2+AB2=52∴AC=5，OC=AC=∵AB2+BF2=AF2∴32+（4-x）=2=x2∴x=∵∠FOC=90°∴OF2=FC2-OC2=（）2-（）2=（）2OF=同理OE=，即EF=OE+OF=五、归纳小结（学生归纳，老师点评）本节课应掌握：1．中心对称图形的有关概念；2．应用中心对称图形解决有关问题．作业设计必做教材P68：2选做教材P68综合运用5教学反思
教学时间课题23.2中心对称（4）课型新授课教学目标知 识和能 力理解P与点P′点关于原点对称时，它们的横纵坐标的关系，掌握P（x，y）关于原点的对称点为P′（-x，-y）的运用．过 程和方 法复习轴对称、旋转，尤其是中心对称，知识迁移到关于原点对称的点的坐标的关系及其运用．情 感态 度价值观复习平面直角坐标系的有关概念，通过实例归纳出两个点关于原点对称时，坐标符号之间的关系，并运用它解决一些实际问题．享受成功的喜悦，激发学习热情．教学重点两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点的对称点P′（-x，-y）及其运用．教学难点运用中心对称的知识导出关于原点对称的点的坐标的性质及其运用它解决实际问题．教学准备教师多媒体课件学生“五个一”课堂教学程序设计设计意图一、复习引入（学生活动）请同学们完成下面三题．1．已知点A和直线L，如图，请画出点A关于L对称的点A′．2．如图，△ABC是正三角形，以点A为中心，把△ADC顺时针旋转60°，画出旋转后的图形．3．如图△ABO，绕点O旋转180°，画出旋转后的图形．老师点评：老师通过巡查，根据学生解答情况进行点评．（略）二、探索新知（学生活动）如图23-74，在直角坐标系中，已知A（-3，1）、B（-4，0）、C（0，3）、D（2，2）、E（3，-3）、F（-2，-2），作出A、B、C、D、E、F点关于原点O的中心对称点，并写出它们的坐标，并回答：
这些坐标与已知点的坐标有什么关系？老师点评：画法：（1）连结AO并延长AO（2）在射线AO上截取OA′=OA（3）过A作AD′⊥x轴于D′点，过A′作A′D″⊥x轴于点D″．∵△AD′O与△A′D″O全等∴AD′=A′D″，OA=OA′∴A′（3，-1）同理可得B、C、D、E、F这些点关于原点的中心对称点的坐标．（学生活动）分组讨论（每四人一组）：讨论的内容：关于原点作中心对称时，①它们的横坐标与横坐标绝对值什么关系？纵坐标与纵坐标的绝对值又有什么关系？②坐标与坐标之间符号又有什么特点？提问几个同学口述上面的问题．老师点评：（1）从上可知，横坐标与横坐标的绝对值相等，纵坐标与纵坐标的绝对值相等．（2）坐标符号相反，即设P（x，y）关于原点O的对称点P′（-x，-y）．两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点O的对称点P′（-x，-y）．例1．如图，利用关于原点对称的点的坐标的特点，作出与线段AB关于原点对称的图形．分析：要作出线段AB关于原点的对称线段，只要作出点A、点B关于原点的对称点A′、B′即可．解：点P（x，y）关于原点的对称点为P′（-x，-y），因此，线段AB的两个端点A（0，-1），B（3，0）关于原点的对称点分别为A′
（1，0），B（-3，0）．连结A′B′．则就可得到与线段AB关于原点对称的线段A′B′．（学生活动）例2．已知△ABC，A（1，2），B（-1，3），C（-2，4）利用关于原点对称的点的坐标的特点，作出△ABC关于原点对称的图形．老师点评分析：先在直角坐标系中画出A、B、C三点并连结组成△ABC，要作出△ABC关于原点O的对称三角形，只需作出△ABC中的A、B、C三点关于原点的对称点，依次连结，便可得到所求作的△A′B′C′．三、巩固练习教材P67练习．四、应用拓展例3．如图，直线AB与x轴、y轴分别相交于A、B两点，将直线AB绕点O顺时针旋转90°得到直线A1B1．（1）在图中画出直线A1B1．（2）求出线段A1B1中点的反比例函数解析式．（3）是否存在另一条与直线AB平行的直线y=kx+b（我们发现互相平行的两条直线斜率k值相等）它与双曲线只有一个交点，若存在，求此直线的函数解析式，若不存在，请说明理由．分析：（1）只需画出A、B两点绕点O顺时针旋转90°得到的点A1、B1，连结A1B1．（2）先求出A1B1中点的坐标，设反比例函数解析式为y=代入求k．（3）要回答是否存在，如果你判断存在，只需找出即可；如果不存在，才加予说明．这一条直线是存在的，因此A1B1与双曲线是相切的，只要我们通过A1B1的线段作A1、B1关于原点的对称点A2、B2，连结A2B2的直线就是我们所求的直线．解：（1）分别作出A、B两点绕点O顺时针旋转90°得到的点A1（1，0），B1（2，0），连结A1B1，那么直线A1B1就是所求的．（2）∵A1B1的中点坐标是（1，）设所求的反比例函数为y=则=，k=∴所求的反比例函数解析式为y=（3）存在．∵设A1B1：y=k′x+b′过点A1（0，1），B1（2，0）∴∴
∴y=-x+1把线段A1B1作出与它关于原点对称的图形就是我们所求的直线．根据点P（x，y）关于原点的对称点P′（-x，-y）得：A1（0，1），B1（2，0）关于原点的对称点分别为A2（0，-1），B2（-2，0）∵A2B2：y=kx+b∴∴∴A2B2：y=-x-1下面证明y=-x-1与双曲线y=相切-x-1=x+2=-x2+2x+1=0，b2-4ac=4-4×1×1=0∴直线y=-x-1与y=相切∵A1B1与A2B2的斜率k相等∴A2B2与A1B1平行∴A2B2：y=-x-1为所求．五、归纳小结（学生总结，老师点评）本节课应掌握：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y），关于原点的对称点P′（-x，-y），及其利用这些特点解决一些实际问题．作业设计必做教材P67：3、4．选做P69：9
教学反思
教学时间课题23.3课题学习图案设计课型新授课教学目标知 识和能 力利用平移、轴对称和旋转的这些图形变换中的一种或组合进行图案设计，设计出称心如意的图案．过 程和方 法通过复习平移、轴对称、旋转的知识，然后利用这些知识让学生开动脑筋，敝开胸怀大胆联想，设计出一幅幅美丽的图案．情 感态 度价值观让学生从事应用所学的知识进行图案设计的活动，享受成功的喜悦，激发学习热情．教学重点设计图案．教学难点如何利用平移、轴对称、旋转等图形变换中的一种或它们的组合得出图案．教学准备教师多媒体课件学生“五个一”课堂教学程序设计设计意图一、复习引入（学生活动）请同学们独立完成下面的各题．1．如图，已知线段CD是线段AB平移后的图形，D是B点的对称点，作出线段AB，并回答，AB与CD有什么位置关系．2．如图，已知线段CD，作出线段CD关于对称轴L的对称线段C′D′，并说明CD与对称线段C′D′之间有什么关系？3．如图，已知线段CD，作出线段CD关于D点旋转90°的旋转后的图形，并说明这两条线段之间有什么关系？老师点评：1．AB与CD平行且相等；2．过D点作DE⊥L，垂足为E并延长，使ED′=ED，同理作出C′点，连结C′D′，则CD′就是所求的．CD的延长线与C′D′的延长线相交于一点，这一点在L上并且CD=C′D′．3．以D点为旋转中心，旋转后CD⊥C′D′，垂足为D，并且CD=C′D．
二、探索新知请用以上所讲的平移、轴对称、旋转等图形变换中的一种或组合完成下面的图案设计．例1．（学生活动）学生亲自动手操作题．按下面的步骤，请每一位同学完成一个别致的图案．（1）准备一张正三角形纸片（课前准备）（如图a）（2）把纸片任意撕成两部分（如图b，如图c）（3）将撕好的如图b沿正三角形的一边作轴对称，得到新的图形．（4）并将（3）得到的图形以正三角形的一个顶点作为旋转中心旋转，得到如图（d）（如图c）保持不动）（5）把如图（d）平移到如图（c）的右边，得到如图（e）（6）对如图（e）进行适当的修饰，使得到一个别致美丽的如图（f）的图案．老师必要时可以给予一定的指导．三、巩固练习教材P73活动1．四、应用拓展例2．（学生活动）请利用线段、三角形、矩形、菱形、圆作为基本图形，绘制一幅反映你身边面貌的图案，并在班级里交流展示．老师点评：老师点到为止，让学生自由联想，老师也可在黑板上设计一、二图案．五、归纳小结本节课应掌握：利用平移、轴对称和旋转的图形变换中的一种或组合设计图案．作业设计必做教材P73：活动2选做P76：6、7．教学反思
第二十三章《旋转》小结一、旋转变换1、旋转的定义把一个图形绕着某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转。点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角，如果图形上的点P经过旋转变为点P＇,那么这两个点叫做这个旋转的对应点。2、旋转的性质（1）对应点到旋转中心的距离相等。（旋转中心就是各对应点所连线段的垂直平分线的交点。）（2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。（3）旋转前、后的图形全等。3、作旋转后的图形的一般步骤（1）明确三个条件：旋转中心，旋转方向，旋转角度；（2）确定关键点，作出关键点旋转后的对应点；（3）顺次连结。4、欣赏较复杂旋转图形图形是由什么基本图形，以哪个点为中心，按哪个方向（顺时针或逆时针）旋转多少度，连续旋转几次，便得到美丽的图案。5、有关图形旋转的一些计算题和证明题二、中心对称1、中心对称的定义把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点。2、中心对称的性质（1）关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心平所平分。（2）关于中心对称的两个图形是全等形。3、作中心对称和图形的一般步骤（1）确定“代表性的点”；（2）作出每个代表性的点的对应点；（3）顺次连结。三、中心对称图形1、中心对称图形的定义把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，过对称中心的直线，可以把图形分成完全重合的两部分。2、中心对称图形的识别常见的几何图形，如：线段、等边三角形、平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形、圆，26个大写英文字母（7个），正多边等要会识别，并指出对称中心。3、两个图形成中心对称和中心对称图形的区别与联系区别：（1）中心对称是指两个图形的位置关系，而中心对称图形是指一个具有特殊形状的图形。
（2）研究对象的个数不同，中心对称指两个图形，而中心对称图形只研究一个对象。（3）中心对称图形的对称中心是图形自身或内部的点，而两个图形关于某点成中心对称，对称中心不定。联系：两者均是关于点的对称，它们之间无绝对界限，当把两个图形看作整体时，即为中心对称图形，若把中心对称图形看作两部分则两部就可以关于一点成中心对称。4、中心对称图形和轴对称图形的关系（1）对称轴条数为正偶数的轴对称图形是中心对称图形，对称中心是对称轴的交点；（2）对称轴条数相互垂直的轴对称图形是中心对称图形。（3）轴对称图形是翻转180°与自身重合，而中心对称图形是旋转180°与自身重合。四、关于原点对称的点的坐标1、关于原点对称的点的坐标特征：点P（x，y）关于原点的对称点为P＇（-x，-y）.2、作关于原点成中心对称的图形的步骤：（1）写出各点关于原点对称的点的坐标；（2）在坐标平面内描出这些对称点的位置；（3）顺次连接各点即为所求作的对称图形。作业：必做：P75：1、2、3选做：P75：4、5教学反思
教学时间课题24.1.1圆课型新授课教学目标知 识和能 力探索圆的两种定义，理解并掌握弧、弦、优弧、劣弧、半圆等基本概念，能够从图形中识别．过 程和方 法体会圆的不同定义方法，感受圆和实际生活的联系．培养学生把实际问题转化为数学问题的能力．情 感态 度价值观在解决问题过程中使学生体会数学知识在生活中的普遍性．教学重点圆的两种定义的探索，能够解释一些生活问题．教学难点圆的运动式定义方法教学准备教师多媒体课件学生“五个一”课堂教学程序设计设计意图一、创设问题情境，激发学生兴趣，引出本节内容活动1：如图1，观察下列图形，从中找出共同特点．图1学生活动设计：学生观察图形，发现图中都有圆，然后回答问题，此时学生可以再举出一些生活中类似的图形．教师活动设计：让学生观察图形，感受圆和实际生活的密切联系，同时激发学生的学习渴望以及探究热情．二、问题引申，探究圆的定义，培养学生的探究精神活动2：如图2，观察下列画圆的过程，你能由此说出圆的形成过程吗？（课件：画圆）
图2学生活动设计：学生小组合作、分组讨论，通过动画演示，发现在一个平面内一条线段OA绕它的一个端点O旋转一周，另一个端点形成的图形就是圆．教师活动设计：在学生归纳的基础上，引导学生对圆的一些基本概念作一界定：圆：在一个平面内，一条线段OA绕它的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫作圆；圆心：固定的端点叫作圆心；半径：线段OA的长度叫作这个圆的半径．圆的表示方法：以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”．同时从圆的定义中归纳：（1）圆上各点到定点（圆心）的距离都等于定长（半径）；（2）到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上．于是得到圆的第二定义：所有到定点的距离等于定长的点组成的图形叫作圆．活动3：讨论圆中相关元素的定义．如图3，你能说出弦、直径、弧、半圆的定义吗？图3学生活动设计：学生小组讨论，讨论结束后派一名代表发言进行交流，在交流中逐步完善自己的结果．教师活动设计：在学生交流的基础上得出上述概念的严格定义，对于学生的不准确的叙述，可以让学生讨论解决．弦：连接圆上任意两点的线段叫作弦；直径：经过圆心的弦叫作直径；弧：圆上任意两点间的部分叫作圆弧，简称弧；弧的表示方法：以A、B为端点的弧记作，读作“圆弧AB”或“弧AB”；半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫作半圆．优弧：大于半圆的弧叫作优弧，用三个字母表示，如图3中的；劣弧：小于半圆的弧叫作劣弧，如图3中的．活动4：讨论，车轮为什么做成圆形？如果做成正方形会有什么结果？
（课件：车轮；课件：方形车轮）学生活动设计：学生首先根据对圆的概念的理解独立思考，然后进行分组讨论，最后进行交流．教师活动设计：引导学生进行如下分析：如图4，把车轮做成圆形，车轮上各点到车轮中心（圆心）的距离都等于车轮的半径，当车轮在平面上滚动时，车轮中心与平面的距离保持不变，因此当车辆在平坦的路上行驶时，坐车的人会感觉到非常平稳；如果做成其他图形，比如正方形，正方形的中心（对角线的交点）距离地面的距离随着正方形的滚动而改变，因此中心到地面的距离就不是保持不变，因此不稳定．图4三、应用提高，培养学生的应用意识和创新能力活动5：如何在操场上画一个半径是5m的圆？说出你的理由师生活动设计：教师鼓励学生独立思考，让学生表述自己的方法．根据圆的定义可以知道，圆是一条线段绕一个端点旋转一周，另一个端点形成的图形，所以可以用一条长5m的绳子，将绳子的一端A固定，然后拉紧绳子的另一端B，并绕A在地上转一圈．B所经过的路径就是所要的圆．活动6：从树木的年轮，可以很清楚地看出树生长的年龄．如果一棵20年树龄的红杉树的树干直径是23cm，这棵红杉树平均每年半径增加多少？图5师生活动设计：首先求出半径，然后除以20即可．〔解答〕树干的半径是23÷2＝11．5（cm）．平均每年半径增加11．5÷20＝0．575（cm）．小结：圆的两种定义以及相关概念．作业设计必做请做一个正方形的车轮，体会在车轮滚动的过程中车身的情况．选做教学反思
教学时间课题24．1．2垂直于弦的直径课型新授课教学目标知 识和能 力探索圆的对称性，进而得到垂直于弦的直径所具有的性质；能够利用垂直于弦的直径的性质解决相关实际问题．过 程和方 法在探索问题的过程中培养学生的动手操作能力，使学生感受圆的对称性，体会圆的一些性质，经历探索圆的对称性及相关性质的过程．进一步体会和理解研究几何图形的各种方法；培养学生独立探索，相互合作交流的精神．情 感态 度价值观使学生领会数学的严谨性和探索精神，培养学生实事求是的科学态度和积极参与的主动精神．教学重点垂直于弦的直径所具有的性质以及证明．教学难点利用垂直于弦的直径的性质解决实际问题．教学准备教师多媒体课件学生“五个一”课堂教学程序设计设计意图一、创设问题情境，激发学生兴趣，引出本节内容活动1：用纸剪一个圆，沿着圆的任意一条直径对折，重复做几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？（课件：探究圆的性质）学生活动设计：学生动手操作，观察操作结果，可以发现沿着圆的任意一条直径对折，直径两旁的部分能够完全重合，由此可以发现：圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴．教师活动设计：在学生归纳的过程中注意学生语言的准确性和简洁性．二、问题引申，探究垂直于弦的直径的性质，培养学生的探究精神活动2：按下面的步骤做一做：第一步，在一张纸上任意画一个⊙O，沿圆周将圆剪下，把这个圆对折，使圆的两半部分重合；第二步，得到一条折痕CD；第三步，在⊙O上任取一点A，过点A作CD折痕的垂线，得到新的折痕，其中点M是两条折痕的交点，即垂足；第四步，将纸打开，新的折痕与圆交于另一点B，如图1．
图1图2在上述的操作过程中，你发现了哪些相等的线段和相等的弧?为什么？(课件：探究垂径定理)学生活动设计：如图2所示，连接OA、OB，得到等腰△OAB，即OA＝OB．因CD⊥AB，故△OAM与△OBM都是直角三角形，又OM为公共边，所以两个直角三角形全等，则AM＝BM．又⊙O关于直径CD对称，所以A点和B点关于CD对称，当圆沿着直径CD对折时，点A与点B重合，与重合．因此AM=BM，=，同理得到．教师活动设计：在学生操作、分析、归纳的基础上，引导学生归纳垂直于弦的直径的性质：（1）垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．活动3：如图3，所在圆的圆心是点O，过O作OC⊥AB于点D，若CD=4m，弦AB=16m，求此圆的半径．图3学生活动设计：学生观察图形，利用垂直于弦的直径的性质分析图形条件，发现若OC⊥AB，则有AD=BD，且△ADO是直角三角形，在直角三角形中可以利用勾股定理构造方程．教师活动设计：在学生解决问题的基础上引导学生进行归纳：弦长、半径、拱形高、弦心距（圆心到弦的距离）四个量中，只需要知道两个量，其余两个量就可以求出来．〔解答〕设圆的半径为R，由条件得到OD=R－4，AD=8，在Rt△ADO中，即．解得R＝10（m）．答：此圆的半径是10m．活动4：如图4，已知，请你利用尺规作图的方法作出的中点，说出你的作法．
图4师生活动设计：根据基本尺规作图可以发现不能直接作出弧的中点，但是利用垂径定理只需要作出弧所对的弦的垂直平分线，垂直平分线与弧的交点就是弧的中点．〔解答〕1．连接AB；2．作AB的中垂线，交于点C，点C就是所求的点．三、拓展创新，培养学生思维的灵活性以及创新意识．活动5解决下列问题1．如图5，某条河上有一座圆弧形拱桥ACB，桥下面水面宽度AB为7．2米，桥的最高处点C离水面的高度2．4米．现在有一艘宽3米，船舱顶部为方形并高出水面2米的货船要经过这里，问：这艘船是否能够通过这座拱桥？说明理由．图5图6学生活动：学生根据实际问题，首先分析题意，然后采取一定的策略来说明能否通过这座拱桥，这时要采取一定的比较量，才能说明能否通过，比如，计算一下在上述条件下，在宽度为3米的情况下的高度与2米作比较，若大于2米说明不能经过，否则就可以经过这座拱桥．〔解答〕如图6，连接AO、GO、CO，由于弧的最高点C是弧AB的中点，所以得到OC⊥AB，OC⊥GF，根据勾股定理容易计算OE=1．5米，OM=3．6米．所以ME=2．1米，因此可以通过这座拱桥．2．银川市某居民区一处圆形下水管道破裂，修理人员准备更换一段新管道．如图7所示，污水水面宽度为60cm，水面至管道顶部距离为10cm，问修理人员应准备内径多大的管道?图7图8
师生活动设计：让学生在探究过程中，进一步把实际问题转化为数学问题，掌握通过作辅助线构造垂径定理的基本结构图，进而发展学生的思维．〔解答〕如图8所示，连接OA，过O作OE⊥AB，垂足为E，交圆于F，则AE=AB=30cm．令⊙O的半径为R，则OA=R，OE＝OF-EF＝R-10．在Rt△AEO中，OA2=AE2+OE2，即R2=302+(R-10)2．解得R=50cm．修理人员应准备内径为100cm的管道．小结：垂直于弦的直径的性质，圆对称性．作业设计必做习题24．1第1题，第8题，第9题．选做教学反思
教学时间课题24．1．3弧、弦、圆心角课型新授课教学目标知 识和能 力通过探索理解并掌握:（1）圆的旋转不变性；（2）圆心角、弧、弦之间相等关系定理；过 程和方 法（1）通过观察、比较、操作、推理、归纳等活动，发展空间观念、推理能力以及概括问题的能力；（2）利用圆的旋转不变性，研究圆心角、弧、弦之间相等关系定理．学生在探索圆周角与圆心角的关系的过程中，学会运用分类讨论的数学思想，转化的数学思想解决问题．情 感态 度价值观培养学生积极探索数学问题的态度及方法．教学重点探索圆心角、弧、弦之间关系定理并利用其解决相关问题．教学难点圆心角、弧、弦之间关系定理中的“在同圆或等圆”条件的理解及定理的证明．教学准备教师多媒体课件学生“五个一”课堂教学程序设计设计意图一、一、创设问题情境，激发学生兴趣，引出本节内容活动11.按下面的步骤做一做：(1)在两张透明纸上，作两个半径相等的⊙O和⊙O′，沿圆周分别将两圆剪下；(2)在⊙O和⊙O′上分别作相等的圆心角∠AOB和∠A′O′B′，如图1所示，圆心固定．注意：在画∠AOB与∠A′O′B′时，要使OB相对于OA的方向与O′B′相对于O′A′的方向一致，否则当OA与OA′重合时，OB与O′B′不能重合．图1(3)将其中的一个圆旋转一个角度．使得OA与O′A′重合．
通过上面的做一做，你能发现哪些等量关系?同学们互相交流一下，说一说你的理由．(课件：探究三量关系)师生活动设计：教师叙述步骤，同学们一起动手操作．由已知条件可知∠AOB＝∠A′O′B′；由两圆的半径相等，可以得到∠OAB＝∠OBA＝∠O′A′B′=∠O′B′A′；由△AOB≌△A′O′B′，可得到AB＝A′B′；由旋转法可知．在学生分析完毕后，教师指出在上述做一做的过程中发现，固定圆心，将其中一个圆旋转一个角度，使半径OA与O′A′重合时，由于∠AOB＝∠A′O′B′．这样便得到半径OB与O′B′重合．因为点A和点A′重合，点B和点B′重合，所以和重合，弦AB与弦A′B′重合，即，AB=A′B′．进一步引导学生语言归纳圆心角、弧、弦之间相等关系定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．2．根据对上述定理的理解，你能证明下列命题是正确的吗？（1）在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等；（2）在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优（劣）弧相等．师生活动设计：本问题由学生在思考的基础上讨论解决，可以证明上述命题是真命题．二、主体活动，巩固新知，进一步理解三量关系定理．活动2：1．如图2，在⊙O中，，∠ACB＝60°，求证∠AOB=∠AOC=∠BOC．
图2学生活动设计：学生独立思考，根据对三量定理的理解加以分析．由，得到，△ABC是等腰三角形，由∠ACB＝60°，得到△ABC是等边三角形，AB=AC=BC，所以得到∠AOB=∠AOC=∠BOC．教师活动设计：这个问题是对三量关系定理的简单应用，因此应当让学生独立解决，在必要时教师可以进行适当的启发和提醒，最后学生交流自己的做法．〔证明〕∵∴AB=AC，△ABC是等腰三角形．又∠ACB＝60°，∴△ABC是等边三角形，AB=BC=CA．∴∠AOB=∠AOC=∠BOC．2．如图3，AB是⊙O的直径，BC、CD、DA是⊙O的弦，且BC＝CD＝DA，求∠BOD的度数．图3学生活动设计：学生分析，由BC＝CD＝DA可以得到这三条弦所对的圆心角相等，所以考虑连接OC，得到∠AOD=∠DOC=∠BOC，而AB是直径，于是得到∠BOD＝×180°＝120°．教师活动设计：此问题的解决方式和活动3类似，不过要注意学生对辅助线OC的理解，添加辅助线OC的原因．三、拓展创新、应用提高，培养学生的应用意识和创新能力活动3：定理“在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等”中，可否把条件“在同圆或等圆中”去掉？为什么？师生活动设计：
小组讨论，可以在教师的引导下，举出反例说明条件“在同圆或等圆中”不能去掉，比如可以请同学们画一个只能是圆心角相等的这个条件的图．如图4所示，虽然∠AOB=∠A′O′B′，但AB≠A′B′，弧AB≠弧A′B′．图4教师进一步引导学生用同样的思路考虑命题：（1）在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等；（2）在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优（劣）弧相等中的条件“在同圆和等圆中”是否能够去掉．小结：弦、圆心角、弧三量关系．作业设计必做习题24．1第2、3题，第10题．选做P88：11、12教学反思
教学时间课题24.1.4圆周角课型新授课教学目标知 识和能 力1．了解圆周角与圆心角的关系．2．探索圆周角的性质和直径所对圆周角的特征．3．能运用圆周角的性质解决问题．过 程和方 法1．通过观察、比较，分析圆周角与圆心角的关系，发展学生合情推理能力和演绎推理能力． 2．通过观察图形，提高学生的识图能力．3．通过引导学生添加合理的辅助线，培养学生的创造力．4．学生在探索圆周角与圆心角的关系的过程中，学会运用分类讨论的数学思想、转化的数学思想解决问题．情 感态 度价值观引导学生对图形的观察发现，激发学生的好奇心和求知欲，并在运用数学知识解答问题的活动中获取成功的体验，建立学习的自信心．教学重点探索圆周角与圆心角的关系，发现圆周角的性质和直径所对圆周角的特征．教学难点发现并论证圆周角定理．教学准备教师多媒体课件学生“五个一”问题与情境师生行为设计意图[活动1]演示课件或图片：教师演示课件或图片：展示一个圆柱形的海洋馆．教师解释：在这个海洋馆里，人们可以通过其中的圆弧形玻璃窗观看窗内的海洋动物．教师出示海洋馆的横截面示意图，提出问题．教师结合示意图，给出圆周角的定义．利用几何画板演示，让学生辨析圆周角，并引导学生将问题1、问题2中的实际问题转化成数学问题：即研究同弧（从生活中的实际问题入手，使学生认识到数学总是与现实问题密不可分，人们的需要产生了数学．将实际问题数学化，让学生从一些简单的实例中，不断体会从现实世界中寻找数学模型、建立数学关系的方法．引导学生对图形的观察，发现，激发学生的好奇心和求知欲，并在运用数学知识解答问题的活动中获取成功的体验，建立学习的自信心．
问题1如图：同学甲站在圆心O的位置，同学乙站在正对着玻璃窗的靠墙的位置C，他们的视角（和）有什么关系？问题2如果同学丙、丁分别站在其他靠墙的位置D和E，他们的视角（和）和同学乙的视角相同吗？）所对的圆心角（）与圆周角（）、同弧所对的圆周角（、、等）之间的大小关系．教师引导学生进行探究．教师关注：1．问题的提出是否引起了学生的兴趣；2．学生是否理解了示意图；3．学生是否理解了圆周角的定义；4．学生是否清楚了要研究的数学问题．
［活动2］问题1同弧（弧AB）所对的圆心角∠AOB与圆周角∠ACB的大小关系是怎样的？问题2同弧（弧AB）所对的圆周角∠ACB与圆周角∠ADB的大小关系是怎样的？教师提出问题，引导学生利用度量工具（量角器或几何画板）动手实验，进行度量，发现结论．在活动中，教师应关注：1．学生是否积极参与活动；2．学生是否度量准确，观察、发现的结论是否正确．由学生总结发现的规律：同弧所对的圆周角的度数没有变化，并且它的度数恰好等于这条弧所对的圆心角的度数的一半．教师利用几何画板课件“圆周角定理”，从动态的角度进行演示，验证学生的发现．教师可从以下几个方面演示，让学生观察圆周角的度数是否发生改变，同弧所对的圆周角与圆心角的关系有无变化．1．拖动圆周角的顶点使其在圆周上运动；2．改变圆心角的度数；3．改变圆的半径大小．活动2的设计是为引导学生发现．让学生亲自动手，利用度量工具（如半圆仪、几何画板）进行实验、探究，得出结论．激发学生的求知欲望，调动学生学习的积极性．教师利用几何画板从动态的角度进行演示，目的是用运动变化的观点来研究问题，从运动变化的过程中寻找不变的关系．［活动3］问题1 教师引导学生，采取小组合作的学习方式，前后四人一组，分组讨论．
在圆上任取一个圆周角，观察圆心与圆周角的位置关系有几种情况？(课件：折痕与圆周角的关系)问题2当圆心在圆周角的一边上时，如何证明活动2中所发现的结论？问题3教师关注：1．学生是否会与人合作，并能与他人交流思维的过程和结果；2．学生能否发现圆心与圆周角的三种位置关系．教师巡视，请学生回答问题．回答不全面时，请其他同学给予补充．教师演示圆心与圆周角的三种位置关系．教师引导学生从特殊情况入手证明所发现的结论．学生写出已知、求证，完成证明．教师关注：1．学生能否用准确的数学符号语言表述已知和求证，并准确地画出图形来；2．学生能否证明出结论．学生采取小组合作的学习方式进行探索发现，教师观察指导小组活动．启发并引导学生，通过添加辅助线，将问题进行转化．教师关注：数学教学是在教师的引导下，进行的再创造、再发现的教学．通过数学活动，教给学生一种科学研究的方法，学会发现问题、提出问题、分析问题，并能解决问题．活动3的安排是让学生对所发现的结论进行证明．培养学生严谨的治学态度．问题1的设计是让学生通过合作探索，学会运用分类讨论的数学思想研究问题．培养学生思维的深刻性． 问题2、3的提出是让学生学会一种分析问题、解决问题的方式方法：从特殊到一般．学会运用化归思想将问题转化．并启发培养学生创造性的解决问题．
另外两种情况如何证明，可否转化成第一种情况呢？1．学生是否会想到添加辅助线，将另外两种情况进行转化；2．学生添加辅助线的合理性；3．学生是否会利用问题2的结论进行证明．教师讲评学生的证明，板书圆周角定理．［活动4］问题1半圆（或直径）所对的圆周角是多少度？（课件：圆周角定理推论）A问题290°的圆周角所对的弦是什么?学生独立思考，回答问题，教师讲评．问题1提出后，教师关注：学生是否能由半圆（或直径）所对的圆心角的度数得出圆周角的度数．问题2提出后，教师关注：学生是否能由90°的圆周角推出同弧所对的圆心角度数是180°，从而得出所对的弦是直径．问题3提出后，教师关注：活动4的设计是圆周角定理的应用．通过4个问题层层深入，考察学生对定理的理解和应用．问题1、2是定理的推论，也是定理在特殊条件下得出的结论．问题3的设计目的是通过举反例，让学生明确定理使用的条件．问题4是定理的引申，将本节课的内容与所学过的知识紧密结合起来，使学生很好地进行知识的迁移．问题5、6是定理的应用．即时反馈有助于记忆，让学生在练习中加深对本节知识的理解．教师通过学生练习，及时发现问题，评价教学效果．
问题3在半径不等的圆中，相等的两个圆周角所对的弧相等吗？∠ABC=30°∠A’B’C’=30°问题4在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等吗？为什么？问题5如图，点、、、在同一个圆上，四边形的对角线把4个内角分成8个角，这些角中哪些是相等的角？学生能否得出正确的结论，并能说明理由．教师提醒学生：在使用圆周角定理时一定要注意定理的条件．问题4提出后，教师关注：学生能否利用定理得出与圆周角对同弧的圆心角相等，再由圆心角相等得到它们所对的弧相等．问题5提出后，教师关注：学生是否准确找出同弧所对的圆周角．问题6提出后，教师关注：1．学生是否能由已知条件得出直角三角形ABC、ABD；2．学生能否将要求的线段放到三角形里求解；
问题6如图，⊙O的直径AB为10cm，弦AC为6cm，∠ACB的平分线交⊙O于D，求BC、AD、BD的长．3．学生能否利用问题4的结论得出弧AD与弧BD相等，进而推出AD=BD．［活动5］问题通过本节课的学习你有哪些收获？教师带领学生从知识、方法、数学思想等方面小结本节课所学内容．教师关注不同层次的学生对所学内容的理解和掌握．教师布置作业．通过小结，使学生归纳、梳理总结本节的知识、技能、方法，将本课所学的知识与以前所学的知识进行紧密联系，有利于培养学生数学思想、数学方法、数学能力和对数学的积极情感．增加阅读作业的目的是让学生养成看书的习惯，并通过看书加深对所学内容的理解．课后巩固作业是对课堂所学知识的检验，让学生巩固、提高、发展．作业设计必做教科书P87：4、5、6选做教科书P89：13、14、15
教学反思
教学时间课题24.2.2直线和圆的位置关系课型新授课教学目标知 识和能 力1.探索并了解直线和圆的位置关系．2.根据圆心到直线的距离与圆的半径之间的数量关系揭示直线和圆的位置关系．3．能够利用公共点个数和数量关系来判断直线和圆的位置关系．过 程和方 法1.学生经历操作、观察、发现、总结出直线和圆的位置关系的过程，培养学生观察、比较、概括的逻辑思维能力．2.学生经历探索直线和圆的位置关系中圆心到直线的距离与圆的半径的数量关系的过程，培养学生运用数学语言表述问题的能力．3.从运动的观点和量变到质变的观点来理解直线和圆的三种位置关系，培养学生运动变化的辩证唯物主义观点．情 感态 度价值观学生经过观察、实验、发现、确认等数学活动，在探索直线和圆位置关系的过程中，体会运动变化的观点，量变到质变的辩证唯物主义观点，感受数学中的美感．教学重点探索并了解直线和圆的位置关系．教学难点掌握识别直线和圆的位置关系的方法．教学准备教师多媒体课件学生“五个一”问题与情境师生行为设计意图活动1(1)“大漠孤烟直，长河落日圆”是唐朝诗人王维的诗句，它描述了黄昏日落时分塞外特有的景象．如果我们把太阳看成一个圆，地平线看成一条直线，那你能根据直线和圆的公共点个数想象一下，直线和圆有几种位置关系吗？(2)观察用钢锯切割钢管的过程，抽象成几何图形间的位置关系.学生观察一轮红日从海平面升起的过程和用钢锯切割钢管的过程，教师提出问题，让学生结合学过的知识，把它们抽象成几何图形，再表示出来．在本次活动中，教师应重点关注：(1)学生能否准确地观察出圆相对于直线运动的过程中，有几种位置关系；(2)学生能否根据直线和圆的公共点个数，画出三种不同的位置关系.活动1的设计中让学生用运动的观点观察直线和圆的位置关系，有利于学生把实际的问题抽象成数学模型，也便于学生观察直线和圆公共点个数的变化，同时让学生感受到实际生活中存在的直线和圆的三种位置关系．
活动2请同学在纸上画一条直线，把硬币的边缘看作圆，在纸上移动硬币，你能发现直线和圆的公共点个数的变化情况吗？公共点个数最少时有几个？最多时有几个？学生动手操作、观察、发现、归纳出直线和圆的公共点个数的变化情况.教师演示直线和圆动态的变化过程，帮助学生用语言描述直线和圆的三种位置关系，明确概念.本次活动，教师应重点关注学生能否根据操作，观察直线和圆的位置关系，作出相应的图形来．通过设置数学实验让学生进行独立的探究学习，促使学生主动参与数学知识的“再发现”，培养学生动手实践能力，观察、分析、比较、抽象、概括的思维能力．活动3问题：(1)能否根据基本概念来判断直线与圆的位置关系？(2)是否还有其他的方法来判断直线与圆的位置关系？教师提出问题，学生思考作答.学生掌握识别直线与圆的位置关系的方法，即直线和圆公共点的个数，圆心到直线的距离和圆半径的数量关系，都可以用来揭示直线和圆的位置关系．教师与学生共同总结直线和圆相离、相交、相切的关系中，公共点的个数，公共点的名称，直线名称，圆心到直线距离与半径间的数量关系．活动3的设计是从数量关系的角度来探讨直线和圆的位置关系，是让学生学会运用数形结合的数学思想解题．
活动4(1)应用例已知：如图所示，∠AOB=30°，P为OB上一点，且OP=5cm，以P为圆心，以R为半径的圆与直线OA有怎样的位置关系？为什么？①R=2cm；②R=2.5cm；③R=4cm．(2)练习师生共同完成例题和练习的求解．本次活动，教师应重点关注：(1)学生能否利用直线和圆公共点的个数判断直线和圆的位置关系；(2)学生能否利用圆心到直线的距离和半径间的数量关系判断直线和圆的位置关系．例题和练习的安排是为了让学生掌握识别直线和圆的位置关系的方法．培养学生正确应用所学知识的应用能力，渗透分类讨论、数形结合等数学思想．活动5小结这节课我们主要研究了直线和圆的三种位置关系和识别直线和圆的位置关系的方法，你有哪些收获？学生自己总结，教师应重点关注：(1)学生对直线和圆的位置关系的性质和判定总结是否全面；(2)是否有学生能从这节课的学习中，体会到分类讨论的数学思想和数形结合的数学思想在研究问题中的重要性．总结回顾学习内容，帮助学生学会归纳，反思．作业设计必做教科书P101：1-5选做教科书P102：10-14教学反思
教学时间课题24.2.3圆和圆的位置关系课型新授课教学目标知 识和能 力1．探索并了解圆和圆的位置关系．2．探索圆和圆的位置关系中两圆圆心距与两圆半径间的数量关系．3．能够利用圆和圆的位置关系和数量关系解题．过 程和方 法1．学生经历操作、探究、归纳、总结圆和圆的位置关系的过程，培养学生观察、比较、概括的逻辑思维能力．2．学生经历探索圆和圆的位置关系中两圆圆心距与两圆半径间的数量关系的过程，培养学生运用数学语言表述问题的能力．情 感态 度价值观学生经过操作、实验、发现、确认等数学活动，从探索两圆位置关系的过程中，体会运动变化的观点，量变到质变的辩证唯物主义观点，感受数学中的美感．教学重点探索并了解圆和圆的位置关系．教学难点探索圆和圆的位置关系中两圆圆心距与两圆半径的数量关系．教学准备教师多媒体课件学生“五个一”课堂教学程序设计设计意图问题与情境师生行为设计意图活动1问题(1)点和圆有几种位置关系？如何识别？(2)直线和圆有几种位置关系？如何识别？(3)两个圆的位置关系又如何呢？教师演示课件，提出问题．学生观察、思考、回答问题．在本次活动中，教师应重点关注：(1)学生能否准确描述点和圆、直线和圆的位置关系；(2)学生能否用点和圆心的距离与半径的数量关系判别点和圆的位置关系，能否用圆心到直线的距离与半径的数量关系判别直线和圆的位置关系．通过回忆已学过的知识，引导学生用类比的思想来学习新的知识.激发学生的求知欲望.活动2
观察两个半径不同的⊙O1、⊙O2，固定其中一个而移动另一个的过程中，会出现的几种不同位置关系．(1)根据观察，请你摆出⊙O1和⊙O2的几种不同的位置关系；(2)你能否根据两圆公共点的个数类比直线和圆的位置关系定义，给出两圆位置关系的定义？利用几何画板画出两个半径不同的圆，固定其中一个而移动另一个．让学生观察、发现，并动手摆出两圆的不同位置关系图形．请一名学生展示他发现的两圆不同位置关系的图形．对于问题(1)，教师应重点关注：(1)学生能否根据操作，观察两圆的位置关系，摆出相应的图形来；(2)学生能否全部发现两圆的几种位置关系．师生共同讨论出两圆的几种位置关系定义．对于问题(2)，教师应重点关注学生能否用规范清晰的数学语言说出两圆的位置关系．通过设置数学实验让学生进行独立的探究学习，促使学生主动参与数学知识的“再发现”，培养学生动手实践能力，观察、分析、比较、抽象、概括的思维能力．问题(2)的提出是为了让学生学会用类比的方法研究两圆的位置关系．活动3探究(1)请你根据圆和圆的位置关系，猜测出两圆的圆心距与两圆半径之间的数量关系，利用刻度尺进行测量，验证你的猜想．教师提出问题，让学生根据自己所画出的两圆的位置关系图形进一步观察、思考、猜想、测量，发表见解．活动3的设计是从数量关系的角度来探讨两圆的位置关系，让学生学会运用数形结合的数学思想解题．
(2)圆是轴对称图形，两个圆是否也组成轴对称图形呢？如果能组成轴对图形，那么对称轴是什么？教师利用课件演示两圆位置关系的变化情况，观察随着两圆位置关系的变化，两圆圆心距与两圆半径之和或之差之间的数量关系．教师总结活动3讨论出的结论，说明此结论既可作为两圆位置关系的判定又可作为两圆位置关系的性质．在本次活动中，教师应重点关注学生对两圆相交时的情况讨论是否深入（不仅要讨论半径和，同时要考察两圆的半径差）．研究两个圆所组成的图形的对称性是为研究相交两圆公共弦的性质和相切两圆的切点位置作铺垫.通过这一活动，培养学生学会探究的方法，形成良好的科学研究的习惯，培养学生思维的深刻性和严谨性．活动4问题1(1)教科书图24.2-16，⊙O的半径5cm，点P是⊙O外一点，OP=8cm，以P为圆心作一个圆与⊙O外切，这个圆的半径是多少？以P为圆心作一个圆与⊙O内切呢？(2)⊙O1和⊙O2的半径分别为3、5，设d=O1O2，①当d=9时，则⊙O1与⊙O2的位置关系是___；②当d=8时，则⊙O1与⊙O2的位置关系是___；③当d=5时，则⊙O1与⊙O2师生共同完成例题的求解．对于问题(1)，教师应重点关注学生能否利用两圆外切或内切时，圆心距与两圆的半径和与差的关系来解题．对于问题(2)、(3)、(4)、(5)，教师应当重点关注学生能否会利用两圆的圆心距与两圆的半径的关系，判断两圆的位置关系．例题的安排是为了利用已讨论出来的两圆的位置关系与圆心距和半径之间的数量关系的结论来解决问题，使学生学会发现问题，分析问题并解决问题．培养学生正确应用所学知识的应用能力，巩固所学的两圆位置关系的性质和判定．
的位置关系是___；④当d=2时，则⊙O1与⊙O2的位置关系是___；⑤当d=1时，则⊙O1与⊙O2的位置关系是___；⑥当d=0时，则⊙O1与⊙O2的位置关系是___.(3)已知⊙O1和⊙O2的半径分别为4和5，如果⊙O1与⊙O2外切，那么O1O2=.(4)已知两圆半径分别为3和7，如果两圆相交，则圆心距d的取值范围是_______；如果两圆外离，则圆心距d的取值范围是______.(5)在图中有两圆的多种位置关系，请你找出还没有的位置关系是.活动5小结这节课我们主要研究了圆和圆的位置关系，你有哪些收获？学生自己总结，教师应重点关注：(1)学生对圆和圆的位置关系的性质和判定总结是否全面；总结回顾学习内容，帮助学生学会归纳，反思．
布置作业教科书习题14.3第1、4、6题．(2)是否有学生能从这节课的学习中，体会到分类讨论和数形结合的数学思想在研究问题中的重要性．学生通过作业，回顾、梳理知识，反思提高.通过课后学生独立思考，自我评价，使学习效果达到最佳．作业设计必做教科书P102：6、7选做教科书P103：15-17教学反思
教学时间课题24．3正多边形和圆课型新授课教学目标知 识和能 力1．了解正多边形与圆的关系，了解正多边形的中心、半径、边心距、中心角等概念．2．在经历探索正多边形与圆的关系过程中，学会运用圆的有关知识解决问题，并能运用正多边形的知识解决圆的有关计算问题．过 程和方 法学生在探讨正多边形和圆的关系的学习过程中，体会到要善于发现问题，解决问题，发展学生的观察、比较、分析、概括及归纳的逻辑思维能力和逻辑推理能力．情 感态 度价值观学生经历观察、发现、探究等数学活动，感受到数学来源于生活，又服务于生活，体会到事物之间是相互联系，相互作用的．教学重点探索正多边形与圆的关系，了解正多边形的有关概念，并能进行计算．教学难点探索正多边形与圆的关系．教学准备教师多媒体课件学生“五个一”教学过程设计问题与情境师生行为设计意图[活动1]观看下列美丽的图案．问题1这些美丽的图案，都是在日常生活中我们经常能看到的、利用正多边形得到的物体．你能从这些图案中找出正多边形来吗？教师演示课件或展示图片，提出问题1．学生观察图案，思考并指出找到的正多边形．通过观看美丽的图案，欣赏生活中正多边形形状的物体，让学生感受到数学来源于生活，并从中感受到数学美．
问题2你知道正多边形和圆有什么关系吗？你能借助圆做出一个正多边形吗？教师关注：（1）学生能否从这些图案中找到正多边形；（2）学生能否从这些图案中发现正多边形和圆的关系．教师提出问题2，引导学生观察、思考．学生讨论、交流，发表各自见解．教师关注:学生能否联想到等分圆周作出正多边形来．问题2的提出是为了创设一个问题情境，激起学生主动将所学圆的知识与正多边形联系起来，激发学生积极探索，研究的热情，调动学生学习的积极性，并有意将注意力集中在正多边形与圆的关系上．[活动2]问题1将一个圆五等分，依次连接各分点得到一个五边形，这五边形一定是正五边形吗？如果是请你证明这个结论．教师演示作图：把圆分成相等的5段弧，依次连接各个分点得到五边形．教师引导学生从正多边形的定义入手，证明多边形各边都相等，各角都相等，引导学生观察、分析．教师关注：（1）学生能否看出：将圆分成五等份，可以得到5段相等的弧，这些弧所对的弦也是相等的，这些弦就是五边形的各边，进而证明五边形的各边相等；在活动1中学生们发现了正多边形与圆有着密切的关系，只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以做出这个圆的内接正多边形．活动2的设计就是要学生在教师的指导下进行逻辑推理，论证所发现的结论的正确性，从而培养学生科学严谨的治学态度，和运用所学知识解决问题的能力．
问题2 如果将圆n等分，依次连接各分点得到一个n边形，这n边形一定是正n边形吗？问题3 各边相等的圆内接多边形是正多边形吗？各角相等的圆内接多边形呢？如果是，说明为什么？如果不是，举出反例．（2）学生能否观察发现圆内接五边形的各内角都是圆周角；（3）学生能否发现每一个圆周角所对弧都是三等份的弧；（4）学生能否利用这些圆周角所对的弧都相等，证明五边形的各内角相等，从而证明圆内接五边形是正五边形．教师带领学生完成证明过程．教师提出问题2，学生思考，同学间交流，回答问题．教师关注：学生是否会仿造证明圆内接正五边形的方法证明圆内接正n边形．教师根据学生的回答给以总结：将圆n等分，依次连接各分点得到一个n边形，这n边形一定是正n边形．教师提出问题3，学生讨论，思考回答．教师关注：（1）学生能否利用正多边形定义进行判断；（2）学生能否由圆内接多边形各边相等，得到弦相等及弦所对的弧相等，进而证明圆内接多边形的各内角相等；问题2的设计是将结论由特殊推广到一般．这符合学生的认知规律．并教给学生一种研究问题的方法：由特殊到一般．
（3）学生能否举出反例说明各角相等的圆内接多边形不一定是正多边形．教师讲评．问题3的提出是为了巩固所学知识，使学生明确判定圆内接多边形是正多边形，必须满足各边都相等，且各内角都相等，这两个条件缺一不可．同时教给学生学会举反例，培养学生思维的批判性．[活动3]学生观看课件，理解概念． 例题1有一个亭子（如图）它的地基是半径为4m的正六边形，求地基的周长和面积（精确到0.1m2）． 教师演示课件，给出正多边形的中心，半径，中心角，边心距等概念．教师引导学生画出正六边形图形，进行分析．教师关注：（1）学生能否知道欲求地基的周长和面积，需要先求正六边形的边长和边心距；（2）学生能否将正六边形的边长、半径和边心距集中在一个三角形中来研究．（3）学生能否将正六边形的中心与顶点连接起来，将正六边形分割成6个全等的等腰三角形，去发现每个等腰三角形的顶角就是中心角，腰是半径，底边是边长，底边上的高是边心距，从而可以利用勾股定理进行计算，进而能够求得正多边形的周长和面积． 教师引导学生完成例题1的解答．总结这一类问题的求解方法．例题1、2是有关正多边形计算的具体应用，目的是让学生在了解有关正多边形的概念后，通过例题的练习，巩固所学到的知识．学生在教师的引导下，将正多边形的中心，半径，中心角，边心距等集中在一个三角形中来研究，即将正多边形的中心与顶点连接起来，将正多边形分割成n
完成教材第105页例题 教师让学生独立完成例题2，教师巡视，个别辅导．给出正确答案．个全等的等腰三角形，让学生们发现每个等腰三角形的顶角为中心角，腰为半径，底边为边长，底边上的高为边心距，可以利用勾股定理进行计算．进而能够求得正多边形的周长和面积．教师引导学生将实际问题转化成数学问题，将多边形化归成三角形来解决．体现了化归思想在解题中的应用．[活动4]小节学完这节课你有哪些收获？思考题问题1：正n边形的一个内角的度数是多少？中心角呢？正多边形的中心角与外角的大小有什么关系？问题2正n边形的半径，边心距，边长又有什么关系？学生自己总结，不全面的由其他学生补充完善．教师重点关注：不同层次学生对本节知识的理解、掌握程度．学生独立完成，教师批改、总结，重点关注：（1）对学生在练习中出现的问题，有针对性地给予分析；（2）学生面对探究性问题的解决方法．了解教学效果，及时调整教学．通过对实际问题的探究，完成具体→抽象→具体的思维螺旋上升过程，形成应用数学的意识，加深对本节知识的理解．作业设计必做教科书P107：1-4选做教科书P108：5-8教学反思
教学时间课题24.4圆锥的侧面积和全面积课型新授课教学目标知 识和能 力会计算圆锥的侧面积和全面积，并会解决实际问题．过 程和方 法增强了学生用数学知识解决实际问题的能力，同时还可以培养学生的空间观念．情 感态 度价值观引导学生对圆锥展开图的认识，培养学生空间观念，激发学生的好奇心和求知欲，并在运用数学知识解答实际问题的活动中获取成功的体验，建立学习的自信心．教学重点圆锥的侧面积和全面积的计算．教学难点明确扇形中各元素与圆锥各个元素之间的关系．教学准备教师多媒体课件学生“五个一”教学过程设计问题与情境师生行为设计意图活动1想一想，你会解决吗？如图，玩具厂生产一种圣诞老人的帽子，其帽身是圆锥形，PB=15cm，底面半径r=5cm，要生产这种帽身10000个，你能帮玩具厂算一算至少需多少平方米的材料吗？（不计接缝用料和余料,π取3.14APBOrl）..教师演示课件，提出问题，激发学生学习新知识的热情．从生活中的实际问题入手，使学生认识到数学总是与现实问题密不可分，人们的需要产生了数学．将实际问题数学化，让学生从一些简单的实例中，不断体会从现实世界中寻找数学模型、建立数学关系的方法．活动21．认识圆锥教师结合图形，介绍圆锥的有关概念．引导学生对图形的观察，发现，激发学生的好奇心和求知欲．
2．圆锥的再认识3．圆锥的底面半径r、高线h、母线长a三者之间的关系：练习：根据下列条件求值（其中r、h、a分别是圆锥的底面半径、高线、母线长）(1)a=2，r=1，则h=_______；(2)h=3，r=4，则a=_______；(3)a=10，h=8，则r=_______．通过练习，使学生掌握圆锥的底面半径、高线、母线长三者之间的关系．活动31．动一动，通过学生自己操作和电脑演示，掌握圆锥的侧面展开图是扇形．2．引导学生推导圆锥的侧面积和全面积的计算公式．通过学生动手操作、教师利用几何画板动态演示，让学生观察圆锥的侧面展开图是扇形，并用所学的知识推导出圆锥的侧面积和全面积的计算公式．通过动手和观察，培养学生的空间观念．活动4实际应用：例1 一个圆锥形零件高4cm，底面半径3cm，求这个圆锥形零件的侧面积和全面积．例2玩具厂生产一种圣诞老人的帽子，其圆锥形帽身的母线长为15cm，底面半径为5cm，生产这种帽身10000个，你能帮玩具厂算一算至少需多少平方米的材料吗？（不计接缝用料和余料，π取3.14）．教师带领学生用所学的知识解决问题，提高学生应用数学知识解决实际问题的能力．教师关注不同层次的学生对所学内容的理解和掌握． 在实际生活中，展开图的知识很常用，将本课所学的知识与实际生活中的问题进行紧密联系，有利于培养学生数学思想、数学方法、数学能力和对数学的积极情感．
例3蒙古包可以近似地看成由圆锥和圆柱组成，如果想用毛毡搭建20个底面积为35m2，高为3.5m，外围高1.5m的蒙古包，至少需要多少平方米的毛毡(精确到1m2)?r例4思考题圆锥的底面半径为1，母线长为6，一只蚂蚁要从底面圆周上一点B出发，沿圆锥侧面爬行一圈再回到点B，问它爬行的最短路线是多少？例5手工制作已知一种圆锥模型的底面半径为4cm，高线长为3cm．你能做出这个圆锥模型吗?活动5本节课你学到了什么知识？你有什么认识？作业设计必做教科书P114：1-4选做教科书P115：5-10教学反思
第二十四章《圆》小结一、本章知识结构框图二、本章知识点概括（一）圆的有关概念1、圆（两种定义）、圆心、半径；2、圆的确定条件：①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；②不在同一直线上的三个点确定一个圆。3、弦、直径；4、圆弧（弧）、半圆、优弧、劣弧；5、等圆、等弧，同心圆；6、圆心角、圆周角；7、圆内接多边形、多边形的外接圆；8、割线、切线、切点、切线长；9、反证法：假设命题的结论不成立，由此经过推理得出矛盾，由矛盾断定所作假设不正确，从而得到原命题成立。（二）圆的基本性质1、圆的对称性①圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。*②圆是中心对称图形，圆心是对称中心。2、圆的弦、弧、直径的关系①垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。②平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。*[引申]一条直线若具有：Ⅰ、经过圆心；Ⅱ、垂直于弦；Ⅲ、平分弦；Ⅳ、平分弦所对的劣弧；Ⅴ、平分弦所对的优弧，这五个性质中的任何两条，必具有其余三条性质，即“知二推三”。（注意：具有Ⅰ和Ⅲ
时，应除去弦为直径的情况）3、弧、弦、圆心角的关系①在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。②在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等。③在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧相等。归纳：在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量也相等。4、圆周角的性质①定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。②在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等。③推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。（三）与圆有关的位置关系1、点与圆的位置关系设⊙O的半径为r，OP=d则：点P在圆内dr.2、直线与圆的位置关系设⊙O的半径为r，圆心O到l的距离为d则：直线l与⊙O相交dr直线和圆没有公共点。3、圆与圆的位置关系①如果两圆没有公共点，那么这两个圆相离，分为外离和内含；如果两圆只有一个公共点，那么这两个圆相切，分为外切和内切；如果两个圆有两个公共点，那么这两个圆相交。②设⊙O1的半径为r1，⊙O2半径为r2，圆心距为d，则：两圆外离d＞r2＋r1；两圆外切d＝r2＋r1；两圆相交r2－r1＜d＜r2＋r1（r2≥r1）；两圆内切d＝r2－r1（r2＞r1）；两圆内含0≤d＜r2－r1（r2＞r1）。（四）圆的切线1、定义：和圆只有一个公共点的直线是圆的切线。2、性质：①圆的切线到圆心的距离等于半径。②定理：圆的切线垂直于过切点的半径。③切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。3、判定：①利用切线的定义。②到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线。③定理：经过半径的外端并且和这条半径垂直的直线是圆的切线。（五）圆与三角形1、三角形的外接圆（1）定义：经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆。
（2）三角形外心的性质：①是三角形三条边垂直平分线的交点；②到三角形各顶点距离相等；③外心的位置：锐角三角形外心在三角形内，直角三角形的外心恰好是斜边的中点，钝角三角形外心在三角形外面。2、三角形的内切圆（1）定义：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。（2）三角形内心的性质：①是三角形角平分线的交点；②到三角形各边的距离相等；③都在三角形内。（六）圆与四边形1、由圆周角定理可以得到：圆内接四边形对角互补。*2、由切线长定理可以得到：圆的外切四边形两组对边的和相等。（七）圆与正多边形1、正多边形的定义各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形，其外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心。2、正多边形与圆的关系把圆分成n（n≥3）等份，依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形，这时圆叫做正n边形的外接圆。3、正多边形的有关计算（11个量）边数n，内角和，每个内角度数，外角和，每个外角度数，中心角αn，边长an，半径Rn，边心距rn，周长ln，面积Sn(Sn=1/2lnrn)4、正多边形的画法画正多边形的步骤：首先画出符合要求的圆；然后用量角器或用尺规等分圆；最后顺次连结各等分点。如用尺规等分圆后作正四、八边形与正六、三、十二边形。注意减少累积误差。（八）弧长、扇形的面积、圆锥的侧面积和全面积公式＝(其中l为弧长)(其中l为母线长)（九）直角三角形的一个判定如果三角形一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形。（十）本章常见的辅助线课后反思
教学时间课题25.1.1随机事件(第一课时)课型新授课教学目标知 识和能 力通过对生活中各种事件的判断，归纳出必然事件，不可能事件和随机事件的特点，并根据这些特点对有关事件作出准确判断。过 程和方 法历经实验操作、观察、思考和总结，归纳出三种事件的各自的本质属性，并抽象成数学概念。情 感态 度价值观体验从事物的表象到本质的探究过程，感受到数学的科学性及生活中丰富的数学现象。教学重点随机事件的特点教学难点对生活中的随机事件作出准确判断教学准备教师多媒体课件学生“五个一”课堂教学程序设计设计意图一、创设情境，引入课题1．问题情境下列问题哪些是必然发生的？哪些是不可能发生的？(1)太阳从西边下山；(2)某人的体温是100℃；(3)a2+b2=－1(其中a,b都是实数)；(4)水往低处流；(5)酸和碱反应生成盐和水；(6)三个人性别各不相同；(7)一元二次方程x2+2x+3=0无实数解。2．引发思考我们把上面的事件（1）、（4）、（5）、（7）称为必然事件，把事件（2）、（3）、（6）称为不可能事件，那么请问：什么是必然事件？什么又是不可能事件呢？它们的特点各是什么？二、引导两个活动，自主探索新知活动1：5名同学参加演讲比赛，以抽签方式决定每个人的出场顺序。签筒中有5根形状大小相同的纸签，上面分别标有出场的序号1，2，3，4，5。小军首先抽签，他在看不到的纸签上的数字的情况从签筒中随机（任意）地取一根纸签。请考虑以下问题：（1）抽到的序号是0，可能吗？这是什么事件？（2）抽到的序号小于6，可能吗？这是什么事件？（3）抽到的序号是1，可能吗？这是什么事件？首先，这几个事件都是学生能熟知的生活常识和学科知识，通过这些生动的、有趣的实例，自然地引出必然事件和不可能事件；其次，必然事件和不可能事件相对于随机事件来说，特征比较明显，学生容易判断，把它们首先提出来，符合由浅入深的理念，容易激发学生的学习积极性。概念也让学生来完成，把课堂尽量多地还给学生，以此来体现自主学习，主动参与原理念。
（4）你能列举与事件（3）相似的事件吗？根据学生回答的具体情况，教师适当地加点拔和引导。活动2：小伟掷一个质地均匀的正方形骰子，骰子的六个面上分别刻有1至6的点数。请考虑以下问题，掷一次骰子，观察骰子向上的一面：（1）出现的点数是7，可能吗？这是什么事件？（2）出现的点数大于0，可能吗？这是什么事件？（3）出现的点数是4，可能吗？这是什么事件？（4）你能列举与事件（3）相似的事件吗？提出问题，探索概念（1）上述两个活动中的两个事件（3）与必然事件和不可能事件的区别在哪里？（2）怎样的事件称为随机事件呢？三、应用练习，巩固新知练习：指出下列事件中，哪些是必然事件，哪些是不可能事件，哪些是随机事件。（1）两直线平行，内错角相等；（2）刘翔再次打破110米栏的世界纪录；（3）打靶命中靶心；（4）掷一次骰子，向上一面是3点；（5）13个人中，至少有两个人出生的月份相同；（6）经过有信号灯的十字路口，遇见红灯；（7）在装有3个球的布袋里摸出4个球（8）物体在重力的作用下自由下落。（9）抛掷一千枚硬币，全部正面朝上。四、小结这节课学了哪些知识？“抽签”这个活动是学生容易理解或亲身经历过的，操作简单省时，又具有很好的经济性，最主要的是活动中含有丰富的随机事件，事件（3）就是一个典型的事件，它的提出，让学生产生新的认知冲突，从而引发探究欲望随机事件对学生来说是陌生的，它不同于其他数学概念，因此要理解随机事件的含义，由学生来描述随机事件的概念，进行活动2很有必要，便于学生透过随机事件的表象，概括出随机事件的本质特性，从而自主描述随机事件这一概念教师让学生充分发表意见，相互补充，相互交流，然后引导学生建构随机事件的定义，充分发挥学生的主观能动性。作业设计必做教科书P131：1选做教学反思
教学时间课题25.1.1随机事件（第二课时）课型新授课教学目标知 识和能 力通过“摸球”这样一个有趣的试验，形成对随机事件发生的可能性大小作定性分析的能力，了解影响随机事件发生的可能性大小的因素。过 程和方 法历经“猜测—动手操作—收集数据—数据处理—验证结果”，及时发现问题，解决问题，总结出随机事件发生的可能性大小的特点以及影响随机事件发生的可能性大小的客观条件。情 感态 度价值观在试验过程中，感受合作学习的乐趣，养成合作学习的良好习惯；得出随机事件发生的可能性大小的准确结论。需经过大量重复的试验，让学生从中体验到科学的探究态度。教学重点对随机事件发生的可能性大小的定性分析教学难点理解大量重复试验的必要性教学准备教师多媒体课件学生“五个一”课堂教学程序设计设计意图一、创设情境，引入课题1、摸球试验：袋中装有4个黑球，2个白球，这些球的形状、大小、质地等完全相同，在看不到球的条件下，随机地从袋子中摸出一个球。2、提出问题：我们把“摸到白球”记为事件A，把“摸到黑球”记为事件B，提问：（1）事件A和事件B是随机事件吗？（2）哪个事件发生的可能性大？二、分组试验、收集数据，验证结果1、把学生分成2人一组，其中一人把球搅均匀，另一人摸球并把结果记录在表1中。事件A发生的次数事件B发生的次数结果（指哪个事件发生的次数多）10次摸球20次摸球2、小组汇报试验结果，教师统计结果填于表2。得到结果1的组数得到结果2的组数10次摸球20次摸球注：结果1指事件A发生的次数多，结果2指事件B发生的次数多。3、提出问题（1）“10次摸球”的试验中，事件A发生的可能性大的有几组？“20次摸球”的试验中呢？“摸球”试验操作方便、简单且可重复，又为学生所熟知，学生做起来感觉亲切，有趣，并且容易依据生活经验猜到正确结论，这样易于激发学生的学习热情。设计“10次摸球”和“20次摸球”，意在引起结果的变化。
（2）你认为哪种试验更能获得较正确结论呢？（3）为了能够更大可能地获得正确结论，我们应该怎样做？4、进行大量重复试验，验证猜测的正确性。教师请同学们进行400次重复的“摸球”试验，教师提问：如果把刚才各小组的20次“摸球”合并在一起是否等同于400次“摸球”？这样做会不会影响试验的正确性？待学生回答后，教师把结果统计在表中。事件A发生的次数事件B发生的次数400次摸球5、对表中的数据进行分析，得出结论。提问：通过上述试验，你认为，要判断同一试验中哪个事件发生可能性的较大，必须怎么做？先让学生回答，回答时教师注意纠正学生的不准确的用语，最后由教师总结：要判断随机事件发生的可能性大小，必须经过大量重复试验。6、对试验结果作定性分析。在经过大量重复摸球以后，我们可以确定，事件A发生的可能性大于事件B发生的可能性，请同学们分析一下其原因是什么？三、练习反馈1、一个袋子里装有20个形状、质地、大小一样的球，其中4个白球，2个红球，3个黑球，其它都是黄球，从中任摸一个，摸中哪种球的可能性最大？2、一个人随意翻书三次，三次都翻到了偶数页，我们能否说翻到偶数页的可能性就大？3、袋子里装有红、白两种颜色的小球，质地、大小、形状一样，小明从中随机摸出一个球，然后放回，如果小明5次摸到红球，能否断定袋子里红球的数量比白球多？怎样做才能判断哪种颜色的球数量较多？4、已知地球表面陆地面积与海洋面积的比均为3：7。如果宇宙中飞来一块陨石落在地球上，“落在海洋里”与“落在陆地上”哪个可能性更大？四、小结对“10次摸球”得到正确结论的组数和“20次摸球”得到的正确结论的组数进行比较，使学生明白，增加摸球次数更宜于接近正确结论，本小节也可以让学生再进行“40次摸球”试验。让学生养成动脑筋，想办法的学习习惯，明白小组合作的优势。本小节是教学难点，这个结论由学生得出，体现了自主学习的理念，有利于学生思维的发展。这是本节课的主要内容之一，是本节课的出发点，也是本节课的归宿，把这个问题留给学生，也是体现了以学生为主体，让学生自主探索、自主学习的理念。作业设计必做教科书P132：2选做教学反思
教学时间课题25.1.2概率的意义课型新授课教学目标知 识和能 力1.知道通过大量重复试验时的频率可以作为事件发生概率的估计值2.在具体情境中了解概率的意义过 程和方 法让学生经历猜想试验--收集数据--分析结果的探索过程，丰富对随机现象的体验，体会概率是描述不确定现象规律的数学模型.初步理解频率与概率的关系.情 感态 度价值观在合作探究学习过程中，激发学生学习的好奇心与求知欲.体验数学的价值与学习的乐趣.通过概率意义教学，渗透辩证思想教育.教学重点在具体情境中了解概率意义.教学难点对频率与概率关系的初步理解教学准备教师壹元硬币数枚、图钉数枚、多媒体课件学生“五个一”课堂教学程序设计设计意图一、创设情境，引出问题教师提出问题：周末市体育场有一场精彩的篮球比赛，老师手中只有一张球票，小强与小明都是班里的篮球迷，两人都想去.我很为难，真不知该把球给谁.请大家帮我想个办法来决定把球票给谁.学生：抓阄、抽签、猜拳、投硬币，……教师对同学的较好想法予以肯定.（学生肯定有许多较好的想法，在众多方法中推举出大家较认可的方法.如抓阄、投硬币）追问，为什么要用抓阄、投硬币的方法呢？由学生讨论：这样做公平.能保证小强与小明得到球票的可能性一样大在学生讨论发言后，教师评价归纳.用抛掷硬币的方法分配球票是个随机事件，尽管事先不能确定“正面朝上”还上“反面朝上”，但同学们很容易感觉到或猜到这两个随机事件发生的可能性是一样的，各占一半，所以小强、小明得到球票的可能性一样大.质疑：那么，这种直觉是否真的是正确的呢？引导学生以投掷壹元硬币为例，不妨动手做投掷硬币的试验来验证一下.说明：现实中不确定现象是大量存在的，新课标指出：“学生数学学习内容应当是现实的、有意义、富有挑战的”，设置实际生活问题情境贴近学生的生活实际，很容易激发学生的学习热情，教师应对此予以肯定，并鼓励学生积极思考，为课堂教学营造民主和谐的气氛，也为下一步引导学生开展探索交流活动打下基础.二、动手实践，合作探究1．教师布置试验任务.（1）明确规则.把全班分成10组，每组中有一名学生投掷硬币，另一名同学作记录，其余同学观察试验必须在同样条件下进行.
（2）明确任务，每组掷币50次，以实事求是的态度，认真统计“正面朝上”的频数及“正面朝上”的频率，整理试验的数据,并记录下来..2．教师巡视学生分组试验情况.注意：（1）．观察学生在探究活动中，是否积极参与试验活动、是否愿意交流等，关注学生是否积极思考、勇于克服困难.（2）．要求真实记录试验情况.对于合作学习中有可能产生的纪律问题予以调控.3.各组汇报实验结果.由于试验次数较少，所以有可能有些组试验获得的“正面朝上”的频率与先前的猜想有出入.提出问题：是不是我们的猜想出了问题？引导学生分析讨论产生差异的原因.在学生充分讨论的基础上，启发学生分析讨论产生差异的原因.使学生认识到每次随机试验的频率具有不确定性，同时相信随机事件发生的频率也有规律性，引导他们小组合作，进一步探究.解决的办法是增加试验的次数，鉴于课堂时间有限，引导学生进行全班交流合作.4．全班交流.把各组测得数据一一汇报，教师将各组数据记录在黑板上.全班同学对数据进行累计，按照书上P140要求填好25-2.并根据所整理的数据，在25.1-1图上标注出对应的点,完成统计图.表25-2抛掷次数50100150200250300350400450500“正面向上”的频数“正面向上”的频率0.51正面向上的频率投掷次数n10050250150500450300350200图25.1-1想一想1（投影出示）.观察统计表与统计图，你发现“正面向上”的频率有什么规律？注意学生的语言表述情况，意思正确予以肯定与鼓励.“正面朝上”的频率在0.5上下波动.想一想2（投影出示）随着抛掷次数增加，“正面向上”的频率变化趋势有何规律？
在学生讨论的基础上，教师帮助归纳.使学生认识到每次试验中随机事件发生的频率具有不确定性，同时发现随机事件发生的频率也有规律性.在试验次数较少时，“正面朝上”的频率起伏较大，而随着试验次数的逐渐增加，一般地，频率会趋于稳定，“正面朝上”的频率越来越接近0.5.这也与我们刚开始的猜想是一致的.我们就用0.5这个常数表示“正面向上”发生的可能性的大小.说明：注意帮助解决学生在填写统计表与统计图遇到的困难.通过以上实践探究活动，让学生真实地感受到、清楚地观察到试验所体现的规律，即大量重复试验事件发生的频率接近事件发生的可能性的大小（概率）.鼓励学生在学习中要积极合作交流，思考探究.学会倾听别人意见，勇于表达自己的见解.为了给学生提供大量的、快捷的试验数据,利用计算机模拟掷硬币试验的课件，丰富学生的体验、提高课堂教学效率，使他们能直观地、便捷地观察到试验结果的规律性--大量重复试验中，事件发生的频率逐渐稳定到某个常数附近.其实，历史上有许多著名数学家也做过掷硬币的试验.让学生阅读历史上数学家做掷币试验的数据统计表（看书P141表25-3）.表25-3通过以上学生亲自动手实践,电脑辅助演示,历史材料展示,让学生真实地感受到、清楚地观察到试验所体现的规律，大量重复试验中，事件发生的频率逐渐稳定到某个常数附近,即大量重复试验事件发生的频率接近事件发生的可能性的大小（概率）.同时,又感受到无论试验次数多么大,也无法保证事件发生的频率充分地接近事件发生的概率.在探究学习过程中,应注意评价学生在活动中参与程度、自信心、是否愿意交流等，鼓励学生在学习中不怕困难积极思考，敢于表达自己的观点与感受,养成实事求是的科学态度.5.下面我们能否研究一下“反面向上”的频率情况？学生自然可依照“正面朝上”的研究方法，很容易总结得出：“反面向上”的频率也相应稳定到0.5.教师归纳：（1）由以上试验，我们验证了开始的猜想，即抛掷一枚质地均匀的硬币时，“正面向上”与“反面向上”的可能性相等（各占一半）.也就是说，用抛掷硬币的方法可以使小明与小强得到球票的可能性一样.（2）在实际生活还有许多这样的例子，如在足球比赛中，裁判用掷硬币的办法来决定双方的比赛场地等等.说明：这个环节，让学生亲身经历了猜想试验——收集数据——分析结果的探索过程，在真实数据的分析中形成数学思考，在讨论交流中达成知识的主动建构，为下一环节概率意义的教学作了很好的铺垫.三、评价概括，揭示新知问题1.通过以上大量试验，你对频率有什么新的认识？有没有发现频率还有其他作用？学生探究交流.发现随机事件的可能性的大小可以用随机事件发生的频率逐渐稳定到的值（或常数）估计或去描述.通过猜想试验及探究讨论，学生不难有以上认识.对学生可能存在语言上、描述中的不准确等注意予以纠正，但要求不必过高.归纳：以上我们用随机事件发生的频率逐渐稳定到的常数刻画了随机事件的可能性的大小.
那么我们给这样的常数一个名称，引入概率定义.给出概率定义（板书）：一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率会稳定在某个常数p附近，那么这个常数p就叫做事件A的概率（probability）,记作P（A）=p.注意指出：1．概率是随机事件发生的可能性的大小的数量反映.2．概率是事件在大量重复试验中频率逐渐稳定到的值，即可以用大量重复试验中事件发生的频率去估计得到事件发生的概率，但二者不能简单地等同.想一想(学生交流讨论)问题2．频率与概率有什么区别与联系?从定义可以得到二者的联系,可用大量重复试验中事件发生频率来估计事件发生的概率.另一方面,大量重复试验中事件发生的频率稳定在某个常数(事件发生的概率)附近，说明概率是个定值,而频率随不同试验次数而有所不同,是概率的近似值,二者不能简单地等同.说明：猜想试验、分析讨论、合作探究的学习方式十分有益于学生对概率意义的理解，使之明确频率与概率的联系，也使本节课教学重难点得以突破.为下节课进一步研究概率和今后的学习打下了基础.当然，学生随机观念的养成是循序渐进的、长期的.这节课教学应把握教学难度，注意关注学生接受情况.四．练习巩固，发展提高.学生练习1．书上P131.练习.1.巩固用频率估计概率的方法.2．书上P131.练习.2巩固对概率意义的理解.教师应当关注学生对知识掌握情况，帮助学生解决遇到的问题.五．归纳总结，交流收获：1．学生互相交流这节课的体会与收获，教师可将学生的总结与板书串一起，使学生对知识掌握条理化、系统化.2．在学生交流总结时，还应注意总结评价这节课所经历的探索过程，体会到的数学价值与合作交流学习的意义.作业设计必做完成P132习题25.2、3、4选做课外活动分小组活动，用试验方法获得图钉从一定高度落下后钉尖着地的概率.教学反思
教学时间课题25.2用列举法求概率(第一课时)课型新授课教学目标知 识和能 力1.理解P（A）=(在一次试验中有n种可能的结果，其中A包含m种)的意义.2.应用P（A）=解决一些实际问题．过 程和方 法复习概率的意义，为解决利用一般方法求概率的繁琐，探究用特殊方法—列举法求概率的简便方法，然后应用这种方法解决一些实际问题.情 感态 度价值观在合作探究学习过程中，激发学生学习的好奇心与求知欲.教学重点一般地，如果在一次试验中，有几种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的。种结果，那么事件A发生的概率为P(A)=，以及运用它解决实际间题．教学难点通过实验理解P(A)=并应用它解决一些具体题目教学准备教师多媒体课件学生“五个一”课堂教学程序设计设计意图一、复习引入（老师口问．学生口答）请同学们回答下列问题．1.概率是什么？2.P(A)的取值范围是什么？3.在大量重复试验中，什么值会稳定在一个常数上？俄们又把这个常数叫做什么？4.A=必然事件,B是不可能发生的事件,C是随机事件．诸你画出数轴把这三个量表示出来．老师点评：1，（口述）一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率会稳定在某一个常数P附近，那么这个常数P就叫做事件A的概率，记为P(A)=P．2.（板书）0≤P≤1．3.（口述）频率、概率．二、探索新知不管求什么事件的概率，我们都可以做大量的试脸．求频率得概率，这是上一节课也是刚才复习的内容，它具有普遍性，但求起来确实很麻烦，是否有比较简单的方法，这种方法就是我们今天要介绍的方法—列举法，把学生分为10组，按要求做试验并回答问题．1.从分别标有1，2，3，4，5号的5根纸签中随机地抽取一根．抽出的号码有多少种？其抽到1的概率为多少？
2.掷一个骰子，向上的一面的点数有多少种可能？向上一面的点数是1的概率是多少？老师点评:1.可能结果有1,2,3,4,5等5种杯由于纸签的形状、大小相同，又是随机抽取的，所以我们可以认为：每个号被抽到的可能性相等，都是1/5.其概率是1/5。2.有1,2,3,4,5,6等6种可能．由于股子的构造相同质地均匀，又是随机掷出的，所以我们可以断言：每个结果的可能性相等，都是1/6，所以所求概率是1/6所求。以上两个试验有两个共同的特点：1.一次试验中，可能出现的结果有限多个.2.一次试验中，各种结果发生的可能性相等.对于具有上述特点的试验，我们可以从事件所包含的各种可能的结果在全部可能的试验结果中所占的比分析出事件的概率．因此，一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的、种结果，那么李件A发生的概率为P(A)=例1.小李手里有红桃1,2,3,4,5,6,从中任抽取一张牌，观察其牌上的数字．求下列事件的概率．(1)牌上的数字为3；(2)牌上的数字为奇数；(3)牌上的数字为大于3且小于6.分析：因为从6张牌子任抽取一张符合刚才总结的试验的两个特点，所以可用P(A)=来求解.解：任抽取一张牌子，其出现数字可能为1,2,3,4,5,6,共6种，这些数字出现的可能性相同．（1）P（点数为3）=1/6；（2）P(点数为奇数)=3/6=1/2；（3）牌上的数字为大于3且小于6的有4，5两种．所以P（点数大于3且小于6）=1/3例2:如图25-7所示，有一个转盘，转盘分成4个相同的扇形，颇色分为红、绿、黄三种颇色，指针的位置固定，转动转盘后任其自由停止．其中的某个扇形会恰好停在指红红黄绿针所指的位里（指针指向两个扇形的交线时，当作指向右边的扇形），求下列事件的概率(1）指针指向绿色；(2）指针指向红色或黄色(3)指针不指向红色．分析：转一次转盘，它的可能结果有4种—有限个，并且各种结果发生的可能性相等.因此，它可以应用“P(A)=”问题，即“列举法”求概率．
解，(1)P(指针，向绿色)=1/4；(2)P(指针指向红色或黄色)=3/4；（3）P(指针不指向红色)=1/2例3如图25-8所示是计算机中“扫雷“游戏的画面，在个小方格的正方形雷区中，随机埋藏着颗地雷，每个小方格内最多只能藏颗地雷。小王在游戏开始时随机地踩中一个方格，踩中后出现了如图所示的情况，我们把与标号的方格相邻的方格记为区域（画线部分），区域外的部分记为区域，数字表示在区域中有颗地雷，那么第二步应该踩区域还是区域？分析：第二步应该踩在遇到地雷小的概率，所以现在关键求出在区域、区域的概率并比较。解：（1）区域的方格共有个，标号表示在这个方格中有个方格各藏颗地雷，因此，踩区域的任一方格，遇到地雷的概率是。（2）区域中共有个小方格，其中有个方格内各藏颗地雷。因此，踩区域的任一方格，遇到地雷的概率是。由于，所以踩区域遇到地雷的可能性大于踩区域遇到地雷的可能性，因而第二步应踩区域。三、巩固练习教材P134练习，五、归纳小结本节课应用列举法求概率。作业设计必做教材P137：1、2选做拓广探索教学反思
教学时间课题25.2用列举法求概率(第二课时)课型新授课教学目标知 识和能 力1．理解“包含两步，并且每一步的结果为有限多个情形”的意义。2．会用列表的方法求出：包含两步，并且每一步的结果为有限多个情形，这样的试验出现的所有可能结果。过 程和方 法体验数学方法的多样性灵活性，提高解题能力。情 感态 度价值观鼓励学生，体会成功的喜悦教学重点正确理解和区分一次试验中包含两步的试验。教学难点当可能出现的结果很多时，简洁地用列表法求出所有可能结果。教学准备教师多媒体课件学生“五个一”课堂教学程序设计设计意图一、比较，区别出示两个问题：1．一个布袋中有两个白球和两个黄球，质地和大小无区别，每次摸出1个球，共有几种可能的结果？2．一个布袋中有两个白球和两个黄球，质地和大小无区别，每次摸出2个球，这样共有几种可能的结果？要求学生讨论上述两个问题的区别，区别在于这两个问题的每次试验（摸球）中的元素不一样。二、问题解决1．例1教科书第150页例4。要求学生思考掷两枚硬币产生的所有可能结果。学生可能会认为结果只有：两个都为正面，一个正面一个反面和两个都是反面这样3种情形，要讲清这种想法的错误原因。列出了所有可能结果后，问题容易解决。或采用列表的方法，如：BA正反正正正正反反反正反反让学生初步感悟列表法的优越性。2．问题：“同时掷两枚硬币”，与“先后两次掷一枚硬币”，这两种试验的所有可能结果一样吗？
同时掷两枚硬币与先后两次掷一枚硬币有时候是有区别的。比如在先后投掷的时候，就会有这样的问题：先出现正面后出现反面的概率是多少？这与先后顺序有关。同时投掷两枚硬币时就不会出现这样的问题。3．课内练习：书本P137的练习。三、小结1．本节课的例题，每次试验有什么特点？2．用列表法求出所有可能的结果时，要注意表格的设计，做到使各种可能结果既不重复也不遗漏。作业设计必做教科书P138：3、选做教科书P138：7教学反思
教学时间课题25.2用列举法求概率(第三课时)课型新授课教学目标知 识和能 力1．进一步理解有限等可能性事件概率的意义。2．会用树形图求出一次试验中涉及3个或更多个因素时，不重不漏地求出所有可能的结果，从而正确地计算问题的概率。进一步提高分类的数学思想方法，掌握有关数学技能（树形图）。过 程和方 法经历探索，使学生掌握知识情 感态 度价值观动手操作，提高解决问题的能力教学重点正确鉴别一次试验中是否涉及3个或更多个因素。教学难点用树形图法求出所有可能的结果。教学准备教师多媒体课件学生“五个一”课堂教学程序设计设计意图一、解决问题，提高能力例1同时掷两个质地均匀的骰子，计算下列事件的概率：（1）两个骰子的点子数相同；（2）两个骰子的点子数的和是9；（3）至少有一个骰子的点数为2。分析：由于每个骰子有6种可能结果，所以2个骰子出现的可能结果就会有很多，我们用怎样的方法才能既不重复又不遗漏地求出所有可能的结果呢？这个问题要让学生充分发表意见，在次基础上再使学生认识到列表法可以清楚地列出所有可能的结果，体会其优越性。列出表格。也可用树形图法。其实，求出所有可能的结果的方法不止是列表法，还有树形图法也是有效的方法，要让学生体验它们各自的特点，关键是对所有可能结果要做到：既不重复也不遗漏。板书解答过程。思考：教科书第135页的思考题。例2教科书第136页例4。分析：弄清题意后，先让学生思考从3个口袋中每次各随机地取出一个球，共3个球，这就是说每一次试验涉及到3个因素，这样的取法共有多少种呢？你打算用什么方法求得？在学生充分思考和交流的前提下，老师介绍树形图的方法。第一步可能产生的结果为A和B，两者出现的可能性相同且不分先后，写在第一行。第二步可能产生的结果有C、D和E，三者出现的可能性相同且不分先后，从A和B分别画出三个分支，在分支下的第二行分别写上C、D和E。
第三步可能产生的结果有两个H和I，两者出现的可能性相同且不分先后，从C、D和E分别画出两个分支，在分支下的第三行分别写上H和I。（如果有更多的步骤可依上继续）第四步按竖向把各种可能的结果竖着写在下面，就得到了所有可能的结果的总数。再找出符合要求的种数，就可以利用概率和意义计算概率了。教师要详细地讲解以上各步的操作方法。写出解答过程。问：此题可以用列表法求出所有可能吗？小结：教科书第136页左边的结论。思考：教科书第137页的思考题。二、练习，巩固技能教科书第137页练习。练习1是每次试验涉及2个因素的问题，共有36种可能的结果；练习2是每次试验涉及3个因素的问题，共有27种可能的结果。尽管这2个问题可能的结果都比较多，但用树形图的方法并不难求得，重要的是要让学生正确把握题意，鉴别每次试验涉及的因素以及这些因素的顺序。一、单元小结问题：（要求学生思考和讨论）1．本单元学习的概率问题有什么特点？2．为了正确地求出所求的概率，我们要求出各种可能的结果，那么通常是用什么方法求出各种可能的结果呢？特点：一次试验中可能出现的结果是有限多个，各种结果发生的可能性是相等的。通常可用列表法求得各种可能结果，具体有直接分析列出可能结果，列表法和树形图法。作业设计必做教科书P138：4、5、6选做教科书P139：9教学反思
教学时间课题25.3.1利用频率估计概率课型新授课教学目标知 识和能 力1、当事件的试验结果不是有限个或结果发生的可能性不相等时，要用频率来估计概率。2、通过试验，理解当试验次数较大时试验频率稳定于理论概率，进一步发展概率观念。过 程和方 法通过实验及分析试验结果、收集数据、处理数据、得出结论的试验过程，体会频率与概率的联系与区别，发展学生根据频率的集中趋势估计概率的能力。情 感态 度价值观1、通过具体情境使学生体会到概率是描述不确定事件规律的有效数学模型，在解决问题中学会用数学的思维方式思考生活中的实际问题的习惯。2、在活动中进一步发展合作交流的意识和能力。教学重点理解当试验次数较大时，试验频率稳定于理论概率。教学难点对概率的理解。教学准备教师多媒体课件学生“五个一”课堂教学程序设计设计意图一、问题情境：妈妈有一张马戏团门票，小明、小华和小红都想去看演出，怎么办呢？妈妈想用掷骰子的办法决定，你觉得这样公平吗？说说你的理由？但由于一时找不到骰子，妈妈决定用一个小长方体（涂有三种颜色，对面的颜色相同）来代替你觉得这样公平吗？选哪种颜色获得门票的概率更大？说说你的理由！二、合作游戏：1、实验：二人一组，一人抛掷小长方体，一人负责记录，合作完成30次试验，并完成下面表格一的填写和有关结论的得出。表格一：颜色红绿蓝频数频率概率问题：（1）你认为哪种情况的概率最大？_________________红色________________________________________.（2）当试验次数较小时,比较三种情况的频率，你能得出什么结论？当试验次数较小时,统计出的频率不能估计概率.
2、累计收集数据：二人一组，任选自己喜欢的颜色分别汇总其中前两组（60次）、前三组（90次）、前四组（120次）、五组（150次）。。。。。的试验数据，完成表格二的填写，并绘制出相应的折线统计图和有关结论的得出。表格二：试验次数306090120150180210240……频率试验次数306090120150180……问题:当试验次数较大时,比较数字色的频率与其相应的概率,你能得到什么结论？_________________________________________________.4、得出试验结论。三、随堂练习。书本P144页“柑橘的损坏率”填写表25--6四、拓展提升：解决问题21、柑橘的损坏率是多少？2、到达目的地后完好的柑橘还有多少千克？3、把损坏的柑橘也算在内，到达目的地后柑橘的成本约是多少元？4、设每千克定价为x元，则可以得到的方程是？五、课堂小结：畅所欲言。作业设计必做教科书P145：1、2选做教科书P146：5教学反思
教学时间课题25.3.2利用频率估计概率课型新授课教学目标知 识和能 力了解模拟实验在求一个实际问题中的作用，进一步提高用数学知识解决实际问题的能力。过 程和方 法初步学会对一个简单的问题提出一种可行的模拟实验。情 感态 度价值观1、提高学生动手能力，加强集体合作意识，丰富知识面，激发学习兴趣。2、渗透数形结合思想和分类思想。教学重点理解用模拟实验解决实际问题的合理性。教学难点会对简单问题提出模拟实验策略。教学准备教师多媒体课件学生“五个一”课堂教学程序设计设计意图一、问题情境：小明参加夏令营，一天夜里熄灯了，伸手不见五指，想到明天去八达岭长城天不亮就出发，想把袜子准备好，而现在又不能开灯。袋子里有尺码相同的3双黑袜子和1双白袜子，混放在一起，只能摸黑去拿出2只。同学们能否求出摸出的2只恰好是一双的可能性？问：同学们能否通过实验估计它们恰好是一双的可能性？如果手边没有袜子应该怎么办？问：在摸袜子的实验中，如果用6个红色玻璃珠，另外还找了两张扑克牌，可以混在一起做实验吗？答：不可以，用不同的替代物混在一起，大大地改变了实验条件，所以结果是不准确的。注意：实验必须在相同的条件下进行，才能得到预期的结果；替代物的选择必须是合理、简单的。问：假设用小球模拟问题的实验过程中，用6个黑球代替3双黑袜子，用2个白球代替1双白袜子：（1）有一次摸出了2个白球，但之后一直忘了把它们放回去，这会影响实验结果吗？答：有影响，如果不放回，就不是3双黑袜子和1双白袜子的实验，而是中途变成了3双黑袜子实验，这两种实验结果是不一样的。问：（2）如果不小心把颜色弄错了，用了2个黑球和6个白球进行实验，结果会怎样？答：小球的颜色不影响恰好是一双的可能性大小二、问题3：一个学习小组有6名男生3
名女生。老师要从小组的学生中先后随机地抽取3人参加几项测试，并且每名学生都可被重复抽取。你能设计一种实验来估计“被抽取的3人中有2名男生1名女生”的概率的吗？下面的表中给出了一些模拟实验的方法，你觉得这些方法合理吗？若不合理请说明理由：需要研究的问题用替代物模拟实验的方法用什么实物一枚硬币一枚图钉怎样实验抛起后落地抛起后落地考虑哪一事件出现的机会正面朝上的机会钉尖朝上的机会需要研究的问题用替代物模拟实验的方法用什么实物3个红球2个黑球3个男生名字2个女生名字怎样实验摸出1个球摸出1个名字考虑哪一事件出现的机会恰好摸出红球的机会恰好摸出男生名字的机会三、随堂练习。（1）在抛一枚均匀硬币的实验中，如果没有硬币，则下列可作为替代物的是（）A.一颗均匀的骰子B.瓶盖C.图钉D.两张扑克牌（1张黑桃，1张红桃）（2）不透明的袋中装有3个大小相同的小球，其中2个为白色球，另一个为红色球，每次从袋中摸出一个球，然后放回搅匀再摸，研究恰好摸出红色小球的机会，以下替代实验方法不可行的是（）A.用3张卡片，分别写上“白”、“红”，“红”然后反复抽取B.用3张卡片，分别写上“白”、“白”、“红”，然后反复抽取C.用一枚硬币，正面表示“白”，反面表示“红”，然后反复抽取D.用一个转盘，盘面分：白、红两种颜色，其中白色盘面的面积为红色的2倍，然后反复转动转盘四、课堂小结：畅所欲言。作业设计必做教科书P146：3、4选做教科书P146：6教学反思
教学时间课题25.4课题学习键盘上字母的排列规律课型新授课教学目标知 识和能 力结合具体情境，初步感受统计推断的合理性，进一步体会概率与统计之间的联系及概率的广泛应用。过 程和方 法经历试验、统计等活动，在活动中发展学生的合作交流的意识和能力。情 感态 度价值观通过具体情境使学生养成乐于接触社会环境中的数学信息，乐于用数学思维去思考生活中的问题。教学重点进一步深刻领会用试验频率来估算概率的方法。教学难点对实际问题的分析，并体会用试验步骤来估算概率的方法。教学准备教师多媒体课件、键盘等学生“五个一”课堂教学程序设计设计意图一、问题的提出：计算机键盘上的英文字母为什么没有按照字母表顺序从A、B。。。到Z排列，如果那样不是更便于记忆吗？二、合作活动1．收集和分析数据：统计英语教科书中任一部分中26个字母及空格出现的频率（分组合作完成，每人找其中一个字母的出现频率）（1）统计每一个字母出现的次数和所有字母出现的总次数。（2）计算字母出现的频率m/n（3）将字母按出现的频率从小到大的顺序排列出。（学生按所查字母出现频率从大到小回答，老师在黑板上写出）出现频率最高的是______,出现频率较低的字母有______________________2．结论的应用与解释：左手右手小无中食食中无小上QWERTYUIOP中ASDFGHJKL；下ZXCVBNM，。/？
问：空格键为什么要设计在键盘的下方正中央位置？出现频率高的字母一般放在哪里？出现频率低的字母一般放在哪里？为什么？答：键盘上字母的设计，既考虑手指移动的灵活特征，又考虑到各个键的使用频率大小。三、随堂练习。汉字使用频率及手机中文输入法的顺序。四、课堂小结：畅所欲言。五、课外拓展提升：在计算机中任选一篇WORD文档，借助office的查找功能及字数统计功能，统计出某个同音汉字的出现次数，进行分析，按出现频率从大到小排列，然后与拼音输入法中的排列顺序进行比较，结果一致吗？作业设计必做教科书P151：数学活动选做教学反思
第二十五章《概率初步》小结一、概率1、事件的划分必然事件：一定发生的事件为必然事件事件不可能事件：一定不发生的事件为不可能事件随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件2、概率（1）一般地，在大量重复实验中，如果事件A发生的频率会稳定在某个常数p附近，那么这个常数p就叫事件A的概率，记为P（A）＝p.（其中n为实验的次数，m为事件A发生的频数）（2）因为0≤m≤n，所以0≤≤1，即0≤P（A）≤1。当A为必然发生事件时，m＝n，＝1，P（A）＝1.当A为不可能事件时，m＝0，＝0，P（A）＝0.当A为随机事件时，00时，表示什么？可不可能为负数？(≥0)是什么样的数呢？例1、当x是怎样的实数时，下列二次根式有意义？在下列二次根式有意义的情况下，其运算结果是怎样的实数？，，练习：1、课本思考2：当x是怎样的实数时，，点题，板书课题.学生独立完成后，教师订正；并引导学生观察得出：四个式子表示的都是非负数的算术平方根.教师可指出算术平方根即正的平方根.可读作二次根号65，简称根号65(只有二次可简称)，也可读作65的算术平方根.可由学生思考后进行讨论，然后教师订正，最后师生共同归纳得出性质1：(≥0)是一个非负数让学生了解本章的学习内容和本课的学习目标.算术平方根的意义是得出二次根式的性质的基础，复习算术平方根的意义便于理解定义、归纳性质.让学生理解二次根式是按形式定义的，并理解二次根式存在的条件和运算结果的非负性.通过例题分析和练习加深对二次根式“
有意义？1、若，则x和m的取值范围是x_____；m______.2、已知，求的值各是多少？(二)两个运算性质活动5、完成课本探究1活动6、对中的运算顺序、运算结果进行分析，归纳出：一个非负数先开方再平方，结果不变.练习：课本例2活动7、完成课本探究2活动8、对中的运算顺序、运算结果进行分析，归纳出：一个非负数先平方再开方，结果不变；一个负数先平方再开方结果为相反数.练习：课本例3补充练习：1、化简：，；2、直角三角形的三边分别为a，b，c，其中c为斜边，则式子-与式子有什么关系？三、课堂训练完成课本中两个练习.有时间可补充：1、成立的条件是_______.2、成立的条件是_______.四、小结归纳1、二次根式的概念及“被开方数非负”的条件和“运算结果非负”的性质.2、二次根式的两个运算性质，平方为“父对象”，开方为“子对象”.3、简单介绍代数式的概念.4、重复演示课件呈现练习题，供学生记录.五、作业设计必做：P5：1、2、3、4、5、6选做：P6：7、8师生共同分析归纳出使二次根式有意义的条件：不是使字母为非负数，而是使被开方数为非负数，且还要考虑二次根式的位置.要求学生会用算术平方根的意义解释.师生共同归纳得出性质2：(≥0)仍要求用算术平方根的意义解释.师生共同归纳出性质3：(≥0)找学生板演，说明解题过程引导学生先观察、分析，解题后养成说明理由的反思习惯.教师巡视指导，收集学生掌握情况，并集中订正.教师归纳总结，学生边听边作笔记.运算结果和被开方数双非负”的理解.先具体后抽象，先练习后归纳，一可培养学生数感，二可有利于性质的得出，三可加深对性质的理解.对运算顺序的分析在于弄清两种运算的区别，从而弄清对字母a的要求不同，计算结果也因a而异.补充练习在于强化二次根式的结果具有非负性，也促使学生养成解题先观察的习惯。进一步体会“两个非负”.这里只要求学生知道“什么是代数式”即可，不要求掌握“什么叫代数式”.教学反思
教学时间课题21.2二次根式的乘除（第1课时）课型新授教学媒体多媒体教学目标知识技能1.会运用二次根式乘法法则进行二次根式的乘法运算.2.会利用积的算术平方根性质化简二次根式.过程方法1.经历观察、比较、概括二次根式乘法公式，通过公式的双向性得到积的算术平方根性质.2.通过例题分析和学生练习，达成目标1，2，认识到乘法法则只是进行乘法运算的第一步，之后如果需要化简，进行化简，并逐步领悟被开方数的最优分解因数或因式的方法.情感态度培养学生观察、猜想的习惯和能力，勇于探索知识之间内在联系.教学重点双向运用(≥0，b≥0)进行二次根式乘法运算.教学难点被开方数的最优分解因数或因式的方法.教学过程设计教学程序及教学内容师生行为设计意图一、复习引入导语设计：上节课学习了二次根式的定义和三个性质，这节课开始学习二次根式的运算，先来学习乘法运算。二、探究新知(一)二次根式乘法法则活动1、1.填空，完成课本探究12.用1中所发现的规律比较大小×；×活动2、给出二次根式的乘法法则活动3、思考下列问题：①公式中为什么要加≥0,b≥0？②两个二次根式相乘其实就是不变，相乘③（≥0,b≥0，c≥0）=练习：课本例1，在（1）（2）之后补充（3）归纳：运算的第一步是应用二次根式乘法法则，最终结果尽量简化.(二)积的算术平方根性质活动4.将二次根式乘法公式逆用得到积的算术平方根性质完成课本例2，在（1）（2）之间补充归纳：化简二次根式实质就是先将被开方数因数分解或因式分解，然后再将能开的尽方的因数或因式开方后移到根号外.点题，板书课题.学生计算，观察对比，找规律结合探究内容师生总结教师组织学生小组交流，进行讨论.学生板演利用它就可以将二次根式化简教师归纳总结，学生边听边作笔记.让学生经历从特殊到一般的认知过程，培养数感.使学生理解二次根式乘法的前提是二次根式有意义.乘法法则推广使学生初步掌握如何计算二次根式乘法.使学生学会化简二次根式双向使用公式，熟练进行计算
例3.计算:（1）（2）；（3）分析：（1）第一步被开方数相乘，不必急于得出结果，而是先观察因式或因数的特点，再确定是否需要利用乘法交换律和结合律以及乘方知识将被开方数的积变形为最大平方数或式与剩余部分的积，最后将最大平方数或式开方后移到根号外.（2）运用乘法交换律和结合律将不含根号的数或式与含根号的数或式分别相乘，再把这两个积相乘.，之后同（1）.三、课堂训练完成课本练习.补充：1.成立，求x的取值范围.2.化简：四、小结归纳1.二次根式乘法公式的双向运用；2.进行二次根式乘法运算的一般步骤，观察式子特点灵活选取最优解法.五、作业设计必做：P12：1、3（1）（2）、4补充作业：1．计算:(1)；(2)；(3)；(4).2.化简：(1)；(2).3.等边三角形的边长是3，求这个等边三角形的面积找学生说明解题过程，引导学生先观察、分析，解题后养成说明理由的反思习惯.指导学生交流，教师总结学生独立练习，巩固新知组织学生交流，讨论，达成共识.师生共同归纳形成运用技巧，便于解题速度与正确率的深化理解公式及运用，提高解题能力.纳入知识系统教学反思
教学时间课题21.2二次根式的乘除（第2课时）课型新授教学媒体多媒体教学目标知识技能1.会运用二次根式除法法则进行二次根式的除法运算.2.会利用商的算术平方根性质化简二次根式.3.理解最简二次根式概念，知道二次根式的运算中，一般要把最后结果化为最简二次根式.过程方法1.经历观察、比较、习，达成目标1，2，认识到除法法则只是进行除法运算的第一步，之后如果需要化简，进行化简.也可运用概括二次根式除法公式，通过公式的双向性得到商的算术平方根性质.2.通过例题分析和学生练习分母有理化方法进行二次根式除法.情感态度类比二次根式的乘法进行知识与方法的迁移，获得新知，体验探索的乐趣.教学重点双向运用进行二次根式除法运算.教学难点能使用分母有理化方法进行二次根式的除法运算教学过程设计教学程序及教学内容师生行为设计意图一、复习引入导语设计：上节课学习了二次根式的乘法，这节课学习二次根式的除法运算.二、探究新知(一)二次根式除法法则活动1、1.填空，完成课本探究12.用1中所发现的规律比较大小；活动2、给出二次根式的除法法则活动3、思考下列问题：①公式中为什么要加≥0,b>0？②两个二次根式相除其实就是不变，相除练习：课本例4，在（1）（2）之后补充（3）归纳：运算的第一步是应用二次根式除法法则，最终结果尽量简化.(二)商的算术平方根性质活动4.将二次根式除法公式逆用得到商的算术平方根性质完成课本例5归纳：化简被开方式含有分数线的二次根式，就是将分子的算术平方根做分子，分母的算术平方根做分母，再利用积的算术平方根分别化简.例6.计算:点题，板书课题.学生计算，观察对比，类比上节课知识找规律结合探究内容师生总结教师组织学生小组交流，进行讨论.学生板演，师生订正学生板演并讲解解题过程及依据找学生说明解题过程，引导学生先观察、分析，解题后养成说明理由的反思习惯.让学生经历从特殊到一般的认知过程，培养数感.使学生理解二次根式除法的前提是二次根式有意义.使学生初步学会化简被开方式含有分数线的二次根式
（1）（2）；（3）分析：第一步可以把被开方数相除，然后告诉学生被开方数中不能含有分母，数必须是整数，利用分数的基本性质将分母变成完全平方数，开方后移到根号外；也可以直接模仿分数的基本性质和公式，，以去掉分母中的根号.（三）最简二次根式概念活动5、让学生观察所做习题结果，总结归纳结果的特点，得到最简二次根式的概念.分析概念：1.被开方数不含分母的含义指-----因数是整数，因式是整式；2.被开方数中不能含开得尽方的因数是指----被开方数不能分解出完全平方数；被开方数中不含开得尽方的因式是指----被开方数的每一个因式的指数都小于根指数2，因此，每一个因式的指数都是1.完成课本例7补充：化简注意：被开方数是和式时，结果不等于各加数的算术平方根的和.三、课堂训练完成课本练习.补充：1.成立，求x的取值范围.2.找出下列根式中的最简二次根式3.判断下列等式是否成立四、小结归纳1.二次根式除法公式的双向运用；2.进行二次根式除法运算的一般步骤，观察式子特点灵活选取最优解法.3.最简二次根式概念五、作业设计必做：P12：2、3（3）（4）、5、6、7选做：P12：8、9、10指导学生交流，教师总结学生观察刚做过的题的结果，含根式的结果中根式的特点.教师及时肯定学生的结论并加以引导和整理汇总.学生说解题方法，书写解题过程体会化简二次根式再实际问题中的应用学生独立完成巩固新知学生思考，讨论，阐述个人见解让学生观察，寻找并解释，能将不是的进行化简让学生观察，判断，将不成立的正确求解师生共同归纳双向使用公式，熟练灵活进行计算形成运用技巧，以提高解题速度与正确率让学生通过结果的最终性初步感知最简二次根式的概念，继而理解概念，并为以后的计算和化简的结果设立标准强调被开方数是和式的二次根式的化简办法熟练计算和解题深化理解公式及运用使学生能判断最简二次根式正确化简二次根式纳入知识系统教学反思
教学时间课题21.2二次根式的加减（第1课时）课型新授教学媒体多媒体教学目标知识技能1.知道在有理数范围内成立的运算律在实数范围内仍然成立.2.能熟练将二次根式化简成最简二次根式.3.会运用二次根式加减法法则进行二次根式的加减运算.过程方法1.类比整式加减得到二次根式加减的方法，二者都是系数的加减运算.2.在学习过程中体会有理数、整式、二次根式运算之间的联系，感受数的扩充过程中运算性质和运算律的一致性以及数式通性.情感态度学生温故知新，渗透类比思想，培养自主学习意识.教学重点二次根式加减法运算方法教学难点二次根式的化简，合并被开方数相同的最简二次根式教学过程设计教学程序及教学内容师生行为设计意图一、复习引入导语设计：上节课学习了二次根式的乘除法，这节课学习二次根式的加减法运算.二、探究新知(一)二次根式加减法法则活动1、类比计算，说明理由①2+3；.②2-3；.③；思考：（1）在有理数范围内成立的运算律，在实数范围内能否继续使用？（2）二次根式的加减运算与整式的加减运算相同之处是什么？（3）什么样的二次根式能够合并？（4）模仿整式的加减运算怎样进行二次根式的加减运算？活动2、给出二次根式的加减法法则分析法则：二次根式加减时，先将非最简二次根式化为最简二次根式，再逆用乘法分配律将被开方数相同的二次根式进行合并.被开方数不同的最简二次根式不能合并，作为最后结果中的部分.练习：课本例1，之后补充（3）（4）课本例2，之后补充分析说明：中补充（3）结果为负，（4）含分数线，作为例1，例2的过渡。中补充括号前是负号的.点题，板书课题.学生计算，观察对比，类比整式加减知识尝试计算教师组织学生小组交流，进行讨论.结合探究内容师生总结学生板演，并说明每一步的依据，然后师生订正.让学生尝试经历从已知到未知的迁移，感受数式通性.为总结二次根式的加减法法则做铺垫更好地理解和运用法则初步进行计算，并强化去括号后的符号变化
(二)二次根式加减的应用1.课本引例分析：这个实际问题的解决方法可能不同，还可以先估算两个正方形的边长，，再把它们的和与木板的长比较.2.课本例3分析：利用勾股定理解决实际问题，运用二次根式的加减进行计算，计算的最后一步取近似值，使结果更精确.三、课堂训练完成课本练习.补充：1.下列各组二次根式中，化简后被开方式相同的是（）A.B.C.D.2.二次根式的计算为什么先学乘除，后学加减？还有哪块知识也是如此？四、小结归纳1.进行二次根式加减运算的一般步骤.2.二次根式的熟练化简.2.二次根式加减的实际应用.五、作业设计必做：P17：1、2、3选做：5补充作业：计算:（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）让学生认真审题，分析，并阐述，然后师生交流，学生进行计算.学生独立完成练习,巩固新知,师生订正引导学生先观察、分析，找学生说明解题思路，解题后养成说明理由的反思习惯.指导学生交流，教师总结感受二次根式加减的实际应用熟练计算和解题正确化简二次根式纳入知识系统教学反思教学时间课题21.2二次根式的加减（第2课时）课型新授
教学媒体多媒体教学目标知识技能在有理数的混合运算及整式的混合运算的基础上，使学生了解二次根式的混合运算与以前所学知识的关系，在比较中求得方法，并能熟练地进行二次根式的混合运算．过程方法1.对二次根式的混合运算与整式的混合运算及有理数的混合运算作比较，注意运算的顺序及运算律在计算过程中的作用．并感受数的扩充过程中运算性质和运算律的一致性以及数式通性.2.在运算中运用多项式的乘法法则和整式的乘法公式，体会二次根式的运算与整式的运算的联系.情感态度培养学生的类比运用意识教学重点混合运算的法则，运算律的合理使用．教学难点灵活运用运算律、乘法公式等技巧，使计算简便．教学过程设计教学程序及教学内容师生行为设计意图一、复习引入导语设计：到目前为止，我们已经学习了二次根式的乘除、加减运算，这节课来学习二次根式的混合运算.二、探究新知(一)二次根式混合运算法则活动1、类比计算，说明理由(2+3b)；()(2+3b)(-b)；(3b-42)÷；思考：（1）在有理数范围内成立的运算律，在实数范围内能否继续使用？（2）二次根式的混合运算与整式的混合运算相同之处是什么？（3）左边式子中的字母、b可以表示二次根式吗？（4）模仿整式的混合运算怎样进行二次根式的混合运算？活动2、给出二次根式的混合运算的一般步骤.分析法则：（1）进行二次根式混合运算时，运算顺序与实数运算类似，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号里面的（或先去掉括号）.（2）对于二次根式混合运算，原来学过的所有运算律、运算法则仍然适用，整式、分式的运算法则仍然适用。（3）有括号的二次根式混合运算，去掉括号是最关键的一步.练习：课本例4，之后补充（3）点题，板书课题.学生计算，观察对比，类比整式混合运算知识尝试计算教师组织学生小组交流，进行讨论.结合探究内容师生总结让学生尝试经历从已知到未知的迁移，感受式数通性.为总结二次根式的混合运算法则做铺垫更好地理解和运用法则初步进行计算
课本例5，之后补充分析说明：中补充（3）是不能除尽（含分数线）的类型。中补充完全平方公式应用.归纳：二次根式混合运算时，乘法公式仍然适用，仔细观察式子的特征，灵活运用完全平方公式、平方差公式来简化运算.(二)二次根式混合运算的应用1.若x=,则x2+x+1=2.已知，求;的值.3.如图，四边形ABCD中，AB⊥BC,AD⊥AB,AB=1,BC=CD=2,求四边形ABCD的面积.三、课堂训练完成课本练习.补充：1.海伦——秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别是,b,c,设=,则三角形的面积为S=公式运用：在中，BC=4,AC=5,AB=6,求的面积。四、小结归纳1.进行二次根式混合运算的一般步骤.2.二次根式混合运算时，仔细观察式子的特征，灵活运用运算法则、运算律、公式来简化运算.2.二次根式混合运算的应用.五、作业设计必做：P18：4、6、7选做：P18：8、91.已知，求的近似值.2.如图21.3-3在平行四边形ABCD中，得DE⊥AB,E点在AB上，DE=AE=EB=,求平行四边形ABCD的周长.学生板演，并说明每一步的依据，然后师生订正.引导学生先观察、分析，找学生说明解题思路，解题后养成说明理由的反思习惯.学生独立完成练习,巩固新知,师生订正指导学生交流，教师总结感受二次根式混合运算的应用熟练计算和解题纳入知识系统教学反思教学时间课题第21章小结课型复习
教学媒体多媒体教学目标知识技能1.学生构建知识体系2.通过解决典型的题目，抓住本章要点；解决易出错的题目，找出错陷阱和错因.3.联系实数，整式，勾股定理等相关知识进行综合运用.过程方法1.从知识生成的本质和思想方法的本质养成学习数学的能力.2.经历观察、思考、交流，熟练、灵活解题.情感态度培养数感和符号感，培养以联系和发展的观点学习数学的习惯教学重点深化理解二次根式的概念和性质，熟练进行二次根式的化简与运算．教学难点进一步理解二次根式的性质和运算法则的合理性教学过程设计教学程序及教学内容师生行为设计意图一、复习引入导语设计：我们已经学习了二次根式的概念，性质和运算，这节课来复习并总结本章知识.二、复习提升(一)基础巩固l解答下列各题，注意易让你犯错的陷阱1.若有意义，则x的取值范围是.2.下列各式是最简二次根式的是（）A.B.C.D.3.下列二次根式中，和是同类二次根式的是（）A.B.C.D.4.下列运算正确的是（）A.B.C.D.5.计算：；；归纳：本组训练题目典型，易错，旨在进一步理解二次根式相关知识，熟练进行二次根式化简与运算.l解答下列各题，注意避免犯上组题中的错误，看是否有新的发现.1.若有意义，则x的取值范围是.2.下列各式中不是最简二次根式的是（）A.B.C.D.3.下列二次根式中，和不是同类二次根式的是（）A.B.C.D.4.下列计算正确的是（）A.B.C.D.5.计算：；；点题，板书课题.学生计算，观察对比，运用本章知识独立计算教师组织学生小组交流，最后明确答案结合题目内容让学生说明各题所考查知识点，指出易错之处，错因以及解题技巧学生独立完成，教师巡回视察.做完之后，师生订正.并让学生谈做题体会，以及新的发现.师生总结检验学生基本知识的掌握情况，搜集反馈信息为下一组题中更好地理解和运用基本知识做准备学生进一步运用基本知识解决问题，达到熟练程度，为下组的综合训练奠定基础
归纳：此组题与上组题考察内容相同，但问法不同，更具技巧性.(二)综合运用1.当m时，有意义.2.能使成立的x的取值范围是.3.若，则的取值范围是.4.若是.5.当＜-3时，化简的结果是.6.整数满足下列两个条件：式子和都有意义的值是整数，则的值是.7.以下结论正确的是.（填序号即可）=对一切实数都成立对一切实数都成立式子叫做二次根式一个数的平方根和它的绝对值都是非负数8.在实数范围内分解因式：的结果是.9.的计算结果是.10.已知求的值.11.如图，有一艘船在点O处测得一小岛上的电视塔A在北偏西600的方向上，前进20海里到达B处，测得A在船的西北方向，问再向西航行多少海里，船离电视塔最近？归纳：这组题是本章知识的深化运用，有一定的难度，与实数，有理式，勾股定理等知识综合运用.(三)构建知识体系二次根式概念性质运算乘除运算加减运算混合运算甲三、小结归纳1.复习巩固二次根式知识，及于其他相关知识的联系.2.进一步理解本章知识，熟练解决相关问题.3.补充课本未明确给出的概念及相关题目，拓展知识与能力.4.构建知识体系，纳入知识系统.四、作业设计必做：P21：1-8选做：P21：9-11引导学生先观察、分析，小组讨论，再找学生说明解题思路，解题后养成说明理由的反思习惯.学生解题后，师生订正指导学生交流，谈收获，体会，师生总结让学生构建本章知识体系，教师展示学生的结构图，学生之间进行交流，肯定最优建构让学生阐述本节课有哪些收获，有何体会，教师指导从考查知识，易错题目，典型题，解题技巧，思想方法等方面总结增加问题难度，综合性，使学生进一步理解知识，培养综合分析能力.总结二次根式、绝对值、平方的共同特点是非负补充分母有理化因式和分母有理化化简方法，拓宽知识，为后续学习打好准备使学生系统感知本章知识，掌握各知识之间的内在联系纳入知识系统
