2018-2019学年山东省青岛市崂山区九年级下学期期中数学试卷 （解析版）(1)

2018-2019学年山东省青岛市崂山区九年级下学期期中数学试卷 （解析版）(1)

‎2018-2019学年青岛市崂山区九年级第二学期期中数学试卷 一、选择题（共8小题）.‎ ‎1．如图图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．学校准备从甲、乙、丙、丁四个科创小组中选出一组代表学校参加青少年科技创新大赛，各组的平时成绩的平均数（单位：分）及方差s2如表所示：‎ 甲 乙 丙 丁 ‎7‎ ‎8‎ ‎8‎ ‎7‎ s2‎ ‎1‎ ‎1.2‎ ‎1‎ ‎1.8‎ 如果要选出一个成绩较好且状态稳定的组去参赛，那么应选的组是（　　）‎ A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 ‎3．如图，﹣的相反数在数轴上表示的点位于（　　）两个点之间．‎ A．点 E和点 F B．点 F 和点G C．点 G和点 H D．点H和点I ‎4．下列运算，结果正确的是（　　）‎ A．m2+m2＝m4 B．（m+2）2＝m2+4 ‎ C．（3mn2）2＝6m2n4 D．2m2n÷mn＝4m ‎5．如图，△ABC的三个顶点都在方格纸的格点上，其中点A的坐标是（﹣1，0）．现将△ABC绕点A顺时针旋转90°，则旋转后点C的坐标是（　　）‎ A．（3，3） B．（2，1） C．（﹣4，﹣1） D．（2，3）‎ ‎6．如图，四边形ABCD内接于⊙O，DA＝DC，∠CBE＝50°，∠AOD的大小为（　　）‎ A．130° B．100° C．120° D．110°‎ ‎7．如图，矩形ABCD的顶点A，B在x轴的正半轴上，反比例函数y＝在第一象限内的图象经过点D，交BC于点E．若AB＝4，＝2，＝，则线段BC的长度为（　　）‎ A．1 B． C．2 D．2‎ ‎8．如图，二次函数y＝ax2+bx的图象开口向下，且经过第三象限的点P．若点P的横坐标为﹣1，则一次函数y＝（a﹣b）x+b的图象大致是（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ 二、填空题（本题满分18分，共有6道小题，每小题3分）‎ ‎9．习近平总书记提出了未来5年“精准扶贫”的战略构想，意味着每年要减贫约11700000人，将数据11700000用科学记数法表示为　 　．‎ ‎10．2sin60°+÷＝　 　．‎ ‎11．如图，PA，PB切⊙O于A，B两点，若∠APB＝90°，⊙O的半径为6，则阴影部分的面积为　 　．‎ ‎12．某市为治理污水，需要铺设一段全长600m的污水排放管道，铺设120m后，为加快施工进度，后来每天比原计划增加20m，结果共用11天完成这一任务，求原计划每天铺设管道的长度．如果设原计划每天铺设xm管道，那么根据题意，可列方程　 　．‎ ‎13．如图是一个正六棱柱的主视图和左视图，则图中的a＝　 　．‎ ‎14．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，F为DA上一点，连接BF，E为BF中点，CD＝6，sin∠ADB＝，若△AEF的周长为18，则S△BOE＝　 　．‎ 三、作图题（本题满分4分）‎ ‎15．用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹．‎ 已知：线段c，求作Rt△ABC，使∠C＝90°，BC＝c，AB＝2c．‎ 四、解答题（本题共有9道题，满分64分）‎ ‎16．计算．‎ ‎（1）解不等式组：‎ ‎（2）化简：÷（1﹣）‎ ‎17．随着我国经济社会的发展，人民对于美好生活的追求越来越高．某社区为了了解家对于文化教育的消费情况，随机抽取部分家庭，对每户家庭的文化教育年消费金额进问卷调查，根据调查结果绘制成两幅不完整的统计图表．‎ 组别 家庭年文化教育消费金额x（元）‎ 户数（户）‎ A x≤5000‎ ‎36‎ B ‎5000＜x≤10000 ‎ m C ‎10000＜x≤15000 ‎ ‎27‎ D ‎15000＜x≤20000 ‎ ‎15‎ E x＞20000 ‎ ‎30‎ ‎（1）本次被调查的家庭有　 　户，表中m＝　 　；‎ ‎（2）本次调查数据的中位数出现在　 　组，扇形统计图中，D组所在扇形的圆心角是　 　度；‎ ‎（3）这个社区有2500户家庭，请你估计家庭年文化教育消费10000元以上的家庭有多少户？‎ ‎18．在四张编号为A，B，C，D的卡片（除编号外，其余完全相同）的正面分别写上如图所示正整数后，背面朝上，洗匀放好，现从中随机抽取一张，不放回，再从剩下的卡片中随机抽取一张．‎ ‎（1）请用树状图或列表的方法表示两次抽取卡片的所有可能出现的结果（卡片用A，B，C，D表示）；‎ ‎（2）我们知道，满足a2+b2＝c2的三个正整数a，b，c成为勾股数，求抽到的两张卡片上的数都是勾股数的概率．‎ ‎19．如图，甲、乙两座建筑物的水平距离BC为78m，从甲的顶部A处测得乙的顶部D处的俯角为48°，测得底部C处的俯角为58°，求甲、乙建筑物的高度AB和DC（结果取整数）．参考数据：tan48°≈1.11，tan58°≈1.60．‎ ‎20．为推进生态文明建设，甲、乙两工程队同时为崂山区的两条绿化带铺设草坪．两队所铺设草坪的面积y（米2）与施工时间x（时）之间关系的近似可以用此图象描述．请结合图象解答下列问题：‎ ‎（1）从工作2小时开始，施工方从乙队抽调两人对草坪进行灌溉，乙队速度有所降低，求乙队在工作2小时后y与x的函数关系式；‎ ‎（2）求乙队降速后，何时铺设草坪面积为甲队的？‎ ‎（3）乙队降速后，甲乙两队铺设草坪速度之比为　 　．‎ ‎21．如图，在▱ABCD中，AC，BD相交于点O，点E，F在BD上，且BE＝DF，连接AE，CF．‎ ‎（1）求证：△AOE≌△COF；‎ ‎（2）若AC⊥EF，连接AF，CE，判断四边形AECF的形状，并说明理由．‎ ‎22．某超市购进某种水果的成本为20元/kg，经过市场调研发现，这种水果在未来40天的销售单价p（元/kg）与时间 t（天）之间的函数表达式为p＝t+30；（1≤t≤40，t为整数），试销售当天（正式销售前一天）售出400kg，之后每天销售量比前一天减少5千克；‎ ‎（1）试求每天销售利润W1（元）与时间t（天）之间的函数关系式；‎ ‎（2）在销售前20天里，何时利润为4320元？‎ ‎（3）为回馈新老顾客的支持，在实际销售中，超市决定每销售1kg水果就捐赠2元利润给“精准扶贫”对象．在日销售量不低于300kg的情况下，何时超市获利最多？‎ ‎23．早在古罗马时代，传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦．一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题．‎ 将军每天从军营A出发，先到河边饮马，然后再去河岸同侧的军营B开会，应该怎样走才能使路程最短？这个问题的答案并不难，据说海伦略加思索就解决了它．从此以后，这个被称为“将军饮马”的问题便流传至今．‎ 大数学家海伦曾用轴对称的方法巧妙地解决了这个问题．‎ 如图2，作B关于直线l的对称点B′，连结AB′与直线l交于点C，点C就是所求的位置．‎ 证明：如图3，在直线l上另取任一点C′，连结AC′，BC′，B′C′，‎ ‎∵直线l是点B，B′的对称轴，点C，C′在l上，‎ ‎∴CB＝CB′，C′B＝C′B′，‎ ‎∴AC+CB＝AC+　 　＝　 　．‎ 在△AC′B′中，‎ ‎∵AB′＜AC′+C′B′‎ ‎∴AC+CB＜AC′+C′B′即AC+CB最小．‎ 本问题实际上是利用轴对称变换的思想，把A，B在直线同侧的问题转化为在直线的两侧，从而可利用“两点之间线段最短”，即“三角形两边之和大于第三边”的问题加以解决（其中C在AB′与l的交点上，即A、C、B′三点共线）．本问题可归纳为“求定直线上一动点与直线外两定点的距离和的最小值”的问题的数学模型．‎ ‎【简单应用】‎ ‎（1）如图4，在等边△ABC中，AB＝6，AD⊥BC，E是AC的中点，M是AD上的一点，求EM+MC的最小值 借助上面的模型，由等边三角形的轴对称性可知，B与C关于直线AD对称，连结BM，EM+MC的最小值就是线段　 　的长度，则EM+MC的最小值是　 　；‎ ‎（2）如图5，在四边形ABCD中，∠BAD＝130°，∠B＝∠D＝90°，在BC，CD上分别找一点M、N当△AMN周长最小时，∠AMN+∠ANM＝　 　°．‎ ‎【拓展应用】‎ 如图6，是一个港湾，港湾两岸有A、B两个码头，∠AOB＝30°，OA＝1千米，OB＝2千米，现有一艘货船从码头A出发，根据计划，货船应先停靠OB岸C处装货，再停靠OA岸D处装货，最后到达码头B．怎样安排两岸的装货地点，使货船行驶的水路最短？请画出最短路线并求出最短路程．‎ ‎24．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，BD＝6cm，AD＝8cm，AB＝10cm，点E从点B出发，沿BA方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，点G从点C出发，沿CB方向匀速运动，速度为2cm/s；当一个点停止运动时，另一个点也停止运动．连接OE，过点G作GF∥BD，设运动时间为t（s）（0＜t＜4），解答下列问题：‎ ‎（1）当t为何值时，△BOE是等腰三角形？‎ ‎（2）设五边形OEBGF面积为S，试确定S与t的函数关系式；‎ ‎（3）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使S五边形OEBGF：S△ACD＝19：40？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；‎ ‎（4）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使得OB平分∠COE，若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．‎ 参考答案 一、选择题：下列每小题都给出标号为A、B、C、D的四个结论，其中只有一个是正确的，每小题选对得3分；不选、选错或选出的标号超过一个的不得分．‎ ‎1．如图图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】直接利用轴对称图形和中心对称图形的概念求解．‎ 解：A、既是中心对称图形也是轴对称图形，故此选项正确；‎ B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；‎ C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项错误；‎ D、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故此选项错误．‎ 故选：A．‎ ‎2．学校准备从甲、乙、丙、丁四个科创小组中选出一组代表学校参加青少年科技创新大赛，各组的平时成绩的平均数（单位：分）及方差s2如表所示：‎ 甲 乙 丙 丁 ‎7‎ ‎8‎ ‎8‎ ‎7‎ s2‎ ‎1‎ ‎1.2‎ ‎1‎ ‎1.8‎ 如果要选出一个成绩较好且状态稳定的组去参赛，那么应选的组是（　　）‎ A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 ‎【分析】先比较平均数得到乙组和丙组成绩较好，然后比较方差得到丙组的状态稳定，于是可决定选丙组去参赛．‎ 解：因为乙组、丙组的平均数比甲组、丁组大，‎ 而丙组的方差比乙组的小，‎ 所以丙组的成绩比较稳定，‎ 所以丙组的成绩较好且状态稳定，应选的组是丙组．‎ 故选：C．‎ ‎3．如图，﹣的相反数在数轴上表示的点位于（　　）两个点之间．‎ A．点 E和点 F B．点 F 和点G C．点 G和点 H D．点H和点I ‎【分析】先求出﹣的相反数，再根据1＜＜2，确定在数轴上的位置．‎ 解：﹣的相反数是，‎ ‎∵1＜＜2，‎ ‎∴位于1和2中间，即：位于点H和点I之间，‎ 故选：D．‎ ‎4．下列运算，结果正确的是（　　）‎ A．m2+m2＝m4 B．（m+2）2＝m2+4 ‎ C．（3mn2）2＝6m2n4 D．2m2n÷mn＝4m ‎【分析】直接利用积的乘方运算法则、合并同类项法则和单项式除以单项式运算法则计算得出答案．‎ 解：A、m2+m2＝2m2，故此选项错误；‎ B、（m+2）2＝m2+4m+4，故此选项错误；‎ C、（3mn2）2＝9m2n4，故此选项错误；‎ D、2m2n÷mn＝4m，正确．‎ 故选：D．‎ ‎5．如图，△ABC的三个顶点都在方格纸的格点上，其中点A的坐标是（﹣1，0）．现将△ABC绕点A顺时针旋转90°，则旋转后点C的坐标是（　　）‎ A．（3，3） B．（2，1） C．（﹣4，﹣1） D．（2，3）‎ ‎【分析】根据旋转的性质可得将△ABC绕点A顺时针旋转90°，旋转后点C的坐标．‎ 解：如图，‎ 将△ABC绕点A顺时针旋转90°，则旋转后点C的坐标是（2，1）．‎ 故选：B．‎ ‎6．如图，四边形ABCD内接于⊙O，DA＝DC，∠CBE＝50°，∠AOD的大小为（　　）‎ A．130° B．100° C．120° D．110°‎ ‎【分析】首先证明∠ADC＝∠CBE，再利用等腰三角形的性质求出∠ACD，利用圆周角定理即可解决问题．‎ 解：∵∠ADC+∠ABC＝180°，∠ABC+∠CBE＝180°，‎ ‎∴∠ADC＝∠CBE＝50°，‎ ‎∵DA＝DC，‎ ‎∴∠DAC＝∠DCA＝（180°﹣50°）＝65°，‎ ‎∴∠AOB＝2∠ACD＝130°，‎ 故选：A．‎ ‎7．如图，矩形ABCD的顶点A，B在x轴的正半轴上，反比例函数y＝在第一象限内的图象经过点D，交BC于点E．若AB＝4，＝2，＝，则线段BC的长度为（　　）‎ A．1 B． C．2 D．2‎ ‎【分析】设AD＝3a、OA＝4a，在表示出点D、E的坐标，由反比例函数经过点D、E列出关于a的方程，求得a的值即可得出答案．‎ 解：∵＝，‎ ‎∴可设AD＝3a、OA＝4a，‎ 则BC＝AD＝3a，点D坐标为（4a，3a），‎ ‎∵＝2，‎ ‎∴BE＝BC＝a，‎ ‎∵AB＝4，‎ ‎∴点E（4+4a，a），‎ ‎∵反比例函数y＝经过点D、E，‎ ‎∴k＝4a•3a＝（4+4a）a，‎ 解得：a＝或a＝0（舍），‎ ‎∴BC＝AD＝3a＝3×＝，‎ 故选：B．‎ ‎8．如图，二次函数y＝ax2+bx的图象开口向下，且经过第三象限的点P．若点P的横坐标为﹣1，则一次函数y＝（a﹣b）x+b的图象大致是（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎【分析】根据二次函数的图象可以判断a、b、a﹣b的正负情况，从而可以得到一次函数经过哪几个象限，本题得以解决．‎ 解：由二次函数的图象可知，‎ a＜0，b＜0，‎ 当x＝﹣1时，y＝a﹣b＜0，‎ ‎∴y＝（a﹣b）x+b的图象在第二、三、四象限，‎ 故选：D．‎ 二、填空题（本题满分18分，共有6道小题，每小题3分）‎ ‎9．习近平总书记提出了未来5年“精准扶贫”的战略构想，意味着每年要减贫约11700000人，将数据11700000用科学记数法表示为　1.17×107　．‎ ‎【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．‎ 解：11 700 000＝1.17×107，‎ 故答案为：1.17×107．‎ ‎10．2sin60°+÷＝　　．‎ ‎【分析】原式利用特殊角的三角函数值，以及二次根式除法法则计算即可求出值．‎ 解：原式＝2×+‎ ‎＝+‎ ‎＝．‎ 故答案为：．‎ ‎11．如图，PA，PB切⊙O于A，B两点，若∠APB＝90°，⊙O的半径为6，则阴影部分的面积为　36﹣9π　．‎ ‎【分析】连接OA，OB，OP，由题意可知阴影部分的面积等于四边形OAPB的面积减去扇形AOB的面积，问题得解．‎ 解：连接OA，OB，OP，‎ ‎∵PA，PB切⊙O于A，B两点，‎ ‎∴PA＝PB，OA⊥AP，OB⊥PB，‎ ‎∴∠OAP＝∠OBP＝90°，‎ ‎∵∠APB＝90°，‎ ‎∴四边形OAPB为正方形，‎ ‎∴四边形OAPB的面积＝6×6＝36，‎ ‎∵扇形的面积＝＝9π，‎ ‎∴阴影部分的面积＝36﹣9π，‎ 故答案为：36﹣9π．‎ ‎12．某市为治理污水，需要铺设一段全长600m的污水排放管道，铺设120m后，为加快施工进度，后来每天比原计划增加20m，结果共用11天完成这一任务，求原计划每天铺设管道的长度．如果设原计划每天铺设xm管道，那么根据题意，可列方程　‎ ‎　．‎ ‎【分析】根据题目中的数量关系，可以列出相应的方程，本题得以解决．‎ 解：由题意可得，‎ ‎，‎ 化简，得 ‎，‎ 故答案为：．‎ ‎13．如图是一个正六棱柱的主视图和左视图，则图中的a＝　　．‎ ‎【分析】由正六棱柱的主视图和左视图，可得到正六棱柱的边长为2，求a的值可结合俯视图来解答．‎ 解：由正六棱柱的主视图和左视图，可得到正六棱柱的最长的对角线长是4，则边长为2，‎ 作AD⊥BC于D，‎ 在△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝120°，‎ ‎∴在直角△ABD中，∠ABD＝30°，AD＝1，‎ ‎∴AB＝2，‎ BD＝AB•cos30°＝，‎ 即a＝．‎ 故答案为：．‎ ‎14．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，F为DA上一点，连接BF，E为BF中点，CD＝6，sin∠ADB＝，若△AEF的周长为18，则S△BOE＝　　．‎ ‎【分析】根据题意求出AD＝18，设AF＝a，则BF＝18﹣a，则62+a2＝（18﹣a）2，解得：a＝8，求出DF＝10，可求出S△BDF，由中位线定理可求出答案．‎ 解：∵四边形ABCD是矩形，‎ ‎∴AB＝CD＝6，∠BAD＝90°，OB＝OD，‎ ‎∵sin∠ADB＝，‎ ‎∴，‎ ‎∴BD＝6，‎ ‎∴DA＝＝＝18，‎ ‎∵E为BF中点，‎ ‎∴AE＝BE＝EF，‎ ‎∵△AEF的周长为18，‎ ‎∴AE+EF+AF＝BE+EF+AF＝BF+AF＝18，‎ 设AF＝a，则BF＝18﹣a，‎ 在Rt△ABF中，AB2+AF2＝BF2，‎ ‎∴62+a2＝（18﹣a）2，‎ 解得：a＝8，‎ ‎∴DF＝18﹣8＝10．‎ ‎∵E为BF中点，O为BD的中点，‎ ‎∴OE∥DF，OE＝DF，‎ ‎∴△BOE∽△BDF，‎ ‎∴，‎ ‎∵S△BDF＝DF•AB＝×6×10＝30，‎ ‎∴S△BOE＝．‎ 故答案为：．‎ 三、作图题（本题满分4分）‎ ‎15．用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹．‎ 已知：线段c，求作Rt△ABC，使∠C＝90°，BC＝c，AB＝2c．‎ ‎【分析】在直线l上取点C，作CD⊥l，在CD上截取CB＝c，分别以B，C为圆心，c为半径画弧，交于点E，连接BE并延长交直线l于点A，则AB＝2c．‎ 解：如图所示，Rt△ABC即为所求．‎ 四、解答题（本题共有9道题，满分64分）‎ ‎16．计算．‎ ‎（1）解不等式组：‎ ‎（2）化简：÷（1﹣）‎ ‎【分析】（1）根据解一元一次不等式组的方法可以解答本题；‎ ‎（2）根据分式的减法和除法可以解答本题．‎ 解：（1），‎ 由不等式①，得 x＞﹣3，‎ 由不等式②，得 x≥1，‎ 故原不等式组的解集是x≥1；‎ ‎（2）÷（1﹣）‎ ‎＝‎ ‎＝‎ ‎＝．‎ ‎17．随着我国经济社会的发展，人民对于美好生活的追求越来越高．某社区为了了解家对于文化教育的消费情况，随机抽取部分家庭，对每户家庭的文化教育年消费金额进问卷调查，根据调查结果绘制成两幅不完整的统计图表．‎ 组别 家庭年文化教育消费金额x（元）‎ 户数（户）‎ A x≤5000‎ ‎36‎ B ‎5000＜x≤10000 ‎ m C ‎10000＜x≤15000 ‎ ‎27‎ D ‎15000＜x≤20000 ‎ ‎15‎ E x＞20000 ‎ ‎30‎ ‎（1）本次被调查的家庭有　150　户，表中m＝　42　；‎ ‎（2）本次调查数据的中位数出现在　B　组，扇形统计图中，D组所在扇形的圆心角是　36　度；‎ ‎（3）这个社区有2500户家庭，请你估计家庭年文化教育消费10000元以上的家庭有多少户？‎ ‎【分析】（1）根据A组的户数和所占的百分比可以求得本次调查的户数，然后根据表格中的数据，即可得到m的值；‎ ‎（2）根据中位数的定义和表格中的数据，可以得到中位数出现在哪一组，然后根据统计表中的数据，可以计算出扇形统计图中，D组所在扇形的圆心角；‎ ‎（3）根据表格中的数据，可以计算出家庭年文化教育消费10000元以上的家庭有多少户．‎ 解：（1）本次被调查的家庭有：36÷24%＝150（户），m＝150﹣36﹣27﹣15﹣30＝42，‎ 故答案为：150，42；‎ ‎（2）∵一共调查了150户，‎ ‎∴中位数是第75户和76户的平均数，‎ ‎∴本次调查数据的中位数出现在B组，‎ 扇形统计图中，D组所在扇形的圆心角是：360°×＝36°，‎ 故答案为：B，36；‎ ‎（3）2500×＝1200（户），‎ 答：家庭年文化教育消费10000元以上的家庭有1200户．‎ ‎18．在四张编号为A，B，C，D的卡片（除编号外，其余完全相同）的正面分别写上如图所示正整数后，背面朝上，洗匀放好，现从中随机抽取一张，不放回，再从剩下的卡片中随机抽取一张．‎ ‎（1）请用树状图或列表的方法表示两次抽取卡片的所有可能出现的结果（卡片用A，B，C，D表示）；‎ ‎（2）我们知道，满足a2+b2＝c2的三个正整数a，b，c成为勾股数，求抽到的两张卡片上的数都是勾股数的概率．‎ ‎【分析】（1）根据题意先画出树状图，得出共有12种等可能的结果数；‎ ‎（2）根据勾股数可判定只有A卡片上的三个数不是勾股数，则可从12种等可能的结果数中找出抽到的两张卡片上的数都是勾股数的结果数，然后根据概率公式求解 解：（1）画树状图如下：‎ 则共有12种等可能的结果数；‎ ‎（2）∵共有12种等可能的结果数，抽到的两张卡片上的数都是勾股数的结果数为6种，‎ ‎∴抽到的两张卡片上的数都是勾股数的概率＝＝．‎ ‎19．如图，甲、乙两座建筑物的水平距离BC为78m，从甲的顶部A处测得乙的顶部D处的俯角为48°，测得底部C处的俯角为58°，求甲、乙建筑物的高度AB和DC（结果取整数）．参考数据：tan48°≈1.11，tan58°≈1.60．‎ ‎【分析】首先分析图形：根据题意构造直角三角形；本题涉及两个直角三角形，应用其公共边构造关系式，进而可求出答案．‎ 解：如图作AE⊥CD交CD的延长线于E．则四边形ABCE是矩形，‎ ‎∴AE＝BC＝78，AB＝CE，‎ 在Rt△ACE中，EC＝AE•tan58°≈125（m）‎ 在Rt△AED中，DE＝AE•tan48°，‎ ‎∴CD＝EC﹣DE＝AE•tan58°﹣AE•tan48°＝78×1.6﹣78×1.11≈38（m），‎ 答：甲、乙建筑物的高度AB约为125m，DC约为38m．‎ ‎20．为推进生态文明建设，甲、乙两工程队同时为崂山区的两条绿化带铺设草坪．两队所铺设草坪的面积y（米2）与施工时间x（时）之间关系的近似可以用此图象描述．请结合图象解答下列问题：‎ ‎（1）从工作2小时开始，施工方从乙队抽调两人对草坪进行灌溉，乙队速度有所降低，求乙队在工作2小时后y与x的函数关系式；‎ ‎（2）求乙队降速后，何时铺设草坪面积为甲队的？‎ ‎（3）乙队降速后，甲乙两队铺设草坪速度之比为　3：2　．‎ ‎【分析】（1）利用待定系数法解答即可；‎ ‎（2）利用待定系数法求出甲队工作中y与x的函数关系式，再结合（1）的结论列方程解答即可；‎ ‎（3）根据两个函数的关系式的k值解答即可．‎ 解：（1）由图象可知y乙是一次函数，设y乙＝kx+b（x≥2），将（2，45），（6，85）代入关系式得：‎ ‎，解得，‎ ‎∴y乙＝10x+25（x≥2）；‎ ‎（2）由图象可知y甲是x的正比例函数，设y甲＝k1x，将点（6，90）代入关系式得：‎ ‎90＝k1x，解得k1＝15，‎ ‎∴y甲＝15x，‎ 当时，，‎ 解得x＝10，‎ 答：工作10小时后，乙队铺设草坪面积为甲队的；‎ ‎（3）乙队降速后，甲乙两队铺设草坪速度之比为：15：10＝3：2．‎ 故答案为：3：2．‎ ‎21．如图，在▱ABCD中，AC，BD相交于点O，点E，F在BD上，且BE＝DF，连接AE ‎，CF．‎ ‎（1）求证：△AOE≌△COF；‎ ‎（2）若AC⊥EF，连接AF，CE，判断四边形AECF的形状，并说明理由．‎ ‎【分析】（1）根据SAS即可证明；‎ ‎（2）四边形AECF是菱形，根据对角线垂直的平行四边形是菱形即可判断；‎ ‎【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∴AO＝OC，BO＝OD，‎ ‎∵BE＝DF，‎ ‎∴OE＝OF，‎ 在△AOE和△COF中，‎ ‎，‎ ‎∴△AOE≌△COF．‎ ‎（2）解：结论：四边形AECF是菱形．‎ 理由：∵OA＝OC，OE＝OF，‎ ‎∴四边形AECF是平行四边形，‎ ‎∵AC⊥EF，‎ ‎∴四边形AECF是菱形．‎ ‎22．某超市购进某种水果的成本为20元/kg，经过市场调研发现，这种水果在未来40天的销售单价p（元/kg）与时间 t（天）之间的函数表达式为p＝t+30；（1≤t≤40，t为整数），试销售当天（正式销售前一天）售出400kg，之后每天销售量比前一天减少5千克；‎ ‎（1）试求每天销售利润W1（元）与时间t（天）之间的函数关系式；‎ ‎（2）在销售前20天里，何时利润为4320元？‎ ‎（3）为回馈新老顾客的支持，在实际销售中，超市决定每销售1kg水果就捐赠2元利润给“精准扶贫”对象．在日销售量不低于300kg的情况下，何时超市获利最多？‎ ‎【分析】（1）根据总利润＝每千克的利润×销售量可得函数解析式；‎ ‎（2）将W1＝4320代入函数解析式，解方程求出t的值，根据t＜20可得答案；‎ ‎（3）设此时获利W2元，由400﹣5t≥300知t≤20，根据“总利润＝每千克的净利润×销售量”列出函数解析式，配方成顶点后利用二次函数的性质求解可得．‎ 解：（1）W1＝（t+30﹣20）（400﹣5t）＝﹣t2+50t+4000；‎ ‎（2）当W1＝4320时，﹣t2+50t+4000＝4320，‎ 解得t1＝8，t2＝32，‎ ‎∵t＜20，‎ ‎∴t＝8，‎ 答：在销售第8天时，利润为4320元；‎ ‎（3）设获利W2元，‎ 由题意知400﹣5t≥300，‎ 解得t≤20，‎ W2＝（t+30﹣20﹣2）（400﹣5t）＝﹣t2+60t+3200＝﹣（t﹣24）2+3920，‎ ‎∵a＝﹣＜0，二次函数图象的开口向下，对称轴为直线t＝24，‎ ‎∴当t＜24时，W2随t的增大而增大，‎ ‎∴当t＝20时，W2有最大值，‎ 答：当销售第20天时获利最大．‎ ‎23．早在古罗马时代，传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦．一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题．‎ 将军每天从军营A出发，先到河边饮马，然后再去河岸同侧的军营B开会，应该怎样走才能使路程最短？这个问题的答案并不难，据说海伦略加思索就解决了它．从此以后，这个被称为“将军饮马”的问题便流传至今．‎ 大数学家海伦曾用轴对称的方法巧妙地解决了这个问题．‎ 如图2，作B关于直线l的对称点B′，连结AB′与直线l交于点C，点C就是所求的位置．‎ 证明：如图3，在直线l上另取任一点C′，连结AC′，BC′，B′C′，‎ ‎∵直线l是点B，B′的对称轴，点C，C′在l上，‎ ‎∴CB＝CB′，C′B＝C′B′，‎ ‎∴AC+CB＝AC+　C′B　＝　AB′　．‎ 在△AC′B′中，‎ ‎∵AB′＜AC′+C′B′‎ ‎∴AC+CB＜AC′+C′B′即AC+CB最小．‎ 本问题实际上是利用轴对称变换的思想，把A，B在直线同侧的问题转化为在直线的两侧，从而可利用“两点之间线段最短”，即“三角形两边之和大于第三边”的问题加以解决（其中C在AB′与l的交点上，即A、C、B′三点共线）．本问题可归纳为“求定直线上一动点与直线外两定点的距离和的最小值”的问题的数学模型．‎ ‎【简单应用】‎ ‎（1）如图4，在等边△ABC中，AB＝6，AD⊥BC，E是AC的中点，M是AD上的一点，求EM+MC的最小值 借助上面的模型，由等边三角形的轴对称性可知，B与C关于直线AD对称，连结BM，EM+MC的最小值就是线段　BE　的长度，则EM+MC的最小值是　3　；‎ ‎（2）如图5，在四边形ABCD中，∠BAD＝130°，∠B＝∠D＝90°，在BC，CD上分别找一点M、N当△AMN周长最小时，∠AMN+∠ANM＝　100　°．‎ ‎【拓展应用】‎ 如图6，是一个港湾，港湾两岸有A、B两个码头，∠AOB＝30°，OA＝1千米，OB＝2千米，现有一艘货船从码头A出发，根据计划，货船应先停靠OB岸C处装货，再停靠OA岸D处装货，最后到达码头B．怎样安排两岸的装货地点，使货船行驶的水路最短？请画出最短路线并求出最短路程．‎ ‎【分析】【简单应用】‎ ‎（1）根据等边三角形的性质、勾股定理计算，得到答案；‎ ‎（2）作A关于BC和CD的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于M，交CD于N，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算；‎ ‎【拓展应用】分别作点A关于OB的对称点A′，点B关于OA的对称点B′，连接A′B′，交OB于C，交OA于D，根据轴对称的性质、勾股定理计算，得到答案．‎ 解：AC+CB＝AC+C′B＝AB′，‎ 故答案为：C′B；AB′；‎ ‎【简单应用】（1）由等边三角形的轴对称性可知，B与C关于直线AD对称，连结BM，‎ EM+MC的最小值就是线段BE的长度，‎ BE＝＝3，‎ 则EM+MC的最小值是3，‎ 故答案为：BE；3；‎ ‎（2）如图5，作A关于BC和CD的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于M，交CD于N，‎ 则A′A″即为△AMN的周长最小值，‎ ‎∵∠DAB＝130°，‎ ‎∴∠AA′M+∠A″＝50°，‎ ‎∵∠MA′A＝∠MAA′，∠NAD＝∠A″，‎ 且∠MA′A+∠MAA′＝∠AMN，∠NAD+∠A″＝∠ANM，‎ ‎∴∠AMN+∠ANM＝∠MA′A+∠MAA′+∠NAD+∠A″＝2（∠AA′M+∠A″）＝2×50°＝100°，‎ 故答案为：100；‎ ‎【拓展应用】如图6，分别作点A关于OB的对称点A′，点B关于OA的对称点B′，连接A′B′，交OB于C，交OA于D，‎ 则C、D为两岸的装货地点，A′B′是货船行驶的水路最短路程，‎ 由轴对称的性质可知，OA′＝OA＝1，OB′＝OB＝2，∠BOA′＝∠AOB＝30°，∠AOB′＝∠AOB＝30°，‎ ‎∴∠A′OB′＝90°，‎ ‎∴A′B′＝＝，‎ 答：货船行驶的水路最短路程为千米．‎ ‎24．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，BD＝6cm，AD＝8cm，AB＝10cm，点E从点B出发，沿BA方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，点G从点C出发，沿CB方向匀速运动，速度为2cm/s；当一个点停止运动时，另一个点也停止运动．连接OE，过点G作GF∥BD，设运动时间为t（s）（0＜t＜4），解答下列问题：‎ ‎（1）当t为何值时，△BOE是等腰三角形？‎ ‎（2）设五边形OEBGF面积为S，试确定S与t的函数关系式；‎ ‎（3）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使S五边形OEBGF：S△ACD＝19：40？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；‎ ‎（4）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使得OB平分∠COE，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．‎ ‎【分析】（1）证出△ADB为直角三角形，且∠ADB＝90°，分以下三种情况讨论，①当BO＝BE时，可得出t＝3，②当BO＝EO时，如图1，过点O作OH⊥BE于点H，证明△BOH∽△BAD，可得出答案；③当BE＝OE，如图2，过点E作EK⊥OB于点K，证明△BEK∽△BAD，由比例线段可得出答案；‎ ‎（2）证明△CFG∽△COB，求出S△CFG＝，根据S五边形BEOFG＝S△BOE+S四边形BOFG可得出答案；‎ ‎（3）由（2）的结论可得出t的方程，解方程即可得解；‎ ‎（4）证明△EOK∽△COB，可得出，则可得解．‎ 解：（1）在△ADB中，‎ ‎∵AD2+BD2＝82+62＝100＝AB2，‎ ‎∴△ADB为直角三角形，且∠ADB＝90°，‎ 若△BOE为等腰三角形，分以下三种情况讨论，‎ ‎①当BO＝BE时，‎ t＝3，‎ ‎②当BO＝EO时，如图1，过点O作OH⊥BE于点H，‎ ‎∵∠ABD＝∠ABD，∠OHB＝∠ADB＝90°，‎ ‎∴△BOH∽△BAD，‎ ‎∴，‎ 即，‎ 则BH＝，OH＝，‎ ‎∵OE＝OB，OH⊥BE，‎ ‎∴BH＝BE，‎ 即，‎ ‎∴t＝，‎ ‎③当BE＝OE，如图2，‎ 过点E作EK⊥OB于点K，‎ ‎∵∠ABD＝∠ABD，∠BKE＝∠ADB＝90°，‎ ‎∴△BEK∽△BAD，‎ ‎∴，‎ 即，‎ ‎∴BK＝t，EK＝t，‎ ‎∵OE＝EB，EK⊥BO，‎ ‎∴BK＝BO，‎ 即×3，‎ ‎∴t＝，‎ 答：当t为3或或秒时，△BOE是等腰三角形；‎ ‎（2）∵GF∥BD，‎ ‎∴∠CFG＝∠COB，∠CGF＝∠CBO，‎ ‎∴△CFG∽△COB，‎ ‎∴＝，‎ ‎∴S△CFG＝，‎ ‎∴S四边形BOFG＝S△BOC﹣S△CFG＝12﹣，‎ ‎∵S△BOE＝BE×OH＝t，‎ ‎∴S五边形BEOFG＝S△BOE+S四边形BOFG＝12﹣t＝﹣t+12，‎ ‎（3）若S五边形OEBGF：S△ACD＝19：40，‎ ‎∴，‎ 整理得：5t2﹣8t﹣4＝0，‎ 解得：t1＝﹣（舍去），t2＝2．‎ 答：存在t为2秒时，使S五边形OEBGF：S△ACD＝19：40；‎ ‎（4）若OB平分∠COE，‎ 则∠BOE＝∠BOC，∠EKO＝∠CBO＝90°，‎ ‎∴△EOK∽△COB，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ 解得：t＝．‎ 答：存在t为秒时，使OB平分∠COE．‎