初中数学竞赛辅导讲义及习题解答 第14讲 图表信息问题

初中数学竞赛辅导讲义及习题解答 第14讲 图表信息问题

1 第十四讲 图表信息问题 21 世纪是一个信息化的社会，从纷繁的信息中，捕捉搜集、处理、加工所需的信息， 是新世纪对一个合格公民提出的基本要求． 图表信息问题是近年中考涌现的新问题，即运用图象、表格及一定的文字说明提供问题 情境的一类试题． 图象信息题是把需要解决的问题借助图象的特征表现出来，解题时要通过对图象的解 读、分析和判断，确定图象对应的函数解析式中字母系数符号特征和隐含的数量关系，然后 运用数形结合、待定系数法等方法解决问题． 表格信息题是运用二维表格提供数据关系信息，解题中需通过对表中的数据信息的分 析、比较、判断和归纳，弄清表中各数据所表示的含义及它们之间的内在联系，然后运用所 学的方程(组)、不等式(组)及函数知识等解决问题． 【例题求解】 【例 1】 一慢车和一快车沿相同的路线从 A 到 B 地，所行的路程与时间的函数图象如图所 示，试根据图象，回答下列问题： (1)慢车比快车早出发 小时，快车追上慢车时行驶了 千米，快车比慢车 早 小时到达 6 地； (2)快车追上慢车需 小时，慢车、快车的速度分别为 千米／时； (3)A、B 两地间的路程是 ． 思路点拨 对于(2)，设快车追上慢车需t 小时，利用快车、慢车所走的路程相等，建立t 的 方程． 注：股市行情走势图、期货市场趋势图、工厂产值利润表、甚而电子仪器自动记录的地震波 等，它们广泛出现在电视、报刊、广告中，渗透到现实生活的每一角落，这些图表、图象中 蕴涵着丰富的信息，我们应学会收集、整理与获取． 【例 2】 已知二次函数 cbxaxy  2 的图象如图，并设 M= babacbacba  22 ， 则( ) A．M>0 B．M＝0 C．M<0 D．不能确定 M 为正、为负或为 0 思路点拨 由抛物线的位置判定 a 、b 、 c 的符号，并由 1x ，推出相应 y 值的正负性． 2 注：函数图象选择题是广泛见于各地中考试卷中的一种常见问题，解此类问题的基本思路是： 由图象大致位置确定解析式中系数符号特征，进而再判定其他图象的大致位置，在解题中常 常要运用直接判断、排除筛选、分类讨论、参数吻合等方法． 【例 3】 某人租用一辆汽车由 A 城前往 B 城，沿途可能经过的城市以及通过两城市之间所 需的时间(单位：小时)如图所示．若汽车行驶的平均速度为 80 千米／时，而汽车每行驶 1 千米所需要的平均费用为 1．2 元．试指出此人从 A 城出发到 B 城的最短路线． (2003 年全国初中数学竞赛题) 思路点拨 从 A 城出发到 B 城的路线分成如下两类：(1)从 A 城出发到达 B 城，经过 O 城， (2)从 A 城出发到达 B 城，不经过 O 城． 【例 4】 我国东南沿海某地的风力资源丰富，一年内日平均风速不小于 3 米／秒的时间共 约 160 天，其中日平均风速不小于 6 米／秒的时间约占 60 天．为了充分利用“风能”这种 “绿色能源”，该地拟建一个小型风力发电厂，决定选用 A、B 两种型号的风力发电机．根 据 产 品 说 明，这两种 风 力 发 电 机 在 各 种 风 速 下 的 日 发 电 量 (即一天的 发电量)如 下表： 根据上面的数据回答： (1)若这个发电厂购 x 台 A 型风力发电机，则预计这些 A 型风力发电机一年的发电总量至少 为 千瓦·时； (2)已知 A 型风力发电机每台 0．3 万元，B 型风力发电机每台 0．2 万元．该发电厂拟购置 风力发电机共 10 台，希望购机的费用不超过 2．6 万元，而建成的风力发电厂每年的发电总 量不少于 102000 千瓦·时，请你提供符合条件的购机方案． 思路点拨 对于(1)，注意“平均风速不小于 3 米／秒”的时间区分；对于(2)，利用购置费用 和发电总量分别列出不等式． 日平均风速 v／(米／秒) v<3 3≤v<6 v≥6 日发电量 A 型发电机 0 ≥36 ≥150 (千瓦·时) B 型发电机 0 ≥24 ≥90 3 【例 5】 一蔬菜基地种植的某种绿色蔬菜，根据今年的市场行情，预计从 5 月 1 日起的 50 天内，它的市场售价 1y 与上市时间 x 的关系可用图 1 的一条线段表示；它的种植成本 2y 与 上市时间 x 的关系可用图 2 抛物线的一部分来表示，假定市场售价减去种植成本为纯利润， 问哪天上市的这种绿色蔬菜既不赔本也不赚钱? 思路点拨 由图象提供的信息，求出直线、抛物线的解析式，利用市场售价与成本价相等建 立时间 的方程． 注：本例综合运用一次函数和二次函数的有关知识，涉及信息量大，题中呈现信息的方式不 仅是文字和符号，还包括表格． 解图象信息问题的关键是化“图象信息”为“数学信息”，具体包括： (1)读图找点； (2)看图确定系数符号特征； (3)见形(图象形态)想式(解析式)，建模求解． 学历训练 1． 如图，是某出租车单程收费 y (元)与行驶路程 (千米)之间的 函数关系的图象，请根据图象回答以下问题： (1)当行驶 8 千米时，收费应为 ； (2)从图象上你能获得哪些正确的信息(请写出 2 条) ① ；② ． (3)收费 y (元)与行驶 (千米)( ≥3)之间的函数关系式为 ． 2．甲、乙两人(甲骑自行车，乙骑摩托车)从 A 城出发到 B 地旅行，如图表示甲、乙两人离 开 A 城的路程与时间之间的函数图象。根据图象，你能得到关于甲、乙两人旅行的哪些信 息? 答题要求： (1)请至少提供四条信息，如，由图象可知：甲比乙早出发 4 小时；甲离开 A 城的路程与时 间的函数图象是一条折线段，说明甲作变速运动． (2)不要再提供“(1)”中已列举的信息． ① ；② ； 4 ③ ；④ ． 3．如图，已知函数 cbxaxy  2 的图象过(一 1，0)和(0，一 1)两点，则 a 的取值范围是 ． 4．下列各图中，能表示函数 )1( xky  和 x ky  ( 0k )在同一平面直角坐标系中的图象大 致是( )． 5．三峡工程在 6 月 1 日至 6 月 10 日下闸蓄水期间，水库水位由 106 米升至 135 米，高峡平 湖初现人间．假设水库水位匀速上升，那么下列图象中，能正确反映这 10 天水位 h (米)随时 间 t (天)变化的是( ) 6．在同一坐标系中，函数 与 x by  的图象大致是( ) 7．某博物馆每周都吸引大量中外游客前来参观．如果游客过多，对馆中的珍贵文物会产生 不利影响．但同时考虑到文物的修缮和保存费用问题，还要保证一定的门票收入．因此，博 物馆采取了涨浮门票价格的方法来控制参观人数．在该方法实施过程中发现：每周参观人数 与票价之间存在着如图所示的一次函数关系．在这样的情况下，如果确保每周 4 万元的门票 收人，那么每周应限定参观人数是多少?门票价格应是多少元? 5 8．行驶中的汽车，在刹车后由于惯性的作用，还要继续向前滑行一段距离才能停止，这段 距离称为“刹车距离”，为了测定某种型号汽车的刹车性能(车速不超过 140 千米／时)，对 这种汽车进行测试，测得数据如下表： 刹车时车速(千 米／时) 1 10 20 30 40 50 60 刹车距离(米) 0 0．3 1．0 2．1 3．6 5．5 7．8 (1)以车速为 x 轴，以刹车距离为 y 轴，在坐标系中描出这些数据所表示的点，并用平滑的曲 线连结这些点，得到函数的大致图象； (2)观察图象，估计函数的类型，并确定一个满足这些数据的函数的解析式； (3)该型号汽车在国道上发生了一次交通事故，现场测得刹车距离为 46．5 米，请推测刹车 时的速度是多少?请问在事故发生时，汽车是超速行驶还是正常行驶? 9．二次函数 cbxaxy  2 的图象如图所示，则化简二次根式 22 )()( cbca  的结果 是 ． 10．小刚、爸爸、爷爷同时从家中出发到达同一目的地后都立即返回．小刚去时骑自行车， 返回时步行；爷爷去时是步行，返回时骑自行车；爸爸往返都步行．三个人步行的速度不等， 小刚与爷爷骑车的速度相等．每个人的行走路程与时间的关系分别是下面三个图象中的一 个．走完一个往返，小刚用 分钟，爸爸用 分钟，爷爷用 分钟． 11．小明同学骑自行车在上学的路上要经过两座山梁，行走的路线如图所示．已知上山的速 度为 1v 米／分钟，平路的速度为 2v 米／分钟，下山的速度为 3v 米／分钟，其中 < 2v < 3v ．那 么，小明同学上学骑自行车行走的路程 S(米)与所用的时间t (分钟)的函数关系，可能是下面 图象中的( ) 6 12．二次函数 cbxaxy  2 的图象如图所示，则在下列不等式中， ①abc<0；②a+b+c<0； ③a+c>b；④ 2 bca  成立的个数是( ) A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 13．如图，直角三角形 AOB 中，AB⊥OB，且 AB＝OB=3.设直线 l：x=t 截此三角形所得的阴 影部分的面积为 S，则 S 与 t 之间的函数关系的图像为( ) 14．设 ab  6>o，将一次函数 abxy  与 baxy  的图象画在平面直角坐标系中，则有一 组 a 、b 的取值，使得下列 4 个图中的一个为正确的是( ) 15．某商场为提高彩电销售人员的积极性，制定了新的工资分配方案，方案规定：每位销售 人员的工资总额＝基本工资+奖励工资，每位销售人员的月销售定额为 10000 元，在销售定 额内，得基本工资 200 元；超过销售定额，超过部分的销售额按相应比例作为奖励工资，奖 励工资发放比例如表 1 所示． (1)已知销售员甲本月领到的工资总额为 800 元，请问销售员甲在本月的销售额为多少元? (2)依法纳税是每个公民应尽的义务，根据我国税法规定，全月工资总额不超过 800 元不要 缴纳个人所得税；超过 800 元的部分为“全月应纳税所得额”．表 2 是缴纳个人所得税税率 表．若销售员乙本月共销售 A、B 两种型号的彩电 21 台，缴纳个人所得税后实际得到的工 资为 1275 元，又知 A 型彩电的销售价为每台 1000 元，B 型彩电的销售价为每台 1500 元， 请问销售员乙本月销售 A 型彩电多少台? 表 1 表 2 7 16．有麦田 5 块 A、B、C、D、E，它们的产量(单位：吨)、交通状况和每相邻两块麦田的 距离如图所示，要建一座永久性打麦场，这 5 块麦田生产的麦子都在此打场，问建在哪块麦 田上(不允许建在除麦田以外的其他地方)才能使总运输量最小?(图中圆圈内的数字为产量， 直线段上的字母 a、b、d 表示距离，且 b

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