人教版中考数学二轮复习专题练习上常用辅助线-角平分线

人教版中考数学二轮复习专题练习上常用辅助线-角平分线

‎4.辅助线之—角平分线 ‎1.已知中， ， 、 分别平分 和 ，、交于点 ，试判断 、 、 的数量关系，并加以证明．‎ 答案： ‎ 解析：‎ 在 上截取 ，连结 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎2.如图，在中，、分别是、的角平分线，且，则的度数为多少度．‎ 答案：60 ‎ 解析：‎ 设 、 相交于点,在上截取，并连接 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎3.如图，在 中， ， 、 分别平分 、 ，且 与的交点为 ．求证： ．‎ 答案：见解析 解析：‎ 在 上截取 ，连结 ，‎ ‎ ‎ ‎ ，‎ ‎ ， ，‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎4.如图，在四边形中，的平分线交于．求证：当是的平分线时，有．‎ ‎ ‎ 答案：见解析 解析：‎ 在上截取，使，连接，‎ ‎ ‎ ‎，于是．‎ 由，‎ ‎，‎ 而，‎ 从而 ‎，‎ 从而．故．‎ ‎5.如图所示，， ， ， ， ，那么AB长多少 答案：6‎ 解析：‎ 过 作 交 于，使 ，‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ , ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎6.如图， ， 平分 ， 平分 ，点 在 上．‎ 探讨线段 与 之间的位置关系．‎ 答案： ‎ 解析：‎ 在线段 上取点 ，使 ，连结 ．‎ 在 和 中 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 而 ‎ ‎ ‎ 在和 中 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ， ‎ ‎ ‎ ‎7.已知等腰 ， ， 的平分线交 于 ，证明 ．‎ 答案：见解析 解析：‎ 如图，延长 到 ，使 ，在 上截取 ．‎ ‎ ， 为公共边，‎ ‎ ，‎ ‎ ，．‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ，故 ‎ ‎ ， ‎ ‎ ．‎ ‎ ．‎ ‎ ，‎ ‎ ‎ ‎ ，‎ ‎ ，‎ 故 ．‎ ‎ ，‎ 故 ．‎ ‎ ，‎ ‎ ．‎ ‎8.如图所示，在 中， ， ， 是的平分线，延长 至 ，使 ．求证： ‎ 答案：见解析 解析：‎ 在 上取一点 ，使得 ，连接 ‎ ‎, ‎ ‎ ‎ ‎ ，‎ 又 ‎ ‎ ‎ ‎ ，且 ‎ ‎ ‎ 平分，‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎9.已知等腰直角中，，是角平分线，，交延长线于点．‎ 求证：．‎ 答案：见解析 解析：‎ 延长、交于点．因为，‎ ‎，所以，‎ ‎，所以．‎ 因为等腰直角中，，‎ 且，所以，‎ 所以．因为是角平分线，‎ 且，是公共边，‎ 所以．所以，‎ 所以．‎ ‎10.如图，在直角中， ， ，，作 交 的延长线于 ，求证：平分 ‎ ‎ 答案：见解析 解析：‎ 延长至,使,并连接 ‎ ‎，且 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 三点共线 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 平分 ‎ ‎11.如图，在中，，是的平分线，且，则是多少度.‎ 答案：80‎ 解析：‎ 在上取点，使得，则由题意可知.‎ 在和中，，，，‎ 则，从而，‎ 进而有，，‎ ‎.‎ ‎，则：‎ ‎，‎ 故.‎ ‎12.如图，在 中， ， 的平分线 交 与 ．求证： ．‎ 答案：见解析 解析：‎ 在 上取一点 ，使得 ‎ 连结 ．‎ 在 和 中 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 又 ‎ ‎ ， ‎ ‎ ．‎ ‎13.在中， 平分 ， ．‎ 则=多少．‎ 答案：2；1‎ 解析：‎ 在上截取，连结 ‎ ‎ ‎，‎ ‎ ， ，‎ 结合已知可得 ，‎ ‎，‎ ‎ ，‎ ‎14.如图，中， ， ， 平分 交 于 点．求证：．‎ 答案：见解析 解析：‎ 在上截取点使，连结．‎ 平分，．‎ 在与中 ‎ , ,‎ ‎，‎ ‎ ‎ ‎ ， ‎ ‎ ‎ 又 ‎ ‎ ‎，‎ ‎15.如图，在中，， ，点在 上，平分，‎ 若，求的长．‎ 答案：见解析 解析：‎ 在上截取，连接．‎ ‎ ，‎ ‎，‎ ‎ ，‎ ‎ ， ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎16.如图所示，在 中，是的外角平分线，是上异于点的任意一点，试比较 与的大小，并说明理由．‎ 答案：见解析 解析：‎ ‎ ，理由如下．‎ 如图所示，在的延长线上截取，连接．‎ 因为是的外角平分线，‎ 故．‎ 在和中，，，，‎ 因此，‎ 从而．‎ 在中，，‎ 而，‎ 故 ．‎ ‎17.在中， ，是 的平分线． 是 上任意一点．求证： ．‎ 答案：见解析 解析：‎ 在 上截取，连结，‎ ‎ ‎ ‎，‎ ‎ ，‎ 又中，， ，‎ ‎18.在中，平分，，为垂足，为的中点，求证：．‎ ‎ ‎ 答案：见解析 解析：‎ 延长交于，‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎，‎ 为中点，‎ ‎， ‎ ‎19.如图所示，在中， ， 为的中点，‎ 是的角平分线，且交的延长线于，‎ 求证： ．‎ 答案：见解析 解析：‎ 如图所示，延长 、相交于点，‎ 在和中，，‎ ‎，，‎ ‎，从而．‎ 而，故是的中位线，‎ 从而 ．‎ ‎20.如图，已知在中，．求证：．‎ 答案：见解析 解析：‎ 延长交 于 ．‎ ‎ ，‎ 又 ，‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ．‎ ‎21.如图，在中，，、分别是、的平分线，，．求证：．‎ 答案：见解析 解析：‎ 如图，作，交于，交于．‎ ‎∵为等腰三角形，且平分 ‎∴为中点，且 ‎∵平分，且 ‎∴为等腰三角形，且为的中点 又∵‎ ‎∴，且为中点，即 可以发现四边形为矩形，于是 ‎∴‎ ‎22.在中，，的平分线交于，过作，为垂足，求证：．‎ 答案：见解析 解析：‎ 延长交的延长线于，过作交于，‎ 的平分线交于，且 ，‎ ‎ ，‎ ‎ 为的中点，‎ ‎ 知是的中位线 是的中点，．‎ ‎23.如图所示，在中，是的平分线，是的中点， 且交 的延长线于，，求证：．‎ 答案：见解析 解析：‎ 如图所示，延长到，使，连接、．‎ ‎，，．‎ ‎，．‎ ‎，，．‎ ‎，．‎ 平分，．‎ 在和中，，，，‎ 故，，．‎ ‎24.如图，在中，是角平分线，，垂足为．求证：．‎ 答案：见解析 解析：‎ 如图，延长交于于．‎ 因为，，，‎ 所以．‎ 于是．‎ 因为，‎ 所以．‎ ‎25.已知：如图，四边形中，平分，和互补.‎ 和互为补角，猜想：边和邻边的长度是否一定相等？证明你的结论.‎ 答案：见解析 解析：‎ ‎ ‎ 证明：如图，不妨设为锐角，作于，则点必在线段上 和互为补角，‎ 是钝角，作于，则点必在线段的延长线上.‎ 与互补.‎ ‎.‎ 又是的平分线，.‎ ‎ ‎ ‎. ‎