九年级数学圆的知识点总结大全 (1)

九年级数学圆的知识点总结大全 (1)

第四章：《圆》‎ 一、知识回顾 圆的周长： C=2πr或C=πd、圆的面积：S=πr²‎ 圆环面积计算方法：S=πR²-πr²或S=π（R²-r²）(R是大圆半径，r是小圆半径）‎ 二、知识要点 一、圆的概念 集合形式的概念： 1、 圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；‎ ‎ 2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；‎ ‎ 3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合 轨迹形式的概念：‎ ‎1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；‎ 固定的端点O为圆心。连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫直径。圆上任意两点之间的部分叫做圆弧，简称弧。‎ ‎2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线；‎ ‎3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；‎ ‎4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；‎ ‎5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。‎ 二、点与圆的位置关系 ‎1、点在圆内 点在圆内；‎ ‎2、点在圆上 点在圆上；‎ ‎3、点在圆外 点在圆外；‎ 三、直线与圆的位置关系 ‎1、直线与圆相离 无交点；‎ ‎2、直线与圆相切 有一个交点；‎ ‎3、直线与圆相交 有两个交点；‎ 四、圆与圆的位置关系 6‎ 外离（图1） 无交点 ；‎ 外切（图2） 有一个交点 ；‎ 相交（图3） 有两个交点 ；‎ 内切（图4） 有一个交点 ；‎ 内含（图5） 无交点 ；‎ ‎ ‎ 五、垂径定理 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。‎ 推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；‎ ‎ （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；‎ ‎ （3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 ‎ 以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即：‎ ‎ ①是直径 ② ③ ④ 弧弧 ⑤ 弧弧 中任意2个条件推出其他3个结论。‎ 推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。‎ ‎ 即：在⊙中，∵∥‎ ‎ ∴弧弧 六、圆心角定理 ‎ 顶点到圆心的角，叫圆心角。‎ 圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等。 此定理也称1推3定理，即上述四个结论中，‎ 6‎ 只要知道其中的1个相等，则可以推出其它的3个结论，‎ 即：①；②；‎ ‎③；④ 弧弧 七、圆周角定理 顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角，叫圆周角。‎ ‎1、圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。‎ 即：∵和是弧所对的圆心角和圆周角 ‎ ∴‎ ‎2、圆周角定理的推论：‎ 推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧；‎ 即：在⊙中，∵、都是所对的圆周角 ‎ ∴‎ 推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径。‎ 即：在⊙中，∵是直径 或∵‎ ‎ ∴ ∴是直径 推论3：若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。‎ 即：在△中，∵‎ ‎ ∴△是直角三角形或 注：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理。‎ 八、圆内接四边形 圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。‎ 6‎ ‎ 即：在⊙中，‎ ‎ ∵四边形是内接四边形 ‎ ∴ ‎ ‎ ‎ 九、切线的性质与判定定理 ‎（1）切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线；‎ ‎ 两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可 ‎ 即：∵且过半径外端 ‎ ∴是⊙的切线 ‎（2）性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图）‎ ‎ 推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。‎ ‎ 推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。‎ 以上三个定理及推论也称二推一定理：‎ 即：①过圆心；②过切点；③垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。‎ 十、切线长定理 切线长定理：‎ ‎ 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。‎ 即：∵、是的两条切线 ‎ ∴‎ ‎ 平分 十一、圆幂定理 ‎（1）相交弦定理：圆内两弦相交，交点分得的两条线段的乘积相等。‎ 即：在⊙中，∵弦、相交于点，‎ ‎ ∴‎ ‎（2）推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。‎ 6‎ 即：在⊙中，∵直径，‎ ‎ ∴‎ ‎（3）切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。‎ 即：在⊙中，∵是切线，是割线 ‎ ∴ ‎ ‎（4）割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等（如上图）。‎ 即：在⊙中，∵、是割线 ‎ ∴‎ 十二、两圆公共弦定理 圆公共弦定理：两圆圆心的连线垂直并且平分这两个圆的的公共弦。‎ 如图：垂直平分。‎ 即：∵⊙、⊙相交于、两点 ‎ ∴垂直平分 十三、圆的公切线 两圆公切线长的计算公式：‎ ‎（1）公切线长：中，；‎ ‎（2）外公切线长：是半径之差； 内公切线长：是半径之和 。‎ 十四、圆内正多边形的计算 ‎（1）正三角形 ‎ ‎ 在⊙中△是正三角形，有关计算在中进行：；‎ ‎（2）正四边形 6‎ 同理，四边形的有关计算在中进行，：‎ ‎ ‎ ‎（3）正六边形 同理，六边形的有关计算在中进行，.‎ 十五、扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式 ‎1、扇形：（1）弧长公式：；‎ ‎（2）扇形面积公式： ‎ ‎：圆心角 ：扇形多对应的圆的半径 ：扇形弧长 ：扇形面积 ‎2、圆柱： ‎ ‎（1）A圆柱侧面展开图 ‎ =‎ B圆柱的体积：‎ ‎（2）A圆锥侧面展开图 ‎=‎ B圆锥的体积：‎ ‎ ‎ 6‎