北师大版九年级上册数学第一章测试题及答案

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北师大版九年级上册数学第一章测试题及答案

北师大版九年级上册数学第一章测试题及答案 ‎(考试时间:120分钟   满分:120分)‎ 第Ⅰ卷(选择题 共18分)‎ 一、选择题(本大题共6小题,每小题3分,共18分)‎ ‎1.正方形具有而矩形不一定具有的性质是( A )‎ A.对角线互相垂直 B.对角线相等 C.对角线互相平分 D.对角互补 ‎2.下列命题中,错误的是( C )‎ A.平行四边形的对角线互相平分 B.菱形的对角线互相垂直平分 C.矩形的对角线相等且互相垂直平分 D.角平分线上的点到角两边的距离相等 ‎3.如图,在平面直角坐标系中,正方形OACB的顶点O,C的坐标分别是(0,0),(2,0),则顶点B的坐标是( C )‎ A.(1,1) B.(-1,-1) C.(1,-1) D.(-1,1)‎ ‎ ‎ 第3题图      第4题图 ‎4.如图所示,在矩形ABCD中,O是BC的中点,∠AOD=90°,若矩形的周长是30 cm,则AB的长为( A )‎ A.5 cm B.10 cm C.15 cm D.7.5 cm ‎5.若菱形的周长为8 cm,高为1 cm,则菱形两个邻角的度数比为( C )‎ A.3∶1 B.4∶1 C.5∶1 D.6∶1‎ ‎6.如图,矩形ABCD的对角线AC与BD交于点O.过点O作BD的垂线分别交AD,BC于E,F两点.若AC=2,∠AEO=120°,则FC的长度为( A )‎ A.1 B.2 C. D. 9‎ ‎ ‎ 第6题图       第7题图 第Ⅱ卷(非选择题 共102分)‎ 二、填空题(本大题共6小题,每小题3分,共18分)‎ ‎7.如图,延长正方形ABCD的BC边至点E,使CE=AC,AE交CD于F,则∠E=__22.5°__.‎ ‎8.矩形的两邻边长分别为3 cm和6 cm,则顺次连接各边中点,所得四边形的形状一定是 菱形 ,其面积是 9 cm2.‎ ‎9.★如图,正方形ABCD的边长为9,将正方形折叠,使顶点D落在BC边上的点E处,折痕为GH,若BE∶EC=2∶1,则线段CH的长是__4__.‎ ‎ ‎ ‎ 第9题图    第10题图 ‎10.如图所示,矩形中有两个相邻的正方形,面积分别是3和9,那么阴影部分的面积是__3-3__.‎ ‎11.如图所示,直线a经过正方形ABCD的顶点A,分别过顶点D,B作DE⊥a于点E,BF⊥a于点F,若DE=4,BF=3,则EF=__7__,CD=__5__.‎ ‎ ‎ ‎ 第11题图      第12题图 ‎12.★(徐州中考)如图,矩形ABCD中,AB=4,AD=3,点Q在对角线AC上,且AQ=AD,连接DQ并延长,与边BC交于点P,则线段AP= .‎ 三、(本大题共5小题,每小题6分,共30分)‎ ‎13.(广州中考)如图,矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,若AB=AO,求∠ABD 9‎ 的度数.‎ 解:∵四边形ABCD是矩形,∴AO=BO.‎ ‎∵AB=AO,∴AO=BO=AB.‎ ‎∴△ABO是等边三角形,‎ ‎∴∠ABO=∠BOA=∠OAB=60°,‎ 即∠ABD=60°.‎ ‎14.如图,已知矩形ABCD中,AC与BD相交于点O,BE⊥AC于E,CF⊥BD于F.求证:BE=CF.‎ 证明:∵四边形ABCD为矩形,‎ ‎∴AC=BD,则BO=CO.‎ ‎∵BE⊥AC于E,CF⊥BD于F,‎ ‎∴∠BEO=∠CFO=90°.又∠BOE=∠COF,‎ ‎∴△BEO≌△CFO.∴BE=CF.‎ ‎15.如图,正方形ABCD中,E为CD边上一点,F为BC延长线上一点,且CE=CF.求证:△BCE≌△DCF.‎ 证明:∵四边形ABCD为正方形,‎ ‎∴BC=DC,∠BCD=90°,‎ 9‎ ‎∴∠BCE=∠DCF=90°.‎ 在△BCE与△DCF中, ‎∴△BCE≌△DCF.‎ ‎16.如图,在四边形ABCD中,∠ABC=∠ADC=90°,E是AC的中点,EF平分∠BED,求证:EF⊥BD.‎ 证明:∵∠ABC=∠ADC=90°,‎ ‎∴△ABC和△ADC都是直角三角形,‎ 且有公共斜边AC.‎ 又∵E是公共斜边AC的中点,‎ ‎∴BE=DE=AC.‎ 又∵EF平分∠BED,∴EF⊥BD.‎ ‎17.(广安中考)如图,四边形ABCD是菱形,CE⊥AB交AB的延长线于点E,CF⊥AD交AD的延长线于点F,求证:DF=BE.‎ 证明:∵四边形ABCD是菱形,‎ ‎∴CD=BC,∠ABC=∠ADC,‎ ‎∴∠CBE=∠CDF.∵CF⊥AD,CE⊥AB,‎ ‎∴∠CFD=∠CEB=90°,‎ 在△CEB和△CFD中,‎ 9‎ ‎∴△CEB≌△CFD(AAS),‎ ‎∴DF=BE.‎ 四、(本大题共3小题,每小题8分,共24分)‎ ‎18.(荆州中考)如图,在矩形ABCD中,连接对角线AC,BD,将△ABC沿BC方向平移,使点B移到点C,得到△DCE.‎ ‎(1)求证:△ACD≌△EDC;‎ ‎(2)请探究△BDE的形状,并说明理由.‎ ‎(1)证明:∵△DCE是由△ABC平移而得到的,∴△DCE≌△ABC.‎ ‎∵△ACD≌△CAB,∴△ACD≌△EDC;‎ ‎(2)解:△BDE是等腰三角形.理由如下:‎ ‎∵AC=DE,AC=DB,∴DE=DB,‎ ‎∴△BDE是等腰三角形.‎ ‎19.如图,四边形ABCD是正方形,BE⊥BF,BE=BF,EF与BC相交于点G.‎ ‎(1)求证:AE=CF;‎ ‎(2)若∠ABE=55°,求∠EGC的度数.‎ ‎(1)证明:∵四边形ABCD是正方形,‎ ‎∴∠ABC=90°,AB=BC.‎ 9‎ ‎∵BE⊥BF,∴∠FBE=90°.‎ ‎∵∠ABE+∠EBC=90°,∠CBF+∠EBC=90°,∴∠ABE=∠CBF.‎ 在△AEB和△CFB中, ‎∴△AEB≌△CFB(SAS),∴AE=CF.‎ ‎(2)解:∠EGC=80°.‎ ‎20.(贺州中考)如图,在四边形ABCD中,AB=AD,BD平分∠ABC,AC⊥BD,垂足为点O.‎ ‎(1)求证:四边形ABCD是菱形;‎ ‎(2)若CD=3,BD=2,求四边形ABCD的面积.‎ ‎(1)证明:∵AB=AD,∴∠ABD=∠ADB.‎ 又∵BD平分∠ABC,∴∠ABD=∠CBD,‎ ‎∴∠ADB=∠CBD.‎ 又∵AC⊥BD,AB=AD,‎ ‎∴BO=DO(等腰三角形“三线合一”).‎ 在△AOD和△COB中, ‎∴△AOD≌△COB(ASA),∴AO=CO.‎ 又∵AC⊥BD,∴四边形ABCD是菱形.‎ ‎(2)解:∵四边形ABCD是菱形,∴OD=BD=.‎ 在Rt△CDO中,OC===2,∴AC=4.‎ 9‎ ‎∴S菱形ABCD=AC·BD=× 4× 2=4.‎ 五、(本大题共2小题,每小题9分,共18分)‎ ‎21.如图,在▱ABCD中,点E,F在直线AC上(点E在F左侧),BE∥DF.‎ ‎(1)求证:四边形BEDF是平行四边形;‎ ‎(2)若AB⊥AC,AB=4,BC=2,当四边形BEDF为矩形时,求线段AE的长.‎ ‎(1)证明:连接BD,交AC于点O,‎ ‎∵四边形ABCD是平行四边形,∴OB=OD.‎ 由BE∥DF得∠BEO=∠DFO.‎ 又∵∠EOB=∠FOD,∴△BEO≌△DFO.‎ ‎∴BE=DF.又∵BE∥DF,‎ ‎∴四边形BEDF是平行四边形.‎ ‎(2)解:∵AB⊥AC,AB=4,BC=2,‎ ‎∴AC=6,∴AO=3,‎ ‎∴在Rt△BAO中,BO=5.‎ 又∵四边形BEDF是矩形,‎ ‎∴OE=OB=5,‎ ‎∴点E在OA的延长线上,且AE=2.‎ ‎22.(杭州中考)如图,在正方形ABCD中,点G在对角线BD上(不与点B,D重合),GE⊥DC于点E,GF⊥BC于点F,连接AG.‎ ‎(1)写出线段AG,GE,GF长度之间的数量关系,并说明理由;‎ ‎(2)若正方形ABCD的边长为1,∠AGF=105°,求线段BG的长.‎ 9‎ 解:(1)关系:AG2=GE2+GF2.‎ 理由:连接CG.∵四边形ABCD是正方形,‎ ‎∴点A,C关于对角线BD对称,‎ ‎∵点G在BD上,∴GA=GC,‎ ‎∵GE⊥DC于点E,GF⊥BC于点F,‎ ‎∴∠GEC=∠ECF=∠CFG=90°,‎ ‎∴四边形EGFC是矩形,∴CF=GE,‎ 在Rt△GFC中,∵CG2=GF2+CF2,‎ ‎∴AG2=GF2+GE2;‎ ‎(2)作AM⊥BG于M,依题意知:∠AGM=60°,∠GAM=30°.‎ 设GM=x,则AM=BM=x.‎ 在Rt△ABM中,∵AM2+BM2=AB2,‎ ‎∴(x)2+(x)2=1,∴x=,‎ ‎∴BG=x+x=+× =.‎ 六、(本大题共12分)‎ ‎23.(威海中考)如图,在△ABC和△BCD中,∠BAC=∠BCD=90°,AB=AC,CB=CD.延长CA至点E,使AE=AC;延长CB至点F,使BF=BC.连接AD,AF,DF,EF.延长DB交EF于点N.‎ ‎(1)求证:AD=AF;‎ ‎(2)求证:BD=EF;‎ ‎(3)试判断四边形ABNE的形状,并说明理由.‎ ‎(1)证明:∵AB=AC,∠BAC=90°,‎ ‎∴∠ABC=∠ACB=45°,∴∠ABF=135°.‎ ‎∵∠BCD=90°,∴∠ACD=135°,‎ ‎∴∠ABF=∠ACD.‎ 9‎ ‎∵CB=CD,CB=BF,∴BF=CD.‎ 在△ABF和△ACD中,‎ AB=AC,∠ABF=∠ACD,BF=CD,‎ ‎∴△ABF≌△ACD,∴AD=AF.‎ ‎(2)证明:由(1)知AF=AD,△ABF≌△ACD,‎ ‎∴∠FAB=∠DAC.‎ ‎∵∠BAC=90°,∴∠EAB=∠BAC=90°.‎ ‎∴∠EAF=∠BAD.‎ ‎∵AB=AC,AC=AE,∴AB=AE.‎ 在△AEF和△ABD中,AE=AB,‎ ‎∠EAF=∠BAD,AF=AD,‎ ‎∴△AEF≌△ABD.∴BD=EF.‎ ‎(3)解:四边形ABNE是正方形.理由:‎ ‎∵CD=CB,∠BCD=90°,∴∠CBD=45°.‎ ‎∵∠ABC=45°,∴∠ABD=90°,∴∠ABN=90°.‎ 由(2)知∠EAB=90°,△AEF≌△ABD,‎ ‎∴∠AEF=∠ABD=90°.‎ ‎∴四边形ABNE是矩形.‎ 又∵AE=AB,∴矩形ABNE是正方形.‎ 9‎
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