中考数学一轮复习知识点+题型专题讲义-27 尺规作图与命题的证明（教师版）

中考数学一轮复习知识点+题型专题讲义-27 尺规作图与命题的证明（教师版）

专题 27 尺规作图与命题的证明 考点总结 【思维导图】 【知识要点】 知识点一 尺规作图 尺规作图的概念：用无刻度直尺和圆规作图，叫做尺规作图。 基本作图方法： 1、作一条线段等于已知线段 2、作一个角等于已知角 3、作已知角的角平分线 4、过一点作已知线段的垂线 5、作已知线段的垂直平分线 【考查题型汇总】 考查题型一 运用基本作图确定几何图形特殊位置 1．（2019·江苏中考模拟）按要求作图，并保图作图痕迹． 如图，已知线段 a、b、c，用圆规和直尺作线段 AD，使 AD=a+2b﹣c． 【答案】见解析. 【详解】 解：如图所示：AE即为所求． 2．（2019·山东中考模拟）如图，已知点 C是∠AOB的边 OB上的一点，求作⊙P，使它经过 O、C两点， 且圆心在∠AOB的平分线上． 【答案】见试题解析 【解析】 如图所示： ． 3．（2019·广东中考模拟）如图，在锐角△ABC中，AB＝2cm，AC＝3cm． （1）尺规作图：作 BC边的垂直平分线分别交 AC，BC于点 D、E（保留作图痕迹，不要求写作法）； （2）在（1）的条件下，连结 BD，求△ABD的周长． 【答案】（1）作图见解析；（2） ABD 的周长为 5cm. 【解析】 （1）如图，DE为所作； （2）∵DE垂直平分 BC， ∴DB=DC， ∴△ABD的周长=AB+BD+AD=AB+CD+AD=AB+AC=2+3=5（cm）． 4.（2018·山东中考模拟）如图：求作一点 P，使 PM PN ，并且使点 P到 AOB 的两边的距离相等． 【答案】见解析 【详解】 如图所示：P点即为所求． 5．（2019·江苏中考模拟）如图，已知等边△ABC，请用直尺（不带刻度）和圆规，按下列要求作图（不要 求写作法，但要保留作图痕迹） （1）作△ABC的外接圆圆心 O； （2）设 D是 AB边上一点，在图中作出一个等边△DFH，使点 F，点 H分别在边 BC和 AC上； （3）在（2）的基础上作出一个正六边形 DEFGHI． 【答案】（1）见解析（2）见解析（3）见解析 【详解】 （1）如图所示：点 O即为所求． （2）如图所示，等边△DFH即为所求； （3）如图所示：六边形 DEFGHI即为所求正六边形． 6．（2019·吉林东北师大附中中考模拟）图①、图②均是 8×8的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点， 点 A、B、M、N均落在格点上，在图①、图②给定的网格中按要求作图． （1）在图①中的格线MN上确定一点 P，使 PA与 PB的长度之和最小 （2）在图②中的格线MN上确定一点 Q，使∠AQM＝∠BQM． 要求：只用无刻度的直尺，保留作图痕迹，不要求写出作法． 【答案】(1)见解析;(2)见解析. 【详解】 解：（1）如图①，作 A关于MN的对称点 A′，连接 BA′，交MN于 P，此时 PA+PB＝PA′+PB＝BA′，根据 两点之间线段最短，此时 PA+PB最小； （2）如图②，作 B关于MN的对称点 B′，连接 AB′并延长交MN于 Q，此时∠AQM＝∠BQM． 考查题型二 运用基本作图确定实际问题特殊位置 1．（2019·甘肃中考模拟）同学们，数学来源于生活又服务于生活，利用数学中的知识可以帮助我们解决许 多实际问题.如王明想建一个超市，经调查发现他家附近有两个大的居民区 A， B，同时又有相交的两条公 路CD，EF ，为方便进货和居民生活，王明想把超市建在到两居民区的距离相等，同时到两公路距离也相 等的位置上，绘制了如下的居民区和公路的位置图.聪明的你一定能用所学的数学知识帮助王明在图上确定 超市的位置！请用尺规作图．．．．确定超市点 P的位置.(作图不写作法，但要求保留作图痕迹) 分析：先将实际问题转化为数学问题，把超市看作一个点. 点 P到 A，B两点的距离相等，根据性质：__________________， 需用尺规作出_____________；又点 P到 两相交直线CD， EF 的距离相等，根据性质：_________________， 需用尺规作出_______________；而 点 P同时满足上述两个条件，因此应该是它们的交点. 请同学们先完成分析过程(即填空) ，再作图； 【答案】如图所示见解析. 线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，线段 AB的垂直平分线，角 平分线上的点到角两边的距离相等， COF 的角平分线. 【详解】 如图所示， 线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等 线段 AB的垂直平分线 角平分线上的点到角两边的距离相等 COF 的角平分线 2．（2019·福建省永春第二中学初一期末）如图，在同一平面内有四个点 A、B、C、D，请按要求完成下列 问题．(注：此题作图不需要写画法和结论) (1)作射线 AC； (2)作直线 BD与射线 AC相交于点 O； (3)分别连接 AB、AD； (4)我们容易判断出线段 AB、AD、BD的数量关系式 AB+AD＞BD，理由是______． 【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)见解析；(4)两点之间，线段最短． 【详解】 解：(1)(2)(3)如图所示； (4)AB+AD＞BD理由是：两点之间，线段最短． 故答案为：两点之间，线段最短． 知识点二 命题、定理与证明 命题的概念：像这样判断一件事情的语句，叫做命题。 命题的形式：“如果…那么…”。（如果+题设，那么+结论） 真命题的概念：如果题设成立，那么结论一定成立，这样的命题叫做真命题。 假命题的概念：如果题设成立，不能保证结论一定成立，这样的命题叫做假命题。 如何说明一个命题是假命题：只需要举出一个反例即可。 定义、命题、公理和定理之间的关系： 这四者都是句子，都可以判断真假，即定义、公理和定理也是命题，不同的是定义、公理和定理都是真命 题，都可以作为进一步判断其他命题真假的依据，而命题不一定是真命题，因而它不一定能作为进一步判 断其它命题真假的依据。 一个命题的正确性需经过推理，才能作出判断，这个推理过程叫做证明。 证明的依据：可以是已知条件，也可以是学过的定义、基本事实或定理等。 【考查题型汇总】 考查题型三 判断命题真假 1．（2015·广东中考真题）下列命题中，真命题的个数有（ ） ①对角线互相平分的四边形是平行四边形；②两组对角分别相等的四边形是平行四边形； ③一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形． A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】B 【解析】 试题解析：①对角线互相平分的四边形是平行四边形，正确，符合题意； ②两组对角分别相等的四边形是平行四边形，正确，符合题意； ③一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形，说法错误，例如等腰梯形，也符合一组对边平 行，另一组对边相等． 故选 B． 2．（2019·深圳市龙岗区实验学校中考模拟）给出下列 5个命题：①两点之间直线最短；②同位角相等；③ 等角的补角相等；④不等式组 2 { 2 x x ＞ ＜ 的解集是﹣2＜x＜2；⑤对于函数 y=﹣0.2x+11，y随 x的增大而增 大．其中真命题的个数是（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【详解】 ①两点之间线段最短，故①不正确； ②两直线平行，同位角相等，故②不正确； ③等角的补角相等，故③正确，是真命题； ④不等式组 2 2 x x    ＞ ＜ 的解集是﹣2＜x＜2，故④正确，是真命题； ⑤对于函数 y=﹣0.2x+11，y随 x的增大而减小，故⑤不正确． 真命题有③④，共 2个． 故选 A． 3．（2018·广东中考模拟）下列命题中： ①方程 2x 2x 3 0   有两个不相等的实数根； ②不等式 2x 1 1 3   的最大整数解是 2； ③顺次连接对角线相等的四边形各边中点得到的四边形是矩形； ④直角三角形的两条直角边长分别为 6和 8，则它的外接圆的半径为4.8． 其中是真命题的个数有 ( ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【详解】 ①方程 2x 2x 3 0   ， 4 4 1 3 8 0       ，无实数根，错误； ②不等式 2x 1 1 3   的解集为 x 2 ，最大整数解是 1，错误； ③顺次连接对角线相等的四边形各边中点得到的四边形是矩形，说法错误，应为菱形； ④直角三角形的两条直角边长分别为 6和 8，则它的外接圆的半径为4.8，正确； 故选：A． 考查题型四 命题的条件和结论的判断方法 1．（2019·互助县第四中学初二期末）“两条直线相交只有一个交点”的题设是（ ） A．两条直线 B．相交 C．只有一个交点 D．两条直线相交 【答案】D 【详解】 “两条直线相交只有一个交点”的题设是两条直线相交． 故选 D． 2．（2018·陕西高新一中初二期中）命题“等角的补角相等”中，“等角的补角”是命题的（ ） A．条件部分 B．是条件，也是结论 C．结论部分 D．不是条件，也不是结论 【答案】A 【详解】 解：命题“等角的补角相等”: 题设是两个角是等角的补角, 结论是这两个角相等,故选 A. 3.（2018·山东省淄博市临淄区金山中学初一期中）命题“同角的余角相等”改写成“如果……，那么……”的形 式是（ ） A．如果是同角的余角，那么相等 B．如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等 C．如果两个角是同角，那么这两个角是余角 D．如果两个角互余，那么这两个角相等 【答案】B 【详解】 命题“同角的余角相等”改写成“如果…，那么…”的形式是“如果两个角是同角的余角，那么这两个角相等”． 故选 B． 4．（2017·上海市廊下中学初二期末）下列定理中，其逆命题是假命题的是( ) A．两直线平行，内错角相等 B．对顶角相等 C．等腰三角形的两个底角相等 D．等边三角形的三个内角都是60 【答案】B 【解析】 解：A．两直线平行，内错角相等的逆命题为“内错角相等，两直线平行”，逆命题为真命题，故此选项错误； B．对顶角相等的逆命题为“相等的两角是对顶角”，逆命题为假命题，符合题意； C．等腰三角形的两个底角相等的逆命题为“有两个角相等的三角形是等腰三角形”，逆命题为真命题，故此 选项错误； D． 等边三角形的三个内角都是 60°的逆命题是“三个内角都等于 60°的三角形是等边三角形”，逆命题为真 命题，故此选项错误． 故选 B．