2020年山东省济南市商河县中考数学一模试卷

2020年山东省济南市商河县中考数学一模试卷

‎2020年山东省济南市商河县中考数学一模试卷 一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只一项是符合题目要求的.）‎ ‎ ‎ ‎1. 在算式‎(−2)‎□‎(−3)‎的□中填上运算符号，使结果最小，运算符号是（ ） ‎ A.加号 B.减号 C.乘号 D.除号 ‎ ‎ ‎2. 如图所示的几何体的俯视图是‎(‎        ‎)‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎ ‎ ‎3. 截止‎2020‎年‎3‎月‎2‎日全国新型冠状肺炎病人治愈‎44000‎多人，数‎44000‎用科学记数法表示为（ ） ‎ A.‎4.4×‎‎10‎‎4‎ B.‎44×‎‎10‎‎3‎ C.‎0.44×‎‎10‎‎5‎ D.‎‎4.4×‎‎10‎‎3‎ ‎ ‎ ‎4. 如图，OC是‎∠AOB的角平分线，l // OB，若‎∠1=‎‎52‎‎∘‎，则‎∠2‎的度数为(        ) ‎ A.‎52‎‎∘‎ B.‎54‎‎∘‎ C.‎64‎‎∘‎ D.‎‎69‎‎∘‎ ‎ ‎ ‎5. 下列计算正确的是（ ） ‎ A.‎2a‎2‎⋅3‎a‎2‎＝‎6‎a‎2‎ B.‎(−3a‎2‎b‎)‎‎2‎＝‎6‎a‎4‎b‎2‎ C.‎(a+b‎)‎‎2‎＝a‎2‎‎+‎b‎2‎ D.‎−a‎2‎+2‎a‎2‎＝a‎2‎ ‎ ‎ ‎ ‎6. 某中学随机调查了‎15‎名学生，了解他们一周在校参加体育锻炼时间．列表如下：则这‎15‎名学生一周在校参加体育锻炼时间的中位数和众数分别是（ ） ‎ 锻炼时间（小时）‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ 人数 ‎2‎ ‎6‎ ‎5‎ ‎2‎ A.‎6‎，‎7‎ B.‎7‎，‎7‎ C.‎7‎，‎6‎ D.‎6‎，‎‎6‎ ‎ ‎ ‎7. 在平面直角坐标系中，将函数y＝‎3x的图象向上平移‎6‎个单位长度，则平移后的图象与x轴的交点坐标为（ ） ‎ A.‎(2, 0)‎ B.‎(−2, 0)‎ C.‎(6, 0)‎ D.‎‎(−6, 0)‎ ‎ ‎ ‎8. 化简‎4‎x‎2‎‎−4‎‎+‎‎1‎x+2‎的结果是（ ） ‎ A.x−2‎ B.‎1‎x+2‎ C.‎1‎x−2‎ D.‎‎2‎x+2‎ ‎ ‎ ‎9. 一元二次方程‎(x+1)(x−1)=‎‎2x+3‎的根的情况是‎(‎         ‎)‎ ‎ A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.只有一个实数根 D.没有实数根 ‎ ‎ ‎ ‎10. 在矩形ABCD中，E是BC边的中点，AE⊥BD，垂足为点F，则tan∠AED的值是（ ） ‎ A.‎6‎‎3‎ B.‎2‎‎6‎‎3‎ C.‎2‎‎3‎ D.‎‎2‎‎2‎ ‎ ‎ ‎11. 如图，四边形ABCD是菱形，‎∠A＝‎60‎‎∘‎，AB＝‎2‎，扇形BEF的半径为‎2‎，圆心角为‎60‎‎∘‎，则图中阴影部分的面积是（ ） ‎ A.‎2π‎3‎‎−‎‎3‎ B.‎2π‎3‎‎−‎‎3‎‎2‎ C.π−‎‎3‎‎2‎ D.‎π−‎‎3‎ ‎ ‎ 第25页 共28页 ◎ 第26页 共28页 ‎12. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝‎−x‎2‎+2‎3‎x的顶点为A点，且与x轴的正半轴交于点B，P点为该抛物线对称轴上一点，则OP+‎1‎‎2‎AP的最小值为（ ） ‎ A.‎3+2‎‎21‎‎4‎ B.‎3+2‎‎3‎‎2‎ C.‎3‎ D.‎‎2‎‎3‎ 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分.）‎ ‎ ‎ ‎ 分解因式：m‎3‎‎−m＝________． ‎ ‎ ‎ ‎ 在一个不透明的盒子中装有n个小球，它们只有颜色上的区别，其中有‎2‎个红球，每次摸球前先将盒中的球摇匀，随机摸出一个球记下颜色后再放回盒中，通过大量重复试验后发现，摸到红球的频率稳定于‎0.2‎，那么可以推算出n大约是________． ‎ ‎ ‎ ‎ 当a＝________时，方程ax−1‎‎3‎‎+x+a‎2‎=1‎解是x＝‎1‎？ ‎ ‎ ‎ ‎ 如图，若干全等正五边形排成环状．图中所示的是前‎3‎个正五边形，要完成这一圆环还需________个正五边形？ ‎ ‎ ‎ ‎ 小东从A地出发以某一速度向B地走去，同时小明从B地出发以另一速度向A地而行，y‎1‎、y‎2‎分别表示小东、小明离B地的距离（千米）与所用时间x（小时）的关系如图所示，根据图象提供的信息，请求出小明到达A地所需的时间应为________‎20‎‎3‎ 小时． ‎ ‎ ‎ ‎ 如图，在正方形ABCD中，E、F分别为BC、CD的中点，连接AE，BF交于点G，将‎△BCF沿BF对折，得到‎△BPF，延长FP交BA延长线于点Q，下列‎4‎个结论：①AE＝BF；②AE⊥BF；③sin∠BQP=‎‎4‎‎5‎；④S四边形ECFG＝‎4‎S‎△BGE；正确的结论有________． ‎ 三、解答题（本大题共9个小题，共78分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎ ‎ ‎ 计算：‎1‎‎2‎‎+(−‎1‎‎2‎‎)‎‎−1‎−cos45+(π−2020‎‎)‎‎0‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 解不等式组：‎5x−3≤2x+9‎‎2+3x>‎x+9‎‎2‎‎ ‎，并把其解集在数轴上表示出来． ‎ ‎ ‎ ‎ 如图，四边形ABCD，AD // BC，DC⊥BC于C点，AE⊥BD于E，且DB＝DA．求证：AE＝CD． ‎ ‎ ‎ ‎ 目前节能灯在城市已基本普及，今年安徽省面向农村地区推广，为响应号召，某商场用‎3800‎元购进甲、乙两种型号的节能灯共‎120‎只，两种灯的进价和售价如下表． ‎ 进价（元/只）‎ 售价（元/只）‎ 甲型 ‎25‎ ‎30‎ 乙型 ‎45‎ ‎60‎ ‎ ‎ ‎（1）求甲、乙两种节能灯各进多少只？‎ ‎ ‎ 第25页 共28页 ◎ 第26页 共28页 ‎（2）全部售完‎120‎只节能灯后，该商场获利润多少元？‎ ‎ ‎ ‎ 如图，AB是圆O的直径，AD是弦，‎∠DAB＝‎22.5‎‎∘‎，过点D作圆O的切线DC交AB的延长线于点C． ‎ ‎（1）求‎∠C的度数：‎ ‎ ‎ ‎（2）若AB＝‎2‎‎2‎，求BC的长度．‎ ‎ ‎ ‎ 由中宣部建没的“学习强国”学习平台正式上线，这是推动习近平新时代中国特色社会主义思想，推进马克思主义学习型政党和学习型社会建设的创新举措．某基层党组织对党员的某天的学习成绩进行了整理，分成‎5‎个小组‎(x表示成绩，单位：分，且‎10≤x<70)‎，根据学习积分绘制出部分频数分布表和部分频数分布直方图，其中第‎2‎、第‎5‎两组测试成绩人数直方图的高度比为‎4:1‎，请结合下列图表中相关数据回答下列问题： ‎ 学习积分频数分布表 组别 成绩x分 频数 频率 第‎1‎组 ‎20≤x<30‎ ‎5‎ 第‎2‎组 ‎30≤x<40‎ b 第‎3‎组 ‎40≤x<50‎ ‎15‎ ‎30%‎ 第‎4‎组 ‎50≤x<60‎ ‎10‎ 第‎5‎组 ‎60≤x<70‎ a ‎ ‎ ‎（1）填空：a＝________，b＝________；‎ ‎ ‎ ‎（2）补全频数分布直方图：‎ ‎ ‎ ‎（3）已知该基层党组织中甲、乙两位党员的学习积分分别为‎61‎分、‎65‎分，现在从第‎5‎组中随机选取‎2‎人介绍经验，请用列表法或画树状图的方法，求出甲、乙两人中只有‎1‎人被选中的概率．‎ ‎ ‎ ‎ 如图‎1‎，点A(m, 6)‎，B(6, 1)‎在反比例函数图象上，作直线AB，连接OA、OB． ‎ ‎（1）求反比例函数的表达式和m的值；‎ ‎ ‎ ‎（2）求‎△AOB的面积；‎ ‎ ‎ ‎（3）如图‎2‎，E是线段AB上一点，作AD⊥x轴于点D，过点E作x轴的垂线，交反比例函数图象于点F，若EF=‎1‎‎3‎AD，求出点E的坐标．‎ ‎ ‎ ‎ 综合与实践：再探平行四边形的性质 问题情境： 学完平行四边形的有关知识后，同学们开展了再探平行四边形性质的数学活动，以下是“希望小组”得到的一个性质： 如图‎1‎，已知平行四边形ABCD中，‎∠BAD>‎‎90‎‎∘‎，AE⊥BC于点E，AF垂直CD于点F，则‎∠EAF＝‎∠ABC． 问题解决： ‎ ‎（1）如图‎2‎，当‎0‎‎∘‎‎<∠BAD<‎‎90‎‎∘‎时，‎∠EAF＝‎∠ABC还成立吗？证明你发现的结论；‎ ‎ ‎ ‎（2）如图‎2‎，连接EF和AC，若‎∠ACB＝‎27‎‎∘‎．求‎∠AFE的度数；‎ ‎ ‎ 第25页 共28页 ◎ 第26页 共28页 ‎（3）如图‎3‎，若‎∠BAD＝‎2α(‎0‎‎∘‎<α<‎45‎‎∘‎)‎，AB＝BC，点G是射线CD上一点，且‎∠G+∠ABC＝‎180‎‎∘‎．则BC+CG＝ ‎2cosα AC．（用含α的三角函数表示）‎ ‎ ‎ ‎ 已知如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B，C分别为坐标轴上的三个点，且OA=1‎，OB=3‎，OC=4‎. ‎ ‎(1)‎求经过A，B，C三点的抛物线的解析式；‎ ‎ ‎ ‎(2)‎在平面直角坐标系xOy中是否存在一点P，使得以点A，B，C，P为顶点的四边形为菱形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；‎ ‎ ‎ ‎(3)‎若点M为该抛物线上一动点，在‎(2)‎的条件下，请求出当‎|PM−AM|‎的最大值时点M的坐标，并直接写出‎|PM−AM|‎的最大值． ‎ 第25页 共28页 ◎ 第26页 共28页 参考答案与试题解析 ‎2020年山东省济南市商河县中考数学一模试卷 一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只一项是符合题目要求的.）‎ ‎1.‎ ‎【答案】‎ A ‎【考点】‎ 有理数的混合运算 ‎【解析】‎ 将各个运算符号放入算式中计算得到结果，比较即可．‎ ‎【解答】‎ ‎(−2)+(−3)‎‎＝‎−5‎；‎(−2)−(−3)‎＝‎−2+3‎＝‎1‎；‎(−2)×(−3)‎＝‎6‎；‎(−2)÷(−3)=‎‎2‎‎3‎， 则在算式‎(−2)‎□‎(−3)‎的□中填上运算符号，使结果最小，运算符号是加号，‎ ‎2.‎ ‎【答案】‎ D ‎【考点】‎ 简单组合体的三视图 ‎【解析】‎ 找到从上面看所得到的图形即可，注意所有看到的棱都应表现在俯视图中．‎ ‎【解答】‎ 解：从上往下看， 该几何体的俯视图与选项D所示视图一致． 故选D. ‎ ‎3.‎ ‎【答案】‎ A ‎【考点】‎ 科学记数法--表示较大的数 ‎【解析】‎ 科学记数法的表示形式为a×‎‎10‎n的形式，其中‎1≤|a|<10‎，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．‎ ‎【解答】‎ ‎44000‎‎＝‎4.4×‎‎10‎‎4‎．‎ ‎4.‎ ‎【答案】‎ C ‎【考点】‎ 平行线的性质 角平分线的定义 ‎【解析】‎ 依据平行线的性质以及角平分线的定义，即可得到‎∠BOC＝‎64‎‎∘‎，再根据平行线的性质，即可得出‎∠2‎的度数．‎ ‎【解答】‎ 解：∵ l // OB， ∴ ‎∠1+∠AOB=‎‎180‎‎∘‎， ∴ ‎∠AOB=‎180‎‎∘‎−‎52‎‎∘‎=‎‎128‎‎∘‎. ∵ OC平分‎∠AOB， ∴ ‎∠BOC=‎‎64‎‎∘‎. 又l // OB，且‎∠2‎与‎∠BOC为同位角， ∴ ‎∠2=‎‎64‎‎∘‎. 故选C.‎ ‎5.‎ ‎【答案】‎ D ‎【考点】‎ 整式的混合运算 ‎【解析】‎ 直接利用积的乘方运算法则以及完全平方公式、合并同类项法则以及单项式乘以单项式运算法则分别化简得出答案．‎ ‎【解答】‎ A‎、‎2a‎2‎⋅3‎a‎2‎＝‎6‎a‎4‎，故此选项错误； B、‎(−3a‎2‎b‎)‎‎2‎＝‎9‎a‎4‎b‎2‎，故此选项错误； C、‎(a+b‎)‎‎2‎＝a‎2‎‎+2ab+‎b‎2‎，故此选项错误； D、‎−a‎2‎+2‎a‎2‎＝a‎2‎，正确．‎ ‎6.‎ ‎【答案】‎ D ‎【考点】‎ 众数 中位数 ‎【解析】‎ 直接利用中位数和众数的概念求解可得．‎ ‎【解答】‎ 这组数据的中位数为第‎8‎个数据，即中位数为‎6h；‎6‎出现次数最多，众数为‎6h．‎ ‎7.‎ ‎【答案】‎ B ‎【考点】‎ 一次函数图象与几何变换 ‎【解析】‎ 根据“上加下减”的原则求得平移后的解析式，令y＝‎0‎，解得即可．‎ ‎【解答】‎ 第25页 共28页 ◎ 第26页 共28页 解：由“上加下减”的原则可知，将函数y‎=‎‎3x的图象向上平移‎6‎个单位长度所得函数的解析式为y‎=‎‎3x+6‎， ∵ 此时与x轴相交，则y‎=‎‎0‎， ∴ ‎3x+6‎‎=‎‎0‎，即x‎=‎‎−2‎， ∴ 点坐标为‎(−2, 0)‎， 故选:B.‎ ‎8.‎ ‎【答案】‎ C ‎【考点】‎ 分式的加减运算 ‎【解析】‎ 先把分母因式分解，再进行通分，然后分母不变，分子相加，最后约分即可．‎ ‎【解答】‎ ‎4‎x‎2‎‎−4‎‎+‎1‎x+2‎=‎4‎‎(x+2)(x−2)‎+x−2‎‎(x+2)(x−2)‎=‎2+x‎(x+2)(x−2)‎=‎‎1‎x−2‎‎；‎ ‎9.‎ ‎【答案】‎ A ‎【考点】‎ 根的判别式 ‎【解析】‎ 先化成一般式后，在求根的判别式．‎ ‎【解答】‎ 解：原方程可化为：x‎2‎‎−2x−4=‎‎0‎， ∴ a=‎‎1‎，b=‎‎−2‎，c=‎‎−4‎， ∴ Δ=(−2‎)‎‎2‎−4×1×(−4)=‎‎20>0‎， ∴ 方程有两个不相等的实数根． 故选A.‎ ‎10.‎ ‎【答案】‎ D ‎【考点】‎ 解直角三角形 矩形的性质 ‎【解析】‎ 由“SAS”可证‎△ABE≅△DCE，可得AE＝ED，通过证明‎△BEF∽△DAF，可得AF＝‎2EF，由勾股定理可求DF＝‎2‎2‎EF，即可求tan∠AED的值．‎ ‎【解答】‎ ‎∵ 四边形ABCD是矩形 ∴ AB＝CD，‎∠ABC＝‎∠C＝‎90‎‎∘‎，AD＝BC ∵ 点E是BC的中点 ∴ BE＝CE，且AB＝CD，‎∠ABC＝‎∠C＝‎90‎‎∘‎ ∴ ‎△ABE≅△DCE(SAS)‎ ∴ AE＝ED ∵ AD // BC ∴ ‎△BEF∽△DAF ∴ BEAD‎=EFAF=‎‎1‎‎2‎ ∴ AF＝‎2EF ∴ AE＝‎3EF＝DE ∴ DF=DE‎​‎‎2‎−EF‎​‎‎2‎=2‎2‎EF ∴ ‎tan∠AED=DFEF=2‎‎2‎ ‎11.‎ ‎【答案】‎ A ‎【考点】‎ 菱形的性质 扇形面积的计算 ‎【解析】‎ 根据菱形的性质得出‎△DAB是等边三角形，进而利用全等三角形的判定得出‎△ABG≅△DBH，得出四边形GBHD的面积等于‎△ABD的面积，进而求出即可．‎ ‎【解答】‎ 连接BD， ∵ 四边形ABCD是菱形，‎∠A＝‎60‎‎∘‎， ∴ ‎∠ADC＝‎120‎‎∘‎， ∴ ‎∠1‎＝‎∠2‎＝‎60‎‎∘‎， ∴ ‎△DAB是等边三角形， ∵ AB＝‎2‎， ∴ ‎△ABD的高为‎3‎， ∵ 扇形BEF的半径为‎2‎，圆心角为‎60‎‎∘‎， ∴ ‎∠4+∠5‎＝‎60‎‎∘‎，‎∠3+∠5‎＝‎60‎‎∘‎， ∴ ‎∠3‎＝‎∠4‎， 设AD、BE相交于点G，设BF、DC相交于点H， 在‎△ABG和‎△DBH中， ‎∠A=∠2‎AB=BD‎∠3=∠4‎‎ ‎， ∴ ‎△ABG≅△DBH(ASA)‎， ∴ 四边形GBHD的面积等于‎△ABD的面积， ∴ 图中阴影部分的面积是：S扇形EBF‎−S‎△ABD=‎60π×‎‎2‎‎2‎‎360‎−‎1‎‎2‎×2×‎3‎=‎2π‎3‎−‎‎3‎．‎ ‎12.‎ ‎【答案】‎ C ‎【考点】‎ 轴对称——最短路线问题 二次函数的性质 抛物线与x轴的交点 第25页 共28页 ◎ 第26页 共28页 二次函数的最值 ‎【解析】‎ 连接AO、AB，PB，作PH⊥OA于H，BC⊥AO于C，如图，解方程得到‎−x‎2‎+2‎3‎x＝‎0‎得B(2‎3‎, 0)‎，利用配方法得到A(‎3‎, 3)‎，则OA＝‎2‎‎3‎，从而可判断‎△AOB为等边三角形，接着利用‎∠OAP＝‎30‎‎∘‎得到PH=‎1‎‎2‎AP，利用抛物线的对称性得到PO＝PB，所以OP+‎1‎‎2‎AP＝PB+PH，根据两点之间线段最短得到当H、P、B共线时，PB+PH的值最小，最小值为BC的长，然后计算出BC的长即可．‎ ‎【解答】‎ 连接AO、AB，PB，作PH⊥OA于H，BC⊥AO于C，如图， 当y＝‎0‎时，‎−x‎2‎+2‎3‎x＝‎0‎，解得x‎1‎＝‎0‎，x‎2‎＝‎2‎‎3‎，则B(2‎3‎, 0)‎， y＝‎−x‎2‎+2‎3‎x＝‎−(x−‎3‎‎)‎‎2‎+3‎，则A(‎3‎, 3)‎， ∴ OA=‎(‎3‎‎)‎‎2‎+‎‎3‎‎2‎=2‎‎3‎， 而AB＝AO＝‎2‎‎3‎， ∴ AB＝AO＝OB， ∴ ‎△AOB为等边三角形， ∴ ‎∠OAP＝‎30‎‎∘‎， ∴ PH=‎1‎‎2‎AP， ∵ AP垂直平分OB， ∴ PO＝PB， ∴ OP+‎1‎‎2‎AP＝PB+PH， 当H、P、B共线时，PB+PH的值最小，最小值为BC的长， 而BC=‎3‎‎2‎AB=‎3‎‎2‎×2‎3‎=3‎， ∴ OP+‎1‎‎2‎AP的最小值为‎3‎．‎ 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分.）‎ ‎【答案】‎ m(m+1)(m−1)‎ ‎【考点】‎ 提公因式法与公式法的综合运用 ‎【解析】‎ 先提取公因式m，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．‎ ‎【解答】‎ m‎3‎‎−m‎， ＝m(m‎2‎−1)‎， ＝m(m+1)(m−1)‎．‎ ‎【答案】‎ ‎10‎ ‎【考点】‎ 利用频率估计概率 ‎【解析】‎ 在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出方程求解．‎ ‎【解答】‎ 解：由题意可得，‎2‎n‎=0.2‎， 解得，n=10‎． 故估计n大约有‎10‎个． 故答案为：‎10‎．‎ ‎【答案】‎ ‎1‎ ‎【考点】‎ 一元一次方程的解 ‎【解析】‎ 把x＝‎1‎代入原方程可得关于a的方程，解方程即可求出a的值．‎ ‎【解答】‎ 把x＝‎1‎代入原方程，得a−1‎‎3‎‎+‎1+a‎2‎=1‎， 去分母，得：‎2(a−1)+3(1+a)‎＝‎6‎， 去括号，得：‎2a−2+3+3a＝‎6‎， 移项、合并同类项，得：‎5a＝‎5‎， 系数化为‎1‎，得：a＝‎1‎，‎ ‎【答案】‎ ‎7‎ ‎【考点】‎ 正多边形和圆 ‎【解析】‎ 先求出正五边形的内角的多少，求出每个正五边形被圆截的弧对的圆心角，即可得出答案．‎ ‎【解答】‎ ‎∵ 多边形是正五边形， ∴ 内角是‎1‎‎5‎‎×(5−2)×‎‎180‎‎∘‎＝‎108‎‎∘‎， ∴ ‎∠O＝‎180‎‎∘‎‎−(‎180‎‎∘‎−‎108‎‎∘‎)−(‎180‎‎∘‎−‎108‎‎∘‎)‎＝‎36‎‎∘‎， ‎36‎‎∘‎度圆心角所对的弧长为圆周长的‎1‎‎10‎， 即‎10‎个正五边形能围城这一个圆环， 所以要完成这一圆环还需‎7‎个正五边形 ‎【答案】‎ ‎20‎‎3‎ ‎【考点】‎ 函数的图象 ‎【解析】‎ 第25页 共28页 ◎ 第26页 共28页 根据题意结合图象求出A、B两地之间的距离以及小明的速度即可解答．‎ ‎【解答】‎ A‎、B两地之间的距离为：‎7.5÷(4−2.5)×4‎＝‎20‎（千米）， 小明的速度为：‎7.5÷2.5‎＝‎3‎（千米/时）， 小明到达A地所需的时间为：‎20÷3=‎‎20‎‎3‎（小时）．‎ ‎【答案】‎ ‎①②③④‎ ‎【考点】‎ 解直角三角形 全等三角形的性质与判定 翻折变换（折叠问题）‎ 相似三角形的性质与判定 正方形的性质 ‎【解析】‎ 首先证明‎△ABE≅△BCF，再利用角的关系求得‎∠BGE＝‎90‎‎∘‎，即可得到①AE＝BF；②AE⊥BF；‎△BCF沿BF对折，得到‎△BPF，利用角的关系求出QF＝QB，解出BP，QB，根据正弦的定义即可求解；根据AA可证‎△BGE与‎△BCF相似，进一步得到相似比，再根据相似三角形的性质即可求解．‎ ‎【解答】‎ ‎∵ E，F分别是正方形ABCD边BC，CD的中点， ∴ CF＝BE， 在‎△ABE和‎△BCF中， AB=BC‎∠ABE=∠BCFBE=CF‎ ‎， ∴ Rt△ABE≅Rt△BCF(SAS)‎， ∴ ‎∠BAE＝‎∠CBF，AE＝BF，故①正确； 又∵ ‎∠BAE+∠BEA＝‎90‎‎∘‎， ∴ ‎∠CBF+∠BEA＝‎90‎‎∘‎， ∴ ‎∠BGE＝‎90‎‎∘‎， ∴ AE⊥BF，故②正确； 根据题意得，FP＝FC，‎∠PFB＝‎∠BFC，‎∠FPB＝‎90‎‎∘‎ ∵ CD // AB， ∴ ‎∠CFB＝‎∠ABF， ∴ ‎∠ABF＝‎∠PFB， ∴ QF＝QB， 令PF＝k(k>0)‎，则PB＝‎2k 在Rt△BPQ中，设QB＝x， ∴ x‎2‎＝‎(x−k‎)‎‎2‎+4‎k‎2‎， ∴ x=‎‎5k‎2‎， ∴ sin∠BQP=BPQB=‎‎4‎‎5‎，故③正确； ∵ ‎∠BGE＝‎∠BCF，‎∠GBE＝‎∠CBF， ∴ ‎△BGE∽△BCF， ∵ BE=‎1‎‎2‎BC，BF=‎5‎‎2‎BC， ∴ BE:BF＝‎1:‎‎5‎， ∴ ‎△BGE的面积：‎△BCF的面积＝‎1:5‎， ∴ S四边形ECFG＝‎4‎S‎△BGE，故④正确，‎ 三、解答题（本大题共9个小题，共78分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎【答案】‎ 原式‎=‎2‎‎2‎−2−‎2‎‎2‎+1‎ ＝‎−1‎．‎ ‎【考点】‎ 特殊角的三角函数值 实数的运算 零指数幂、负整数指数幂 零指数幂 ‎【解析】‎ 直接利用负指数幂的性质以及零指数幂的性质和特殊角的三角函数值分别化简得出答案．‎ ‎【解答】‎ 原式‎=‎2‎‎2‎−2−‎2‎‎2‎+1‎ ＝‎−1‎．‎ ‎【答案】‎ ‎5x−3≤2x+9‎‎2+3x>‎x+9‎‎2‎‎ ‎‎ 解不等式①得x≤4‎ 解不等式②得x>1‎ 故原不等式组的解集是：‎1‎x+9‎‎2‎‎ ‎‎ 解不等式①得x≤4‎ 解不等式②得x>1‎ 故原不等式组的解集是：‎1

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