2014年湖北省荆州市中考数学试卷(含答案）

2014年湖北省荆州市中考数学试卷(含答案）

湖北省荆州市2014年中考数学试卷 ‎　‎ 一、选择题（本大题共10小题，每小题只有唯一正确答案．每小题3分，共30分）‎ ‎1．（3分）（2014•荆州）若□×（﹣2）=1，则□内填一个实数应该是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ B．‎ ‎2‎ C．‎ ‎﹣2‎ D．‎ ‎﹣‎ 考点：‎ 有理数的乘法 分析：‎ 根据乘积是1的两个数互为倒数解答．‎ 解答：‎ 解：∵﹣×（﹣2）=1，‎ ‎∴□内填一个实数应该是﹣．‎ 故选D．‎ 点评：‎ 本题考查了有理数的乘法，是基础题，注意利用了倒数的定义．‎ ‎　‎ ‎2．（3分）（2014•荆州）下列运算正确的是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎3﹣1=﹣3‎ B．‎ ‎=±3‎ C．‎ ‎（ab2）3=a3b6‎ D．‎ a6÷a2=a3‎ 考点：‎ 同底数幂的除法；算术平方根；幂的乘方与积的乘方；负整数指数幂 分析：‎ 运用负整数指数幂的法则运算，开平方的方法，同底数幂的除法以及幂的乘方计算．‎ 解答：‎ 解：A、3﹣1=≠3a，故A选项错误；‎ B、=3≠±3，故B选项错误；‎ C、（ab2）3=a3b6故C选项正确；‎ D、a6÷a2=a4≠a3，故D选项错误．‎ 故选：C．‎ 点评：‎ 此题考查了负整数指数幂的运算，开平方，同底数幂的除法以及幂的乘方等知识，解题要注意细心．‎ ‎　‎ ‎3．（3分）（2014•荆州）如图，AB∥ED，AG平分∠BAC，∠ECF=70°，则∠FAG的度数是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎155°‎ B．‎ ‎145°‎ C．‎ ‎110°‎ D．‎ ‎35°‎ 考点：‎ 平行线的性质．‎ 分析：‎ 首先，由平行线的性质得到∠BAC=∠ECF=70°；然后利用邻补角的定义、角平分线的定义来求∠FAG的度数．‎ 解答：‎ 解：如图，∵AB∥ED，∠ECF=70°，‎ ‎∴∠BAC=∠ECF=70°，‎ ‎∴∠FAB=180°﹣∠BAC=110°．‎ 又∵AG平分∠BAC，‎ ‎∴∠BAG=∠BAC=35°，‎ ‎∴∠FAG=∠FAB+∠BAG=145°．‎ 故选：B．‎ 点评：‎ 本题考查了平行线的性质．根据“两直线平行，内错角相等”求得∠BAC的度数是解题的难点．‎ ‎　‎ ‎4．（3分）（2014•荆州）将抛物线y=x2﹣6x+5向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度后，得到的抛物线解析式是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ y=（x﹣4）2﹣6‎ B．‎ y=（x﹣4）2﹣2‎ C．‎ y=（x﹣2）2﹣2‎ D．‎ y=（x﹣1）2﹣3‎ 考点：‎ 二次函数图象与几何变换．‎ 专题：‎ 几何变换．‎ 分析：‎ 先把y=x2﹣6x+5配成顶点式，得到抛物线的顶点坐标为（3，﹣4），再把点（3，﹣4）向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度得到点的坐标为（4，﹣2），然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式．‎ 解答：‎ 解：y=x2﹣6x+5=（x﹣3）2﹣4，即抛物线的顶点坐标为（3，﹣4），‎ 把点（3，﹣4）向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度得到点的坐标为（4，﹣2），‎ 所以平移后得到的抛物线解析式为y=（x﹣4）2﹣2．‎ 故选B．‎ 点评：‎ 本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．‎ ‎　‎ ‎5．（3分）（2014•荆州）已知α是一元二次方程x2﹣x﹣1=0较大的根，则下面对α的估计正确的是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎0＜α＜1‎ B．‎ ‎1＜α＜1.5‎ C．‎ ‎1.5＜α＜2‎ D．‎ ‎2＜α＜3‎ 考点：‎ 解一元二次方程-公式法；估算无理数的大小．‎ 分析：‎ 先求出方程的解，再求出的范围，最后即可得出答案．‎ 解答：‎ 解：解方程x2﹣x﹣1=0得：x=，‎ ‎∵a是方程x2﹣x﹣1=0较大的根，‎ ‎∴a=，‎ ‎∵2＜＜3，‎ ‎∴3＜1+＜4，‎ ‎∴＜＜2，‎ 故选C．‎ 点评：‎ 本题考查了解一元二次方程，估算无理数的大小的应用，题目是一道比较典型的题目，难度适中．‎ ‎　‎ ‎6．（3分）（2014•荆州）如图，AB是半圆O的直径，D，E是半圆上任意两点，连结AD，DE，AE与BD相交于点C，要使△ADC与△ABD相似，可以添加一个条件．下列添加的条件其中错误的是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎∠ACD=∠DAB B．‎ AD=DE C．‎ AD2=BD•CD D．‎ AD•AB=AC•BD 考点：‎ 相似三角形的判定；圆周角定理．‎ 分析：‎ 由∠ADC=∠ADB，根据有两角对应相等的三角形相似与两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，即可求得答案；注意排除法在解选择题中的应用．‎ 解答：‎ 解：如图，∠ADC=∠ADB，‎ A、∵∠ACD=∠DAB，‎ ‎∴△ADC∽△BDA，故本选项正确；‎ B、∵AD=DE，‎ ‎∴=，‎ ‎∴∠DAE=∠B，‎ ‎∴△ADC∽△BDA，故本选项正确；‎ C、∵AD2=BD•CD，‎ ‎∴AD：BD=CD：AD，‎ ‎∴△ADC∽△BDA，故本选项正确；‎ D、∵AD•AB=AC•BD，‎ ‎∴AD：BD=AC：AB，‎ 但∠ADC=∠ADB不是公共角，故本选项错误．‎ 故选D．‎ 点评：‎ 此题考查了相似三角形的判定以及圆周角定理．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．‎ ‎　‎ ‎7．（3分）（2014•荆州）如图，直线y1=x+b与y2=kx﹣1相交于点P，点P的横坐标为﹣1，则关于x的不等式x+b＞kx﹣1的解集在数轴上表示正确的是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ 考点：‎ 一次函数与一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集．‎ 专题：‎ 数形结合．‎ 分析：‎ 观察函数图象得到当x＞﹣1时，函数y=x+b的图象都在y=kx﹣1的图象上方，所以不等式x+b＞kx﹣1的解集为x＞﹣1，然后根据用数轴表示不等式解集的方法对各选项进行判断．‎ 解答：‎ 解：当x＞﹣1时，x+b＞kx﹣1，即不等式x+b＞kx﹣1的解集为x＞﹣1．‎ 故选A．‎ 点评：‎ 本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=ax+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．也考查了在数轴上表示不等式的解集．‎ ‎　‎ ‎8．（3分）（2014•荆州）已知点P（1﹣2a，a﹣2）关于原点的对称点在第一象限内，且a为整数，则关于x的分式方程=2的解是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎5‎ B．‎ ‎1‎ C．‎ ‎3‎ D．‎ 不能确定 考点：‎ 解分式方程；关于原点对称的点的坐标．‎ 专题：‎ 计算题．‎ 分析：‎ 根据P关于原点对称点在第一象限，得到P横纵坐标都小于0，求出a的范围，确定出a的值，代入方程计算即可求出解．‎ 解答：‎ 解：∵点P（1﹣2a，a﹣2）关于原点的对称点在第一象限内，且a为整数，‎ ‎∴，‎ 解得：＜a＜2，即a=1，‎ 当a=1时，所求方程化为=2，‎ 去分母得：x+1=2x﹣2，‎ 解得：x=3，‎ 经检验x=3是分式方程的解，‎ 则方程的解为3．‎ 故选C 点评：‎ 此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．‎ ‎　‎ ‎9．（3分）（2014•荆州）如图，在第1个△A1BC中，∠B=30°，A1B=CB；在边A1B上任取一点D，延长CA1到A2，使A1A2=A1D，得到第2个△A1A2D；在边A2D上任取一点E，延长A1A2到A3，使A2A3=A2E，得到第3个△A2A3E，…按此做法继续下去，则第n个三角形中以An为顶点的内角度数是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎（）n•75°‎ B．‎ ‎（）n﹣1•65°‎ C．‎ ‎（）n﹣1•75°‎ D．‎ ‎（）n•85°‎ 考点：‎ 等腰三角形的性质．‎ 专题：‎ 规律型．‎ 分析：‎ 先根据等腰三角形的性质求出∠BA1C的度数，再根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质分别求出∠DA2A1，∠EA3A2及∠FA4A3的度数，找出规律即可得出第n个三角形中以An为顶点的内角度数．‎ 解答：‎ 解：∵在△CBA1中，∠B=30°，A1B=CB，‎ ‎∴∠BA1C==75°，‎ ‎∵A1A2=A1D，∠BA1C是△A1A2D的外角，‎ ‎∴∠DA2A1=∠BA1C=×75°；‎ 同理可得，‎ ‎∠EA3A2=（）2×75°，∠FA4A3=（）3×75°，‎ ‎∴第n个三角形中以An为顶点的内角度数是（）n﹣1×75°．‎ 故选：C．‎ 点评：‎ 本题考查的是等腰三角形的性质及三角形外角的性质，根据题意得出∠DA2A1，∠EA3A2及∠FA4A3的度数，找出规律是解答此题的关键．‎ ‎　‎ ‎10．（3分）（2014•荆州）如图，已知圆柱底面的周长为4dm，圆柱高为2dm，在圆柱的侧面上，过点A和点C嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长最小为（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎4dm B．‎ ‎2dm C．‎ ‎2dm D．‎ ‎4dm 考点：‎ 平面展开-最短路径问题．‎ 分析：‎ 要求丝线的长，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，在求线段长时，根据勾股定理计算即可．‎ 解答：‎ 解：如图，把圆柱的侧面展开，得到矩形，则则这圈金属丝的周长最小为2AC的长度．‎ ‎∵圆柱底面的周长为4dm，圆柱高为2dm，‎ ‎∴AB=2dm，BC=BC′=2dm，‎ ‎∴AC2=22+22=4+4=8，‎ ‎∴AC=2，‎ ‎∴这圈金属丝的周长最小为2AC=4cm．‎ 故选A．‎ 点评：‎ 本题考查了平面展开﹣最短路径问题，圆柱的侧面展开图是一个矩形，此矩形的长等于圆柱底面周长，高等于圆柱的高，本题就是把圆柱的侧面展开成矩形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决．‎ ‎　‎ 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）‎ ‎11．（3分）（2014•荆州）化减×﹣4××（1﹣）0的结果是　　．‎ 考点：‎ 二次根式的混合运算；零指数幂．‎ 专题：‎ 计算题．‎ 分析：‎ 先把各二次根式化为最简二次根式，再根据二次根式的乘法法则和零指数幂的意义计算得到原式=2﹣，然后合并即可．‎ 解答：‎ 解：原式=2×﹣4××1‎ ‎=2﹣‎ ‎=．‎ 故答案为．‎ 点评：‎ 本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．也考查了零指数幂．‎ ‎　‎ ‎12．（3分）（2014•荆州）若﹣2xm﹣ny2与3x4y2m+n是同类项，则m﹣3n的立方根是　2　．‎ 考点：‎ 立方根；合并同类项；解二元一次方程组．‎ 分析：‎ 根据同类项的定义可以得到m，n的值，继而求出m﹣3n的立方根．‎ 解答：‎ 解：若﹣2xm﹣ny2与3x4y2m+n是同类项，‎ ‎∴，‎ 解方程得：．‎ ‎∴m﹣3n=2﹣3×（﹣2）=8．‎ ‎8的立方根是2．‎ 故答案为2．‎ 点评：‎ 本题考查了同类项的概念以及立方根的求法，解体的关键是根据定义求出对应m、n的值．‎ ‎　‎ ‎13．（3分）（2014•荆州）如图，正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，点O为位似中心，相似比为1：，点A的坐标为（0，1），则点E的坐标是　（，）　．‎ 考点：‎ 位似变换；坐标与图形性质．‎ 分析：‎ 由题意可得OA：OD=1：，又由点A的坐标为（1，0），即可求得OD的长，又由正方形的性质，即可求得E点的坐标．‎ 解答：‎ 解：∵正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，O为位似中心，相似比为1：，‎ ‎∴OA：OD=1：，‎ ‎∵点A的坐标为（1，0），‎ 即OA=1，‎ ‎∴OD=，‎ ‎∵四边形ODEF是正方形，‎ ‎∴DE=OD=．‎ ‎∴E点的坐标为：（，）．‎ 故答案为：（，）．‎ 点评：‎ 此题考查了位似变换的性质与正方形的性质．此题比较简单，注意理解位似变换与相似比的定义是解此题的关键．‎ ‎　‎ ‎14．（3分）（2014•荆州）我们知道，无限循环小数都可以转化为分数．例如：将转化为分数时，可设=x，则x=0.3+x，解得x=，即=．仿此方法，将化成分数是　　．‎ 考点：‎ 一元一次方程的应用．‎ 分析：‎ 设x=，则x=0.4545…①，根据等式性质得：100x=45.4545…②，再由②﹣①得方程100x﹣x=45，解方程即可．‎ 解答：‎ 解：设x=，则x=0.4545…①，‎ 根据等式性质得：100x=45.4545…②，‎ 由②﹣①得：100x﹣x=45.4545…﹣0.4545…，‎ 即：100x﹣x=45，‎ 解方程得：x=．‎ 故答案为．‎ 点评：‎ 此题主要考查了一元一次方程的应用，关键是正确理解题意，看懂例题的解题方法．‎ ‎　‎ ‎15．（3分）（2014•荆州）如图，电路图上有四个开关A、B、C、D和一个小灯泡，闭合开关D或同时闭合开关A、B、C都可使小灯泡发光，则任意闭合其中两个开关，小灯泡发光的概率是　　．‎ 考点：‎ 列表法与树状图法．‎ 分析：‎ 首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与小灯泡发光的情况，再利用概率公式即可求得答案．‎ 解答：‎ 解：画树状图得：‎ ‎∵共有12种等可能的结果，现任意闭合其中两个开关，则小灯泡发光的有6种情况，‎ ‎∴小灯泡发光的概率为：=．‎ 故答案为：．‎ 点评：‎ 本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．‎ ‎　‎ ‎16．（3分）（2014•荆州）如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，左上角阴影部分是一个以格点为顶点的正方形（简称格点正方形）．若再作一个格点正方形，并涂上阴影，使这两个格点正方形无重叠面积，且组成的图形是轴对称图形，又是中心对称图形，则这个格点正方形的作法共有　4　种．‎ 考点：‎ 利用旋转设计图案；利用轴对称设计图案．‎ 分析：‎ 利用轴对称图形以及中心对称图形的性质与定义，进而得出符合题意的答案．‎ 解答：‎ 解：如图所示：这个格点正方形的作法共有4种．‎ 故答案为：4．‎ 点评：‎ 此题主要考查了利用轴对称以及旋转设计图案，正确把握中心对称以及轴对称图形的定义是解题关键．‎ ‎　‎ ‎17．（3分）（2014•荆州）如图，在▱ABCD中，以点A为圆心，AB的长为半径的圆恰好与CD相切于点C，交AD于点E，延长BA与⊙A相交于点F．若的长为，则图中阴影部分的面积为　　．‎ 考点：‎ 切线的性质；平行四边形的性质；弧长的计算；扇形面积的计算．‎ 分析：‎ 求图中阴影部分的面积，就要从图中分析阴影部分的面积是由哪几部分组成的．很显然图中阴影部分的面积=△ACD的面积﹣扇形ACE的面积，然后按各图形的面积公式计算即可．‎ 解答：‎ 解：连接AC，‎ ‎∵DC是⊙A的切线，‎ ‎∴AC⊥CD，‎ 又∵AB=AC=CD，‎ ‎∴△ACD是等腰直角三角形，‎ ‎∴∠CAD=45°，‎ 又∵四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∴AD∥BC，‎ ‎∴∠CAD=∠ACB=45°，‎ 又∵AB=AC，‎ ‎∴∠ACB=∠B=45°，‎ ‎∴∠CAD=45°，‎ ‎∴∠CAD=45°，‎ ‎∵的长为，‎ ‎∴，‎ 解得：r=2，‎ ‎∴S阴影=S△ACD﹣S扇形ACD=．‎ 故答案为：．‎ 点评：‎ 本题主要考查了扇形的面积计算方法，不规则图形的面积通常转化为规则图形的面积的和差．‎ ‎　‎ ‎18．（3分）（2014•荆州）如图，已知点A是双曲线y=在第一象限的分支上的一个动点，连结AO并延长交另一分支于点B，以AB为边作等边△ABC，点C在第四象限．随着点A的运动，点C的位置也不断变化，但点C始终在双曲线y=（k＜0）上运动，则k的值是　﹣6　．‎ 考点：‎ 反比例函数图象上点的坐标特征；等边三角形的性质；相似三角形的判定与性质；特殊角的三角函数值．‎ 专题：‎ 动点型．‎ 分析：‎ 连接OC，易证AO⊥OC，OC=OA．由∠AOC=90°想到构造K型相似，过点A作AE⊥y轴，垂足为E，过点C作CF⊥y轴，垂足为F，可证△AEO∽△OFC．从而得到OF=AE，FC=EO..设点A坐标为（a，b）则ab=2，可得FC•OF=6．设点C坐标为（x，y），从而有FC•OF=﹣xy=﹣6，即k=xy=﹣6．‎ 解答：‎ 解：∵双曲线y=关于原点对称，‎ ‎∴点A与点B关于原点对称．‎ ‎∴OA=OB．‎ 连接OC，如图所示．‎ ‎∵△ABC是等边三角形，OA=OB，‎ ‎∴OC⊥AB．∠BAC=60°．‎ ‎∴tan∠OAC==．‎ ‎∴OC=OA．‎ 过点A作AE⊥y轴，垂足为E，‎ 过点C作CF⊥y轴，垂足为F，‎ ‎∵AE⊥OE，CF⊥OF，OC⊥OA，‎ ‎∴∠AEO=∠FOC，∠AOE=90°﹣∠FOC=∠OCF．‎ ‎∴△AEO∽△OFC．‎ ‎∴==．‎ ‎∵OC=OA，‎ ‎∴OF=AE，FC=EO．‎ 设点A坐标为（a，b），‎ ‎∵点A在第一象限，‎ ‎∴AE=a，OE=b．‎ ‎∴OF=AE=a，FC=EO=b．‎ ‎∵点A在双曲线y=上，‎ ‎∴ab=2．‎ ‎∴FC•OF=b•a=3ab=6‎ 设点C坐标为（x，y），‎ ‎∵点C在第四象限，‎ ‎∴FC=x，OF=﹣y．‎ ‎∴FC•OF=x•（﹣y）=﹣xy ‎=6．‎ ‎∴xy=﹣6．‎ ‎∵点C在双曲线y=上，‎ ‎∴k=xy=﹣6．‎ 故答案为：﹣6．‎ 点评：‎ 本题考查了等边三角形的性质、反比例函数的性质、相似三角形的判定与性质、点与坐标之间的关系、特殊角的三角函数值等知识，有一定的难度．由∠AOC=90°联想到构造K型相似是解答本题的关键．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共7题，共66分）‎ ‎19．（7分）（2014•荆州）先化简，再求值：（）÷，其中a，b满足+|b﹣|=0．‎ 考点：‎ 分式的化简求值；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：算术平方根．‎ 专题：‎ 计算题．‎ 分析：‎ 原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，利用非负数的性质求出a与b的值，代入计算即可求出值．‎ 解答：‎ 解：原式=[﹣]•=•=，‎ ‎∵+|b﹣|=0，‎ ‎∴，‎ 解得：a=﹣1，b=，‎ 则原式=﹣．‎ 点评：‎ 此题考查了分式的化简求值，以及非负数的性质，熟练掌握运算法则是解本题的关键．‎ ‎　‎ ‎20．（8分）（2014•荆州）如图①，正方形ABCD的边AB，AD分别在等腰直角△AEF的腰AE，AF上，点C在△AEF内，则有DF=BE（不必证明）．将正方形ABCD绕点A逆时针旋转一定角度α（0°＜α＜90°）后，连结BE，DF．请在图②中用实线补全图形，这时DF=BE还成立吗？请说明理由．‎ 考点：‎ 全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形；正方形的性质．‎ 分析：‎ 根据旋转角求出∠FAD=∠EAB，然后利用“边角边”证明△ABE和△ADF全等，根据全等三角形对应边相等可得BE=DF．‎ 解答：‎ 解：DF=BE还成立；‎ 理由：∵正方形ABCD绕点A逆时针旋转一定角度α，‎ ‎∴∠FAD=∠EAB，‎ 在△ADF与△ABE中 ‎∴△ADF≌△ABE（SAS）‎ ‎∴DF=BE．‎ 点评：‎ 本题考查了旋转的性质，正方形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，熟记各性质求出三角形全等是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎21．（8分）（2014•荆州）钓鱼岛自古以来就是中国的领土．如图，我国甲、乙两艘海监执法船某天在钓鱼岛附近海域巡航，某一时刻这两艘船分别位于钓鱼岛正西方向的A处和正东方向的B处，这时两船同时接到立即赶往C处海域巡查的任务，并测得C处位于A处北偏东59°方向、位于B处北偏西44°方向．若甲、乙两船分别沿AC，BC方向航行，其平均速度分别是20海里/小时，18海里/小时，试估算哪艘船先赶到C处．‎ ‎（参考数据：cos59°≈0.52，sin46°≈0.72）‎ 考点：‎ 解直角三角形的应用-方向角问题．‎ 分析：‎ 作CD⊥AB于点D，由题意得：∠ACD=59°，∠DCB=44°，设CD的长为a海里，分别在Rt△ACD中，和在Rt△BCD中，用a表示出AC和BC，然后除以速度即可求得时间，比较即可确定答案 解答：‎ 解：如图，作CD⊥AB于点D，‎ 由题意得：∠ACD=59°，∠DCB=44°，‎ 设CD的长为a海里，‎ ‎∵在Rt△ACD中，=cos∠ACD，‎ ‎∴AC==≈1.92a；‎ ‎∵在Rt△BCD中，=cos∠BCD，‎ ‎∴BC==≈1.39a；‎ ‎∵其平均速度分别是20海里/小时，18海里/小时，‎ ‎∴1.92a÷20=0.096a.1.39a÷18=0.077a，‎ ‎∵a＞0，‎ ‎∴0.096a＞0.077a，‎ ‎∴乙先到达．‎ 点评：‎ 本题考查了解直角三角形的应用，解决本题的关键在于设出未知数a，使得运算更加方便，难度中等．‎ ‎　‎ ‎22．（9分）（2014•荆州）我市某中学七、八年级各选派10名选手参加学校举办的“爱我荆门”知识竞赛，计分采用10分制，选手得分均为整数，成绩达到6分或6分以上为合格，达到9分或10分为优秀．这次竞赛后，七、八年级两支代表队选手成绩分布的条形统计图和成绩统计分析表如下，其中七年级代表队得6分、10分的选手人数分别为a，b．‎ 队别 平均分 中位数 方差 合格率 优秀率 七年级 ‎6.7‎ m ‎3.41‎ ‎90%‎ n 八年级 ‎7.1‎ ‎7.5‎ ‎1.69‎ ‎80%‎ ‎10%‎ ‎（1）请依据图表中的数据，求a，b的值；‎ ‎（2）直接写出表中的m，n的值；‎ ‎（3）有人说七年级的合格率、优秀率均高于八年级，所以七年级队成绩比八年级队好，但也有人说八年级队成绩比七年级队好．请你给出两条支持八年级队成绩好的理由．‎ 考点：‎ 条形统计图；统计表；加权平均数；中位数；方差．‎ 专题：‎ 计算题．‎ 分析：‎ ‎（1）根据题中数据求出a与b的值即可；‎ ‎（2）根据（1）a与b的值，确定出m与n的值即可；‎ ‎（3）从方差，平均分角度考虑，给出两条支持八年级队成绩好的理由即可．‎ 解答：‎ 解：（1）根据题意得：a=5，b=1；‎ ‎（2）七年级成绩为3，6，6，6，6，6，7，8，9，10，中位数为6，即m=6；‎ 优秀率为==20%，即n=20%；‎ ‎（3）八年级平均分高于七年级，方差小于七年级，成绩比较稳定，‎ 故八年级队比七年级队成绩好．‎ 点评：‎ 此题考查了条形统计图，扇形统计图，以及中位数，平均数，以及方差，弄清题意是解本题的关键．‎ ‎　‎ ‎23．（10分）（2014•荆州）我国中东部地区雾霾天气趋于严重，环境治理已刻不容缓．我市某电器商场根据民众健康需要，代理销售某种家用空气净化器，其进价是200元/台．经过市场销售后发现：在一个月内，当售价是400元/台时，可售出200台，且售价每降低10元，就可多售出50台．若供货商规定这种空气净化器售价不能低于300元/台，代理销售商每月要完成不低于450台的销售任务．‎ ‎（1）试确定月销售量y（台）与售价x（元/台）之间的函数关系式；并求出自变量 x的取值范围；‎ ‎（2）当售价x（元/台）定为多少时，商场每月销售这种空气净化器所获得的利润w（元）最大？最大利润是多少？‎ 考点：‎ 二次函数的应用．‎ 分析：‎ ‎（1）根据题中条件销售价每降低10元，月销售量就可多售出50千克，即可列出函数关系式；‎ 根据供货商规定这种空气净化器售价不能低于300元/台，代理销售商每月要完成不低于450台的销售即可求出x的取值．‎ ‎（2）用x表示y，然后再用x来表示出w，根据函数关系式，即可求出最大w；‎ 解答：‎ 解：（1）根据题中条件销售价每降低10元，月销售量就可多售出50千克，‎ 则月销售量y（台）与售价x（元/台）之间的函数关系式：y=200+50×，化简得：y=﹣5x+2200；‎ 供货商规定这种空气净化器售价不能低于300元/台，代理销售商每月要完成不低于450台，‎ 则，‎ 解得：300≤x≤350．‎ ‎∴y与x之间的函数关系式为：y=﹣5x+2200（300≤x≤350）；‎ ‎（2）W=（x﹣200）（﹣5x+2200），‎ 整理得：W=﹣5（x﹣320）2+72000．‎ ‎∵x=320在300≤x≤350内，‎ ‎∴当x=320时，最大值为72000，‎ 即售价定为320元/台时，商场每月销售这种空气净化器所获得的利润w最大，最大利润是72000元．‎ 点评：‎ 本题主要考查对于一次函数的应用和掌握，而且还应用到将函数变形求函数极值的知识．‎ ‎　‎ ‎24．（12分）（2014•荆州）已知：函数y=ax2﹣（3a+1）x+2a+1（a为常数）．‎ ‎（1）若该函数图象与坐标轴只有两个交点，求a的值；‎ ‎（2）若该函数图象是开口向上的抛物线，与x轴相交于点A（x1，0），B（x2，0）两点，与y轴相交于点C，且x2﹣x1=2．‎ ‎①求抛物线的解析式；‎ ‎②作点A关于y轴的对称点D，连结BC，DC，求sin∠DCB的值．‎ 考点：‎ 二次函数综合题．‎ 分析：‎ ‎（1）根据a取值的不同，有三种情形，需要分类讨论，避免漏解．‎ ‎（2）①函数与x轴相交于点A（x1，0），B（x2，0）两点，则x1，x2，满足y=0时，方程的根与系数关系．因为x2﹣x1=2，则可平方，用x1+x2，x1x2表示，则得关于a的方程，可求，并得抛物线解析式．‎ ‎②已知解析式则可得A，B，C，D坐标，求sin∠DCB，须作垂线构造直角三角形，结论易得．‎ 解答：‎ 解：（1）函数y=ax2﹣（3a+1）x+2a+1（a为常数），‎ 若a=0，则y=﹣x+1，与坐标轴有两个交点（0，1），（1，0）；‎ 若a≠0且图象过原点时，2a+1=0，a=﹣，有两个交点（0，0），（1，0）；‎ 若a≠0且图象与x轴只有一个交点时，令y=0有：‎ ‎△=（3a+1）2﹣4a（2a+1）=0，解得a=﹣1，有两个交点（0，﹣1），（1，0）．‎ 综上得：a=0或﹣或﹣1时，函数图象与坐标轴有两个交点．‎ ‎（2）①∵函数与x轴相交于点A（x1，0），B（x2，0）两点，‎ ‎∴x1，x2为ax2﹣（3a+1）x+2a+1=0的两个根，‎ ‎∴x1+x2=，x1x2=，‎ ‎∵x2﹣x1=2，‎ ‎∴4=（x2﹣x1）2=（x1+x2）2﹣4x1x2=（）2﹣4•，‎ 解得a=﹣（函数开口向上，a＞0，舍去），或a=1，‎ ‎∴y=x2﹣4x+3．‎ ‎②∵函数y=x2﹣4x+3与x轴相交于点A（x1，0），B（x2，0）两点，与y轴相交于点C，且x1＜x2，‎ ‎∴A（1，0），B（3，0），C（0，3），‎ ‎∵D为A关于y轴的对称点，‎ ‎∴D（﹣1，0）．‎ 根据题意画图，‎ 如图1，过点D作DE⊥CB于E，‎ ‎∵OC=3，OB=3，OC⊥OB，‎ ‎∴△OCB为等腰直角三角形，‎ ‎∴∠CBO=45°，‎ ‎∴△EDB为等腰直角三角形，‎ 设DE=x，则EB=x，‎ ‎∵DB=4，‎ ‎∴x2+x2=42，‎ ‎∴x=2，即DE=2．‎ 在Rt△COD中，‎ ‎∵DO=1，CO=3，‎ ‎∴CD==，‎ ‎∴sin∠DCB==．‎ 点评：‎ 本题考查了二次函数图象交点性质、韦达定理、特殊三角形及三角函数等知识，题目考法新颖，但内容常规基础，是一道非常值得考生练习的题目．‎ ‎　‎ ‎25．（12分）（2014•荆州）如图①，已知：在矩形ABCD的边AD上有一点O，OA=，以O为圆心，OA长为半径作圆，交AD于M，恰好与BD相切于H，过H作弦HP∥AB，弦HP=3．若点E是CD边上一动点（点E与C，D不重合），过E作直线EF∥BD交BC于F，再把△CEF沿着动直线EF对折，点C的对应点为G．设CE=x，△EFG与矩形ABCD重叠部分的面积为S．‎ ‎（1）求证：四边形ABHP是菱形；‎ ‎（2）问△EFG的直角顶点G能落在⊙O上吗？若能，求出此时x的值；若不能，请说明理由；‎ ‎（3）求S与x之间的函数关系式，并直接写出FG与⊙O相切时，S的值．‎ 考点：‎ 圆的综合题；含30度角的直角三角形；菱形的判定；矩形的性质；垂径定理；切线的性质；切线长定理；轴对称的性质；特殊角的三角函数值．‎ 专题：‎ 压轴题．‎ 分析：‎ ‎（1）连接OH，可以求出∠HOD=60°，∠HDO=30°，从而可以求出AB=3，由HP∥AB，HP=3可证到四边形ABHP是平行四边形，再根据切线长定理可得BA=BH，即可证到四边形ABHP是菱形．‎ ‎（2）当点G落到AD上时，可以证到点G与点M重合，可求出x=2．‎ ‎（3）当0≤x≤2时，如图①，S=S△EGF，只需求出FG，就可得到S与x之间的函数关系式；当2＜x≤3时，如图④，S=S△GEF﹣S△SGR，只需求出SG、RG，就可得到S与x之间的函数关系式．当FG与⊙O相切时，如图⑤，易得FK=AB=3，KQ=AQ﹣AK=2﹣2+x．再由FK=KQ即可求出x，从而求出S．‎ 解答：‎ 解：（1）证明：连接OH，如图①所示．‎ ‎∵四边形ABCD是矩形，‎ ‎∴∠ADC=∠BAD=90°，BC=AD，AB=CD．‎ ‎∵HP∥AB，‎ ‎∴∠ANH+∠BAD=180°．‎ ‎∴∠ANH=90°．‎ ‎∴HN=PN=HP=．‎ ‎∵OH=OA=，‎ ‎∴sin∠HON==．‎ ‎∴∠HON=60°‎ ‎∵BD与⊙O相切于点H，‎ ‎∴OH⊥BD．‎ ‎∴∠HDO=30°．‎ ‎∴OD=2．‎ ‎∴AD=3．‎ ‎∴BC=3．‎ ‎∵∠BAD=90°，∠BDA=30°．‎ ‎∴tan∠BDA===．‎ ‎∴AB=3．‎ ‎∵HP=3，‎ ‎∴AB=HP．‎ ‎∵AB∥HP，‎ ‎∴四边形ABHP是平行四边形．‎ ‎∵∠BAD=90°，AM是⊙O的直径，‎ ‎∴BA与⊙O相切于点A．‎ ‎∵BD与⊙O相切于点H，‎ ‎∴BA=BH．‎ ‎∴平行四边形ABHP是菱形．‎ ‎（2）△EFG的直角顶点G能落在⊙O上．‎ 如图②所示，点G落到AD上．‎ ‎∵EF∥BD，‎ ‎∴∠FEC=∠CDB．‎ ‎∵∠CDB=90°﹣30°=60°，‎ ‎∴∠CEF=60°．‎ 由折叠可得：∠GEF=∠CEF=60°．‎ ‎∴∠GED=60°．‎ ‎∵CE=x，‎ ‎∴GE=CE=x．ED=DC﹣CE=3﹣x．‎ ‎∴cos∠GED===．‎ ‎∴x=2．‎ ‎∴GE=2，ED=1．‎ ‎∴GD=．‎ ‎∴OG=AD﹣AO﹣GD=3﹣﹣=．‎ ‎∴OG=OM．‎ ‎∴点G与点M重合．‎ 此时△EFG的直角顶点G落在⊙O上，对应的x的值为2．‎ ‎∴当△EFG的直角顶点G落在⊙O上时，对应的x的值为2．‎ ‎（3）①如图①，‎ 在Rt△EGF中，‎ tan∠FEG===．‎ ‎∴FG=x．‎ ‎∴S=GE•FG=x•x=x2．‎ ‎②如图③，‎ ED=3﹣x，RE=2ED=6﹣2x，‎ GR=GE﹣ER=x﹣（6﹣2x）=3x﹣6．‎ ‎∵tan∠SRG===，‎ ‎∴SG=（x﹣2）．‎ ‎∴S△SGR=SG•RG=•（x﹣2）•（3x﹣6）．‎ ‎=（x﹣2）2．‎ ‎∵S△GEF=x2，‎ ‎∴S=S△GEF﹣S△SGR ‎=x2﹣（x﹣2）2．‎ ‎=﹣x2+6x﹣6．‎ 综上所述：当0≤x≤2时，S=x2；当2＜x≤3时，S=﹣x2+6x﹣6．‎ 当FG与⊙O相切于点T时，延长FG交AD于点Q，过点F作FK⊥AD，垂足为K，如图④所示．‎ ‎∵四边形ABCD是矩形，‎ ‎∴BC∥AD，∠ABC=∠BAD=90°‎ ‎∴∠AQF=∠CFG=60°．‎ ‎∵OT=，‎ ‎∴OQ=2．‎ ‎∴AQ=+2．‎ ‎∵∠FKA=∠ABC=∠BAD=90°，‎ ‎∴四边形ABFK是矩形．‎ ‎∴FK=AB=3，AK=BF=3﹣x．‎ ‎∴KQ=AQ﹣AK=（+2）﹣（3﹣x）=2﹣2+x．‎ 在Rt△FKQ中，tan∠FQK==．‎ ‎∴FK=QK．‎ ‎∴3=（2﹣2+x）．‎ 解得：x=3﹣．‎ ‎∵0≤3﹣≤2，‎ ‎∴S=x2=×（3﹣）2‎ ‎=﹣6．‎ ‎∴FG与⊙O相切时，S的值为﹣6．‎ 点评：‎ 本题考查了矩形的性质、菱形的性质、切线的性质、切线长定理、垂径定理、轴对称性质、特殊角的三角函数值、30°角所对的直角边等于斜边的一半、等腰三角形的性质等知识，综合性非常强．‎