九年级下册数学周周测第一章 直角三角形的边角关周周测14(全章) 北师大版

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九年级下册数学周周测第一章 直角三角形的边角关周周测14(全章) 北师大版

第一单元练习题 ‎1. cos60°的值等于(  )‎ A. B. C. D. ‎2.在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=5,BC=3,则tanA的值是(  )‎ A. B. C. D. ‎3. 在Rt△ABC中,cosA=,那么sinA的值是(  )‎ A. B. C. D. ‎   图1-Y-1‎ ‎4. 如图1-Y-1,一辆小车沿倾斜角为α的斜坡向上行驶13米,已知cosα=,则小车上升的高度是(  )‎ A.5米 B.6米 C.6.5米 D.12米 ‎5.如图1-Y-2,小明为了测量一凉亭的高度AB(顶端A到水平地面BD的距离),在凉亭的旁边放置一个与凉亭台阶BC等高的台阶DE(DE=BC=0.5米,A,B,C三点共线),把一面镜子水平放置在平台上的点G处,测得CG=15米,然后沿直线CG后退到点E处,这时恰好在镜子里看到凉亭的顶端A,测得EG=3米,小明身高EF=1.6米,则凉亭的高度AB约为(  )‎ A.8.5米 B.9米 ‎ C.9.5米 D.10米 图1-Y-2   图1-Y-3‎ ‎6. 如图1-Y-3,小王在长江边某瞭望台D处,测得江面上的渔船A的俯角为40°,若DE=3米,CE=2米,CE平行于江面AB,迎水坡BC的坡度i=1∶0.75,坡长BC=10米,则此时AB的长约为(参考数据:sin40°≈0.64,cos40°≈0.77,tan40°≈0.84)(  )‎ A.5.1米 B.6.3米 ‎ C.7.1米 D.9.2米 ‎7.如图1-Y-4,一名滑雪运动员沿着倾斜角为34°的斜坡,从A滑行至B,已知AB=500米,则这名滑雪运动员的高度下降了________米.(参考数据:sin34°≈0.56,cos34°≈0.83,tan34°≈0.67)‎ 图1-Y-4‎ ‎   图1-Y-5‎ ‎8.如图1-Y-5,创新小组要测量公园内一棵树的高度AB,其中一名小组成员站在距离树10米的点E处,测得树顶A的仰角为54°.已知测角仪的架高CE=1.5米,则这棵树的高度为_______米(结果保留一位小数.参考数据:sin54°≈0.8090,cos54°≈0.5878,tan54°≈1.3764).‎ ‎9.如图1-Y-6,在Rt△ABC中,∠C=90°,D是AB的中点,ED⊥AB交AC于点E.设∠A=α,且tanα=,则tan2α=________.‎ 图1-Y-6‎ ‎10.某消防支队在一幢居民楼前进行消防演习,如图1-Y-7所示,消防官兵利用云梯成功救出在C处的求救者后,发现在C处正上方17米的B处又有一名求救者,消防官兵立刻升高云梯将其救出,已知点A与居民楼的水平距离是15米,且在A点测得第一次施救时云梯与水平线的夹角∠CAD=60°,求第二次施救时云梯与水平线的夹角∠BAD的度数(结果精确到1°).‎ 图1-Y-7‎ ‎[来源:学&科&网]‎ ‎11.“蘑菇石”是我省著名自然保护区梵净山的标志,小明从山脚B点先乘坐缆车到达观景平台DE观景,然后再沿着坡脚为29°的斜坡由E点步行到达“蘑菇石”A点,“蘑菇石”A点到水平面BC的垂直距离为1790 m.如图1-Y-8,DE∥BC,BD=1700 m,∠DBC=80°,求斜坡AE的长度.(结果精确到0.1 m)‎ 图1-Y-8‎ ‎[来源:Zxxk.Com]‎ ‎[来源:学科网]‎ ‎12.乌江快铁大桥是快铁渝黔线的一项重要工程,由主桥AB和引桥BC两部分组成(如图1-Y-9所示).建造前工程师用以下方式做了测量:无人机在A处正上方97 m处的P点,测得B处的俯角为30°(当时C处被小山体阻挡无法观测).无人机飞行到B处正上方的D处时能看到C处,此时测得C处的俯角为80°36′.‎ ‎(1)求主桥AB的长度;‎ ‎(2)若两观察点P,D的连线与水平方向的夹角为30°,求引桥BC的长度.‎ ‎(长度均精确到1 m,参考数据:≈1.73,‎ sin80°36′≈0.987,cos80°36′≈0.163,tan80°36′≈6.06)‎ 图1-Y-9‎ ‎13.如图1-Y-10,某校教学楼AB后方有一斜坡,已知斜坡CD的长为12米,坡角α为60°,根据有关部门的规定,∠α≤39°时,才能避免滑坡危险,学校为了消除安全隐患,决定对斜坡CD进行改造,在保持坡脚C不动的情况下,学校至少要把坡顶D向后水平移动多少米才能保证教学楼的安全?(结果取整数)‎ ‎(参考数据:sin39°≈0.63,cos39°≈0.78,tan39°≈0.81,≈1.41,≈1.73,≈2.24)[来源:学科网ZXXK]‎ 图1-Y-10‎ ‎14.把(sinα)2记作sin2α,根据图1-Y-11①和②完成下列各题:‎ ‎(1)sin2A1+cos2A1=________,sin2A2+cos2A2=________,sin2A3+cos2A3=________;‎ ‎(2)观察上述等式猜想:在Rt△ABC中,∠C=90°,总有sin2A+cos2A=________;‎ ‎(3)如图②,在Rt△ABC中证明(2)题中的猜想;‎ ‎(4)在△ABC中,∠A+∠B=90°,且sinA=,求cosA的值.‎ 图1-Y-11‎ 详解 ‎1.D 2.A 3.B 4.A ‎5.A [解析] 由题意知∠AGC=∠FGE.又∠FEG=∠ACG=90°,∴△FEG∽△ACG,∴=,即=,∴AC=8.∴AB=AC+BC=8.5米.故选A.‎ ‎6.A [解析] 如图,延长DE交AB的延长线于点P,过点C作CQ⊥AP于点Q.‎ ‎∵CE∥AP,∴DP⊥AP,∴四边形CEPQ为矩形,‎ ‎∴CE=PQ=2,CQ=PE.‎ ‎∵i===,∴设CQ=4x,BQ=3x.‎ 由BQ2+CQ2=BC2可得(4x)2+(3x)2=102,解得x=2或x=-2(舍去).‎ 则CQ=PE=8,BQ=6,∴DP=DE+PE=11.‎ 在Rt△ADP中,AP==≈13.1,‎ ‎∴AB=AP-BQ-PQ≈13.1-6-2=5.1(米).‎ ‎7.280 8.15.3‎ ‎9. [解析] 如图,连接BE,‎ ‎∵D是AB的中点,ED⊥AB,‎ ‎∴ED是AB的垂直平分线,∴EB=EA,‎ ‎∴∠EBA=∠A=α,∴∠BEC=2α.‎ 设DE=a,∵tanα=,‎ ‎∴AD=3a,AE=a,‎ ‎∴AB=6a,∴BC=,AC=,‎ ‎∴CE=AC-AE=-a=a,‎ ‎∴tan2α===.故答案为.‎ ‎10.解: 如图,延长AD交BC所在直线于点E.‎ 由题意,得BC=17米,AE=15米,∠CAE=60°,∠AEB=90°.‎ 在Rt△ACE中,tan∠CAE=,‎ ‎∴CE=AE·tan60°=15 米.‎ 在Rt△ABE中,tan∠BAE==,‎ ‎∴∠BAE≈71°.‎ 答:第二次施救时云梯与水平线的夹角∠BAD的度数约为71°.‎ ‎11.解:如图,过点D作DF⊥BC于点F,延长DE交AC于点M.‎ 由题意可得EM⊥AC,DF=MC,∠AEM=29°.‎ 在Rt△DFB中,sin80°=,‎ 则DF=BD·sin80°,‎ AM=AC-MC=AC-DF=1790-1700·sin80°,‎ 在Rt△AME中,sin29°=,‎ 故AE==≈238.9(m).‎ 答:斜坡AE的长度约为238.9 m.‎ ‎12.解:(1)由题意知∠ABP=30°,AP=97 m,‎ ‎∴AB====97 ≈168(m).‎ 答:主桥AB的长度约为168 m.‎ ‎(2)∵∠ABP=30°,AP=97 m,∴PB=2AP=194 m.‎ ‎∵∠DBA=90°,∠PBA=30°,‎ ‎∴∠DBP=60°.‎ 又∠DPB=30°+30°=60°,‎ ‎∴△PBD是等边三角形,∴DB=PB=194 m.‎ 在Rt△BCD中,∵∠C=80°36′,‎ ‎∴BC==≈32(m).‎ 答:引桥BC的长度约为32 m.‎ ‎13.解:假设点D移动到点D′的位置时,恰好∠α=39°,过点D作DE⊥AC于点E,过点D′作D′E′⊥AC于点E′.‎ ‎∵CD=12米,∠DCE=60°,‎ ‎∴DE=CD·sin60°=12×=6 (米),CE=CD·cos60°=12×=6(米).‎ ‎∵DE⊥AC,D′E′⊥AC,DD′∥CE′,‎ ‎∴四边形DEE′D′是矩形,‎ ‎∴DD′=EE′,D′E′=DE=6 米.‎ ‎∵∠D′CE′=39°,‎ ‎∴CE′=≈≈12.8(米),[来源:学,科,网Z,X,X,K]‎ ‎∴DD′=EE′=CE′-CE≈12.8-6=6.8≈7(米).‎ 答:学校至少要把坡顶D向后水平移动约7米才能保证教学楼的安全.‎ ‎14.解:(1)sin2A1+cos2A1=()2+()2=+=1,‎ sin2A2+cos2A2=()2+()2=+=1,‎ sin2A3+cos2A3=()2+()2=+=1.‎ 故答案为:1,1,1.‎ ‎(2)观察上述等式猜想:在Rt△ABC中,∠C=90°,总有sin2A+cos2A=1.‎ 故答案为:1.‎ ‎(3)证明:在Rt△ABC中,∵sinA=,cosA=,且a2+b2=c2,‎ ‎∴sin2A+cos2A=()2+()2=+===1,即sin2A+cos2A=1.‎ ‎(4)∵在△ABC中,∠A+∠B=90°,‎ ‎∴∠C=90°,‎ ‎∴sin2A+cos2A=1,‎ 即()2+cosA2=1,‎ 解得cosA=或cosA=-(舍),‎ 即cosA的值为.‎
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