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文档介绍
2019年山东省淄博市中考数学试卷(a卷)
2019年山东省淄博市中考数学试卷(A卷) 一、选择题:本大题共12个小题,每小题4分,共48分.在每小题所给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.(4分)比﹣2小1的数是( ) A.﹣3 B.﹣1 C.1 D.3 2.(4分)国产科幻电影《流浪地球》上映17日,票房收入突破40亿元人民币,将40亿用科学记数法表示为( ) A.40×108 B.4×109 C.4×1010 D.0.4×1010 3.(4分)下列几何体中,其主视图、左视图和俯视图完全相同的是( ) A. B. C. D. 4.(4分)如图,小明从A处沿北偏东40°方向行走至点B处,又从点B处沿东偏南20方向行走至点C处,则∠ABC等于( ) A.130° B.120° C.110° D.100° 5.(4分)解分式方程=﹣2时,去分母变形正确的是( ) A.﹣1+x=﹣1﹣2(x﹣2) B.1﹣x=1﹣2(x﹣2) C.﹣1+x=1+2(2﹣x) D.1﹣x=﹣1﹣2(x﹣2) 6.(4分)与下面科学计算器的按键顺序: 对应的计算任务是( ) A.0.6×+124 B.0.6×+124 C.0.6×5÷6+412 D.0.6×+412 7.(4分)如图,矩形内有两个相邻的正方形,其面积分别为2和8,则图中阴影部分的面积为( ) A. B.2 C.2 D.6 8.(4分)如图,在△ABC中,AC=2,BC=4,D为BC边上的一点,且∠CAD=∠B.若△ADC的面积为a,则△ABD的面积为( ) A.2a B.a C.3a D.a 9.(4分)若x1+x2=3,x12+x22=5,则以x1,x2为根的一元二次方程是( )[来源:学科网ZXXK] A.x2﹣3x+2=0 B.x2+3x﹣2=0 C.x2+3x+2=0 D.x2﹣3x﹣2=0 10.(4分)从某容器口以均匀地速度注入酒精,若液面高度h随时间t的变化情况如图所示,则对应容器的形状为( ) A. B. C. D. 11.(4分)将二次函数y=x2﹣4x+a的图象向左平移1个单位,再向上平移1个单位.若得到的函数图象与直线y=2有两个交点,则a的取值范围是( ) A.a>3 B.a<3 C.a>5 D.a<5 12.(4分)如图,△OA1B1,△A1A2B2,△A2A3B3,…是分别以A1,A2,A3,…为直角顶点,一条直角边在x轴正半轴上的等腰直角三角形,其斜边的中点C1(x1,y1),C2(x2 ,y2),C3(x3,y3),…均在反比例函数y=(x>0)的图象上.则y1+y2+…+y10的值为( ) A.2 B.6 C.4 D.2 二、填空题:本大题共5个小题,每小题4分,共20分.请直接填写最后结果. 13.(4分)单项式a3b2的次数是 . 14.(4分)分解因式:x3+5x2+6x= . 15.(4分)如图,在正方形网格中,格点△ABC绕某点顺时针旋转角α(0<α<180°)得到格点△A1B1C1,点A与点A1,点B与点B1,点C与点C1是对应点,则α= 度. 16.(4分)某校欲从初三级部3名女生,2名男生中任选两名学生代表学校参加全市举办的“中国梦•青春梦“演讲比赛,则恰好选中一男一女的概率是 . 17.(4分)如图,在以A为直角顶点的等腰直角三角形纸片ABC中,将B角折起,使点B落在AC边上的点D(不与点A,C重合)处,折痕是EF. 如图1,当CD=AC时,tanα1=; 如图2,当CD=AC时,tanα2=; 如图3,当CD=AC时,tanα3=; …… 依此类推,当CD=AC(n为正整数)时,tanαn= . 三、解答题:本大题共7个小题,共52分.解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 18.(5分)解不等式+1>x﹣3. 19.(5分)已知,在如图所示的“风筝”图案中,AB=AD,AC=AE,∠BAE=∠DAC.求证:∠E=∠C. 20.(8分)文明交流互鉴是推动人类文明进步和世界和平发展的重要动力.2019年5月“亚洲文明对话大会”在北京成功举办,引起了世界人民的极大关注.某市一研究机构为了了解10~60岁年龄段市民对本次大会的关注程度,随机选取了100名年龄在该范围内的市民进行了调查,并将收集到的数据制成了尚不完整的频数分布表、频数分布直方图和扇形统计图,如下所示: 组别 年龄段 频数(人数) 第1组 10≤x<20 5 第2组 20≤x<30 a 第3组 30≤x<40 35 第4组 40≤x<50 20 第5组 50≤x<60 15 (1)请直接写出a= ,m= ,第3组人数在扇形统计图中所对应的圆心角是 度. (2)请补全上面的频数分布直方图; (3)假设该市现有10~60岁的市民300万人,问40~50岁年龄段的关注本次大会的人数约有多少? 21.(8分)“一带一路”促进了中欧贸易的发展,我市某机电公司生产的A,B两种产品在欧洲市场热销.今年第一季度这两种产品的销售总额为2060万元,总利润为1020万元(利润=售价﹣成本).其每件产品的成本和售价信息如下表: A B 成本(单位:万元/件)[来源:Z§xx§k.Com] 2 4 售价(单位:万元/件) 5 7 问该公司这两种产品的销售件数分别是多少? 22.(8分)如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,∠BAC的平分线AD交BC于点D,点E在AC上,以AE为直径的⊙O经过点D. (1)求证:①BC是⊙O的切线; ②CD2=CE•CA; (2)若点F是劣弧AD的中点,且CE=3,试求阴影部分的面积. 23.(9分)如图1,正方形ABDE和BCFG的边AB,BC在同一条直线上,且AB=2BC ,取EF的中点M,连接MD,MG,MB. (1)试证明DM⊥MG,并求的值. (2)如图2,将图1中的正方形变为菱形,设∠EAB=2α(0<α<90°),其它条件不变,问(1)中的值有变化吗?若有变化,求出该值(用含α的式子表示);若无变化,说明理由. 24.(9分)如图,顶点为M的抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A(3,0),B(﹣1,0)两点,与y轴交于点C. (1)求这条抛物线对应的函数表达式; (2)问在y轴上是否存在一点P,使得△PAM为直角三角形?若存在,求出点P的坐标;若不存在,说明理由. (3)若在第一象限的抛物线下方有一动点D,满足DA=OA,过D作DG⊥x轴于点G,设△ADG的内心为I,试求CI的最小值. 2019年山东省淄博市中考数学试卷(A卷) 参考答案与试题解析 一、选择题:本大题共12个小题,每小题4分,共48分.在每小题所给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.(4分)比﹣2小1的数是( ) A.﹣3 B.﹣1 C.1 D.3 【考点】1A:有理数的减法.菁优网版权所有 【分析】用﹣2减去1,然后根据有理数的减法运算法则进行计算即可得解. 【解答】解:﹣2﹣1=﹣(1+2)=﹣3. 故选:A. 【点评】本题考查了有理数的减法运算,熟记运算法则是解题的关键. 2.(4分)国产科幻电影《流浪地球》上映17日,票房收入突破40亿元人民币,将40亿用科学记数法表示为( ) A.40×108 B.4×109 C.4×1010 D.0.4×1010 【考点】1I:科学记数法—表示较大的数.菁优网版权所有 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数.确定n的值时,要看把原数变成a时,小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值>10时,n是正数;当原数的绝对值<1时,n是负数. 【解答】解:40亿用科学记数法表示为:4×109, 故选:B. 【点评】此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数,表示时关键要正确确定a的值以及n的值. 3.(4分)下列几何体中,其主视图、左视图和俯视图完全相同的是( ) A. B. C. D. 【考点】U2:简单组合体的三视图.菁优网版权所有 【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看,所得到的图形. 【解答】解:A、圆柱的主视图和左视图都是矩形,但俯视图也是一个圆形,不符合题意; B、三棱柱的主视图和左视图、俯视图都不相同,不符合题意; C、长方体的主视图和左视图是相同的,都为一个长方形,但是俯视图是一个不一样的长方形,不符合题意; D、球的三视图都是大小相同的圆,符合题意. 故选:D. 【点评】本题考查了几何体的三种视图,掌握定义是关键.注意所有的看到的棱都应表现在三视图中. 4.(4分)如图,小明从A处沿北偏东40°方向行走至点B处,又从点B处沿东偏南20方向行走至点C处,则∠ABC等于( ) A.130° B.120° C.110° D.100° 【考点】IH:方向角.菁优网版权所有 【分析】根据平行线性质求出∠ABE,再求出∠EBC即可得出答案. 【解答】解:如图: ∵小明从A处沿北偏东40°方向行走至点B处,又从点B处沿东偏南20方向行走至点C处, ∴∠DAB=40°,∠CBF=20°, ∵向北方向线是平行的,即AD∥BE, ∴∠ABE=∠DAB=40°, ∵∠EBF=90°, ∴∠EBC=90°﹣20°=70°, ∴∠ABC=∠ABE+∠EBC=40°+70°=110°, 故选:C. 【点评】本题考查了方向角及平行线的性质,熟练掌握平行线的性质:两直线平行,内错角相等是解题的关键. 5.(4分)解分式方程=﹣2时,去分母变形正确的是( ) A.﹣1+x=﹣1﹣2(x﹣2) B.1﹣x=1﹣2(x﹣2) C.﹣1+x=1+2(2﹣x) D.1﹣x=﹣1﹣2(x﹣2) 【考点】B3:解分式方程.菁优网版权所有 【分析】分式方程去分母转化为整式方程,即可得到结果. 【解答】解:去分母得:1﹣x=﹣1﹣2(x﹣2), 故选:D. 【点评】此题考查了解分式方程,利用了转化的思想,解分式方程注意要检验. 6.(4分)与下面科学计算器的按键顺序: 对应的计算任务是( ) A.0.6×+124 B.0.6×+124 C.0.6×5÷6+412 D.0.6×+412 【考点】1G:有理数的混合运算;1N:计算器—有理数.菁优网版权所有 【分析】根据科学计算器按键功能可得. 【解答】解:与下面科学计算器的按键顺序对应的计算任务是0.6×+124, 故选:B. 【点评】本题主要考查计算器﹣有理数,解题的关键是掌握科学计算器中各按键的功能. 7.(4分)如图,矩形内有两个相邻的正方形,其面积分别为2和8,则图中阴影部分的面积为( ) A. B.2 C.2 D.6 【考点】7B:二次根式的应用.菁优网版权所有 【分析】根据图形可以求得图中阴影部分的面积,本题得以解决. 【解答】解:由题意可得, 大正方形的边长为=2,小正方形的边长为, ∴图中阴影部分的面积为:×(2﹣)=2, 故选:B. 【点评】本题考查算术平方根,解答本题的关键是明确题意,求出大小正方形的边长,利用数形结合的思想解答. 8.(4分)如图,在△ABC中,AC=2,BC=4,D为BC边上的一点,且∠CAD=∠B.若△ADC的面积为a,则△ABD的面积为( ) A.2a B.a C.3a D.a 【考点】S9:相似三角形的判定与性质.菁优网版权所有 【分析】证明△ACD∽△BCA,根据相似三角形的性质求出△BCA的面积为4a,计算即可. 【解答】解:∵∠CAD=∠B,∠ACD=∠BCA, ∴△ACD∽△BCA, ∴=()2,即=, 解得,△BCA的面积为4a, ∴△ABD的面积为:4a﹣a=3a, 故选:C. 【点评】 本题考查的是相似三角形的判定和性质,掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键. 9.(4分)若x1+x2=3,x12+x22=5,则以x1,x2为根的一元二次方程是( ) A.x2﹣3x+2=0 B.x2+3x﹣2=0 C.x2+3x+2=0 D.x2﹣3x﹣2=0 【考点】AB:根与系数的关系.菁优网版权所有 【分析】利用完全平方公式计算出x1x2=2,然后根据根与系数的关系写出以x1,x2为根的一元二次方程. 【解答】解:∵x12+x22=5, ∴(x1+x2)2﹣2x1x2=5, 而x1+x2=3, ∴9﹣2x1x2=5, ∴x1x2=2, ∴以x1,x2为根的一元二次方程为x2﹣3x+2=0. 故选:A. 【点评】本题考查了根与系数的关系:若x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根时,x1+x2=﹣,x1x2=. 10.(4分)从某容器口以均匀地速度注入酒精,若液面高度h随时间t的变化情况如图所示,则对应容器的形状为( ) A. B. C. D. 【考点】E6:函数的图象.菁优网版权所有 【分析】根据液面高度h随时间t的变化情况的图象可以看出,高度h随时间t的变化情况是:先是高度随时间变化比较缓慢,然后逐渐变快,然后又变得比较缓慢,并且变慢的长度越来越大,最后,又急速上升,可以推断这个容器底部比较粗,然后逐渐变细,然后又逐渐变粗,最后又变得细小,并且最后非常细,推断可能是C容器. 【解答】 解:根据图象可知,容器大致为:容器底部比较粗,然后逐渐变细,然后又逐渐变粗,最后又变得细小,并且最后非常细,推断可能是C容器. 故选:C. 【点评】考查对变化过程中两个变量的变化关系的理解,即函数的意义的理解,根据图象变化情况,推断容器形状,强化对函数的理解. 11.(4分)将二次函数y=x2﹣4x+a的图象向左平移1个单位,再向上平移1个单位.若得到的函数图象与直线y=2有两个交点,则a的取值范围是( ) A.a>3 B.a<3 C.a>5 D.a<5 【考点】H6:二次函数图象与几何变换.菁优网版权所有 【分析】先利用配方法将y=x2﹣4x+a化为顶点式,再根据左加右减,上加下减的平移规律得出平移后直线的解析式,将y=2代入得到一元二次方程,然后根据判别式△>0列出不等式,求出a的取值范围. 【解答】解:∵y=x2﹣4x+a=(x﹣2)2﹣4+a, ∴将二次函数y=x2﹣4x+a的图象向左平移1个单位,再向上平移1个单位,得到的函数解析式为y=(x﹣2+1)2﹣4+a+1,即y=x2﹣2x+a﹣2, 将y=2代入,得2=x2﹣2x+a﹣2,即x2﹣2x+a﹣4=0, 由题意,得△=4﹣4(a﹣4)>0,解得a<5. 故选:D. 【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换,二次函数与一元二次方程的关系,一元一次不等式的解法,正确求出平移后的解析式是解题的关键. 12.(4分)如图,△OA1B1,△A1A2B2,△A2A3B3,…是分别以A1,A2,A3,…为直角顶点,一条直角边在x轴正半轴上的等腰直角三角形,其斜边的中点C1(x1,y1),C2(x2,y2),C3(x3,y3),…均在反比例函数y=(x>0)的图象上.则y1+y2+…+y10的值为( ) A.2 B.6 C.4 D.2 【考点】G6:反比例函数图象上点的坐标特征.菁优网版权所有 【分析】根据点C1的坐标,确定y1,可求反比例函数关系式,由点C1是等腰直角三角形的斜边中点,可以得到OA1的长,然后再设未知数,表示点C2的坐标,确定y2,代入反比例函数的关系式,建立方程解出未知数,表示点C3的坐标,确定y3,……然后再求和. 【解答】解:过C1、C2、C3…分别作x轴的垂线,垂足分别为D1、D2、D3… 其斜边的中点C1在反比例函数y=,∴C(2,2)即y1=2,[来源:学科网] ∴OD1=D1A1=2, 设A1D2=a,则C2D2=a 此时C2(4+a,a),代入y=得:a(4+a)=4, 解得:a=,即:y2=, 同理:y3=, y4=, …… ∴y1+y2+…+y10=2+++……=, 故选:A. 【点评】考查反比例函数的图象和性质、反比例函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形的性质等知识,通过计算有一定的规律,推断出一般性的结论,得出答案. 二、填空题:本大题共5个小题,每小题4分,共20分.请直接填写最后结果. 13.(4分)单项式a3b2的次数是 5 . 【考点】42:单项式.菁优网版权所有 【分析】根据单项式的次数的定义解答. 【解答】解:单项式a3b2的次数是3+2=5. 故答案为5. 【点评】本题考查了单项式的次数的定义:单项式中,所有字母的指数和叫做这个单项式的次数. 14.(4分)分解因式:x3+5x2+6x= x(x+2)(x+3) . 【考点】57:因式分解﹣十字相乘法等.菁优网版权所有 【分析】先提公因式x,然后根据十字相乘法的分解方法和特点分解因式. 【解答】解:x3+5x2+6x, =x(x2+5x+6), =x(x+2)(x+3). 【点评】本题考查十字相乘法分解因式,运用十字相乘法分解因式时,要注意观察,尝试,并体会它实质是二项式乘法的逆过程. 15.(4分)如图,在正方形网格中,格点△ABC绕某点顺时针旋转角α(0<α<180°)得到格点△A1B1C1,点A与点A1,点B与点B1,点C与点C1是对应点,则α= 90 度. 【考点】R2:旋转的性质.菁优网版权所有 【分析】作CC1,AA1的垂直平分线交于点E,可得点E是旋转中心,即∠AEA1=α=90°. 【解答】解:如图, 连接CC1,AA1,作CC1,AA1的垂直平分线交于点E,连接AE,A1E ∵CC1,AA1的垂直平分线交于点E, ∴点E是旋转中心, ∵∠AEA1=90° ∴旋转角α=90° 故答案为:90 【点评】本题考查了旋转的性质,确定旋转的中心是本题的关键. 16.(4分)某校欲从初三级部3名女生,2名男生中任选两名学生代表学校参加全市举办的“中国梦•青春梦“演讲比赛,则恰好选中一男一女的概率是 . 【考点】X6:列表法与树状图法.菁优网版权所有 【分析】画树状图展示所有20种等可能的结果数,再找出选中一男一女的结果数,然后根据概率公式求解. 【解答】解:画树状图为: 共20种等可能的结果数,其中选中一男一女的结果数为12, ∴恰好选中一男一女的概率是=, 故答案为:. 【点评】本题考查了列表法与树状图法:利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n,再从中选出符合事件A或B的结果数目m,然后利用概率公式求事件A或B的概率. 17.(4分)如图,在以A为直角顶点的等腰直角三角形纸片ABC中,将B角折起,使点B落在AC边上的点D(不与点A,C重合)处,折痕是EF. 如图1,当CD=AC时,tanα1=; 如图2,当CD=AC时,tanα2=; 如图3,当CD=AC时,tanα3=; …… 依此类推,当CD=AC(n为正整数)时,tanαn= . 【考点】38:规律型:图形的变化类;KW:等腰直角三角形;PB:翻折变换(折叠问题);T7:解直角三角形.菁优网版权所有 【分析】探究规律,利用规律解决问题即可. 【解答】解:观察可知,正切值的分子是3,5,7,9,…,2n+1, 分母与勾股数有关系,分别是勾股数3,4,5;5,12,13;7,24,25;9,40,41;…,2n+1,,中的中间一个. ∴tanαn==. 故答案为:. 【点评】本题考查规律型问题,解题的关键是学会探究规律的方法,属于中考常考题型. 三、解答题:本大题共7个小题,共52分.解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 18.(5分)解不等式+1>x﹣3. 【考点】C6:解一元一次不等式.菁优网版权所有 【分析】将已知不等式两边同乘以2,然后再根据移项、合并同类项、系数化为1求出不等式的解集. 【解答】解:将不等式两边同乘以2得, x﹣5+2>2x﹣6 解得x<3. 【点评】解不等式要依据不等式的基本性质,在不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变,在不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变,在不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变. 19.(5分)已知,在如图所示的“风筝”图案中,AB=AD,AC=AE,∠BAE=∠DAC.求证:∠E=∠C. 【考点】KD:全等三角形的判定与性质.菁优网版权所有 【分析】由“SAS”可证△ABC≌△ADE,可得∠C=∠E. 【解答】证明:∵∠BAE=∠DAC ∴∠BAE+∠CAE=∠DAC+∠CAE ∴∠CAB=∠EAD,且AB=AD,AC=AE ∴△ABC≌△ADE(SAS) ∴∠C=∠E 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质,证明∠CAB=∠EAD是本题的关键. 20.(8分)文明交流互鉴是推动人类文明进步和世界和平发展的重要动力.2019年5月“亚洲文明对话大会” 在北京成功举办,引起了世界人民的极大关注.某市一研究机构为了了解10~60岁年龄段市民对本次大会的关注程度,随机选取了100名年龄在该范围内的市民进行了调查,并将收集到的数据制成了尚不完整的频数分布表、频数分布直方图和扇形统计图,如下所示: 组别 年龄段 频数(人数) 第1组 10≤x<20 5 第2组 20≤x<30 a 第3组 30≤x<40 35[来源:Zxxk.Com] 第4组 40≤x<50 20 第5组 50≤x<60 15 (1)请直接写出a= 25 ,m= 20 ,第3组人数在扇形统计图中所对应的圆心角是 126 度. (2)请补全上面的频数分布直方图; (3)假设该市现有10~60岁的市民300万人,问40~50岁年龄段的关注本次大会的人数约有多少? 【考点】V5:用样本估计总体;V7:频数(率)分布表;V8:频数(率)分布直方图;VB:扇形统计图.菁优网版权所有 【分析】(1)根据题意和频数分布表中的数据,可以求得a、m的值和第3组人数在扇形统计图中所对应的圆心角的度数; (2)根据(1)中a的值,可以将频数分布直方图补充完整; (3)根据频数分布表中的数据可以计算出40~50岁年龄段的关注本次大会的人数约有多少. 【解答】解:(1)a=100﹣5﹣35﹣20﹣15=25, m%=(20÷100)×100%=20%, 第3组人数在扇形统计图中所对应的圆心角是:360°×=126°, 故答案为:25,20,126; (2)由(1)值,20≤x<30有25人, 补全的频数分布直方图如右图所示; (3)300×=60(万人), 答:40~50岁年龄段的关注本次大会的人数约有60万人. 【点评】本题考查频数分布直方图、频数分布表、扇形统计图、用样本估计总体,解答本题的关键是明确题意,利用数形结合的思想解答. 21.(8分)“一带一路”促进了中欧贸易的发展,我市某机电公司生产的A,B两种产品在欧洲市场热销.今年第一季度这两种产品的销售总额为2060万元,总利润为1020万元(利润=售价﹣成本).其每件产品的成本和售价信息如下表: A B 成本(单位:万元/件) 2 4 售价(单位:万元/件) 5 7 问该公司这两种产品的销售件数分别是多少? 【考点】9A:二元一次方程组的应用.菁优网版权所有 【分析】设A,B两种产品的销售件数分别为x件、y件;由题意列出方程组,解方程组即可. 【解答】解:设A,B两种产品的销售件数分别为x件、y件; 由题意得:, 解得:; 答:A,B两种产品的销售件数分别为160件、180件. 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程组的解法;根据题意列出方程组是解题的关键. 22.(8分)如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,∠BAC的平分线AD交BC于点D,点E在AC上,以AE为直径的⊙O经过点D. (1)求证:①BC是⊙O的切线; ②CD2=CE•CA; (2)若点F是劣弧AD的中点,且CE=3,试求阴影部分的面积. 【考点】MR:圆的综合题.菁优网版权所有 【分析】(1)①证明DO∥AB,即可求解;②证明CDE∽△CAD,即可求解; (2)证明△OFD、△OFA是等边三角形,S阴影=S扇形DFO,即可求解. 【解答】解:(1)①连接OD, ∵AD是∠BAC的平分线,∴∠DAB=∠DAO, ∵OD=OA,∴∠DAO=∠ODA, ∴∠DAO=∠ADO, ∴DO∥AB,而∠B=90°, ∴∠ODB=90°, ∴BC是⊙O的切线; ②连接DE, ∵BC是⊙O的切线,∴∠CDE=∠DAC, ∠C=∠C,∴△CDE∽△CAD, ∴CD2=CE•CA; (2)连接DE、OE、DF、OF,设圆的半径为R, ∵点F是劣弧AD的中点,∴是OF是DA中垂线, ∴DF=AF,∴∠FDA=∠FAD, ∵DO∥AB,∴∠ODA=∠DAF, ∴∠ADO=∠DAO=∠FDA=∠FAD, ∴AF=DF=OA=OD, ∴△OFD、△OFA是等边三角形, ∴∠C=30°, ∴OD=OC=(OE+EC),而OE=OD, ∴CE=OE=R=3, S阴影=S扇形DFO=×π×32=. 【点评】此题属于圆的综合题,涉及了平行四边形的性质、等边三角形的判定与性质、三角函数值的知识,综合性较强,解答本题需要我们熟练各部分的内容,对学生的综合能力要求较高,一定要注意将所学知识贯穿起来. 23.(9分)如图1,正方形ABDE和BCFG的边AB,BC在同一条直线上,且AB=2BC,取EF的中点M,连接MD,MG,MB. (1)试证明DM⊥MG,并求的值. (2)如图2,将图1中的正方形变为菱形,设∠EAB=2α(0<α<90°),其它条件不变,问(1)中的值有变化吗?若有变化,求出该值(用含α的式子表示);若无变化,说明理由. 【考点】32:列代数式;L8:菱形的性质;S9:相似三角形的判定与性质.菁优网版权所有 【分析】(1)如图1中,延长DM交FG的延长线于H.证明△DMG是等腰直角三角形即可,连接EB,BF,设BC=a,则AB=2a,BE=2a,BF=a,求出BM,MG即可解决问题. (2)(1)中的值有变化.如图2中,连接BE,AD交于点O,连接OG,CG,BF,CG交BF于O′.首先证明O,G,F共线,再证明点M在直线AD上,设BC=m,则AB=2m,想办法求出BM,MG(用m表示),即可解决问题. 【解答】(1)证明:如图1中,延长DM交FG的延长线于H. ∵四边形ABCD,四边形BCFG都是正方形, ∴DE∥AC∥GF, ∴∠EDM=∠FHM, ∵∠EMD=∠FMH,EM=FM, ∴△EDM≌△FHM(AAS), ∴DE=FH,DM=MH, ∵DE=2FG,BG=DG, ∴HG=DG, ∵∠DGH=∠BGF=90°,MH=DM, ∴GM⊥DM,DM=MG,[来源:Z§xx§k.Com] 连接EB,BF,设BC=a,则AB=2a,BE=2a,BF=a, ∵∠EBD=∠DBF=45°, ∴∠EBF=90°, ∴EF==a, ∵EM=MF, ∴BM=EF=a, ∵HM=DM,GH=FG, ∴MG=DF=a, ∴==. (2)解:(1)中的值有变化. 理由:如图2中,连接BE,AD交于点O,连接OG,CG,BF,CG交BF于O′. ∵DO=OA,DG=GB, ∴GO∥AB,OG=AB, ∵GF∥AC, ∴O,G,F共线, ∵FG=AB, ∴OF=AB=DF, ∵DF∥AC,AC∥OF, ∴DE∥OF, ∴OD与EF互相平分, ∵EM=MF, ∴点M在直线AD上, ∵GD=GB=GO=GF, ∴四边形OBFD是矩形, ∴∠OBF=∠ODF=∠BOD=90°, ∵OM=MD,OG=GF, ∴MG=DF,设BC=m,则AB=2m, 易知BE=2OB=2•2m•sinα=4msinα,BF=2BO°=2m•cosα,DF=OB=2m•sinα, ∵BM=EF==,GM=DF=m•sinα, ∴==. 【点评】本题是四边形综合题,考查了正方形的性质,菱形的性质,解直角三角形,全等三角形的判定和性质等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造全等三角形解决问题,学会利用参数解决问题,属于中考压轴题. 24.(9分)如图,顶点为M的抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A(3,0),B(﹣1,0)两点,与y轴交于点C. (1)求这条抛物线对应的函数表达式; (2)问在y轴上是否存在一点P,使得△PAM为直角三角形?若存在,求出点P的坐标;若不存在,说明理由. (3)若在第一象限的抛物线下方有一动点D,满足DA=OA,过D作DG⊥x轴于点G,设△ADG的内心为I,试求CI的最小值. 【考点】HF:二次函数综合题.菁优网版权所有 【分析】(1)用待定系数法即求出抛物线对应的函数表达式. (2)用配方法求抛物线顶点M,求AM2,设点P坐标为(0,p),用p表示AP2和MP2.△PAM为直角三角形不确定哪个点为直角顶点,故需分三种情况讨论.确定直角即确定斜边后,可用勾股定理列方程,求得p的值即求得点P坐标. (3)由点I是△ADG内心联想到过点I作△ADG三边的垂线段IE、IF、IH,根据内心到三角形三边距离相等即有IE=IF=IH.此时以点I为圆心、IE为半径长的⊙I即为△ ADG内切圆,根据切线长定理可得AE=AF,DF=DH,EG=HG.设点I坐标为(m,n),可用含m、n的式子表示AG、DG的长,又由DA=OA=3,即可用勾股定理列得关于m、n的方程.化简再配方后得到式子:(m﹣)2+(n+)2=,从图形上可理解为点I(m,n)与定点Q(,﹣)的距离为,所以点I的运动轨迹为圆弧.所以当点I在CQ连线上时,CI最短. 【解答】解:(1)∵抛物线y=ax2+bx+3过点A(3,0),B(﹣1,0) ∴ 解得: ∴这条抛物线对应的函数表达式为y=﹣x2+2x+3 (2)在y轴上存在点P,使得△PAM为直角三角形. ∵y=﹣x2+2x+3=﹣(x﹣1)2+4 ∴顶点M(1,4) ∴AM2=(3﹣1)2+42=20 设点P坐标为(0,p) ∴AP2=32+p2=9+p2,MP2=12+(4﹣p)2=17﹣8p+p2 ①若∠PAM=90°,则AM2+AP2=MP2 ∴20+9+p2=17﹣8p+p2 解得:p=﹣ ∴P(0,﹣) ②若∠APM=90°,则AP2+MP2=AM2 ∴9+p2+17﹣8p+p2=20 解得:p1=1,p2=3 ∴P(0,1)或(0,3) ③若∠AMP=90°,则AM2+MP2=AP2 ∴20+17﹣8p+p2=9+p2 解得:p= ∴P(0,) 综上所述,点P坐标为(0,﹣)或(0,1)或(0,3)或(0,)时,△PAM为直角三角形. (3)如图,过点I作IE⊥x轴于点E,IF⊥AD于点F,IH⊥DG于点H ∵DG⊥x轴于点G ∴∠HGE=∠IEG=∠IHG=90° ∴四边形IEGH是矩形 ∵点I为△ADG的内心 ∴IE=IF=IH,AE=AF,DF=DH,EG=HG ∴矩形IEGH是正方形 设点I坐标为(m,n) ∴OE=m,HG=GE=IE=n ∴AF=AE=OA﹣OE=3﹣m ∴AG=GE+AE=n+3﹣m ∵DA=OA=3 ∴DH=DF=DA﹣AF=3﹣(3﹣m)=m ∴DG=DH+HG=m+n ∵DG2+AG2=DA2 ∴(m+n)2+(n+3﹣m)2=32 ∴化简得:m2﹣3m+n2+3n=0 配方得:(m﹣)2+(n+)2= ∴点I(m,n)与定点Q(,﹣)的距离为 ∴点I在以点Q(,﹣)为圆心,半径为的圆在第一象限的弧上运动 ∴当点I在线段CQ上时,CI最小 ∵CQ= ∴CI=CQ﹣IQ= ∴CI最小值为. 【点评】本题考查二次函数的图象与性质,直角三角形存在性的分类讨论,三角形内心的定义和性质,切线长定理,点和圆的位置关系,解一元一次方程和一元二次方程.第(3)题的解题关键是由点I是内心用内心性质和切线长定理列式求得点I坐标的特征式子,转化到点I到定点Q的距离相等,再转化到点和圆的位置关系. 声明:试题解析著作权属菁优网所有,未经书面同意,不得复制发布 日期:2019/7/29 11:28:47;用户:学无止境;邮箱:419793282@qq.com;学号:7910509查看更多