2016年武汉市中考数学试卷

2016年武汉市中考数学试卷

‎2016年武汉市中考数学试卷 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）‎ ‎1．实数的值在（ ）‎ A．0和1之间 B．1和2之间 C．2和3之间 D．3和4之间 ‎【考点】有理数的估计 ‎【答案】B ‎【解析】∵1＜2＜4，∴，∴.‎ ‎2．若代数式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是（ ）‎ A．x＜3 B．x＞3 C．x≠3 D．x＝3‎ ‎【考点】分式有意义的条件 ‎【答案】C ‎【解析】要使有意义，则x－3≠0，∴x≠3‎ 故选C. ‎ ‎3．下列计算中正确的是（ ）‎ A．a·a2＝a2 B．2a·a＝2a2 C．(2a2)2＝2a4 D．6a8÷3a2＝2a4‎ ‎【考点】幂的运算 ‎【答案】B ‎【解析】A． a·a2＝a3，此选项错误；B．2a·a＝2a2，此选项正确；C．(2a2)2＝4a4，此选项错误；D．6a8÷3a2＝2a6，此选项错误。‎ ‎4．不透明的袋子中装有性状、大小、质地完全相同的6个球，其中4个黑球、2个白球，从袋子中一次摸出3个球，下列事件是不可能事件的是（ ）‎ A．摸出的是3个白球 B．摸出的是3个黑球 C．摸出的是2个白球、1个黑球 D．摸出的是2个黑球、1个白球 ‎【考点】不可能事件的概率 ‎【答案】A ‎【解析】∵袋子中有4个黑球，2个白球，∴摸出的黑球个数不能大于4个，摸出白球的个数不能大于2个。 A选项摸出的白球的个数是3个，超过2个，是不可能事件。 故答案为：A ‎5．运用乘法公式计算(x＋3)2的结果是（ ）‎ A．x2＋9 B．x2－6x＋9 C．x2＋6x＋9 D．x2＋3x＋9‎ ‎【考点】完全平方公式 ‎【答案】C ‎【解析】运用完全平方公式，(x＋3)2＝x2＋2×3x＋32＝x2＋6x＋9．‎ 故答案为：C ‎6．已知点A(a，1)与点A′(5，b)关于坐标原点对称，则实数a、b的值是（ ）‎ A．a＝5，b＝1 B．a＝－5，b＝1‎ C．a＝5，b＝－1 D．a＝－5，b＝－1‎ ‎【考点】关于原点对称的点的坐标．‎ ‎【答案】D ‎【解析】关于原点对称的点的横坐标与纵坐标互为相反数．∵点A(a，1)与点A′(5，b)关于坐标原点对称，∴a＝－5，b＝－1，故选D．‎ ‎7．如图是由一个圆柱体和一个长方体组成的几何体，其左视图是（ ）‎ ‎【考点】简单几何体的三视图．‎ ‎【答案】A ‎【解析】从左面看，上面看到的是长方形，下面看到的也是长方形，且两个长方形一样大．‎ 故选A ‎8．某车间20名工人日加工零件数如下表所示：‎ 日加工零件数 ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ 人数 ‎2‎ ‎6‎ ‎5‎ ‎4‎ ‎3‎ 这些工人日加工零件数的众数、中位数、平均数分别是（ ）‎ A．5、6、5 B．5、5、6 C．6、5、6 D．5、6、6‎ ‎【考点】众数；加权平均数；中位数．根据众数、平均数、中位数的定义分别进行解答．‎ ‎【答案】D ‎【解析】5出现了6次，出现的次数最多，则众数是5；把这些数从小到大排列，中位数是第10，11个数的平均数，则中位数是（6＋6）÷2＝6；平均数是：（4×2＋5×6＋6×5＋7‎ ‎×4＋8×3）÷20＝6；故选D．‎ ‎9．如图，在等腰Rt△ABC中，AC＝BC＝，点P在以斜边AB为直径的半圆上，M为PC的中点．当点P沿半圆从点A运动至点B时，点M运动的路径长是（ ）‎ A． B．π C． D．2‎ ‎【考点】轨迹，等腰直角三角形 ‎【答案】B ‎【解析】取AB的中点E，取CE的中点F，连接PE，CE，MF，则FM＝PE＝1，故M的轨迹为以F为圆心，1为半径的半圆弧，轨迹长为.‎ ‎10．平面直角坐标系中，已知A(2，2)、B(4，0)．若在坐标轴上取点C，使△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C的个数是（ ）‎ A．5 B．6 C．7 D．8‎ ‎【考点】等腰三角形的判定；坐标与图形性质 ‎【答案】A ‎【解析】构造等腰三角形，①分别以A，B为圆心，以AB的长为半径作圆；②作AB的中垂线．如图，一共有5个C点，注意，与B重合及与AB共线的点要排除。‎ 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）‎ ‎11．计算5＋(－3)的结果为_______．‎ ‎【考点】有理数的加法 ‎【答案】2‎ ‎【解析】原式＝2‎ ‎12．某市2016年初中毕业生人数约为63 000，数63 000用科学记数法表示为___________．‎ ‎【考点】科学记数法 ‎【答案】6.3×104‎ ‎【解析】科学计数法的表示形式为N＝a×10n的形式，其中a为整数且1≤│a│＜10，n为N的整数位数减1．‎ ‎13．一个质地均匀的小正方体，6个面分别标有数字1、1、2、4、5、5．若随机投掷一次小正方体，则朝上一面的数字是5的概率为_______．‎ ‎【考点】概率公式 ‎【答案】‎ ‎【解析】∵一个质地均匀的小正方体有6个面，其中标有数字5的有2个，∴随机投掷一次小正方体，则朝上一面数字是5的概率为．‎ ‎14．如图，在□ABCD中，E为边CD上一点，将△ADE沿AE折叠至△AD′E处，AD′与CE交于点F．若∠B＝52°，∠DAE＝20°，则∠FED′的大小为_______．‎ ‎【考点】平行四边形的性质 ‎【答案】36°‎ ‎【解析】∵四边形ABCD为平行四边形，∴∠D＝∠B＝52°，由折叠的性质得：∠EAD，＝∠DAE＝20°，∠AED，＝∠AED＝180°－∠DAE－∠D＝180°－20°－52°＝108°，‎ ‎∴∠AEF＝∠D＋∠DAE＝52°＋20°＝72°，∴∠FED′＝108°－72°＝36°．‎ ‎15．将函数y＝2x＋b（b为常数）的图象位于x轴下方的部分沿x轴翻折至其上方后，所得的折线是函数y＝|2x＋b|（b为常数）的图象．若该图象在直线y＝2下方的点的横坐标x满足0＜x＜3，则b的取值范围为_________．‎ ‎【考点】一次函数图形与几何变换 ‎【答案】-4≤b≤-2‎ ‎【解析】根据题意：列出不等式 ，解得-4≤b≤-2‎ ‎16．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝10，DA＝，则BD的长为_______．‎ ‎【考点】相似三角形，勾股定理 ‎【答案】2‎ ‎【解析】连接AC，过点D作BC边上的高，交BC延长线于点H．在Rt△ABC中，AB＝3，BC＝4，∴AC＝5，又CD＝10，DA＝，可知△ACD为直角三角形，且∠ACD＝90°，易证△ABC∽△CHD，则CH＝6，DH＝8，∴BD＝．‎ 三、解答题（共8题，共72分）‎ ‎17．（本题8分）解方程：5x＋2＝3(x＋2) ．‎ ‎【考点】解一元一次方程 ‎【答案】x＝2‎ ‎【解析】解：去括号得5x＋2＝3x＋6，‎ 移项合并得2x＝4，‎ ‎∴x＝2．‎ ‎18．（本题8分）如图，点B、E、C、F在同一条直线上，AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF，求证：AB∥DE．‎ ‎【考点】全等三角形的判定和性质 ‎【答案】见解析 ‎【解析】证明：由BE＝CF可得BC＝EF，又AB＝DE，AC＝DF，故△ABC≌△DEF（SSS），则∠B=∠DEF，∴AB∥DE．‎ ‎19．（本题8分）某学校为了解学生对新闻、体育、动画、娱乐、戏曲五类电视节目最喜爱的情况，随机调查了若干名学生，根据调查数据进行整理，绘制了如下的不完整统计图：‎ 请你根据以上的信息，回答下列问题：‎ ‎(1) 本次共调查了_____名学生，其中最喜爱戏曲的有_____人；在扇形统计图中，最喜爱体育的对应扇形的圆心角大小是______；‎ ‎(2) 根据以上统计分析，估计该校2000名学生中最喜爱新闻的人数．‎ ‎【考点】条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图 ‎【答案】(1)50，3，72°；(2)160人 ‎【解析】 （1）本次共调查学生：4÷8%＝50（人），最喜爱戏曲的人数为：50×6%＝3（人），∵“娱乐”类人数占被调查人数的百分比为：，‎ ‎∴“体育”类人数占被调查人数的百分比为：1－8%－30%－36%－6%＝20%，‎ 在扇形统计图中，最喜爱体育的对应扇形圆心角大小事360°×20%＝72°；‎ ‎（2）2000×8%＝160（人）．‎ ‎20．（本题8分）已知反比例函数．‎ ‎(1) 若该反比例函数的图象与直线y＝kx＋4（k≠0）只有一个公共点，求k的值；‎ ‎(2) 如图，反比例函数（1≤x≤4）的图象记为曲线C1，将C1向左平移2个单位长度，得曲线C2，请在图中画出C2，并直接写出C1平移至C2处所扫过的面积．‎ ‎【考点】反比例函数与一次函数的交点问题；考查了平移的性质，一元二次方程的根与系数的关系。‎ ‎【答案】(1) k＝-1；(2)面积为6 ‎ ‎【解析】解：（1）联立 得kx2＋4x－4＝0，又∵的图像与直线y＝kx＋4只有一个公共点，∴42－4∙k∙（—4）＝0，∴k＝－1．‎ ‎ (2)如图：‎ ‎ ‎ ‎ C1平移至C2处所扫过的面积为6．‎ ‎21．（本题8分）如图，点C在以AB为直径的⊙O上，AD与过点C的切线垂直，垂足为点D，AD交⊙O于点E．‎ ‎(1) 求证：AC平分∠DAB；‎ ‎(2) 连接BE交AC于点F，若cos∠CAD＝，求的值．‎ ‎【考点】切线的性质；考查了切线的 性质，平行线的性质和判定，勾股定理，圆周角定理，圆心角，弧，弦之间的关系的应用 ‎【答案】 (1) 略；(2)‎ ‎【解析】（1）证明：连接OC，则OC⊥CD，又AD⊥CD，∴AD∥OC，∴∠CAD＝∠OCA，又OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC，∴∠CAD＝∠CAO，∴AC平分∠DAB．‎ ‎（2）解：连接BE交OC于点H，易证OC⊥BE，可知∠OCA＝∠CAD，‎ ‎∴COS∠HCF＝，设HC＝4,FC＝5，则FH＝3．‎ 又△AEF∽△CHF，设EF＝3x，则AF＝5x，AE＝4x，∴OH＝2x ‎ ‎∴BH＝HE＝3x＋3 OB＝OC＝2x＋4‎ 在△OBH中，（2x）2＋（3x＋3）2＝（2x＋4）2‎ 化简得：9x2＋2x－7＝0，解得：x＝（另一负值舍去）．‎ ‎∴． ‎ ‎22．（本题10分）某公司计划从甲、乙两种产品中选择一种生产并销售，每年产销x件．已知产销两种产品的有关信息如下表：‎ 产品 每件售价（万元）‎ 每件成本（万元）‎ 每年其他费用（万元）‎ 每年最大产销量（件）‎ 甲 ‎6‎ a ‎20‎ ‎200‎ 乙 ‎20‎ ‎10‎ ‎40＋0.05x2‎ ‎80‎ 其中a为常数，且3≤a≤5．‎ ‎（1） 若产销甲、 乙两种产品的年利润分别为y1万元、y2万元，直接写出y1、y2与x的函数关系式；‎ ‎（2）分别求出产销两种产品的最大年利润；‎ ‎（3）为获得最大年利润，该公司应该选择产销哪种产品？请说明理由．‎ ‎【考点】二次函数的应用，一次函数的应用 ‎【答案】 （1）y1=(6-a)x-20（0＜x≤200），y2=-0.05x²+10x-40（0＜x≤80）；（2） 产销甲种产品的最大年利润为(1180-200a)万元，产销乙种产品的最大年利润为440万元；（3）当3≤a＜3.7时，选择甲产品；当a=3.7时，选择甲乙产品；当3.7＜a≤5‎ 时，选择乙产品 ‎【解析】解：（1） y1=(6-a)x-20（0＜x≤200），y2=-0.05x²+10x-40（0＜x≤80）；‎ ‎（2）甲产品：∵3≤a≤5，∴6-a＞0，∴y1随x的增大而增大．‎ ‎∴当x＝200时，y1max＝1180－200a（3≤a≤5）‎ 乙产品：y2=-0.05x²+10x-40（0＜x≤80）‎ ‎∴当0＜x≤80时，y2随x的增大而增大．‎ 当x＝80时，y2max＝440（万元）．‎ ‎∴产销甲种产品的最大年利润为(1180-200a)万元，产销乙种产品的最大年利润为440万元；（3）1180－200＞440，解得3≤a＜3.7时，此时选择甲产品；‎ ‎1180－200＝440，解得a=3.7时，此时选择甲乙产品；‎ ‎1180－200＜440，解得3.7＜a≤5时，此时选择乙产品．‎ ‎∴当3≤a＜3.7时，生产甲产品的利润高；‎ 当a=3.7时，生产甲乙两种产品的利润相同；‎ 当3.7＜a≤5时，上产乙产品的利润高．‎ ‎23．（本题10分）在△ABC中，P为边AB上一点．‎ ‎(1) 如图1，若∠ACP＝∠B，求证：AC2＝AP·AB；‎ ‎(2) 若M为CP的中点，AC＝2，‎ ‎① 如图2，若∠PBM＝∠ACP，AB＝3，求BP的长；‎ ‎② 如图3，若∠ABC＝45°，∠A＝∠BMP＝60°，直接写出BP的长．‎ ‎ ‎ ‎【考点】相似形综合，考查相似三角形的判定和性质，平行线的性质，三角形中位线性质，勾股定理。‎ ‎【答案】 （1）证△ACP∽△ABC即可；（2）①BP＝；②‎ ‎【解析】（1）证明：∵∠ACP＝∠B，∠BAC＝∠CAP，∴△ACP∽△ABC，∴AC：AB＝AP：AC，∴AC2＝AP·AB；‎ ‎（2）①如图，作CQ∥BM交AB延长线于Q，设BP＝x，则PQ＝2x ‎∵∠PBM＝∠ACP，∠PAC＝∠CAQ，∴△APC∽△ACQ，由AC2＝AP·AQ得：22＝（3－x）（3＋x），∴x＝ ‎ ‎ ‎ 即BP＝；‎ ‎②如图：作CQ⊥AB于点Q，作CP0＝CP交AB于点P0，‎ ‎∵AC＝2，∴AQ＝1，CQ＝BQ＝ ，‎ 设P0Q＝PQ＝1－x，BP＝－1＋x，‎ ‎∵∠BPM＝∠CP0A，∠BMP＝∠CAP0，∴△AP0C∽△MPB，∴，‎ ‎∴MP∙ P0C＝AP0 ∙BP＝x（－1＋x），解得x＝‎ ‎∴BP＝－1＋＝．‎ ‎ ‎ ‎24．（本题12分）抛物线y＝ax2＋c与x轴交于A、B两点，顶点为C，点P为抛物线上，且位于x轴下方．‎ ‎（1）如图1，若P(1，－3)、B(4，0)，‎ ‎① 求该抛物线的解析式；‎ ‎② 若D是抛物线上一点，满足∠DPO＝∠POB，求点D的坐标；‎ ‎（2） 如图2，已知直线PA、PB与y轴分别交于E、F两点．当点P运动时，是否为定值？若是，试求出该定值；若不是，请说明理由．‎ ‎【考点】二次函数综合；考查了待定系数法求函数解析式；平行线的判定；函数值相等的点关于对称轴对称。‎ ‎【答案】 （1）①y＝x2-；②点D的坐标为(-1，-3)或(，)；（2）是定值，等于2‎ ‎【解析】解：（1）①将P(1，－3)、B(4，0)代入y＝ax2＋c得 ‎ ，解得 ，抛物线的解析式为： ．‎ ‎②如图：‎ 由∠DPO＝∠POB得DP∥OB，D与P关于y轴对称，P(1，－3)得D(-1，-3)；‎ 如图，D在P右侧，即图中D2，则∠D2PO＝∠POB，延长PD2交x轴于Q，则QO＝QP，‎ 设Q（q，0），则（q－1）2＋32＝q2，解得：q＝5，∴Q（5，0），则直线PD2为 ，再联立 得：x＝1或 ，∴ D2（ ）‎ ‎∴点D的坐标为(-1，-3)或（ ）‎ ‎（2）设B（b，0），则A（-b，0）有ab2＋c＝0，∴b2＝，过点P（x0，y0）作PH⊥AB，有，易证：△PAH∽△EAO，则 即，∴，‎ 同理得∴，∴，则OE＋OF＝ ‎ ‎∴，又OC＝－c,∴. ‎ ‎∴是定值，等于2．‎