人教版中考数学二轮复习专题练习上常用辅助线-构造三角形

人教版中考数学二轮复习专题练习上常用辅助线-构造三角形

‎5.辅助线之构造特殊三角形 ‎1.如图，在凯里市某广场上空飘着一只汽球，是地面上相距米的两点，它们分别在汽球的正西和正东，测得仰角，仰角，求汽球的高度为多少.（精确到米，=1.732）‎ 答案：32.9 ‎ 解析：‎ 过点作于点，设米.‎ 在中，，‎ ‎∴（米）‎ 在中， ‎ ‎∴（米）‎ 又∵‎ ‎∴ ‎ ‎∴（米）‎ ‎∴（米）‎ ‎2.如图，在中，已知，求中多少度；多少度；多少度.‎ 答案：30；30；120‎ 解析：‎ 作于点，则，‎ 由，得 ‎3．如图所示，天空中有一静止的广告气球，从地面点测得的仰角为45°，从地面点测得的仰角为60°．已知米，点和直线在同一铅垂平面上，求气球离地面的高度（结果保留根号）．‎ 答案：‎ 解析：‎ 作，垂足为，设气球离地面的高度为米．‎ 在中，，∴．‎ 在中，，∴．‎ ‎∵，∴，∴．‎ 答：气球离地面的高度为米 ‎4.已知：如图，中，，是上一点，，求的度数及的长？‎ 答案：见解析 解析：‎ 过点作于，则．‎ 在中，，‎ ‎∴‎ 在中，，∴，‎ ‎∴，，‎ 在中，，∴‎ ‎5.某旅游区有一个景观奇异的望天洞，点是洞的入口，游人从入口进洞游览后，可经山洞到达山顶的出口凉亭处观看旅游区风景，最后坐缆车沿索道返回山脚下的处．在同一平面内，若测得斜坡的长为米，坡角，在处测得的仰角，在处测得的仰角，过点作地面的垂线，垂足为．‎ ‎（1）求的度数；‎ ‎（2）求索道的长．（结果保留根号）‎ A C D E F B 答案：见解析 解析：‎ A C D E F B G ‎⑴∵，∴．‎ 又∵，∴，‎ ‎∵，‎ ‎∴．‎ ‎⑵过点作于点．‎ 在中，，‎ ‎∴，‎ 又∵，‎ ‎∴，‎ ‎．‎ 在中，，‎ ‎∴，‎ ‎∴（米）‎ 答：索道长米．‎ ‎6.如图,点是的角平分线上一点，过点作交于点.若,求点到的距离.‎ 答案：6‎ 解析：‎ 过点作，并交于点.‎ ‎∵是的角平分线，‎ ‎∴.‎ 又∵，‎ ‎∴.‎ ‎∴.‎ ‎∴.‎ ‎∴.‎ ‎7.某片绿地的形状如图所示，其中，，，，，求的长为_、的长为___.（精确到，）.‎ 答案：227；146‎ 解析：‎ 延长、交于点，‎ 在中，，则，‎ 由，得，‎ 从而.‎ 在中，∵，，‎ ‎∴，‎ 从而，‎ ‎∴，‎ ‎.‎ ‎8.已知：如图，在四边形中，，，，，．求这个四边形的面积．‎ 答案：‎ 解析：‎ 连结，过点作于，是直角三角形，面积为，且，在 和中，设，，解得，‎ ‎∴，，‎ ‎∴四边形的面积为．‎ ‎9.如图,已知梯形中, ,,,,,则下底的长为 ___．‎ 答案：10‎ 解析： 过作，把梯形分成平行四边形和直角三角形，利用平行四边形的对边相等得到，所以可以求出，在直角三角形中，根据，利用勾股定理求出的长也就可以求出了．‎ 解：如图，过作交于点，‎ ‎，四边形是平行四边形，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎（直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半），‎ 在中，，‎ 即 ‎，‎ 解得，‎ ‎．‎ 故答案为：10．‎ ‎10.如图，在鱼塘两侧有两棵树、，小华要测量此两树之间的距离．他在距树的处测得，又在处测得．求、两树之间的距离？（结果精确到）（参考数据：，）‎ C B A 答案：17.3‎ 解析：‎ D C B A 作，垂足为点.‎ ‎∵，，∴，∴，‎ ‎∴.‎ 在中，∵，∴.‎ 答：、两树之间的距离约为.‎ ‎11.如图，在 中， ，则 的值为多少.‎ 答案：4‎ 解析：作的中线，过作于，求出，求出，根据勾股定理求出，代入求出即可．‎ 解 ‎：‎ 作的中线，过作于，‎ ‎ ，‎ ‎，‎ ‎ ，‎ ‎ ，‎ ‎ ，‎ 由勾股定理得： ，‎ ‎ ，‎ ‎ 在 中，由勾股定理得：，‎ 在中，由勾股定理得： ‎ ‎ .‎ ‎12.如图，在梯形 中， ，垂足为点 ．若 ，求的长为__．‎ 答案：2‎ 解析：过点 作 于 ，利用锐角三角函数关系得出 的长，进而得出 的长，再根据含 角的直角三角形的性质即可得出 的长．‎ 解：过点 作 于，则 ，‎ 在 中， ，‎ ‎ ，‎ 即 ，‎ ‎ ，‎ ‎ ，‎ ‎．‎ ‎13.如图，四边形 中， ，且 ，求四边形 的面积为__．‎ 答案：1.5‎ 解析：解：如图延长 交 延长线于点 ，‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 又 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 四边形 的面积 ‎ ‎14.如图，在平行四边形 中， 分别在 和 的延长线上， ．求 的长 解析：首先证明四边形 是平行四边形，可得 ，即 为 中点，然后再得 ，再利用三角函数可求出 和 的长即可．‎ 解： 四边形 是平行四边形，‎ ‎ ，‎ ‎ ，‎ ‎ 四边形 是平行四边形，‎ ‎ ，即 为 中点，‎ ‎ ，‎ ‎ ，‎ ‎ ，‎ ‎ ，‎ 过 作 于点 ，‎ ‎ ，‎ ‎ ，‎ ‎ ，‎ ‎ ，‎ ‎ ．‎ ‎15．如图，在四边形 中， ，且 ， ，则四边形 的面积为____.‎ 答案：12‎ 解析：根据题意推知 和 是等腰直角三角形，则 ．‎ 解：如图，延长 交于点 ．‎ ‎ ，‎ ‎ ．‎ ‎ ，‎ ‎ ．‎ ‎ ，‎ 又 ，‎ ‎ ，‎ ‎ ，‎ ‎．‎ 故答案是：12．‎ ‎16.某校在一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米 元，则购买这种草皮至少要　　　　　　元．‎ 答案：150a 解析：先做 的高 ，求出 ，再得出 ，再根据 求出三角形的面积，最后根据这种草皮每平方米元，即可得出答案．‎ 解：做 的高 ，‎ ‎ ，‎ ‎ ，‎ ‎ ，‎ ‎ ，‎ ‎ 这种草皮每平方米 元，‎ ‎ 购买这种草皮至少要 元，‎ 故答案为：150a．‎ ‎17.如图，四边形 中， ，则 的长 解析：延长 交于 ，求出 ，求出 长，在 中，求出 ，在 中，根据勾股定理求出 即可．‎ 解：‎ 延长 交于，‎ ‎ ，‎ ‎ ，‎ ‎ ，‎ ‎ ，‎ ‎ ，‎ ‎ ，‎ ‎ ，‎ 在 中，由勾股定理得： ．‎ ‎18.如图，在 中， 交边 于点 ‎ ‎（1）求的度数为__；‎ ‎（2）求的度数为___．‎ 答案：45；45‎ 解析：（1）根据已知可求得 的度数，再根据三角形外角的性质即可求得 的度数．（2）过 作 于 ，连接 ，根据直角三角形中 度所对的边是斜边的一半及已知可推出 ，从而可得到 ，从而可求得 ，根据等角对等边可得 ，再利用等边对等角的性质即可证得结论．‎ ‎（1）解： ，‎ ‎ ，‎ ‎ ；‎ ‎（2）证明：过 作 于 ，连接．‎ ‎ ‎ ‎ ，‎ ‎ ，‎ ‎ ，‎ ‎ ，‎ ‎ ，‎ ‎ ，‎ ‎ ．‎ ‎19.如图，在五边形 中 ，则五边形的周长是（　　）‎ 解析：可延长和交于一点，根据正方形的性质和等腰直角三角形的性质即可求出和的值，进而求出答案．‎ 解：可延长和交于一点，‎ 根据五边形的内角和定理和已知条件，可得是等腰直角三角形，四边形是正方形.‎ 则，∴ ‎ 所以五边形的周长是．‎ ‎20.如图，四边形 中， ，则 的长为 解析：延长，两延长线相交于点，根据 是等腰直角三角形，得 ，从而求出 的长．‎ 解：如图，延长 ，两延长线相交于点，‎ ‎ ，‎ ‎ 是等腰直角三角形 ‎ ，又 ‎ ‎ 是等腰直角三角形 设 ，则 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 解得： ‎ ‎21.如图，线段 的长为 ， 为 上一个动点，分别以 为斜边在 的同侧作两个等腰直角三角形 和 ，那么长的最小值是____.‎ 答案：1‎ 解析：根据垂线段最短这个知识点来构造辅助线解题.‎ 解：延长 和 交于一点 ，连接 ‎∵ 和均为等腰直角三角形 ‎∴ ‎ ‎∴ ‎ ‎∴四边形为矩形 ‎∴ ‎ ‎∵当时，有最小值。且为等腰直角三角形 ‎∴的最小值 ‎∴的最小值为1‎