2010年内蒙古包头市中考数学试卷

2010年内蒙古包头市中考数学试卷

一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）‎ ‎1、（2010•包头）27的立方根是（　　）‎ ‎ A、3 B、﹣3‎ ‎ C、9 D、﹣9‎ 考点：立方根。‎ 分析：如果一个数x的立方等于a，那么x是a的立方根，根据此定义求解即可．‎ 解答：解：∵3的立方等于27，‎ ‎∴27的立方根等于3．‎ 故选A．‎ 点评：此题主要考查了求一个数的立方根，解题时先找出所要求的这个数是哪一个数的立方．由开立方和立方是互逆运算，用立方的方法求这个数的立方根．注意一个数的立方根与原数的性质符号相同．‎ ‎2、（2010•东营）下列运算中，正确的是（　　）‎ ‎ A、a+a=a2 B、a•a2=a2‎ ‎ C、（2a）2=4a2 D、（a3）2=a5‎ 考点：幂的乘方与积的乘方；合并同类项；同底数幂的乘法。‎ 专题：计算题。‎ 分析：根据合并同类项法则，只把系数相加减，字母与字母的次数不变；同底数幂相乘，底数不变指数相加；积的乘方，把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；幂的乘方，底数不变指数相乘，对各选项计算后利用排除法求解．‎ 解答：解：A、应为a+a=2a，故本选项错误；‎ B、应为a•a2=a1+2=a3，故本选项错误；‎ C、（2a）2=4a2，正确；‎ D、应为（a3）2=a2×3=a6，故本选项错误．‎ 故选C．‎ 点评：本题考查了合并同类项法则，同底数幂的乘法，积的乘方的性质，幂的乘方的性质，熟练掌握法则和性质是解题的关键．‎ ‎3、（2010•包头）函数y=‎x+2‎中自变量x的取值范围是（　　）‎ ‎ A、x≥2 B、x≥﹣2‎ ‎ C、x＜2 D、x＜﹣2‎ 考点：函数自变量的取值范围；二次根式有意义的条件。‎ 专题：计算题。‎ 分析：求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，二次根式有意义的条件是：被开方数为非负数．‎ 解答：解：依题意，得x+2≥0，‎ 解得x≥﹣2，‎ 故选B．‎ 点评：注意二次根式的被开方数是非负数．‎ ‎4、（2010•包头）国家体育场“鸟巢”建筑面积达25.8万平方米，将25.8万平方米用科学记数法（四舍五入保留2个有效数字）表示约为（　　）‎ ‎ A、26×104平方米 B、2.6×104平方米 ‎ C、2.6×105平方米 D、2.6×106平方米 考点：科学记数法与有效数字。‎ 专题：应用题。‎ 分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．‎ 有效数字是从左边第一个不是0的数字起后面所有的数字都是有效数字．用科学记数法表示的数的有效数字只与前面的a有关，与10的多少次方无关．‎ 解答：解：25.8万平方米≈2.6×105平方米．‎ 故选C．‎ 点评：把一个数M记成a×10n（1≤|a|＜10，n为整数）的形式，这种记数的方法叫做科学记数法．规律：‎ ‎（1）当|a|≥1时，n的值为a的整数位数减1；‎ ‎（2）当|a|＜1时，n的值是第一个不是0的数字前0的个数，包括整数位上的0．‎ ‎5、（2010•包头）已知在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=‎3‎‎5‎，则tan B的值为（　　）‎ ‎ A、‎4‎‎3‎ B、‎‎4‎‎5‎ ‎ C、‎5‎‎4‎ D、‎‎3‎‎4‎ 考点：锐角三角函数的定义；互余两角三角函数的关系。‎ 分析：本题可以利用锐角三角函数的定义求解，也可以利用互为余角的三角函数关系式求解．‎ 解答：解：解法1：利用三角函数的定义及勾股定理求解．‎ ‎∵在Rt△ABC中，∠C=90°，‎ ‎∴sinA=ac，tanB=ba和a2+b2=c2．‎ ‎∵sinA=‎3‎‎5‎，设a=3x，则c=5x，结合a2+b2=c2得b=4x．‎ ‎∴tanB=ba‎=‎4x‎3x=‎‎4‎‎3‎．‎ 故选A．‎ 解法2：利用同角、互为余角的三角函数关系式求解．‎ ‎∵A、B互为余角，‎ ‎∴cosB=sin（90°﹣B）=sinA=‎3‎‎5‎．‎ 又∵sin2B+cos2B=1，‎ ‎∴sinB=‎1﹣cos‎2‎B=‎4‎‎5‎，‎ ‎∴tanB=sinBcosB=‎4‎‎5‎‎3‎‎5‎=‎4‎‎3‎．‎ 故选A．‎ 点评：求锐角的三角函数值的方法：利用锐角三角函数的定义，通过设参数的方法求三角函数值，或者利用同角（或余角）的三角函数关系式求三角函数值．‎ ‎6、（2010•襄樊）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有（　　）‎ ‎ A、4个 B、3个 ‎ C、2个 D、1个 考点：中心对称图形；轴对称图形。‎ 分析：根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．‎ 解答：解：A、是轴对称图形，也是中心对称图形；‎ B、是轴对称图形，不是中心对称图形；‎ C、是轴对称图形，也是中心对称图形；‎ D、是轴对称图形，也是中心对称图形．‎ 故选B．‎ 点评：掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．‎ ‎7、（2010•包头）某校为了了解九年级学生的体能情况，随机抽查了其中的30名学生，测试了1分钟仰卧起座的次数，并绘制成如图所示的频数分布直方图，请根据图示计算，仰卧起座次数在15～20次之间的频率是（　　）‎ ‎ A、0.1 B、0.17‎ ‎ C、0.33 D、0.4‎ 考点：频数（率）分布直方图；频数与频率。‎ 专题：图表型。‎ 分析：根据直方图中各组的频率之和等于1及频率的计算公式，结合题意可得仰卧起做次数在15～20间小组的频数，再由频率的计算公式可得其频率，进而可得答案．‎ 解答：解：由频率的意义可知，从左到右各个小组的频率之和是1，同时每小组的频率=频数总人数，‎ 所以仰卧起坐次数在15～20间的小组的频数是30﹣5﹣10﹣12=3，其频率为‎3‎‎30‎=0.1，‎ 故选A．‎ 点评：本题属于统计内容，考查分析频数分布直方图和频率的求法．解本题要懂得频率分布直分图的意义，了解频率分布直分图是一种以频数为纵向指标的条形统计图．‎ ‎8、（2010•包头）将一个正方体沿某些棱展开后，能够得到的平面图形是（　　）‎ ‎ A、 B、‎ ‎ C、 D、‎ 考点：几何体的展开图。‎ 分析：本题考查图形的展开与折叠中，正方体的常见的十余种展开图有关内容．可将这四个图折叠后，看能否组成正方形．‎ 解答：解：由四棱柱四个侧面和上下两个底面的特征可知，‎ A、出现了田字格，故不能；‎ B、D、上底面不可能有两个，故不是正方体的展开图；‎ C、可以拼成一个正方体．故选C．‎ 点评：解题时勿忘记四棱柱的特征及正方体展开图的各种情形．‎ ‎9、（2010•包头）化简‎（x‎2‎‎﹣4‎x‎2‎‎﹣4x+4‎+‎2﹣xx+2‎）÷‎xx﹣2‎，其结果是（　　）‎ ‎ A、‎﹣‎‎8‎x﹣2‎ B、‎‎8‎x﹣2‎ ‎ C、‎﹣‎‎8‎x+2‎ D、‎‎8‎x+2‎ 考点：分式的混合运算。‎ 分析：对于分式混合运算，其实也就是在同一个算式中，综合了分式的加减、乘除及乘方中的一种或几种运算，关键是要注意各种运算的先后顺序．‎ 解答：解：原式=[‎（x﹣2）（x+2）‎‎（x﹣2）‎‎2‎+‎2﹣xx+2‎]×‎x﹣2‎x ‎=‎（‎x+2‎x﹣2‎+‎2﹣xx+2‎）×x﹣2‎x，‎ ‎=x+2‎x﹣‎（2﹣x）‎‎2‎x（x+2）‎，‎ ‎=‎（x+2）‎‎2‎‎﹣‎‎（2﹣x）‎‎2‎x（x+2）‎，‎ ‎=‎8xx（x+2）‎，‎ ‎=‎8‎x+2‎，‎ 故选D．‎ 点评：对于一般的分式混合运算来讲，其运算顺序与整式混合运算一样，是先乘方，再乘除，最后算加减，如果遇括号要先算括号里面的．在此基础上，有时也应该根据具体问题的特点，灵活应变，注意方法．‎ ‎10、（2010•包头）小明同时向上掷两枚质地均匀、同样大小的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，掷得面朝上的点数之和是3的倍数的概率是（　　）‎ ‎ A、‎1‎‎3‎ B、‎‎1‎‎6‎ ‎ C、‎5‎‎18‎ D、‎‎5‎‎6‎ 考点：列表法与树状图法。‎ 分析：列举出所有情况，看掷得面朝上的点数之和是3的倍数的情况占总情况的多少即可．‎ 解答：解：‎ 显然和为3的倍数的概率为‎12‎‎36‎‎=‎‎1‎‎3‎，故选A．‎ 点评：此题可以采用列表法或者采用树状图法，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．树状图法适用于两步或两步以上完成的事件．解题时还要注意是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．‎ ‎11、（2010•包头）已知下列命题：‎ ‎①若a＞0，b＞0，则a+b＞0；‎ ‎②若a≠b，则a2≠b2；‎ ‎③角的平分线上的点到角的两边的距离相等；‎ ‎④平行四边形的对角线互相平分．‎ 其中原命题与逆命题均为真命题的个数是（　　）‎ ‎ A、1个 B、2个 ‎ C、3个 D、4个 考点：命题与定理。‎ 分析：分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．‎ 解答：解：①中a＞0，b＞0；则a+b＞0显然原命题正确，但其逆命题不正确，如a=﹣1，b=2满足a+b＞0，但不满足a＞0，b＞0，错误；‎ ‎②中当a=1，b=﹣1满足条件a≠b，但不满足a2≠b2，显然原命题不正确，错误；‎ ‎③原命题和逆命题是角平分线的性质和判定，正确；‎ ‎④原命题和逆命题是平行四边形的性质和判定，正确．‎ 故选B．‎ 点评：考查点：本题考查命题的真假性，是易错题．‎ 易错易混点：本题要求的是原命题与逆例题的真假性，学生易出现只判断原命题的真假，也就是审题不认真．‎ ‎12、（2010•包头）关于x的一元二次方程x2﹣mx+2m﹣1=0的两个实数根分别是x1、x2，且x12+x22=7，则（x1﹣x2）2的值是（　　）‎ ‎ A、1 B、12‎ ‎ C、13 D、25‎ 考点：根与系数的关系；解一元二次方程-因式分解法；根的判别式。‎ 分析：根据一元二次方程的根与系数的关系得到两根之和与两根之积，代入x12+x22=7求得m的值后，把原方程化简后，再利用两根之和与两根之积把代数式变形求解．‎ 解答：解：∵方程x2﹣mx+2m﹣1=0的两个实数根分别是x1、x2，‎ ‎∴x1+x2=m，‎ x1x2=2m﹣1，‎ ‎∴x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=7，‎ ‎∴m2﹣2（2m﹣1）=7，‎ 解得m1=﹣1，m2=5，‎ 而当m=5时，原方程的判别式△=25﹣4×9=﹣11＜0，‎ 此时方程无解，‎ ‎∴m=5不合题意舍去．‎ ‎∴原方程化为：x2+x﹣3=0，‎ ‎∴‎&x‎1‎+x‎2‎=﹣1‎‎&x‎1‎．x‎2‎=﹣3‎，‎ ‎∴（x1﹣x2）2=（x1+x2）2﹣4x1x2=1﹣4×（﹣3）=13．‎ 故选C．‎ 点评：本题考查一元二次方程根与系数的关系及根的判别式．‎ 易错易混点：学生易在求得m1=﹣1或m2=5的两个值后，代入‎&x‎1‎+x‎2‎=m‎&x‎1‎．x‎2‎=2m﹣1‎，易漏掉检验方程是否存在实根．‎ 二、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分）‎ ‎13、（2010•包头）不等式组‎&x﹣3（x﹣2）≥4‎‎&‎1+2x‎3‎＞x﹣1‎的解集是 ．‎ 考点：解一元一次不等式组。‎ 分析：分别求出两个不等式的解集，在数轴上表示出后，其公共部分便为不等式组的解集．‎ 解答：解：解不等式①得：x≤1，‎ 解不等式②得：x＜4，‎ 在数轴上表示不等式①②的解集得：，‎ 所以不等式组的解集为：x≤1．‎ 点评：本题考查解不等式组“同小取较小”的原则，注意包括这个数用实心圆点，不包括这个数用空心圆圈．‎ ‎14、（2010•包头）在综合实践课上，六名同学做的作品的数量（单位：件）分别是：5，7，3，x，6，4；若这组数据的平均数是5，则这组数据的中位数是 件．‎ 考点：中位数；算术平均数。‎ 专题：应用题。‎ 分析：本题可先算出x的值，再把数据按从小到大的顺序排列，根据中位数定义求解．‎ 解答：解：由平均数的定义知‎5+7+3+x+6+4‎‎6‎‎=5‎，得x=5，‎ 将这组数据按从小到大排列为3，4，5，5，6，7，‎ 由于有偶数个数，取最中间两个数的平均数，‎ 其中位数为‎5+5‎‎2‎‎=5‎．‎ 故填5．‎ 点评：本题考查了平均数和中位数的概念．‎ ‎15、（2010•包头）线段CD是由线段AB平移得到的，点A（﹣1，4）的对应点为C（4，7），则点B（﹣4，﹣1）的对应点D的坐标是 ．‎ 考点：坐标与图形变化-平移。‎ 分析：由于线段CD是由线段AB平移得到的，而点A（﹣1，4）的对应点为C（4，7），比较它们的坐标发现横坐标增加5，纵坐标增加3，利用此规律即可求出点B（﹣4，﹣1‎ ‎）的对应点D的坐标．‎ 解答：解：∵线段CD是由线段AB平移得到的，‎ 而点A（﹣1，4）的对应点为C（4，7），‎ ‎∴由A平移到C点的横坐标增加5，纵坐标增加3，‎ 则点B（﹣4，﹣1）的对应点D的坐标为（1，2）．‎ 故答案填：（1，2）．‎ 点评：本题主要考查坐标系中点、线段的平移规律．在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同．‎ ‎16、（2010•包头）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，BC=2‎3‎，⊙A与BC相切于点D，且交AB，AC于M，N两点，则图中阴影部分的面积是 （保留π）．‎ 考点：扇形面积的计算；勾股定理；切线的性质。‎ 分析：我们只要根据勾股定理求出AD的长度，再用三角形的面积减去扇形的面积即可．‎ 解答：解：连接AD，∵⊙A与BC相切于点D，AB=AC，∠A=120°，‎ ‎∴∠ABD=∠ACD=30°，AD⊥BC，‎ ‎∴AB=2AD，由勾股定理知BD2+AD2=AB2，即‎3‎‎2‎+AD2=（2AD）2‎ 解得AD=1，△ABC的面积=2‎3‎×1÷1=‎3‎，扇形MAN得面积=π×12×‎1‎‎3‎=π‎3‎，所以阴影部分的面积=‎3‎‎﹣‎π‎3‎．‎ 点评：解此题的关键是求出圆的半径，即三角形的高，再相减即可．‎ ‎17、（2010•包头）将一条长为20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，则这两个正方形面积之和的最小值是 cm2．‎ 考点：二次函数的应用；二次函数的最值。‎ 分析：根据正方形面积和周长的转化关系“正方形的面积=‎1‎‎16‎×周长×周长”列出面积的函数关系式并求得最小值．‎ 解答：解：设一段铁丝的长度为x，另一段为（20﹣x），‎ 则S=‎1‎‎16‎x2+‎1‎‎16‎（20﹣x）（20﹣x）=‎1‎‎8‎（x﹣10）2+12.5‎ ‎∴由函数当x=10cm时，S最小，为12.5cm2．‎ 答：这两个正方形面积之和的最小值是12.5cm2．‎ 点评：本题考查了同学们列函数关系式以及求函数最值的能力．‎ ‎18、（2010•包头）如图，已知一次函数y=x+1的图象与反比例函数y=‎kx的图象在第一象限相交于点A，与x轴相交于点C，AB⊥x轴于点B，△AOB的面积为1，则AC的长为 （保留根号）．‎ 考点：反比例函数与一次函数的交点问题；反比例函数系数k的几何意义；勾股定理。‎ 分析：由于△AOB的面积为1，根据反比例函数的比例系数k的几何意义可知k=2，解由y=x+1与y=‎kx联立起来的方程组，得出A点坐标，又易求点C的坐标，从而利用勾股定理求出AC的长．‎ 解答：解：∵点A在反比例函数y=‎kx的图象上，AB⊥x轴于点B，△AOB的面积为1，‎ ‎∴k=2．‎ 解方程组‎&y=x+1‎‎&y=‎‎2‎x，‎ 得‎&x‎1‎=1‎‎&y‎1‎=2‎，‎&x‎2‎=﹣2‎‎&‎y‎2=﹣1‎．∴A（1，2）；‎ 在y=x+1中，令y=0，得x=﹣1．∴C（﹣1，0）．‎ ‎∴AB=2，BC=2，‎ ‎∴AC=‎2‎‎2‎‎+‎‎2‎‎2‎=2‎2‎．‎ 点评：本题考查函数图象交点坐标的求法及反比例函数的比例系数k与其图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系，即S=‎1‎‎2‎|k|．‎ ‎19、（2010•包头）如图，已知△ACB与△DFE是两个全等的直角三角形，量得它们的斜边长为10cm，较小锐角为30°，将这两个三角形摆成如图1所示的形状，使点B、C、F、D在同一条直线上，且点C与点F重合，将图1中的△ACB绕点C顺时针方向旋转到图2的位置，点E在AB边上，AC交DE于点G，则线段FG的长为 cm（保留根号）．‎ 考点：旋转的性质；等边三角形的判定；锐角三角函数的定义。‎ 分析：△ACB与△DFE是两个全等的直角三角形，已知斜边DE=10，∠D=30°，可求CE；‎ 利用旋转60°可求∠ECG=30°，∠CEG=60°，从而可证∠CEG=90°．解直角△CEG即可．‎ 解答：解：由题意知，在Rt△ABC中，‎ ‎∠A=30°，∠B=60°，‎ 由旋转的性质知图（2）中，CB=CE，‎ ‎∴△BCE为等边三角形．‎ ‎∴∠ECB=60°，∠ECG=30°．‎ 而∠FED=60°．‎ ‎∴∠EGC=90°．‎ 在Rt△DEF中，CE=EF=DE•sin∠D=10×sin30°=5，‎ 在Rt△CEG中，FG=CE•sin∠CEG=5×sin60°=‎5‎‎3‎‎2‎．‎ 点评：本题考查旋转性质和三角函数定义：在直角三角形中，正弦等于对比斜；余弦等于邻比斜；正切等于对比邻．‎ ‎20、（2010•包头）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点（﹣2，0）、（x1，0），且1＜x1＜2，与y轴的正半轴的交点在（0，2）的下方．下列结论：①4a﹣2b+c=0；②a＜b＜0；③2a+c＞0；④2a﹣b+1＞0．其中正确结论的个数是 个．‎ 考点：抛物线与x轴的交点。‎ 分析：本题依据二次函数图象的画法、识别理解，方程根与系数的关系等知识和数形结合能力仔细分析即可解．‎ 解答：解：①根据题意画大致图象如图所示，由y=ax2+bx+c与X轴的交点坐标为（﹣2，0）得a×（﹣2）2+b×（﹣2 ）+c=0，即4a﹣2b+c=0所以正确；‎ ‎②由图象开口向下知a＜0，由y=ax2+bx+c与X轴的另一个交点坐标为（x1，0 ）且1＜x1＜2，则该抛物线的对称轴为x=﹣b‎2a=‎（﹣2）+‎x‎1‎‎2‎＞﹣‎‎1‎‎2‎由a＜0得b＞a，所以结论正确，‎ ‎③由一元二次方程根与系数的关系知x‎1‎‎．x‎2‎=ca＜﹣2‎，结合a＜0得2a+c＞0，所以结论正确，‎ ‎④由4a﹣2b+c=0得‎2a﹣b=﹣‎c‎2‎，而0＜c＜2，∴‎﹣1＜﹣c‎2‎＜0‎∴﹣1＜2a﹣b＜0∴2a﹣b+1＞0，所以结论正确．‎ 故填正确结论的个数是4个．‎ 点评：规律总结：4a﹣2b+c=0是否成立，也就是判断当x=﹣2时，y=ax2+bx+c的函数值是否为0；判断y=ax2+bx+c中a符号利用抛物线的开口方向来判断，开口向上a＞0，开口向下a＜0；判断a、b的小关系时，可利用对称轴x=﹣‎b‎2a的值的情况来判断；判断a、c的关系时，可利用由一元二次方程根与系数的关系x‎1‎‎．x‎2‎=‎ca的值的范围来判断；2a﹣b+1的值情况可用4a﹣2b+c=0来判断．‎ 三、解答题（共6小题，满分60分）‎ ‎21、（2010•包头）某校欲招聘一名数学教师，学校对甲、乙、丙三位候选人进行了三项能力测试，各项测试成绩满分均为100分，根据结果择优录用．三位候选人的各项测试成绩如下表所示：‎ ‎（1）如果根据三项测试的平均成绩，谁将被录用，说明理由；‎ ‎（2）根据实际需要，学校将教学、科研和组织三项能力测试得分按5：3：2的比例确定每人的成绩，谁将被录用，说明理由．‎ 考点：加权平均数。‎ 专题：图表型。‎ 分析：（1）运用求平均数公式：x‎=‎x‎1‎‎+x‎2‎+…+‎xnn即可求出三人的平均成绩，比较得出结果；‎ ‎（2）将三人的总成绩按比例求出测试成绩，比较得出结果．‎ 解答：解：（1）甲的平均成绩为：（85+70+64）÷3=73，‎ 乙的平均成绩为：（73+71+72）÷3=72，‎ 丙的平均成绩为：（73+65+84）÷3=74，‎ ‎∴丙的平均成绩最好，候选人丙将被录用；‎ ‎（2）甲的测试成绩为：（85×5+70×3+64×2）÷（5+3+2）=76.3，‎ 乙的测试成绩为：（73×5+71×3+72×2）÷（5+3+2）=72.2，‎ 丙的测试成绩为：（73×5+65×3+84×2）÷（5+3+2）=72.8，‎ ‎∴甲的综合成绩最好，候选人甲将被录用．‎ 点评：本题是平均数的综合运用题．解题的关键是熟记平均数的概念．‎ ‎22、（2010•包头）如图，线段AB、DC分别表示甲、乙两建筑物的高，AB⊥BC，DC⊥BC，从B点测得D点的仰角α为60°从A点测得D点的仰角β为30°，已知甲建筑物高AB=36米．‎ ‎（1）求乙建筑物的高DC；‎ ‎（2）求甲、乙两建筑物之间的距离BC（结果精确到0.01米）．‎ ‎（参考数据：‎2‎≈1.414，‎3‎≈1.732）‎ 考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题。‎ 专题：计算题。‎ 分析：首先分析图形，根据题意构造直角三角形．本题涉及到两个直角三角形△ADE、△DBC，应借助AE=BC得到方程求解．‎ 解答：解：（1）过点A作AE⊥CD于点E．‎ 根据题意，得∠DBC=∠α=60°，∠DAE=∠β=30°，AE=BC，EC=AB=36．‎ 设DE=x，则DC=DE+EC=x+36．‎ 在Rt△AED中，tan∠DAE=tan30°=DEAE，‎ ‎∴AE=‎3‎x，∴BC=AE=‎3‎x．‎ 在Rt△DCB中，tan∠DBC=tan60°=DCBC，‎ ‎∴‎3‎=x+36‎‎3‎x，‎ ‎∴3x=x+36，‎ x=18，‎ ‎∴DC=54（米）．‎ ‎（2）∵BC=AE=‎3‎x，x=18，‎ ‎∴BC=‎3‎×18=18×1.732≈31.18（米）．‎ 点评：本题要求学生借助仰角关系构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形．‎ ‎23、（2010•包头）某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于45%，经试销发现，销售量y（件）与销售单价x（元）符合一次函数y=kx+b，且x=65时，y=55；x=75时，y=45．‎ ‎（1）求一次函数y=kx+b的表达式；‎ ‎（2）若该商场获得利润为W元，试写出利润W与销售单价x之间的关系式；销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元？‎ ‎（3）若该商场获得利润不低于500元，试确定销售单价x的范围．‎ 考点：二次函数的应用。‎ 分析：（1）列出一元二次方程组解出k与b的值可求出一次函数的表达式．‎ ‎（2）依题意求出W与x的函数表达式可推出当x=87时商场可获得最大利润．‎ ‎（3）由w=500推出x2﹣180x+7700=0解出x的值即可．‎ 解答：解：（1）根据题意得‎&65k+b=55‎‎&75k+b=45‎ 解得k=﹣1，b=120．‎ 所求一次函数的表达式为y=﹣x+120．（2分）‎ ‎（2）W=（x﹣60）•（﹣x+120）‎ ‎=﹣x2+180x﹣7200‎ ‎=﹣（x﹣90）2+900，（4分）‎ ‎∵抛物线的开口向下，‎ ‎∴当x＜90时，W随x的增大而增大，‎ 而60≤x≤87，‎ ‎∴当x=87时，W=﹣（87﹣90）2+900=891．‎ ‎∴当销售单价定为87元时，商场可获得最大利润，最大利润是891元．（6分）‎ ‎（3）由W=500，得500=﹣x2+180x﹣7200，‎ 整理得，x2﹣180x+7700=0，‎ 解得，x1=70，x2=110．（7分）‎ 由图象可知，要使该商场获得利润不低于500元，销售单价应在70元到110元之间，‎ 而60元/个≤x≤87元/个，所以，销售单价x的范围是70元/个≤x≤87元/个．（10分）‎ 点评：求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法．利用二次函数解决实际问题．‎ ‎24、（2010•兰州）如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的直线与AB的延长线交于点P，AC=PC，∠COB=2∠PCB．‎ ‎（1）求证：PC是⊙O的切线；‎ ‎（2）求证：BC=‎1‎‎2‎AB；‎ ‎（3）点M是AB的中点，CM交AB于点N，若AB=4，求MN•MC的值．‎ 考点：切线的判定；圆周角定理；相似三角形的判定与性质。‎ 专题：综合题。‎ 分析：（1）已知C在圆上，故只需证明OC与PC垂直即可；根据圆周角定理，易得∠PCB+∠OCB=90°，即OC⊥CP；故PC是⊙O的切线；‎ ‎（2）AB是直径；故只需证明BC与半径相等即可；‎ ‎（3）连接MA，MB，由圆周角定理可得∠ACM=∠BCM，进而可得△MBN∽△MCB，故BM2=MN•MC；代入数据可得MN•MC=BM2=8．‎ 解答：解：（1）∵OA=OC，‎ ‎∴∠A=∠ACO．‎ 又∵∠COB=2∠A，∠COB=2∠PCB，‎ ‎∴∠A=∠ACO=∠PCB．‎ 又∵AB是⊙O的直径，‎ ‎∴∠ACO+∠OCB=90°．‎ ‎∴∠PCB+∠OCB=90°．‎ 即OC⊥CP，‎ ‎∵OC是⊙O的半径．‎ ‎∴PC是⊙O的切线．（3分）‎ ‎（2）∵AC=PC，‎ ‎∴∠A=∠P，‎ ‎∴∠A=∠ACO=∠PCB=∠P．‎ 又∵∠COB=∠A+∠ACO，∠CBO=∠P+∠PCB，‎ ‎∴∠COB=∠CBO，‎ ‎∴BC=OC．‎ ‎∴BC=‎1‎‎2‎AB．（6分）‎ ‎（3）连接MA，MB，‎ ‎∵点M是AB的中点，‎ ‎∴AM‎=‎BM，‎ ‎∴∠ACM=∠BCM．‎ ‎∵∠ACM=∠ABM，‎ ‎∴∠BCM=∠ABM．‎ ‎∵∠BMN=∠BMC，‎ ‎∴△MBN∽△MCB．‎ ‎∴BMMC‎=‎MNBM．‎ ‎∴BM2=MN•MC．‎ 又∵AB是⊙O的直径，AM‎=‎BM，‎ ‎∴∠AMB=90°，AM=BM．‎ ‎∵AB=4，‎ ‎∴BM=2‎2‎．‎ ‎∴MN•MC=BM2=8．（10分）‎ 点评：此题主要考查圆的切线的判定及圆周角定理的运用和相似三角形的判定和性质的应用．‎ ‎25、（2010•包头）如图，已知△ABC中，AB=AC=10厘米，BC=8厘米，点D为AB的中点．‎ ‎（1）如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．‎ ‎①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；‎ ‎②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？‎ ‎（2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿△ABC三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇？‎ 考点：全等三角形的判定；一元一次方程的应用；全等三角形的性质。‎ 专题：几何图形问题。‎ 分析：（1）①根据时间和速度分别求得两个三角形中的边的长，根据SAS判定两个三角形全等．‎ ‎②根据全等三角形应满足的条件探求边之间的关系，再根据路程=速度×时间公式，先求得点P运动的时间，再求得点Q的运动速度；‎ ‎（2）根据题意结合图形分析发现：由于点Q的速度快，且在点P的前边，所以要想第一次相遇，则应该比点P多走等边三角形的两个边长．‎ 解答：解：（1）①∵t=1秒，‎ ‎∴BP=CQ=3×1=3厘米，‎ ‎∵AB=10厘米，点D为AB的中点，‎ ‎∴BD=5厘米．‎ 又∵PC=BC﹣BP，BC=8厘米，‎ ‎∴PC=8﹣3=5厘米，‎ ‎∴PC=BD．‎ 又∵AB=AC，‎ ‎∴∠B=∠C，‎ ‎∴△BPD≌△CQP．‎ ‎②∵vP≠vQ，∴BP≠CQ，‎ 又∵△BPD≌△CQP，∠B=∠C，则BP=PC=4，CQ=BD=5，‎ ‎∴点P，点Q运动的时间t=BP‎3‎=‎‎4‎‎3‎秒，‎ ‎∴vQ‎=CQt=‎5‎‎4‎‎3‎=‎‎15‎‎4‎厘米/秒；‎ ‎（2）设经过x秒后点P与点Q第一次相遇，‎ 由题意，得‎15‎‎4‎x=3x+2×10，‎ 解得x=‎‎80‎‎3‎秒．‎ ‎∴点P共运动了‎80‎‎3‎×3=80厘米．‎ ‎∵80=2×28+24，‎ ‎∴点P、点Q在AB边上相遇，‎ ‎∴经过‎80‎‎3‎秒点P与点Q第一次在边AB上相遇．‎ 点评：此题主要是运用了路程=速度×时间的公式．熟练运用全等三角形的判定和性质，能够分析出追及相遇的问题中的路程关系．‎ ‎26、（2010•包头）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点A（1，0），B（2，0），C（0，﹣2），直线x=m（m＞2）与x轴交于点D．‎ ‎（1）求二次函数的解析式；‎ ‎（2）在直线x=m（m＞2）上有一点E（点E在第四象限），使得E、D、B为顶点的三角形与以A、O、C为顶点的三角形相似，求E点坐标（用含m的代数式表示）；‎ ‎（3）在（2）成立的条件下，抛物线上是否存在一点F，使得四边形ABEF为平行四边形？若存在，请求出m的值及四边形ABEF的面积；若不存在，请说明理由．‎ 考点：二次函数综合题。‎ 专题：压轴题；开放型；分类讨论。‎ 分析：（1）已知函数的图象经过A，B，C三点，把三点的坐标代入解析式就可以得到一个三元一次方程组，就可以求出函数的解析式；‎ ‎（2）E、D、B为顶点的三角形与以A、O、C为顶点的三角形相似，这两个三角形都是直角三角形，因而应分△AOC∽△EDB和△AOC∽△BDE两种情况讨论．△AOC的三边已知，△BDE中，BD=m﹣2，而DE=﹣m．根据相似三角形的对应边的比相等，就可以求出m的值；‎ ‎（3）四边形ABEF是平行四边形，因而EF=AB，且这两个点的纵坐标相同，E点的纵坐标是m，把x=m代入抛物线的解析式就可以求出点F的横坐标，则EF的长就可以求出．根据EF=AB就可以得到一个关于m的方程，解方程就可以求出m的值．若m的值存在，就可以求出四边形的面积．‎ 解答：解：（1）根据题意，得‎&a+b+c=0‎‎&4a+2b+c=0‎‎&c=﹣2‎ 解得a=﹣1，b=3，c=﹣2．‎ ‎∴y=﹣x2+3x﹣2．（2分）‎ ‎（2）当△EDB∽△AOC时，‎ 得AOED‎=‎COBD或AOBD‎=‎COED，‎ ‎∵AO=1，CO=2，BD=m﹣2，‎ 当AOED‎=‎COBD时，得‎1‎ED‎=‎‎2‎m﹣2‎，‎ ‎∴ED=‎m﹣2‎‎2‎，‎ ‎∵点E在第四象限，‎ ‎∴E‎1‎‎（m，‎2﹣m‎2‎）‎．（4分）‎ 当AOBD‎=‎COED时，得‎1‎m﹣2‎‎=‎‎2‎ED，‎ ‎∴ED=2m﹣4，‎ ‎∵点E在第四象限，‎ ‎∴E2（m，4﹣2m）．（6分）‎ ‎（3）假设抛物线上存在一点F，使得四边形ABEF为平行四边形，则EF=AB=1，点F的横坐标为m﹣1，‎ 当点E1的坐标为‎（m，‎2﹣m‎2‎）‎时，点F1的坐标为（m﹣1，‎2﹣m‎2‎），‎ ‎∵点F1在抛物线的图象上，‎ ‎∴‎2﹣m‎2‎=﹣（m﹣1）2+3（m﹣1）﹣2，‎ ‎∴2m2﹣11m+14=0，‎ ‎∴（2m﹣7）（m﹣2）=0，‎ ‎∴m=‎7‎‎2‎，m=2（舍去），‎ ‎∴F‎1‎‎（‎5‎‎2‎，﹣‎3‎‎4‎）‎，‎ ‎∴S平行四边形ABEF=1×‎3‎‎4‎‎=‎‎3‎‎4‎．（9分）‎ 当点E2的坐标为（m，4﹣2m）时，点F2的坐标为（m﹣1，4﹣2m），‎ ‎∵点F2在抛物线的图象上，‎ ‎∴4﹣2m=﹣（m﹣1）2+3（m﹣1）﹣2，‎ ‎∴m2﹣7m+10=0，‎ ‎∴（m﹣2）（m﹣5）=0，‎ ‎∴m=2（舍去），m=5，‎ ‎∴F2（4，﹣6），‎ ‎∴S平行四边形ABEF=1×6=6．（12分）‎ 注：各题的其它解法或证法可参照该评分标准给分．‎ 点评：本题主要考查了待定系数法求函数的解析式，以及平行四边形的判定方法，是一个存在性问题，在中考中经常出现．‎ 参与本试卷答题和审题的老师有：‎ HJJ；Linaliu；py168；CJX；未来；lanchong；zcx；算术；wdxwzk；张伟东；mama258；zhangCF；lzhzkkxx；zhangchao；wenming；张长洪；ln_86；nhx600；路斐斐；lanyan；csiya；zxw；kuaile；lanyuemeng；lbz；zhjh；huangling；zhehe。（排名不分先后）‎ ‎2011年2月17日