2020九年级数学下册 第一章专题训练(二)解直角三角形应用中的六种基本模型同步练习

2020九年级数学下册 第一章专题训练(二)解直角三角形应用中的六种基本模型同步练习

专题训练(二)　解直角三角形应用中的六种基本模型　　 　 　　 　　　 　　 　　　　　 　‎ ‎►　模型一　“独立”型 ‎1．如图2－ZT－1，一渔船在海岛A南偏东20°方向的B处遇险，测得海岛A与B的距离为20海里，渔船将险情报告给位于A处的救援船后，沿北偏西80°方向向海岛C靠近，同时，从A处出发的救援船沿南偏西10°方向匀速航行.20分钟后，救援船在海岛C处恰好遇见渔船，那么救援船航行的速度为(　　) ‎ 图2－ZT－1‎ A．10 海里/时 B．30海里/时 C．20 海里/时 D．30 海里/时 ‎2．2017·台州如图2－ZT－2是一辆小汽车与墙平行停放的平面示意图，汽车靠墙一侧OB与墙MN平行且距离为‎0.8米，已知小汽车车门宽AO为‎1.2米，当车门打开角度∠AOB为40°时，车门是否会碰到墙？请说明理由．(参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84)‎ ‎　图2－ZT－2‎ 7‎ ‎►　模型二　“背靠背”型 ‎3．如图2－ZT－3，热气球的探测器显示，从热气球A处看一栋楼顶部B处的仰角为30°，看这栋楼底部C处的俯角为60°，热气球A处与楼的水平距离为‎120 m，则这栋楼的高度为(　　) ‎ 图2－ZT－3‎ A．‎160 ‎ m B．‎120 ‎ m C．‎300 m D．‎160 ‎ m ‎4．如图2－ZT－4，湖中的小岛上有一标志性建筑物，其底部有一点A，某人在岸边的点B处测得点A在点B的北偏东30°的方向上，然后沿岸边直行‎4千米到达点C处，再次测得点A在点C的北偏西45°的方向上(其中点A，B，C在同一平面上)．求这个标志性建筑物底部上的点A到岸边BC的最短距离．‎ 图2－ZT－4‎ ‎►　模型三　“母抱子”型 ‎5．如图2－ZT－5，某中学九年级数学兴趣小组想测量建筑物AB的高度．他们在点C处仰望建筑物顶端A处，测得仰角为48°，再往建筑物的方向前进‎6米到达点D处，测得建筑物顶端A的仰角为64°，求建筑物的高度．(测角器的高度忽略不计，结果精确到‎0.1米，参考数据：sin48°≈，tan48°≈，sin64°≈，tan64°≈2)‎ 图2－ZT－5‎ 7‎ ‎6．2017·内江如图2－ZT－6，某人为了测量小山顶上的塔ED的高，他在山下的点A处测得塔尖点D的仰角为45°，再沿AC方向前进‎60 m到达山脚点B，测得塔尖点D的仰角为60°，塔底点E的仰角为30°，求塔ED的高度．(结果保留根号)‎ 图2－ZT－6‎ ‎►　模型四　“拥抱”型 ‎7．如图2－ZT－7，梯子斜靠在与地面垂直(垂足为O)的墙上，当梯子位于AB位置时，它与地面所成的角∠ABO＝60°；当梯子底端向右滑动‎1 m(即BD＝‎1 m)到达CD位置时，它与地面所成的角∠CDO＝51°18′，求梯子的长．‎ ‎(参考数据：sin51°18′≈0.780，cos51°18′≈0.625，tan51°18′≈1.248)‎ 图2－ZT－7‎ 7‎ ‎►　模型五　梯形类 ‎8．如图2－ZT－8，梯形ABCD是拦水坝的横断面示意图，图中i＝1∶是指坡面的铅直高度DE与水平宽度CE的比，∠B＝60°，AB＝6，AD＝4，求拦水坝的横断面ABCD的面积．(结果精确到0.1.参考数据：≈1.732，≈1.414)‎ 图2－ZT－8‎ ‎►　模型六　“斜截”型 ‎9．“蘑菇石”是贵州省著名自然保护区梵净山的标志，小明从山脚点B处先乘坐缆车到达与BC平行的观景平台DE处观景，然后再沿着坡角为29°的斜坡由点E步行到达“蘑菇石”点A处，“蘑菇石”点A到水平面BC的垂直距离为‎1790 m．如图2－ZT－9，DE∥BC，BD＝‎1700 m，∠DBC＝80°，求斜坡AE的长度．(结果精确到‎0.1 m，参考数据：sin80°≈0.9848，sin29°≈0.4848)‎ 图2－ZT－9‎ 7‎ 详解详析 ‎1．[解析] D　由“B在海岛A的南偏东20°方向”和“海岛C在海岛A的南偏西10°方向”得∠BAC＝30°，同理得∠ABC＝60°，∴∠ACB＝90°.∵AB＝20海里，∴BC＝10海里，AC＝10 海里，再由“救援船由海岛A开往海岛C用时20分钟”可求得救援船航行的速度为30 海里/时．故选D.‎ ‎2．解：车门不会碰到墙．理由如下：如图，过点A作AC⊥OB，垂足为C.‎ 在Rt△ACO中，∵∠AOC＝40°，AO＝1.2米，‎ ‎∴AC＝AO·sin∠AOC≈1.2×0.64＝0.768(米)．‎ ‎∵汽车靠墙一侧OB与墙MN平行且距离为0.8米，0.8>0.768，‎ ‎∴车门不会碰到墙．‎ ‎3．[解析] A　过点A作AD⊥BC于点D，‎ 则∠BAD＝30°，∠CAD＝60°，AD＝120 m.‎ 在Rt△ABD中，BD＝AD·tan30°＝120×＝40 (m)．‎ 在Rt△ACD中，CD＝AD·tan60°＝120×＝120 (m)，‎ ‎∴BC＝BD＋CD＝40 ＋120 ＝160 (m)．‎ ‎4．解：过点A作AD⊥BC于点D，则AD的长度就是点A到岸边BC的最短距离．‎ 在Rt△ACD中，∠ACD＝45°，设AD＝x千米，则CD＝AD＝x千米．‎ 在Rt△ABD中，∠ABD＝60°，‎ 因为tan∠ABD＝，即tan60°＝，‎ 所以BD＝＝x千米．‎ 又因为BC＝4千米，‎ 所以BD＋CD＝4千米，‎ 即x＋x＝4，‎ 7‎ 解得x＝6－2 ，‎ 所以这个标志性建筑物底部上的点A到岸边BC的最短距离为(6－2 )千米．‎ ‎5．解：根据题意，得∠ADB＝64°，∠ACB＝48°.‎ 在Rt△ADB中，tan64°＝，则BD＝≈AB，‎ 在Rt△ACB中，tan48°＝，则CB＝≈AB，‎ ‎∴CD＝CB－BD，即6＝AB－AB，‎ 解得AB＝≈14.7(米)，‎ ‎∴建筑物的高度约为14.7米．‎ ‎6．[解析] 先求出∠DBE＝30°，∠BDE＝30°，得出BE＝DE，设EC＝x，则BE＝2x，DE＝2x，DC＝3x，BC＝x，再根据∠DAC＝45°，可得AC＝DC，列出方程求出x的值，即可求出塔DE的高度．‎ 解：由题意知，∠DBC＝60°，∠EBC＝30°，‎ ‎∴∠DBE＝∠DBC－∠EBC＝60°－30°＝30°.‎ 又∵∠BCD＝90°，‎ ‎∴∠BDC＝90°－∠DBC＝90°－60°＝30°，‎ ‎∴∠DBE＝∠BDE，∴BE＝DE.‎ 设EC＝x m，则DE＝BE＝2EC＝2x m，DC＝EC＋DE＝3x m，‎ BC＝＝x m.‎ 由题意可知，∠DAC＝45°，∠DCA＝90°，AB＝60 m，‎ ‎∴△ACD为等腰直角三角形，∴AC＝DC，‎ ‎∴x＋60＝3x.‎ 解得x＝30＋10 .‎ 答：塔ED的高度为(30＋10 )m.‎ ‎7．解：设梯子的长为x m.‎ 在Rt△ABO中，cos∠ABO＝，‎ ‎∴OB＝AB·cos∠ABO＝x·cos60°＝x m.‎ 在Rt△CDO中，cos∠CDO＝，‎ ‎∴OD＝CD·cos∠CDO＝x·cos51°18′≈0.625x m.‎ ‎∵BD＝OD－OB，∴0.625x－x＝1，‎ 解得x＝8.‎ 答：梯子的长约为8 m.‎ ‎8．解：过点A作AF⊥BC，垂足为F.‎ 在Rt△ABF中，∠B＝60°，AB＝6，‎ ‎∴AF＝ABsinB＝6sin60°＝3 ，‎ BF＝ABcosB＝6cos60°＝3.‎ ‎∵AD∥BC，AF⊥BC，DE⊥BC，‎ 7‎ ‎∴四边形AFED是矩形，‎ ‎∴DE＝AF＝3 ，FE＝AD＝4.‎ 在Rt△CDE中，i＝＝，‎ ‎∴CE＝DE＝×3 ＝9，‎ ‎∴BC＝BF＋FE＋CE＝3＋4＋9＝16，‎ ‎∴S梯形ABCD＝(AD＋BC)·DE ‎＝×(4＋16)×3 ‎≈52.0.‎ 答：拦水坝的横断面ABCD的面积约为52.0.‎ ‎9．解：过点D作DF⊥BC于点F，延长DE交AC于点M，‎ 由题意，得EM⊥AC，‎ ‎∴四边形DMCF为矩形，‎ ‎∴DF＝MC.‎ 在Rt△DFB中，sin80°＝，则DF＝BD·sin80°＝1700×sin80°(m)，‎ ‎∴AM＝AC－MC＝AC－DF＝(1790－1700×sin80°)m.‎ 在Rt△AME中，sin29°＝，‎ 则AE＝＝≈238.9(m)．‎ 答：斜坡AE的长度约为238.9 m.‎ 7‎