（浙教版）九年级数学下册 同步备课系列专题2

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2.2 切线长定理 浙教版九年级下册 问题1、经过平面上一个已知点，作已知圆的 切线会有怎样的情形？ ·O ·O ·OP · P· P· A 问题2、经过圆外一点P，如何作已知⊙ O的 切线？ 在经过圆外一点 的切线上，这一 点和切点之间的 线段的长叫做这 点到圆的切线长. ·O P A B 切线与切线长的区别与联系： （1）切线是一条与圆相切的直线； （2）切线长是指切线上某一点与切点间的线段的长 若从⊙ O外的一点引两条 切线PA，PB，切点分别是 A、B，连结OA、OB、OP， 你能发现什么结论？并证 明你所发现的结论 A P O. B PA = PB ∠OPA=∠OPB 证明：∵PA，PB与⊙ O相切，点A，B是切点 ∴OA⊥PA，OB⊥PB 即∠OAP=∠OBP=90° ∵ OA=OB，OP=OP ∴Rt△AOP≌ Rt△BOP(HL) ∴ PA = PB ∠OPA=∠OPB 试用文字语 言叙述你所 发现的结论 PA、PB分别切⊙ O于A、B PA = PB ∠OPA=∠OPB 从圆外一点 引圆的两条切线，它们 的切线长相等，圆心和 这一点的连线平分两条 切线的夹角 切线长定理 A P O. B 几何语言: 反思：切线长定理为证明线段相等、角相 等提 供了新的方法 A PO . B M 若连结两切点A、B， AB交OP于点M.你又 能得出什么新的结论? 并给出证明. OP垂直平分AB 证明：∵PA，PB是⊙ O的切线，点A，B是切点 ∴PA = PB ∠OPA=∠OPB ∴△PAB是等腰三角形，PM为顶角的平分线 ∴OP垂直平分AB 例1 如图2-13，点O是 所在圆的圆心，AC，BC 分别与⊙ O相切于点A，B.已知∠ACB=80°， OC=100cm．求点C到O的切线长（结果精确到1cm). AB 解 如图2-13，连结OA，OB. ∵AC，BC分别与⊙ O相切于点A， B， ∴AC=BC（过圆外一点所作的圆 的两条切线长相等）. 又∵OA=OB，OC=OC， ∴△OAC≌ △OBC. ∴∠ACO=∠BCO= 在Rt△OAC中，∠OAC=90°（为什么？)， ∴AC=OC×cos40°=100×cos40°≈77(cm). 答：点C到⊙ O的切线长约为77cm. 1 1 80 402 2ACB .      cos40AC OC   ， 例2 如图2-14， ⊙ O表示皮带传动装置的一个轮子， 传动皮带MA，NB分别切⊙ O于点A，B．延长MA， NB，相交于点P．已知∠APB=60°，AP＝24cm，求 两切点间的距离和 的长（精确到1cm). 解 如图2-15，连结AB，OA，OB，OP． ∵MP，NP分别切⊙ O于点A，B， ∴OA⊥AP，OB⊥BP，AP=BP(为什么?). 又∵∠APB=60°， ∴△ABP为等边三角形， AB ∴AB=AP=24cm. ∵OA=OB， ∴OP平分∠APB， ∴∠OPA=30°， ∴OA=AP×tan30°= 而∠AOB=360°-2×90°-60°=120°， 答：两切点间的距离为24cm， 的长约为29cm.AB 324 8 3(cm)3 .   120 120 8 3 29(cm)180 180 OAAB .      证明：∵PA，PB，CD都是⊙ O的切线， ∴PA=PB，CQ=CA，DQ=DB. ∴△PCD的周长 =PC+PD+CD =PC+PD+CQ+DQ =PC+PD+CA+DB =PA+PB=2PA. 已知：如图，过点P的两条直线分别与⊙ O相切于点A， B，Q为劣弧 上异于点A，B的任意一点，过点Q的 切线分别与切线PA，PB相交于点C，D. 求证：△PCD的周长等于2PA. AB 我们学过的切线，常有 性质： 1、切线和圆只有一个公共点； 2、切线和圆心的距离等于圆的半径； 3、切线垂直于过切点的半径； 4、经过圆心垂直于切线的直线必过切点； 5、经过切点垂直于切线的直线必过圆心； 6、从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等， 圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角. 六个 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相 等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角. 切线长定理 过圆外的一点作圆的切线， 可以作出几条切线？ 问题： 过圆外一点作圆的切线，这点 和切点之间的线段的长，叫做这点 到圆的切线长. O P A B O P A B ∟ ∟ M 根据你的直观判断，猜想图中PA是否 等于PB？∠1与∠2又有什么关系？ ⌒ ⌒ 1 2 关键是作辅助 线~ A O P B 如何证明 PA=PB， ∠APO=∠ BPO ？ 证明：连结OA、OB ∵PA、PB是 ⊙ O的两条切线 ∴OA⊥AP，OB⊥BP 又 ∵ OA=OB，OP=OP ∴ Rt △AOP ≌ Rt△BOP ∴ PA=PB， ∠APO=∠ BPO 已知PA、PB是⊙ O的两条切线，A、B为切点， 切线长定理： 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长 相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的 夹角. O P A B 例1 如图2-13，点O是 所在圆的圆心，AC，BC 分别与⊙ O相切于点A，B.已知∠ACB=80°， OC=100cm．求点C到O的切线长（结果精确到1cm). AB 解 如图2-13，连结OA，OB. ∵AC，BC分别与⊙ O相切于点A， B， ∴AC=BC（过圆外一点所作的圆 的两条切线长相等）. 又∵OA=OB，OC=OC， ∴△OAC≌ △OBC. ∴∠ACO=∠BCO= 在Rt△OAC中，∠OAC=90°（为什么？)， ∴AC=OC×cos40°=100×cos40°≈77(cm). 答：点C到⊙ O的切线长约为77cm. 1 1 80 402 2ACB .      cos40AC OC   ， 例2 如图2-14， ⊙ O表示皮带传动装置的一个轮子， 传动皮带MA，NB分别切⊙ O于点A，B．延长MA， NB，相交于点P．已知∠APB=60°，AP＝24cm，求 两切点间的距离和 的长（精确到1cm). 解 如图2-15，连结AB，OA，OB，OP． ∵MP，NP分别切⊙ O于点A，B， ∴OA⊥AP，OB⊥BP，AP=BP(为什么?). 又∵∠APB=60°， ∴△ABP为等边三角形， AB ∴AB=AP=24cm. ∵OA=OB， ∴OP平分∠APB， ∴∠OPA=30°， ∴OA=AP×tan30°= 而∠AOB=360°-2×90°-60°=120°， 答：两切点间的距离为24cm， 的长约为29cm.AB 324 8 3(cm)3 .   120 120 8 3 29(cm)180 180 OAAB .      经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线 段的长叫做这点到圆的切线长 切线长定理 从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长 相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角. ∵PA、PB分别切⊙ O于点A、B ∴PA = PB ，∠OPA=∠OPB A O P B 定 理 应 用 小 结 1. 切线长定理 2.如何作三角形的内切圆？ 3.三角形的内心的性质 4.区分三角形的内切圆和外接圆，三角 形的内心和外心