九年级数学上册第二十四章圆24-2点和圆位置关系（2课时）

九年级数学上册第二十四章圆24-2点和圆位置关系（2课时）

第 24 章 24.2 与圆有关的位置关系 24.2.1 点和圆的位置关系（2课时） 1. 掌握点与圆的位置关系及其运用。 2. 掌握不住在同一直线上的三点确定一个圆并能运用。 3. 了解三角形的外接圆和三角形外心的概念。 4. 了解反证法的证明思想。 学习目标： 我国射击运动员在奥运会上屡获金牌，为我国赢得荣誉，右图是射击靶的示意图，它是由许多同心圆（圆心相同，半径不等的圆）构成的，你知道击中靶上不同位置的成绩是如何计算的吗？ 观 察 r · C O A B 问题１：观察图中点 A ，点 B ，点 C 与圆的位置关系？ 点 C 在圆外 . 点 A 在圆内， 点 B 在圆上， 问 题 探 究 r 问题２：设⊙ O 半径为 r , 说出来点 A ，点 B ，点 C 与圆心 O 的距离与半径的关系： · C O A B OC > r . OA < r ， OB = r ， 设⊙ O 的半径为 r ，点 P 到圆心的距离 OP = d ，则有： 点 P 在圆上 d = r ； 点 P 在圆外 d ＞ r . 点 P 在圆内 d ＜ r ； 符号 读 作 “ 等价于 ” ，它 表示从符号 的左端可以得到右 端从右端也可以得 到左端． r · O A 问题 3 ：反过来，已知点到圆心的距离和圆的半径，能否 判断点和圆的位置关系？ P 射击靶图上，有一组以靶心为圆心的大小不同的圆，他们把靶图由内到外分成几个区域，这些区域用由高到底的环数来表示，射击成绩用弹着点位置对应的环数来表示．弹着点与靶心的距离决定了它在哪个圆内，弹着点离靶心越近，它所在的区域就越靠内，对应的环数也就越高，射击的成绩越好 . 你知道击中靶上不同位置的成绩是如何计算的吗 ？ 设⊙ O 的半径为 r ，点到圆心的距离为 d 。则 点和圆的位置关系 点在圆内 d﹤r 点在圆上 点在圆外 d ＝ r d>r 练习：已知圆的半径等于 5 厘米，圆上的点到圆心的距离是 : A 、 8 厘米 B 、 4 厘米 C 、 5 厘米。 请你分别说出点与圆的位置关系。 ● ● ● ● O 例：如图已知矩形 ABCD 的边 AB=3 厘米， AD=4 厘米 A D C B （ 1 ）以点 A 为圆心， 3 厘米为半径作圆 A ，则点 B 、 C 、 D 与圆 A 的位置关系如何？ (B 在圆上， D 在圆外， C 在圆外 ) 典型例题 A D C B （ 2 ）以点 A 为圆心， 4 厘米为半径作圆 A ，则点 B 、 C 、 D 与圆 A 的位置关系如何？ (B 在圆内， D 在圆上， C 在圆外 ) （ 3 ）以点 A 为圆心， 5 厘米为半径作圆 A ，则点 B 、 C 、 D 与圆 A 的位置关系如何？ (B 在圆内， D 在圆内， C 在圆上 ) · 2cm 3cm 1, 画出由所有到已知点的距离大于或等于 2cm 并且小于或等于 3cm 的点组成的图形 . O 体育课上，小明和小雨的铅球成绩分别是 6.4m 和 5.1m ，他们投出的铅球分别落在图中哪个区域内？ 1 、 ⊙ O 的半径 10cm ， A 、 B 、 C 三点到圆心的距离分别为 8cm 、 10cm 、 12cm ，则点 A 、 B 、 C 与⊙ O 的位置关系是：点 A 在 ；点 B 在 ；点 C 在 。 2 、 ⊙ O 的半径 6cm ，当 OP=6 时，点 p 在 ； 当 OP 时点 P 在圆内；当 OP 时，点 P 不在圆外。 圆内 圆上 圆外 圆上 ＜ 6 ≤ 6 练一练 3 、 正方形 ABCD 的边长为 2cm ，以 A 为圆心 2cm 为半径作⊙ A ，则点 B 在⊙ A ；点 C 在⊙ A ；点 D 在⊙ A 。 上 外 上 4 、 已知 AB 为⊙ O 的直径 P 为⊙ O 上任意一点，则点关于 AB 的对称点 P′ 与⊙ O 的位置为 ( ) (A) 在⊙ O 内 (B) 在⊙ O 外 (C) 在⊙ O 上 (D) 不能确定 c 类比探究： 对于一个圆来说 , 过 几个点 能作一个圆 , 并且只能作一个圆？ 过一点能作几个圆？ 无数个 A 过 A 点的圆的 圆心 有何特点？ 平面上除 A 点外的 任意一点 过两点能作几个圆？ A B 过 A 、 B 两点的圆的 圆心 有何特点？ 经过两点 A,B 的圆的 圆心在线段 AB 的垂直平分线上 . 以线段 AB 的垂直平分线上的任意一点为圆心 , 这点到 A 或 B 的距离为半径作圆 . ● O ● O A B C 1 、连结 AB ，作线段 AB 的垂直平分线 DE ， O D E G F 2 、连结 BC ，作线段 BC 的垂直平分线 FG ，交 DE 于点 O ， 3 、以 O 为圆心， OB 为半径作圆， 作法： ⊙ O 就是所求作的圆 已知 ：不在同一直线上的三点 A 、 B 、 C 求作： ⊙ O ， 使它经过 A 、 B 、 C 1 、 三点不共线 请你证明你作的圆符合要求 证明 :∵ 点 O 在 AB 的垂直平分线上， ∴ OA=OB. 同理 ,OB=OC. ∴OA=OB=OC. ∴ 点 A,B,C 在以 O 为圆心， OA 长为半径的圆上 . ∴⊙O 就是所求作的圆 , 在上面的作图过程中 . ∵ 直线 DE 和 FG 只有一个交点 O, 并且点 O 到 A,B,C 三个点的距离相等 , ∴ 经过点 A,B,C 三点可以作一个圆 , 并且只能作一个圆 . 定理： 不在同一直线上的三点确定一个圆 O A B C O 1 。由定理可知： 经过三角形三个顶点可以作一个圆 . 并且只能作一个圆 . 2 。经过三角形各顶点的圆叫做 三角形的外接圆 。 3 。三角形外接圆的圆心叫做 三角形的外心 ，这个三角形叫做 这个圆的内接三角形 。 A B C 圆的内接三角 形 三角形的外接 圆 三角形 的外心 A B C O 外心 1 。三边垂直平分线的交点 2 。到三个顶点距离相等 O A B C A B C O 直角三角形外心是 斜边 AB 的中点 钝角三角形外心在 △ ABC 的外面 三角形的外心是否一定在三角形的 内部 ？ 1 、判断下列说法是否正确 (1) 任意的一个三角形一定有一个外接圆 ( ). (2) 任意一个圆有且只有一个内接三角形 ( ) (3) 经过三点一定可以确定一个圆 ( ) (4) 三角形的外心到三角形各顶点的距离相等 ( ) 2 、若一个三角形的外心在一边上，则此三角形的 形状为 ( ) A 、锐角三角形 B 、直角三角形 C 、钝角三角形 D 、等腰三角形 √ × × √ B 练一练 思考： 如图， CD 所在的直线垂直平分线段 AB ，怎样用这样的工具找到圆形工件的圆心． D A B C O ∵ A 、 B 两点在圆上，所以圆心必与 A 、 B 两点的距离相等， 又∵和一条线段的两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上， ∴ 圆心在 CD 所在的直线上，因此可以做任意两条直径，它们的交点为圆心 . 如何解决“破镜重圆”的问题： 圆心一定在弦的垂直平分线上 思考： 任意四个点是不是可以作一个圆？请举例说明 . 不一定 1. 四点在一条直线上不能作圆； 3. 四点中任意三点不在一条直线可能作圆也可能作不出一个圆 . A B C D A B C D A B C D A B C D 2. 三点在同一直线上 , 另一点不在这条直线上不能作圆； O A D C B 巩固练习 求外接圆的半径。 ，点 O 为外心， 1. 如图，等腰⊿ ABC 中， 2 、为美化校园，学校要把一块三角形空地扩建成一个圆形喷水池，在三角形三个顶点处各有一棵名贵花树 (A 、 B 、 C ）， 若不动花树 ，还要建一个 最大的圆形喷水池 ，请设计你的实施方案。 C B A 3. 如果直角三角形的两条直角边分别是 6,8, 你能求出这个直角三角形的外接圆的半径吗 ? 是多少 ? 4. 在△ ABC 中 ,AB=AC=13,BC=10, 试求这个三角形的外接圆的面积 . 问：如图，在矩形 ABCD 中 AB=3 ， AD=4 ，以 A 为圆心，使 B 、 C 、 D 三点中至少有一点在圆内，至少有一点在圆外，求此圆半径 R 的取值范围。 11 或 8 问：在⊙ O 中，点 M 到⊙ O 的最小距离为 3 ，最大距离是 19 ，那么⊙ O 的半径为 ___________ 试一试 O 提升：已知菱形ＡＢＣＤ的对角线为 AC 和 BD ， E 、 F 、 G 、 H 分别是 AB 、 BC 、 CD 、 DA 的中点，求证 E 、 F 、 G 、 H 四个点在同一个圆上。 思路：要证明几个点在同一圆上，就是证明这几个点到某一个定点的距离相等 我学会了什么 ？ 过两点可以作无数个圆 . 圆心在以已知两点为端点的线段的垂直平分线上 . 实际问题 直线公理 过一点可以作无数个圆 过三点 过不在同一条直线上的三点确定一个圆 过在同一直线上的三点不能作圆 外心、三角形外接圆、圆的内接三角形 实际问题 作圆 引入 解决 类比 先 假设 命题的结论不成立，然后由此经过推理得出 矛盾 ( 常与公理、定理、定义或已知条件相矛盾 ) ，由矛盾判定假设不正确，从而得到原命题成立，这种方法叫做 反证法 ． 什么叫反证法？ ● A ● A ● B 回忆思考： 过一点可作几条直线？过两点可以作几条直线？过三点呢？ 经过一点可以作无数条直线； 过两点有且只有一条直线 ( 直线公理 ) （“有且只有”就是“确定”的意思 ) 过三点 1 、若 三点共线 ，则过这三点只能作一条直线 . A B C 2 、若 三点不共线 ，则过这三点不能作直线，但过任意其中两点一共可作三条直线 . A B C 直线公理： 两点确定一条直线