2019年海南省中考数学试卷

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2019年海南省中考数学试卷

‎2019年海南省中考数学试卷 一、选择题(本大题满分36分,每小题3分)在下列各题的四个备选答案中,有且只有一个是正确的,请在答题卡上把你认为正确的答案的字母代号按要求用2B铅笔涂黑 ‎1.(3分)如果收入100元记作+100元,那么支出100元记作(  )‎ A.﹣100元 B.+100元 C.﹣200元 D.+200元 ‎2.(3分)当m=﹣1时,代数式2m+3的值是(  )‎ A.﹣1 B.0 C.1 D.2‎ ‎3.(3分)下列运算正确的是(  )‎ A.a•a2=a3 B.a6÷a2=a3 C.2a2﹣a2=2 D.(3a2)2=6a4‎ ‎4.(3分)分式方程=1的解是(  )‎ A.x=1 B.x=﹣1 C.x=2 D.x=﹣2‎ ‎5.(3分)海口市首条越江隧道﹣﹣文明东越江通道项目将于2020年4月份完工,该项目总投资3710000000元.数据3710000000用科学记数法表示为(  )‎ A.371×107 B.37.1×108 C.3.71×108 D.3.71×109‎ ‎6.(3分)如图是由5个大小相同的小正方体摆成的几何体,它的俯视图是(  )‎ A. B. ‎ C. D.‎ ‎7.(3分)如果反比例函数y=(a是常数)的图象在第一、三象限,那么a的取值范围是(  )‎ A.a<0 B.a>0 C.a<2 D.a>2‎ ‎8.(3分)如图,在平面直角坐标系中,已知点A(2,1),点B(3,﹣1),平移线段AB,使点A落在点A1(﹣2,2)处,则点B的对应点B1的坐标为(  )‎ A.(﹣1,﹣1) B.(1,0) C.(﹣1,0) D.(3,0)‎ ‎9.(3分)如图,直线l1∥l2,点A在直线l1上,以点A为圆心,适当长度为半径画弧,分别交直线l1、l2于B、C两点,连结AC、BC.若∠ABC=70°,则∠1的大小为(  )‎ A.20° B.35° C.40° D.70°‎ ‎10.(3分)某路口的交通信号灯每分钟红灯亮30秒,绿灯亮25秒,黄灯亮5秒,当小明到达该路口时,遇到绿灯的概率是(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎11.(3分)如图,在▱ABCD中,将△ADC沿AC折叠后,点D恰好落在DC的延长线上的点E处.若∠B=60°,AB=3,则△ADE的周长为(  )‎ A.12 B.15 C.18 D.21‎ ‎12.(3分)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=5,BC=4.点P是边AC上一动点,过点P作PQ∥AB交BC于点Q,D为线段PQ的中点,当BD平分∠ABC时,AP的长度为(  )‎ A. B. C. D.‎ 二、填空题(本大题满分16分,每小题4分)‎ ‎13.(4分)因式分解:ab﹣a=   .‎ ‎14.(4分)如图,⊙O与正五边形ABCDE的边AB、DE分别相切于点B、D,则劣弧所对的圆心角∠BOD的大小为   度.‎ ‎15.(4分)如图,将Rt△ABC的斜边AB绕点A顺时针旋转α(0°<α<90°)得到AE,直角边AC绕点A逆时针旋转β(0°<β<90°)得到AF,连结EF.若AB=3,AC=2,且α+β=∠B,则EF=   .‎ ‎16.(4分)有2019个数排成一行,对于任意相邻的三个数,都有中间的数等于前后两数的和.如果第一个数是0,第二个数是1,那么前6个数的和是   ,这2019个数的和是   .‎ 三、解答题(本大题满分68分)‎ ‎17.(12分)(1)计算:9×3﹣2+(﹣1)3﹣;‎ ‎(2)解不等式组,并求出它的整数解.‎ ‎18.(10分)时下正是海南百香果丰收的季节,张阿姨到“海南爱心扶贫网”上选购百香果,若购买2千克“红土”百香果和1千克“黄金”百香果需付80元,若购买1千克“‎ 红土”百香果和3千克“黄金”百香果需付115元.请问这两种百香果每千克各是多少元?‎ ‎19.(8分)为宣传6月6日世界海洋日,某校九年级举行了主题为“珍惜海洋资源,保护海洋生物多样性”的知识竞赛活动.为了解全年级500名学生此次竞赛成绩(百分制)的情况,随机抽取了部分参赛学生的成绩,整理并绘制出如下不完整的统计表(表1)和统计图(如图).请根据图表信息解答以下问题:‎ ‎(1)本次调查一共随机抽取了   个参赛学生的成绩;‎ ‎(2)表1中a=   ;‎ ‎(3)所抽取的参赛学生的成绩的中位数落在的“组别”是   ;‎ ‎(4)请你估计,该校九年级竞赛成绩达到80分以上(含80分)的学生约有   人.‎ 表1 知识竞赛成绩分组统计表 组别 分数/分 频数 A ‎60≤x<70‎ a B ‎70≤x<80‎ ‎10‎ C ‎80≤x<90‎ ‎14‎ D ‎90≤x<100‎ ‎18‎ ‎20.(10分)如图是某区域的平面示意图,码头A在观测站B的正东方向,码头A的 北偏西60°方向上有一小岛C,小岛C在观测站B的北偏西15°方向上,码头A到小岛C的距离AC为10海里.‎ ‎(1)填空:∠BAC=   度,∠C=   度;‎ ‎(2)求观测站B到AC的距离BP(结果保留根号).‎ ‎21.(13分)如图,在边长为1的正方形ABCD中,E是边CD的中点,点P是边AD上一点(与点A、D不重合),射线PE与BC的延长线交于点Q.‎ ‎(1)求证:△PDE≌△QCE;‎ ‎(2)过点E作EF∥BC交PB于点F,连结AF,当PB=PQ时,‎ ‎①求证:四边形AFEP是平行四边形;‎ ‎②请判断四边形AFEP是否为菱形,并说明理由.‎ ‎22.(15分)如图,已知抛物线y=ax2+bx+5经过A(﹣5,0),B(﹣4,﹣3)两点,与x轴的另一个交点为C,顶点为D,连结CD.‎ ‎(1)求该抛物线的表达式;‎ ‎(2)点P为该抛物线上一动点(与点B、C不重合),设点P的横坐标为t.‎ ‎①当点P在直线BC的下方运动时,求△PBC的面积的最大值;‎ ‎②该抛物线上是否存在点P,使得∠PBC=∠BCD?若存在,求出所有点P的坐标;若不存在,请说明理由.‎ ‎2019年海南省中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题(本大题满分36分,每小题3分)在下列各题的四个备选答案中,有且只有一个是正确的,请在答题卡上把你认为正确的答案的字母代号按要求用2B铅笔涂黑 ‎1.(3分)如果收入100元记作+100元,那么支出100元记作(  )‎ A.﹣100元 B.+100元 C.﹣200元 D.+200元 ‎【考点】11:正数和负数.菁优网版权所有 ‎【分析】根据正数与负数的意义,支出即为负数;‎ ‎【解答】解:收入100元+100元,支出100元为﹣100元,‎ 故选:A.‎ ‎【点评】本题考查正数与负数的意义;能够理解正数与负数的实际意义是解题的关键.‎ ‎2.(3分)当m=﹣1时,代数式2m+3的值是(  )‎ A.﹣1 B.0 C.1 D.2‎ ‎【考点】33:代数式求值.菁优网版权所有 ‎【分析】将m=﹣1代入代数式即可求值;‎ ‎【解答】解:将m=﹣1代入2m+3=2×(﹣1)+3=1;‎ 故选:C.‎ ‎【点评】本题考查代数式求值;熟练掌握代入法求代数式的值是解题的关键.‎ ‎3.(3分)下列运算正确的是(  )‎ A.a•a2=a3 B.a6÷a2=a3 C.2a2﹣a2=2 D.(3a2)2=6a4‎ ‎【考点】35:合并同类项;46:同底数幂的乘法;47:幂的乘方与积的乘方;48:同底数幂的除法.菁优网版权所有 ‎【分析】根据同底数幂乘除法的运算法则,合并同类项法则,幂的乘方与积的乘方法则即可求解;‎ ‎【解答】解:a•a2=a1+2=a3,A准确;‎ a6÷a2=a6﹣2=a4,B错误;‎ ‎2a2﹣a2=a2,C错误;‎ ‎(3a2)2=9a4,D错误;‎ 故选:A.‎ ‎【点评】本题考查实数和整式的运算;熟练掌握同底数幂乘除法的运算法则,合并同类项法则,幂的乘方与积的乘方法则是解题的关键.‎ ‎4.(3分)分式方程=1的解是(  )‎ A.x=1 B.x=﹣1 C.x=2 D.x=﹣2[来源:学科网]‎ ‎【考点】B3:解分式方程.菁优网版权所有 ‎【分析】根据分式方程的求解方法解题,注意检验根的情况;‎ ‎【解答】解:=1,‎ 两侧同时乘以(x+2),可得 x+2=1,‎ 解得x=﹣1;‎ 经检验x=﹣1是原方程的根;‎ 故选:B.‎ ‎【点评】本题考查分式方程的解法;熟练掌握分式方程的方法是解题的关键.‎ ‎5.(3分)海口市首条越江隧道﹣﹣文明东越江通道项目将于2020年4月份完工,该项目总投资3710000000元.数据3710000000用科学记数法表示为(  )‎ A.371×107 B.37.1×108 C.3.71×108 D.3.71×109‎ ‎【考点】1I:科学记数法—表示较大的数.菁优网版权所有 ‎【分析】根据科学记数法的表示方法a×10n(1≤a<9)即可求解;‎ ‎【解答】解:由科学记数法可得3710000000=3.17×109,‎ 故选:D.‎ ‎【点评】本题考查科学记数法;熟练掌握科学记数法的表示方法是解题的关键.‎ ‎6.(3分)如图是由5个大小相同的小正方体摆成的几何体,它的俯视图是(  )‎ A. B. ‎ C. D.‎ ‎【考点】U2:简单组合体的三视图.菁优网版权所有 ‎【分析】根据俯视图是从上面看到的图象判定则可.‎ ‎【解答】解:从上面看下来,上面一行是横放3个正方体,左下角一个正方体.‎ 故选:D.‎ ‎【点评】本题考查了三视图的知识,俯视图是从物体的上面看得到的视图.‎ ‎7.(3分)如果反比例函数y=(a是常数)的图象在第一、三象限,那么a的取值范围是(  )‎ A.a<0 B.a>0 C.a<2 D.a>2‎ ‎【考点】G2:反比例函数的图象;G4:反比例函数的性质.菁优网版权所有 ‎【分析】反比例函数y=图象在一、三象限,可得k>0.‎ ‎【解答】解:∵反比例函数y=(a是常数)的图象在第一、三象限,‎ ‎∴a﹣2>0,‎ ‎∴a>2.‎ 故选:D.‎ ‎【点评】本题运用了反比例函数y=图象的性质,关键要知道k的决定性作用.‎ ‎8.(3分)如图,在平面直角坐标系中,已知点A(2,1),点B(3,﹣1),平移线段AB,使点A落在点A1(﹣2,2)处,则点B的对应点B1的坐标为(  )‎ A.(﹣1,﹣1) B.(1,0) C.(﹣1,0) D.(3,0)‎ ‎【考点】Q3:坐标与图形变化﹣平移.菁优网版权所有 ‎【分析】由点A(2,1)平移后A1(﹣2,2)可得坐标的变化规律,由此可得点B 的对应点B1的坐标.‎ ‎【解答】解:由点A(2,1)平移后A1(﹣2,2)可得坐标的变化规律是:左移4个单位,上移1个单位,‎ ‎∴点B的对应点B1的坐标(﹣1,0).‎ 故选:C.‎ ‎【点评】本题运用了点的平移的坐标变化规律,关键是由点A(2,1)平移后A1(﹣2,2)可得坐标的变化规律,由此可得点B的对应点B1的坐标.‎ ‎9.(3分)如图,直线l1∥l2,点A在直线l1上,以点A为圆心,适当长度为半径画弧,分别交直线l1、l2于B、C两点,连结AC、BC.若∠ABC=70°,则∠1的大小为(  )‎ A.20° B.35° C.40° D.70°‎ ‎【考点】JA:平行线的性质.菁优网版权所有 ‎【分析】根据平行线的性质解答即可.‎ ‎【解答】解:∵点A为圆心,适当长度为半径画弧,分别交直线l1、l2于B、C,‎ ‎∴AC=AB,‎ ‎∴∠CBA=∠BCA=70°,‎ ‎∵l1∥l2,‎ ‎∴∠CBA+∠BCA+∠1=180°,‎ ‎∴∠1=180°﹣70°﹣70°=40°,‎ 故选:C.‎ ‎【点评】此题考查平行线的性质,关键是根据平行线的性质解答.‎ ‎10.(3分)某路口的交通信号灯每分钟红灯亮30秒,绿灯亮25秒,黄灯亮5秒,当小明到达该路口时,遇到绿灯的概率是(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【考点】X4:概率公式.菁优网版权所有 ‎【分析】随机事件A的概率P(A)=事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数.‎ ‎【解答】解:∵每分钟红灯亮30秒,绿灯亮25秒,黄灯亮5秒,‎ ‎∴当小明到达该路口时,遇到绿灯的概率P==,‎ 故选:D.‎ ‎【点评】本题考查了概率,熟练掌握概率公式是解题的关键.‎ ‎11.(3分)如图,在▱ABCD中,将△ADC沿AC折叠后,点D恰好落在DC的延长线上的点E处.若∠B=60°,AB=3,则△ADE的周长为(  )‎ A.12 B.15 C.18 D.21‎ ‎【考点】L5:平行四边形的性质;PB:翻折变换(折叠问题).菁优网版权所有 ‎【分析】依据平行四边形的性质以及折叠的性质,即可得到BC=2AB=6,AD=6,再根据△ADE是等边三角形,即可得到△ADE的周长为6×3=18.‎ ‎【解答】解:由折叠可得,∠ACD=∠ACE=90°,‎ ‎∴∠BAC=90°,‎ 又∵∠B=60°,‎ ‎∴∠ACB=30°,‎ ‎∴BC=2AB=6,‎ ‎∴AD=6,‎ 由折叠可得,∠E=∠D=∠B=60°,‎ ‎∴∠DAE=60°,‎ ‎∴△ADE是等边三角形,‎ ‎∴△ADE的周长为6×3=18,‎ 故选:C.‎ ‎【点评】‎ 本题考查了平行四边形的性质、轴对称图形性质以及等边三角形的判定.解题时注意折叠是一种对称变换,它属于轴对称,折叠前后图形的形状和大小不变,位置变化,对应边和对应角相等.‎ ‎12.(3分)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=5,BC=4.点P是边AC上一动点,过点P作PQ∥AB交BC于点Q,D为线段PQ的中点,当BD平分∠ABC时,AP的长度为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【考点】KJ:等腰三角形的判定与性质;KQ:勾股定理;S9:相似三角形的判定与性质.菁优网版权所有 ‎【分析】根据勾股定理求出AC,根据角平分线的定义、平行线的性质得到∠QBD=∠BDQ,得到QB=QD,根据相似三角形的性质列出比例式,计算即可.‎ ‎【解答】解:∵∠C=90°,AB=5,BC=4,‎ ‎∴AC==3,‎ ‎∵PQ∥AB,‎ ‎∴∠ABD=∠BDQ,又∠ABD=∠QBD,‎ ‎∴∠QBD=∠BDQ,‎ ‎∴QB=QD,‎ ‎∴QP=2QB,‎ ‎∵PQ∥AB,‎ ‎∴△CPQ∽△CAB,‎ ‎∴==,即==,‎ 解得,CP=,‎ ‎∴AP=CA﹣CP=,‎ 故选:B.‎ ‎【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质,掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键.‎ 二、填空题(本大题满分16分,每小题4分)‎ ‎13.(4分)因式分解:ab﹣a= a(b﹣1) .‎ ‎【考点】53:因式分解﹣提公因式法.菁优网版权所有 ‎【分析】提公因式a即可.‎ ‎【解答】解:ab﹣a=a(b﹣1).‎ 故答案为:a(b﹣1).‎ ‎【点评】本题考查了提取公因式法因式分解.关键是求出多项式里各项的公因式,提公因式.‎ ‎14.(4分)如图,⊙O与正五边形ABCDE的边AB、DE分别相切于点B、D,则劣弧所对的圆心角∠BOD的大小为 144 度.‎ ‎【考点】MC:切线的性质;MM:正多边形和圆.菁优网版权所有 ‎【分析】根据正多边形内角和公式可求出∠E、∠D,根据切线的性质可求出∠OAE、∠OCD,从而可求出∠AOC,然后根据圆弧长公式即可解决问题.‎ ‎【解答】解:∵五边形ABCDE是正五边形,‎ ‎∴∠E=∠A==108°.‎ ‎∵AB、DE与⊙O相切,‎ ‎∴∠OBA=∠ODE=90°,‎ ‎∴∠BOD=(5﹣2)×180°﹣90°﹣108°﹣108°﹣90°=144°,‎ 故答案为:144.‎ ‎【点评】本题主要考查了切线的性质、正五边形的性质、多边形的内角和公式、熟练掌握切线的性质是解决本题的关键.‎ ‎15.(4分)如图,将Rt△ABC的斜边AB绕点A顺时针旋转α(0°<α<90°)得到AE,直角边AC绕点A逆时针旋转β(0°<β<90°)得到AF,连结EF.若AB=3,AC ‎=2,且α+β=∠B,则EF=  .‎ ‎【考点】R2:旋转的性质.菁优网版权所有 ‎【分析】由旋转的性质可得AE=AB=3,AC=AF=2,由勾股定理可求EF的长.‎ ‎【解答】解:由旋转的性质可得AE=AB=3,AC=AF=2,‎ ‎∵∠B+∠BAC=90°,且α+β=∠B,‎ ‎∴∠BAC+α+β=90°‎ ‎∴∠EAF=90°‎ ‎∴EF==‎ 故答案为:‎ ‎【点评】本题考查了旋转的性质,勾股定理,灵活运用旋转的性质是本题的关键.‎ ‎16.(4分)有2019个数排成一行,对于任意相邻的三个数,都有中间的数等于前后两数的和.如果第一个数是0,第二个数是1,那么前6个数的和是 0 ,这2019个数的和是 2 .‎ ‎【考点】37:规律型:数字的变化类.菁优网版权所有 ‎【分析】根据题意可以写出这组数据的前几个数,从而可以数字的变化规律,本题得以解决.‎ ‎【解答】解:由题意可得,[来源:学科网ZXXK]‎ 这列数为:0,1,1,0,﹣1,﹣1,0,1,1,…,‎ ‎∴前6个数的和是:0+1+1+0+(﹣1)+(﹣1)=0,‎ ‎∵2019÷6=336…3,‎ ‎∴这2019个数的和是:0×336+(0+1+1)=2,‎ 故答案为:0,2.‎ ‎【点评】本题考查数字的变化类,解答本题的关键是明确题意,发现题目中数字的变化规律,每六个数重复出现.‎ 三、解答题(本大题满分68分)‎ ‎17.(12分)(1)计算:9×3﹣2+(﹣1)3﹣;‎ ‎(2)解不等式组,并求出它的整数解.‎ ‎【考点】2C:实数的运算;6F:负整数指数幂;CB:解一元一次不等式组;CC:一元一次不等式组的整数解.菁优网版权所有 ‎【分析】(1)先计算负整数指数幂、乘方及算术平方根,再计算乘法,最后计算加减可得;‎ ‎(2)分别求出每一个不等式的解集,根据口诀:同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集.‎ ‎【解答】解:(1)原式=9×﹣1﹣2‎ ‎=3﹣1﹣2‎ ‎=0;‎ ‎(2)解不等式x+1>0,得:x>﹣1,‎ 解不等式x+4>3x,得:x<2,‎ 则不等式组的解集为﹣1<x<2,‎ 所以不等式组的整数解为0、1.‎ ‎【点评】本题考查的是解一元一次不等式组,正确求出每一个不等式解集是基础,熟知“同大取大;同小取小;大小小大中间找;大大小小找不到”的原则是解答此题的关键.‎ ‎18.(10分)时下正是海南百香果丰收的季节,张阿姨到“海南爱心扶贫网”上选购百香果,若购买2千克“红土”百香果和1千克“黄金”百香果需付80元,若购买1千克“红土”百香果和3千克“黄金”百香果需付115元.请问这两种百香果每千克各是多少元?‎ ‎【考点】9A:二元一次方程组的应用.菁优网版权所有 ‎【分析】设“红土”百香果每千克x元,“黄金”百香果每千克y元,由题意列出方程组,解方程组即可.‎ ‎【解答】解:设“红土”百香果每千克x元,“黄金”百香果每千克y元,‎ 由题意得:,‎ 解得:;‎ 答:“红土”百香果每千克25元,“黄金”百香果每千克30元.‎ ‎【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程组的解法;根据题意列出方程组是解题的关键.‎ ‎19.(8分)为宣传6月6日世界海洋日,某校九年级举行了主题为“珍惜海洋资源,保护海洋生物多样性”的知识竞赛活动.为了解全年级500名学生此次竞赛成绩(百分制)的情况,随机抽取了部分参赛学生的成绩,整理并绘制出如下不完整的统计表(表1)和统计图(如图).请根据图表信息解答以下问题:‎ ‎(1)本次调查一共随机抽取了 50 个参赛学生的成绩;‎ ‎(2)表1中a= 8 ;‎ ‎(3)所抽取的参赛学生的成绩的中位数落在的“组别”是 C ;‎ ‎(4)请你估计,该校九年级竞赛成绩达到80分以上(含80分)的学生约有 320 人.‎ 表1 知识竞赛成绩分组统计表 组别 分数/分 频数 A ‎60≤x<70‎ a B ‎70≤x<80‎ ‎10‎ C ‎80≤x<90‎ ‎14‎ D ‎90≤x<100‎ ‎18‎ ‎【考点】V5:用样本估计总体;V7:频数(率)分布表;VB:扇形统计图;W4:中位数.菁优网版权所有 ‎【分析】(1)本次调查一共随机抽取学生:18÷36%=50(人);‎ ‎(2)a=50﹣18﹣14﹣10=8;‎ ‎(3)本次调查一共随机抽取50名学生,中位数落在C组;‎ ‎(4)该校九年级竞赛成绩达到80分以上(含80分)的学生有500×‎ ‎=320(人).‎ ‎【解答】解:(1)本次调查一共随机抽取学生:18÷36%=50(人),‎ 故答案为50;‎ ‎(2)a=50﹣18﹣14﹣10=8,‎ 故答案为8;‎ ‎(3)本次调查一共随机抽取50名学生,中位数落在C组,‎ 故答案为C;‎ ‎(4)该校九年级竞赛成绩达到80分以上(含80分)的学生有500×=320(人),‎ 故答案为320.‎ ‎【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用.读懂统计图,从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键.条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据;扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小.‎ ‎20.(10分)如图是某区域的平面示意图,码头A在观测站B的正东方向,码头A的 北偏西60°方向上有一小岛C,小岛C在观测站B的北偏西15°方向上,码头A到小岛C的距离AC为10海里.‎ ‎(1)填空:∠BAC= 30 度,∠C= 45 度;‎ ‎(2)求观测站B到AC的距离BP(结果保留根号).‎ ‎【考点】TB:解直角三角形的应用﹣方向角问题.菁优网版权所有 ‎【分析】(1)由题意得:∠BAC=90°﹣60°=30°,∠ABC=90°+15°=105°,由三角形内角和定理即可得出∠C的度数;‎ ‎(2)证出△BCP是等腰直角三角形,得出BP=PC,求出PA=BP,由题意得出BP+BP=10,解得BP=5﹣5即可.‎ ‎【解答】解:(1)由题意得:∠BAC=90°﹣60°=30°,∠ABC=90°+15°=105°,[来源:学科网]‎ ‎∴∠C=180°﹣∠BAC﹣∠ABC=45°;‎ 故答案为:30,45;[来源:Z,xx,k.Com]‎ ‎(2)∵BP⊥AC,‎ ‎∴∠BPA=∠BPC=90°,‎ ‎∵∠C=45°,‎ ‎∴△BCP是等腰直角三角形,‎ ‎∴BP=PC,‎ ‎∵∠BAC=30°,‎ ‎∴PA=BP,‎ ‎∵PA+PC=AC,‎ ‎∴BP+BP=10,‎ 解得:BP=5﹣5,‎ 答:观测站B到AC的距离BP为(5﹣5)海里.‎ ‎【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题,通过解直角三角形得出方程是解题的关键.‎ ‎21.(13分)如图,在边长为1的正方形ABCD中,E是边CD的中点,点P是边AD上一点(与点A、D不重合),射线PE与BC的延长线交于点Q.‎ ‎(1)求证:△PDE≌△QCE;‎ ‎(2)过点E作EF∥BC交PB于点F,连结AF,当PB=PQ时,‎ ‎①求证:四边形AFEP是平行四边形;‎ ‎②请判断四边形AFEP是否为菱形,并说明理由.‎ ‎【考点】LO:四边形综合题.菁优网版权所有 ‎【分析】(1)由四边形ABCD是正方形知∠D=∠ECQ=90°,由E是CD的中点知DE ‎=CE,结合∠DEP=∠CEQ即可得证;‎ ‎(2)①由PB=PQ知∠PBQ=∠Q,结合AD∥BC得∠APB=∠PBQ=∠Q=∠EPD,由△PDE≌△QCE知PE=QE,再由EF∥BQ知PF=BF,根据Rt△PAB中AF=PF=BF知∠APF=∠PAF,从而得∠PAF=∠EPD,据此即可证得PE∥AF,从而得证;‎ ‎②设PD=x,则AP=1﹣x,由(1)知△PDE≌△QCE,据此得CQ=PD=x,BQ=BC+CQ=1+x,由EF是△PBQ的中位线知EF=BQ=,根据AP=EF求得x=,从而得出PD=,AP=,再求出PE==即可作出判断.‎ ‎【解答】解:(1)∵四边形ABCD是正方形,‎ ‎∴∠D=∠ECQ=90°,‎ ‎∵E是CD的中点,‎ ‎∴DE=CE,‎ 又∵∠DEP=∠CEQ,‎ ‎∴△PDE≌△QCE(ASA);‎ ‎(2)①∵PB=PQ,‎ ‎∴∠PBQ=∠Q,‎ ‎∵AD∥BC,‎ ‎∴∠APB=∠PBQ=∠Q=∠EPD,‎ ‎∵△PDE≌△QCE,‎ ‎∴PE=QE,‎ ‎∵EF∥BQ,‎ ‎∴PF=BF,‎ ‎∴在Rt△PAB中,AF=PF=BF,‎ ‎∴∠APF=∠PAF,‎ ‎∴∠PAF=∠EPD,‎ ‎∴PE∥AF,‎ ‎∵EF∥BQ∥AD,‎ ‎∴四边形AFEP是平行四边形;‎ ‎②四边形AFEP不是菱形,理由如下:‎ 设PD=x,则AP=1﹣x,‎ 由(1)可得△PDE≌△QCE,‎ ‎∴CQ=PD=x,‎ ‎∴BQ=BC+CQ=1+x,‎ ‎∵点E、F分别是PQ、PB的中点,[来源:Z#xx#k.Com]‎ ‎∴EF是△PBQ的中位线,‎ ‎∴EF=BQ=,‎ 由①知AP=EF,即1﹣x=,‎ 解得x=,‎ ‎∴PD=,AP=,‎ 在Rt△PDE中,DE=,‎ ‎∴PE==,‎ ‎∴AP≠PE,‎ ‎∴四边形AFEP不是菱形.‎ ‎【点评】本题是四边形的综合问题,解题的关键是掌握正方形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质、平行四边形与菱形的判定、性质等知识点.‎ ‎22.(15分)如图,已知抛物线y=ax2+bx+5经过A(﹣5,0),B(﹣4,﹣3)两点,与x轴的另一个交点为C,顶点为D,连结CD.‎ ‎(1)求该抛物线的表达式;‎ ‎(2)点P为该抛物线上一动点(与点B、C不重合),设点P的横坐标为t.‎ ‎①当点P在直线BC的下方运动时,求△PBC的面积的最大值;‎ ‎②该抛物线上是否存在点P,使得∠PBC=∠BCD?若存在,求出所有点P的坐标;若不存在,请说明理由.‎ ‎【考点】HF:二次函数综合题.菁优网版权所有 ‎【分析】(1)将点A、B坐标代入二次函数表达式,即可求解;‎ ‎(2)①S△PBC=PG(xC﹣xB),即可求解;②分点P在直线BC下方、上方两种情况,分别求解即可.‎ ‎【解答】解:(1)将点A、B坐标代入二次函数表达式得:,解得:,‎ 故抛物线的表达式为:y=x2+6x+5…①,‎ 令y=0,则x=﹣1或﹣5,‎ 即点C(﹣1,0);‎ ‎(2)①如图1,过点P作y轴的平行线交BC于点G,‎ 将点B、C的坐标代入一次函数表达式并解得:‎ 直线BC的表达式为:y=x+1…②,‎ 设点G(t,t+1),则点P(t,t2+6t+5),‎ S△PBC=PG(xC﹣xB)=(t+1﹣t2﹣6t﹣5)=﹣t2﹣t﹣6,‎ ‎∵<0,∴S△PBC有最大值,当t=﹣时,其最大值为;‎ ‎②设直线BP与CD交于点H,‎ 当点P在直线BC下方时,‎ ‎∵∠PBC=∠BCD,∴点H在BC的中垂线上,‎ 线段BC的中点坐标为(﹣,﹣),‎ 过该点与BC垂直的直线的k值为﹣1,‎ 设BC中垂线的表达式为:y=﹣x+m,将点(﹣,﹣)代入上式并解得:‎ 直线BC中垂线的表达式为:y=﹣x﹣4…③,‎ 同理直线CD的表达式为:y=2x+2…④,‎ 联立③④并解得:x=﹣2,即点H(﹣2,﹣2),‎ 同理可得直线BH的表达式为:y=x﹣1…⑤,‎ 联立①⑤并解得:x=﹣或﹣4(舍去﹣4),‎ 故点P(﹣,﹣);‎ 当点P(P′)在直线BC上方时,‎ ‎∵∠PBC=∠BCD,∴BP′∥CD,‎ 则直线BP′的表达式为:y=2x+s,将点B坐标代入上式并解得:s=5,‎ 即直线BP′的表达式为:y=2x+5…⑥,‎ 联立①⑥并解得:x=0或﹣4(舍去﹣4),‎ 故点P(0,5);‎ 故点P的坐标为P(﹣,﹣)或(0,5).‎ ‎【点评】本题考查的是二次函数综合运用,涉及到一次函数、等腰三角形性质、图形的面积计算等,其中(2),要主要分类求解,避免遗漏.‎ 声明:试题解析著作权属菁优网所有,未经书面同意,不得复制发布 日期:2019/7/29 11:38:44;用户:学无止境;邮箱:419793282@qq.com;学号:7910509‎
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