人教版八年级下册数学知识点复习提纲+数学教案全册

人教版八年级下册数学知识点复习提纲+数学教案全册

人教版八年级下册数学知识点复习提纲+教案全册 数学复习提纲 第 16 章 二次根式 第 17 章 勾股定理 第 18 章 平行四边形 第 19 章 一次函数 第 20 章 数据的分析 八年级数学下学期教学工作计划 一、 指导思想 在教学中努力推进九年义务教育，落实新课改，体现新理念，培养创新精神 通过数学课 的教学，使学生切实学好从事现代化建设和进一步学习现代化科学技术所必需的数学基本知 识和基本技能；努力培养学生的运算能力、逻辑思维能力，以及分析问题和解决问题的能力。 二、学情分析 八年级是初中学习过程中的关键时期，学生基础的好坏，直接影响到将来是否能升学。 我班优生稍少，学生非常活跃，有少数学生不求上进，思维不紧跟老师。有的学生思想单纯 爱玩，缺乏自主学习的习惯，有部分同学基础较差，厌学无目标。要在本期获得理想成绩， 老师和学生都要付出努力，查漏补缺，充分发挥学生是学习的主体，教师是教的主体作用， 注重方法，培养能力。 三、 教材分析 本学期教学内容共计五章，知识的前后联系，教材的教学目标，重、难点分析如下： 《义务教育教科书•数学》八年级下册包括二次根式，勾股定理，平行四边形，一次函数，数 据的分析等五章内容，学习内容涉及到了《义务教育数学课程标准（2013 年版）》（以下简称 《课程标准》）中“数与代数”“图形与几何”“统计与概率”“综合与实践”全部四个领域。 其中对于“综合与实践”领域的内容，本册书在第十九章、第二十章分别安排了一个课题学 习，并在每一章的最后安排了两个数学活动，通过这些课题学习和数学活动落实“综合与实 践”的要求。 第 16 章“二次根式”主要讨论如何对数和字母开平方而得到的特殊式子——二次根式的加、 减、乘、除运算。通过本章学习，学生将建立起比较完善的代数式及其运算的知识结构，并 为勾股定理、一元二次方程、二次函数等内容的学习做好准备。 第 17 章“勾股定理”主要研究勾股定理和勾股定理的逆定理，包括它们的发现、证明和应 用。 第 18 章“平行四边形”主要研究一般平行四边形的概念、性质和判定，还研究了矩形、菱 形和正方形等几种特殊的平行四边形。 第 19 章是“一次函数”，其主要内容包括：常量与变量的意义，函数的概念，函数的三种 表示法，一次函数的概念、图象、性质和应用举例，一次函数与二元一次方程等内容的关系， 以及以建立一次函数模型来选择最优方案为素材的课题学习。 第 20 章“数据的分析”主要研究平均数（主要是加权平均数）、中位数、众数以及方差等 统计量的统计意义，学习如何利用这些统计量分析数据的集中趋势和离散情况，并通过研究 如何用样本的平均数和方差估计总体的平均数和方差，进一步体会用样本估计总体的思想。 本学期全书共需约 62 课时，具体分配如下： 第十六章 二次根式 约 9 课时 第十七章 勾股定理 约 9 课时 第十八章 平行四边形 约 15 课时 第十九章 一次函数 约 17 课时 第二十章 数据的分析 约 12 课时 四、提高学科教育质量的主要措施： 1、认真做好教学六认真工作。把教学六认真作为提高成绩的主要方法，认真研读新课程 标准，钻研新教材，根据新课程标准，扩充教材内容，认真上课，批改作业，认真辅导，认 真制作测试试卷，也让学生学会认真学习。 2、兴趣是最好的老师，爱因斯坦如是说。激发学生的兴趣，给学生介绍数学家，数学史， 介绍相应的数学趣题，给出数学课外思考题，激发学生的兴趣。 3、引导学生积极参与知识的构建，营造民主、和谐、平等、自主、探究、合作、交流、 分享发现快乐的高效的学习课堂，让学生体会学习的快乐，享受学习。引导学生写学后总结， 写复习提纲，使知识来源于学生的构造。 4、引导学生积极归纳解题规律，引导学生一题多解，多解归一，培养学生透过现象看本 质，提高学生举一反三的能力，这是提高学生素质的根本途径之一，培养学生的发散思维， 让学生处于一种思如泉涌的状态。 5、运用新课程标准的理念指导教学，积极更新自己脑海中固有的教育理念，不同的教育 理念将带来不同的教育效果。 6、培养学生良好的学习习惯，陶行知说：教育就是培养习惯，有助于学生稳步提高学习 成绩，发展学生的非智力因素，弥补智力上的不足。 7、开展分层教学，布置作业设置 A、B、C 三类分层布置分别适合于差、中、好三类学生， 课堂上的提问照顾好好、中、差三类学生，使他们都等到发展。 8、进行个别辅导，优生提升能力，扎实打牢基础知识，对差生，一些关键知识，辅导差 生过关，为差生以后的发展铺平道路。 9、 培养学生学习数学的良好习惯。这些习惯包括①认真做作业的习惯包括作业前清理好 桌面，作业后认真检查；②预习的习惯；③认真看批改后的作业并及时更正的习惯；④认真 做好课前准备的习惯；⑤在书上作精要笔记的习惯；⑥妥善保管书籍资料和学习用品的习惯； ⑦认真阅读数学教材的习惯。 二次根式 课 题 16.1 二次根式 课 时 第 1 课时（总 2 课时） 课 型 新授 教 学 目 标 知识 目标 1、了解二次根式的概念，能判断一个式子是不是二次根式。 2、掌握二次根式有意义的条件。 3、掌握二次根式的基本性质： )0(0  aa 和 )0()( 2  aaa 能力 目标 发展观察、归纳、概括等能力，发展有条理的思考能力以及语言表达能力。 情感 目标 培养积极地探索数学规律的兴趣，提高利用数学知识解决问题的能力。 教学重点 二次根式有意义的条件；二次根式的性质． 教学难点 综合运用性质 )0(0  aa 和 )0()( 2  aaa 。 板书 设计 16.1 二次根式 )0(0  aa )0()( 2  aaa 教学环节 教 学 过 程 设 计 二次备课 自学导航（课 前预习） （1）已知 ax 2 ，那么 a 是 x 的______; x 是 a 的______, 记为_____, a 一定是____数。 （2）4 的算术平方根为 2，用式子表示为 =__________；正数 a 的算 术平方根为_______，0 的算术平方根为_______；式子 )0(0  aa 的 意义是 。 4 合作交流（小 组互助） （三）展示提 升（质疑点 拨） (1) 16 的平方根是 ； (2)一个物体从高处自由落下，落到地面的时间是 t(单位：秒)与开始下落 时的高度 h(单位：米)满足关系式 25th  。如果用含 h 的式子表示 t， 则 t= ； (3)圆的面积为 S，则圆的半径是 ； (4)正方形的面积为 3b ，则边长为 。 思考： 16 ， 5 h ，  s , 3b 等式子的实际意义.说一说他们的共同 特征. 定 义 : 一 般 地 我 们 把 形 如 a （ 0a ） 叫 做 二 次 根 式 ， a 叫 做 _____________。 。 1、试一试：判断下列各式，哪些是二次根式？哪些不是？为什么？ 3 ， 16 ， 3 4 ， 5 ， )0(3 aa ， 12 x 2、当 a 为正数时 a 指 a 的 ，而 0 的算术平方根是 ， 负数 ，只有非负数 a 才有算术平方根。所以，在二次根式 a 中， 字母 a 必须满足 , a 才有意义。 3、根据算术平方根意义计算 ： (1) 2)4( (2) （3） 2)5.0( （4） 2)3 1( 根据计算结果，你能得出结论： ，其中 0a , 4、由公式 )0()( 2  aaa ，我们可以得到公式 a = 2)( a ,利用此公式 可以把任意一个非负数写成一个数的平方的形式。 如( 5 )2=5；也可以把一个非负数写成一个数的平方形式，如 5=( 5 )2. 练习：(1)把下列非负数写成一个数的平方的形式： 6 0.35 (2)在实数范围内因式分解 72 x 4a 2 -11 例：当 x 是怎样的实数时， 2x 在实数范围内有意义？ 练习：1、 x 取何值时，下列各二次根式有意义？ ________)( 2 a 2)3( 达标检测 ① 43 x ② 22 3 x ③ 2、（1）若 3 3a a   有意义，则 a 的值为___________． （2）若 在实数范围内有意义，则 x 为（ ）。 A.正数 B.负数 C.非负数 D.非正数 3、(1)在式子 x x   1 21 中， x 的取值范围是____________. (2)已知 42 x + yx 2 ＝0，则  yx _____________. (3)已知 233  xxy ,则 xy = _____________。 (一)填空题： 1、       2 5 3 2、若 0112  yx ，那么 x = ，y = 。 3 、 当 x= 时 ， 代 数 式 4 5x  有 最 小 值 ， 其 最 小 值 是 。 教学 反思 课 题 16.1 二次根式 2 课 时 第 2 课时（总 2 课时） 课 型 新授 教 学 目 标 知识 1、掌握二次根式的基本性质： aa 2 2、能利用上述性质对二次根式进行化简. 能力 会用二次根式的性质进行化简与计算 x 2 1 x 情感 培养积极地探索数学规律的兴趣，提高利用数学知识解决问题的能力。 教学重点 二次根式的性质 aa 2 ． 教学难点 综合运用性质 aa 2 进行化简和计算 教学准备 多媒体课件 板书 设计 16.1 二次根式 2 aa 2 化简 例题 教学环节 教 学 过 程 设 计 二次备课 自学导航（课 前预习） 合作交流（小 组互助 展示提升（质 疑点拨） （1）什么是二次根式，它有哪些性质？ （2）二次根式 5 2 x 有意义，则 x 。 （3）在实数范围内因式分解：  22 6 xx ( )2=（x+ ） (y- ) 1、计算： 24 22.0 2)5 4( 220 观察其结果与根号内幂底数的关系，归纳得到：当  2,0 aa 时 2、计算：  2)4(  2)2.0(  2)5 4(  2)20( 观察其结果与根号内幂底数的关系，归纳得到：当  2,0 aa 时 3、计算： 20 当  2,0 aa 时 1、归纳总结 将上面做题过程中得到的结论综合起来，得到二次根式的又一条非常重要 的性质：       0 00 0 2 aa aa aa 2、化简下列各式： （1）、 23.0 （2）、  2)5.0( （3）、  2)6( （4）、  22a = （ 0a ） 3、请大家思考、讨论二次根式的性质 )0()( 2  aaa 与 aa 2 有什 么区别与联系。 1、化简下列各式 （1） )0(4 2 xx (2) 4x 2、化简下列各式 （1） )3()3( 2  aa （2）  232 x （x＜-2） 达标检测 A 组 1、填空：（1）、 2)12( x - 2)32( x )2( x =_________.（2）、 2)4(  = （ 3 ） a 、 b 、 c 为 三 角 形 的 三 条 边 ， 则  cabcba 2)( ________. 2、已知 2＜x＜3，化简： 3)2( 2  xx B 组 3、 已知 0＜x＜1，化简： 4)1( 2  xx － 4)1( 2  xx 4、把   2 12  xx 的根号外的  x2 适当变形后移入根号内，得（ ） A、 x2 B、 2x C、 x 2 D、 2 x 5、 若二次根式 2 6x  有意义，化简│x-4│-│7-x│ 教学 反思 课 题 16.2 二次根式的乘除 课 时 第 1 课时（总 2 课时） 课 型 新授 教 学 目 标 知识 目标 理解 a · b ＝ ab （a≥0，b≥0）， ab = a · b （a≥0，b≥0），并利用它们进行 计算和化简 能力 目标 能用二次根式的性质以及乘法法则进行根式的化简. 情感 目标 通过观察一些特殊的情形，获得一般结论，使学生感受归纳的思想方法 教学重点 掌握和应用二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质。 教学难点 正确依据二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质进行二次根式的化简。 板书 设计 16.2 二次根式的乘除 1 a · b ＝ ab （a≥0，b≥0）， ab = a · b （a≥0，b≥0） 例题 教学环节 教 学 过 程 设 计 二次备课 自 学 导 航 （ 课 前 预 习） 合 作 交 流 （ 小 组 互 助） 1．填空：（1） 4 × 9 =____， 4 9 =____； 4 × 9 __ 4 9 （ 2 ） 16 × 25 =____ ， 16 25 =___ ； 16 × 25 __ 16 25 （ 3 ） 100 × 36 =___ ， 100 36 =___ ． 100 × 36 __ 100 36 1、 学生交流活动总结规律． 2、一般地，对二次根式的乘法规定为 a · b ＝ ab ．（a≥0，b≥0 反过来: ab = a · b （a 巩固练习 展 示 提 升 （ 质 疑 点 拨） 达标检测 ≥0，b≥0） 例 1、计算 （1） 5 × 7 （2） 1 3 × 9 （3）3 6 ×2 10 （4） 5a · 1 5 ay 例 2、化简 （1） 9 16 （2） 16 81 （3） 81 100 （4） 2 29x y （5） 54 （1）计算： ① 16 × 8 ②5 5 ×2 15 ③ 312a · 2 3 1 ay （2）化简: 20 ; 18 ; 24 ; 54 ; 2 212a b 判断下列各式是否正确，不正确的请予以改正： （1） ( 4) ( 9) 4 9       （2） 124 25 × 25 =4× 12 25 × 25 =4 12 25 × 25 =4 12 =8 3 展示学习成果后，请大家讨论：对于 9 × 27 的运算中不必把它变成 243 后再进行计算，你有什么好办法？ 注：1、当二次根式前面有系数时，可类比单项式乘以单项式法则进行计算： 即系数之积作为积的系数，被开方数之积为被开方数。 2、化简二次根式达到的要求： （1）被开方数进行因数或因式分解。 （2）分解后把能开尽方的开出来。 A 组 1、选择题 （1）等式 111 2  xxx 成立的条件是（ ） A．x≥1 B．x≥-1 C．-1≤x≤1 D．x≥1 或 x≤-1 （2）下列各等式成立的是（ ）．A．4 5 ×2 5 =8 5 B．5 3 × 4 2 =20 5 C．4 3 ×3 2 =7 5 D．5 3 ×4 2 =20 6 （3）二次根式 6)2( 2  的计算结果是（ ）A．2 6 B．-2 6 C．6 D．12 2、化简与计算： （1） 360 ； （2） 432x ； （3） 3018  ； （4） 75 23  B 组 1、选择题 若 04 1442 22  ccbba ，则 cab 2 =（ ） A．4 B．2 C．-2 D．1 教学 反思 课 题 16.2 二次根式的乘除 2 课 时 第 2 课时（总 2 课时） 课 型 新授 教 学 目 标 知识 目标 1、掌握二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质。 2、能熟练进行二次根式的除法运算及化简。 3.会判断二次根式是否为最简二次根式。 能力 目标 能用二次根式的性质以及乘除法法则进行根式的化简. 情感 目标 通过观察一些特殊的情形，获得一般结论，使学生感受归纳的思想方法 教学重点 掌握和应用二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质。 教学难点 正确依据二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质进行二次根式的化简 板书 设计 16.2 二次根式的乘除 2 a b = a b （a≥0，b>0）反过来， a b = a b （a≥0，b>0） 例题 最简二次根式 教学环节 教 学 过 程 设 计 二次备课 自学导航（课 前预习） 合作交流（小 组互助） 1、计算： （1）3 8 ×（-4 6 ） （2） 3612 abab  2、填空： （1） 9 16 =____， 9 16 =____； 规律： 9 16 ______ 9 16 ； （2） 16 36 =____， 16 36 =____； 16 36 ______ 16 36 ； 一般地，对二次根式的除法规定： a b = a b （a≥0，b>0）反过来， a b = a b （a≥0，b>0） 1、计算：（1） 12 3 （2） 3 1 2 8  （3） 1 1 4 16  （4） 64 8 2、化简： （1） 3 64 （2） 2 2 64 9 b a （3） 2 9 64 x y （4） 2 5 169 x y 注：1、当二次根式前面有系数时，类比单项式除以单项式法则进行计算： 即系数之商作为商的系数，被开方数之商为被开方数。 2、化简二次根式达到的要求：（1）被开方数不含分母；（2）分母中 不含有二次根式。 阅读下列运算过程： 1 3 3 33 3 3    ， 2 2 5 2 5 55 5 5    数学上将这种把分母的根号去掉的过程称作“分母有理化”。 利用上述方法化简： 展示提升（质 疑点拨） 达标检测 (1) 2 6 =________（２） 1 3 2 =_________(３) 1 12 =_____ ___ (４) 10 2 5 =___ ___ A 组 1、选择题 （1）计算 1 1 21 2 13 3 5   的结果是（ ）． A． 2 7 5 B． 2 7 C． 2 D． 2 7 （2）化简 3 2 27  的结果是（ ） A．- 2 3 B．- 2 3 C．- 6 3 D．- 2 2、计算： （1） 48 2 （2） x x 8 2 3 （3） 16 1 4 1  （4） 2 9 64 x y B 组 用两种方法计算： （1） 64 8 （2） 34 6 教学 反思 课 题 16.3 二次根式的加减 课 时 第 2 课时（总 2 课时） 课 型 新授 教 学 目 标 知识 目标 熟练应用二次根式的加减乘除法法则及乘法公式进行二次根式的混合运算。 能力 目标 培养学生较熟练的运算能力 情感 目标 帮助学生正确对待学习，养成良好的学习习惯，寻找有效的学习方法 教学重点 熟练进行二次根式的混合运算。 教学难点 混合运算的顺序、乘法公式的综合运用。 板书 设计 16.3 二次根式的加减 2 二次根式的混合运算 教学环节 教 学 过 程 设 计 二次备课 自学导航（课 前预习） （二）合作交 流（小组互 助） 计算： （1） 6 · a3 · b3 1 （2） 16 1 4 1  （3） 505 1122 1832  1、探究计算： （1）（ 38  ）× 6 （2） 22)6324(  2、探究计算： （1） )52)(32(  （2） 2)232(  计算： （1） 12)3 2324273 1(  （2） )32)(532(  （3） 2)3223(  （4）（ 10 - 7 ）（- 10 - 7 ） 展示提升（质 疑点拨） 达标检测 同学们，我们以前学过完全平方公式 2 2 2( ) 2a b a ab b    ， 你一定熟练掌握了吧!现在，我们又学习了二次根式，那么所有的正数 （包括 0）都可以看作是一个数的平方，如 3=（ 3 ）2，5=（ 5 ）2， 下面我们观察： 2 2 2( 2 1) ( 2) 2 1 2 1 2 2 2 1 3 2 2           反之， 23 2 2 2 2 2 1 ( 2 1)      ∴ 23 2 2 ( 2 1)   ∴ 223  = 2 -1 仿上例，求：（1）； 324  （2）你会算 124  吗？ A 组 1、计算： （1） 5)9080(  （2） 326324  （3） )()3( 33 abababba  （a>0,b>0） （4） (2 6 5 2)( 2 6 5 2)- - - 2、已知 12 1, 12 1     ba ，求 1022  ba 的值。 B 组 1、计算：（1） )123)(123(  （2） 2009 2009(3 10) (3 10)  教学 反思 学 科 数学 年 级 八 主备人 编 号 5 课 题 16.3 二次根式的加减 课 时 第 1 课时（总 2 课时） 课 型 新授 教 学 目 标 知识 目标 1、理解同类二次根式，并能判定哪些是同类二次根式 2、理解和掌握二次根式加减的方法． 3、先提出问题，分析问题，在分析问题中，渗透对二次根式进行加减的方法的理解．再 总结经验，用它来指导根式的计算和化简． 能力 目标 经历整式加减运算与二次根式加减运算的比较体会类比思想，探究二次根式加减的方法， 培养学生观察、探索、归纳的能力。 情感 目标 通过类比学习，培养学生分析问题解决问题的能力和团队合作精神。 教学重点 二次根式的加减运算． 教学难点 探索二次根式加减运算的方法和准确地进行二次根式加减运算。 板书 设计 16.3 二次根式的加减 同类二次根式 二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式， 再将同类二次根式进行合并 教学环节 教 学 过 程 设 计 二次备课 自学导航（课 前预习） 合作交 流（小组互 助） 展示运用 计算．（1） xx 32  ；（2） 222 532 xxx  ； （3） yxx 32  ；（4） 222 23 aaa  学生活动：计算下列各式． （1）2 2 +3 2 = （2）2 8 -3 8 +5 8 = （3） 7 +2 7 +3 9 7 = （4）3 3 -2 3 + 2 = 由此可见，二次根式的被开方数相同也是可以合并的，如 2 2 与 8 表面上看是不相同的，但它们可以合并吗？也可以．（与整数中同类项的 意义相类似我们把 33 与 32 ， a3 、 a2 与 a4 这样的几个二 次根式，称为同类二次根式） 3 2 + 8 =3 2 +2 2 =5 2 3 3 + 27 =3 3 +3 3 =6 3 所以，二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再 将同类二次根式进行合并． 例 1．计算 （1） 8 + 18 （2） 16x + 64x 例 2．计算 （1）3 48 -9 1 3 +3 12 (2）（ 48 + 20 ）+（ 12 - 5 ） 归纳： 第一步，将不是最简二次根式的项化为最简二次根式； 第二步，将相同的最简二次根式进行合并． （三）展示提升（质疑点拨） (1) )27 1 3 1(12  (2) )512()2048(  (3) yyxyxx 1 241  （4） )461(93 2 2 xxxxxx  例 3．已知 4x2+y2-4x-6y+10=0，求（ 2 93 x x +y2 3 x y ）-（x2 1 x -5x y x ） 的值． （一）、选择题 达标检测 1．以下二次根式：① 12 ；② 22 ；③ 2 3 ；④ 27 中，与 3 是 同类二次根式的是（ ）．A．①和② B．②和③ C．①和④ D．③ 和④ 2．下列各式：①3 3 +3=6 3 ；② 1 7 7 =1；③ 2 + 6 = 8 =2 2 ； ④ 24 3 =2 2 ，其中错误的有（ ）．A．3 个 B．2 个 C．1 个 D．0 个 3．在下列各组根式中，是同类二次根式的是( ) (A) 3 和 18 (B) 3 和 3 1 (C) ba2 和 2ab (D) 1a 和 1a 二、填空题 1．在 8 、1 753 a 、2 93 a 、 125 、 32 3aa 、3 0.2 、-2 1 8 中， 与 3a 是同类二次根式的有________． 2．若最简二次根式 123 x 与 13 x 是同类二次根式，则 x＝ ______． 教学 反思 勾股定理 18.1 勾股定理（1） 学习目标： 1．了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理。 2．培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力。 3．介绍我国古代在勾股定理研究方面所取得的成就，激发爱国热情，勤奋学习。 重点：勾股定理的内容及证明。 难点：勾股定理的证明。 学习过程： 一.预习新知（阅读教材第 64 至 66 页，并完成预习内容。） 1 正方形 A、B 、C 的面积有什么数量关系？ 2 以等腰直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积和以斜边为边长的大正方形的面积之间有什么关 系？ 归纳：等腰直角三角形三边之间的特殊关系 (1)那么一般的直角三角形是否也有这样的特点呢？ (2)组织学生小组学习，在方格纸上画出一个直角边分别为 3 和 4 的直角三角形，并以其三边为边长向外 作三个正方形，并分别计算其面积。 (3)通过三个正方形的面积关系，你能说明直角三角形是否具有上述结论吗？ (4)对于更一般的情形将如何验证呢？ 二.课堂展示 方法一； 如图，让学生剪 4 个全等的直角三角形，拼成如图图形，利用面积证明。 S 正方形＝_______________＝____________________ 方法二； 已知：在△ABC 中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C 的对边为 a、b、c。 求证：a2＋b2=c2。 分析：左右两边的正方形边长相等，则两个正方形的面 积相等。 左边 S=______________ A B C b b b b c c c c a a a a b b b b a a c c a a 右边 S=_______________ 左边和右边面积相等， 即 化简可得。 方法三： 以 a、b 为直角边，以 c 为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于 2 1 ab. 把这两个 直角三角形拼成如图所示形状，使 A、E、B 三点在一条直线上. ∵ RtΔEAD ≌ RtΔCBE, ∴ ∠ADE = ∠BEC. ∵ ∠AED + ∠ADE = 90º, ∴ ∠AED + ∠BEC = 90º. ∴ ∠DEC = 180º―90º= 90º. ∴ ΔDEC 是一个等腰直角三角形， 它的面积等于 2 1 c2. 又∵ ∠DAE = 90º, ∠EBC = 90º, ∴ AD∥BC. ∴ ABCD 是一个直角梯形，它的面积等于_________________ 归纳：勾股定理的具体内容是 。 三.随堂练习 1.如图，直角△ABC 的主要性质是：∠C=90°，（用几何语言表示） ⑴两锐角之间的关系： ； (2)若∠B=30°，则∠B 的对边和斜边： ； (3)三边之间的关系： 2.完成书上 P69 习题 1、2 四.课堂检测新课 标 第 一 网 1.在 Rt△ABC 中，∠C=90° ①若 a=5，b=12，则 c=___________； ②若 a=15，c=25，则 b=___________； ③若 c=61，b=60，则 a=__________； ④若 a∶b=3∶4，c=10 则 SRt△ABC =________。 2.已知在 Rt△ABC 中，∠B=90°，a、b、c 是△ABC 的三边，则 ⑴c= 。（已知 a、b，求 c） ⑵a= 。（已知 b、c，求 a） ⑶b= 。（已知 a、c，求 b） 3.直角三角形两直角边长分别为 5 和 12，则它斜边上的高为__________。 A C B D 4.已知一个 Rt△的两边长分别为 3 和 4，则第三边长的平方是（ ） A、25 B、14 C、7 D、7 或 25 5.等腰三角形底边上的高为 8，周长为 32，则三角形的面积为（ ） A、56 B、48 C、40 D、32 五.小结与反思 18.1 勾股定理（2） 学习目标： 1．会用勾股定理解决简单的实际问题。 2．树立数形结合的思想。 3．经历探究勾股定理在实际问题中的应用过程，感受勾股定理的应用方法。 4．培养思维意识，发展数学理念，体会勾股定理的应用价值。 重点：勾股定理的应用。 难点：实际问题向数学问题的转化。 一.预习新知（阅读教材第 66 至 67 页，并完成预习内容。） 1.①在解决问题时，每个直角三角形需知道几个条件？ ②直角三角形中哪条边最长？ 2.在长方形 ABCD 中，宽 AB 为 1m，长 BC 为 2m ，求 AC 长． 问题（1）在长方形 ABCD 中 AB、BC、AC 大小关系？ （2）一个门框的尺寸如图 1 所示． ①若有一块长 3 米，宽 0.8 米的薄木板，问怎样从门框通过？ ②若薄木板长 3 米，宽 1.5 米呢？ ③若薄木板长 3 米，宽 2.2 米呢？为什么？ 图 1 二.课堂展示 例：如图 2，一个 3 米长的梯子 AB，斜着靠在竖直的墙 AO 上，这时 AO 的距离为 2.5 米． ①求梯子的底端 B 距墙角 O 多少米？ ②如果梯的顶端 A 沿墙下滑 0.5 米至 C. 算一算，底端滑动的距离近似值（结果保留两位小数）． 三.随堂练习 1.书上 P68 练习 1、2 2．小明和爸爸妈妈十一登香山，他们沿着 45 度的坡路走了 500 米，看到了一棵红叶树，这棵红叶树的离 地面的高度是 米。 B C 1m 2m A O B D C A C A O B O D 3．如图，山坡上两株树木之间的坡面距离是 4 3 米，则这两株树之间的垂直距离是 米，水平距离是 米。 3 题图 1 题图 2 题图 四.课堂检测 1．如图，一根 12 米高的电线杆两侧各用 15 米的铁丝固定，两个固定点之间的距离是 。 2．如图，原计划从 A 地经 C 地到 B 地修建一条高速公路，后因技术攻关，可以打隧道由 A 地到 B 地直接 修建，已知高速公路一公里造价为 300 万元，隧道总长为 2 公里，隧道造价为 500 万元，AC=80 公里，BC=60 公里，则改建后可省工程费用是多少？ 3．如图，欲测量松花江的宽度，沿江岸取 B、C 两点，在江对岸取一点 A，使 AC 垂直江岸，测得 BC=50 米， ∠B=60°，则江面的宽度为 。 4．有一个边长为 1 米正方形的洞口，想用一个圆形盖去盖住这个 洞 口，则圆形盖半径至少为 米。 5．一根 32 厘米的绳子被折成如图所示的形状钉在 P、Q 两点，PQ=16 厘米，且 RP⊥ PQ，则 RQ= 厘米。 6.如图 3，分别以 Rt △ABC 三边为边向外作三个正方形，其面积分别用 S1、S2、S3 表示，容易得出 S1、 S2、S3 之间有的关系式 ． 变式：书上 P71 -11 题如图 4． 五.小结与反思 18.1 勾股定理（3） 学习目标: 1、能利用勾股定理，根据已知直角三角形的两边长求第三条边长；并在数轴上表示无理数。 2、体会数与形的密切联系，增强应用意识，提高运用勾股定理解决问题的能力。 3、培养数形结合的数学思想，并积极参与交流，并积极发表意见。 重点：利用勾股定理在数轴上表示无理数。 难点：确定以无理数为斜边的直角三角形的两条直角边长。 一.预习新知（阅读教材第 67 至 68 页，并完成预习内容。） 1.探究：我们知道数轴上的点有的表示有理数，有的表示无理数，你能在数轴上画出表示 13 的点吗？ 30A B C C A B R P Q S1 S2 S3 图 4 S1 S2S3 BA C 图 3 2.分析：如果能画出长为_______的线段，就能在数轴上画出表示 13 的点。容易知道，长为 2 的线段是 两条直角边都为______的直角边的斜边。长为 13 的线段能是直角边为正整数的直角三角形的斜边吗？ 利用勾股定理，可以发现，长为 13 的线段是直角边为正整数_____、 ______的直角三角形的斜边。 3.作法：在数轴上找到点 A，使 OA=_____，作直线l 垂直于 OA，在l 上取点 B，使 AB=_____，以原点 O 为圆心，以 OB 为半径作弧，弧与数轴的交点 C 即为表示 13 的点。 4.在数轴上画出表示 17 的点？（尺规作图） 二.课堂展示 例 1 已知直角三角形的两边长分别为 5 和 12，求第三边。 例 2 已知：如图，等边△ABC 的边长是 6cm。 ⑴求等边△ABC 的高。 ⑵求 S△ABC。 三.随堂练习 1.完成书上 P71 第 9 题 2．填空题 ⑴在 Rt△ABC，∠C=90°，a=8，b=15，则 c= 。 ⑵在 Rt△ABC，∠B=90°，a=3，b=4，则 c= 。 ⑶在 Rt△ABC，∠C=90°，c=10，a：b=3：4，则 a= ，b= 。 (4)已知直角三角形的两边长分别为 3cm 和 5cm，，则第三边长为 。 2．已知等腰三角形腰长是 10，底边长是 16，求这个等腰三角形面积。 四.课堂检测 1．已知直角三角形中 30°角所对的直角边长是 32 cm，则另一条直角边的长是（ ）A. 4cm B. 34 cm C. 6cm D. 36 cm 2．△ABC 中，AB＝15，AC＝13，高 AD＝12，则△ABC 的周长为（ ） A．42 B．32 C．42 或 32 D．37 或 33 3．一架 25 分米长的梯子，斜立在一竖直的墙上，这时梯足距离墙底端 7 分米.如果梯子的顶端沿墙下滑 4 分米，那么梯足将滑动( ) A. 9 分米 B. 15 分米 C. 5 分米 D. 8 分米 D C B A 图 18.2-2 4．如图，学校有一块长方形花铺，有极少数人为了避开拐角走“捷 径”，在花铺内 走出了一条“路”．他们仅仅少走了 步路（假设 2 步为 1 米）， 却踩伤了花 草． 5. 等腰△ABC 的腰长 AB＝10cm，底 BC 为 16cm，则底边上的高 为 ，面 积为 . 6. 一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边长分别为 ． 7．已知：如图，四边形 ABCD 中，AD∥BC，AD⊥DC， AB⊥AC，∠B=60°，CD=1cm，求 BC 的长。 五．小结与反思 18.2 勾股定理的逆定理（一） 学习目标 1．体会勾股定理的逆定理得出过程，掌握勾股定理的逆定理。 2．探究勾股定理的逆定理的证明方法。 3．理解原命题、逆命题、逆定理的概念及关系。 重点：掌握勾股定理的逆定理及简单应用。 难点：勾股定理的逆定理的证明。 一.预习新知（阅读教材 P73 — 75 , 完成课前预习） 1.三边长度分别为 3 cm、4 cm、5 cm 的三角形与以 3 cm、4 cm 为直角边的直角三角形之间有什么关系？ 你是怎样得到的？ 2.你能证明以 6cm、8cm、10cm 为三边长的三角形是直角三角形吗？ 3.如图 18.2-2，若 △ ABC 的三边长 a 、 b 、 c 满足 222 cba  ， 试 证 明 △ ABC 是直角三角形，请简要地写出证明过程． 4.此定理与勾股定理之间有怎样的关系？ （1）什么叫互为逆命题 （2）什么叫互为逆定理 （3）任何一个命题都有 _____，但任何一个定理未必都有 __ 5.说出下列命题的逆命题。这些命题的逆命题成立吗？ （1） 两直线平行，内错角相等； （2） 如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等； （3） 全等三角形的对应角相等； （4） 角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上。 二．课堂展示 “路” 4m 3m B C DA 13km 12km 5km B A C 图 18.2-3 例 1：判断由线段 a 、 b 、 c 组成的三角形是不是直角三角形： （1） 17,8,15  cba ； （2） 15,14,13  cba ． （3） 25,24,7  cba ； （4） 5.2,2,5.1  cba ； 三.随堂练习 1.完成书上 P75 练习 1、2 2.如果三条线段长 a,b,c 满足 222 bca  ，这三条线段组成的三角形是不是直角三角形？为什么？ 3.A,B,C 三地的两两距离如图所示，A 地在 B 地的正东方向，C 地在 B 地的什么方向？ 4.思考：我们知道 3、4、5 是一组勾股数，那么 3k、4k、5k（k 是正整数）也是一组勾股数吗？一般地， 如果 a、b、c 是一组勾股数，那么 ak、bk、ck（k 是正整数）也是一组勾股数吗？ 四.课堂检测 1.若△ABC 的三边 a，b，c 满足条件 a2+b2+c2+338=10a+24b+26c，试判定△ABC 的形状． 2.一根 24 米绳子，折成三边为三个连续偶数的三角形，则三边长分别为多少米？此三角形的形状为？ 3.已知：如图，在△ABC 中，CD 是 AB 边上的高，且 CD2=AD·BD。 求证：△ABC 是直角三角形。 五.小结与反思 18.2 勾股定理逆定理（2） 学习目标： 1.进一步掌握勾股定理的逆定理，并会应用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否是直角三角形，能够理 解勾股定理及其逆定理的区别与联系，掌握它们的应用范围。 2.培养逻辑推理能力，体会“形”与“数”的结合。 3.在不同条件、不同环境中反复运用定理，达到熟练使用，灵活运用的程度。 4.培养数学思维以及合情推理意识，感悟勾股定理和逆定理的应用价值。 重点：勾股定理的逆定理 难点：勾股定理的逆定理的应用 一.预习新知 已知：如图，四边形 ABCD，AD∥BC，AB=4，BC=6，CD=5，AD=3。 求：四边形 ABCD 的面积。 归纳：求不规则图形的面积时，要把不规则图形 二.课堂展示 例 1.“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行 16 海里， “海天”号每小时航行 12 海里，它们离开港口一个半小时后相距 30 海里．如果知道“远航”号沿东北方 向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？ B A C D A B C D E 例 2．如图，小明的爸爸在鱼池边开了一块四边形土地种了一些蔬菜，爸爸让小明计算一下土地的面积， 以便计算一下产量。小明找了一卷米尺，测得 AB=4 米，BC=3 米，CD=13 米，DA=12 米，又已知∠B=90°。 三.随堂练习 1.完成书上 P76 练习 3 2.一个三角形三边之比为 3：4：5，则这个三角形三边上的高值比为 A 3:4:5 B 5:4:3 C 20:15:12 D 10:8:2 3.如果△ABC 的三边 a,b,c 满足关系式 182  ba +（b-18）2+ 30c =0 则△ABC 是 _______三角形。 四.课堂检测 1.若△ABC 的三边 a、b、c，满足（a－b）（a2＋b2－c2）=0，则△ABC 是（ ） A．等腰三角形； B．直角三角形； C．等腰三角形或直角三角形； D．等腰直角三角形。 2.若△ABC 的三边 a、b、c，满足 a：b：c=1：1： 2 ，试判断△ABC 的形状。 3.已知：如图，四边形 ABCD，AB=1，BC= 4 3 ，CD= 4 13 ，AD=3，且 AB⊥BC。 求：四边形 ABCD 的面积。 4.小强在操场上向东走 80m 后，又走了 60m，再走 100m 回到原地。小强在操场上向东走了 80m 后，又走 60m 的方向是 。 5.一根 30 米长的细绳折成 3 段，围成一个三角形，其中一条边的长度比较短边长 7 米，比较长边短 1 米， 请你试判断这个三角形的形状。 6.已知△ABC 的三边为 a、b、c，且 a+b=4，ab=1，c= 14 ，试判定△ABC 的形状。 7.如图，在正方形ＡＢＣＤ中，Ｆ为ＤＣ的中点，Ｅ为ＢＣ上一点且ＥＣ＝ 4 1 ＢＣ，求证：∠ＥＦＡ＝90。. 五.小结与反思 勾股定理复习（1） 学习目标 1.理解勾股定理的内容，已知直角三角形的两边，会运用勾股定理求第三边. 2.勾股定理的应用. 3.会运用勾股定理的逆定理，判断直角三角形. 重点：掌握勾股定理及其逆定理. 难点：理解勾股定理及其逆定理的应用. 一.复习回顾 A B C D 在本章中，我们探索了直角三角形的三边关系，并在此基础上得到了勾股定理，并学习了如何利用拼图验 证勾股定理，介绍了勾股定理的用途；本章后半部分学习了勾股定理的逆定理以及它的应用．其知识结构 如下： 1.勾股定理： (1)直角三角形两直角边的______和等于_______的平方．就是说，对于任意的直角三角形，如果它的两条 直角边分别为 a、b，斜边为 c，那么一定有：————————————.这就是勾股定理． (2)勾股定理揭示了直角三角形___之间的数量关系，是解决有关线段计算问题的重要依据． 22222222 ,, bacacbbca  , 2222 , acbbca  ． 勾股定理的探索与验证，一般采用“构造法”．通过构造几何图形，并计算图形面积得出一个等式，从而 得出或验证勾股定理． 2.勾股定理逆定理 “若三角形的两条边的平方和等于第三边的平方，则这个三角形为________.”这一命题是勾股定理的逆 定理.它可以帮助我们判断三角形的形状.为根据边的关系解决角的有关问题提供了新的方法.定理的证明 采用了构造法.利用已知三角形的边 a,b,c(a2+b2=c2)，先构造一个直角边为 a,b 的直角三角形，由勾股定 理证明第三边为 c,进而通过“SSS”证明两个三角形全等，证明定理成立. 3.勾股定理的作用： (1）已知直角三角形的两边，求第三边； (2）在数轴上作出表示 n （n 为正整数）的点． 勾股定理的逆定理是用来判定一个三角形是否是直角三角形的.勾股定理的逆定理也可用来证明两直线是 否垂直,勾股定理是直角三角形的性质定理，而勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理，它不仅可以 判定三角形是否为直角三角形，还可以判定哪一个角是直角，从而产生了证明两直线互相垂直的新方法： 利用勾股定理的逆定理，通过计算来证明，体现了数形结合的思想． (3)三角形的三边分别为 a、b、c，其中 c 为最大边，若 222 cba  ，则三角形是直角三角形；若 222 cba  ，则三角形是锐角三角形；若  cba 22 ，则三角形是钝角三角形．所以使用勾股定理的 逆定理时首先要确定三角形的最大边． 二.课堂展示 例 1：如果一个直角三角形的两条边长分别是 6cm 和 8cm，那么这个三角形的周长和面积分别是多少? 例 2：如图，在四边形 ABCD 中，∠C=90°，AB=13，BC=4，CD=3，AD=12，求证：AD⊥BD． 三.随堂练习 1.如果下列各组数是三角形的三边，那么不能组成直角三角形的一组数是( ) A．7，24，25 B．3 2 1 ，4 2 1 ，5 2 1 C．3，4，5 D．4，7 2 1 ，8 2 1 2.如果把直角三角形的两条直角边同时扩大到原来的 2 倍，那么斜边扩大到原来的( ) A．1 倍 B．2 倍 C．3 倍 D．4 倍 3.三个正方形的面积如图 1，正方形 A 的面积为（ ） A． 6 B． 36 C． 64 D． 8 4.直角三角形的两直角边分别为 5cm，12cm，其中斜边上的高为（ ） A．6cm B．8．5cm C． 13 30 cm D． 13 60 cm 5.在△ABC 中，三条边的长分别为 a，b，c，a＝n2－1，b＝2n，c＝n2+1(n＞1，且 n 为整数)，这个三角形 是直角三角形吗？若是，哪个角是直角 四.课堂检测 1．两只小鼹鼠在地下打洞，一只朝前方挖，每分钟挖 8cm，另一只朝左挖，每分钟挖 6cm，10 分钟之后 两只小鼹鼠相距（ ） A．50cm B．100cm C．140cm D．80cm 2．小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多 1m，当它把绳子的下端拉开 5m 后，发 现下端刚好接触地面，则旗杆的高为 （ ） A．8cm B．10cm C．12cm D．14cm 3．在△ABC 中，∠C＝90°，若 a＝5，b＝12，则 c＝＿＿＿ 4．等腰△ABC 的面积为 12cm2，底上的高 AD＝3cm，则它的周长为＿＿＿． 5．等边△ABC 的高为 3cm，以 AB 为边的正方形面积为＿＿＿． 6．一个三角形的三边的比为 5∶12∶13，它的周长为 60cm，则它的面积是＿＿＿ 7．有一个小朋友拿着一根竹竿要通过一个长方形的门，如果把竹竿竖放就比门高出 1 尺，斜放就恰好等 于门的对角线长，已知门宽 4 尺．求竹竿高与门高． 8．如图 3，台风过后，一希望小学的旗杆在离地某处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部 8m 处，已知旗杆原 长 16m，你能求出旗杆在离底部什么位置断裂的吗？ 五.小结与反思 勾股定理复习(2) 学习目标 1.掌握直角三角形的边、角之间所存在的关系，熟练应用直角三角形的勾股定理和逆定理来解决实际问题． 2.经历反思本单元知识结构的过程，理解和领会勾股定理和逆定理． 3.熟悉勾股定理的历史，进一步了解我国古代数学的伟大成就，激发爱国主义思想，培养良好的学习态度． 重点：掌握勾股定理以及逆定理的应用． 难点：应用勾股定理以及逆定理． 考点一、已知两边求第三边 1．在直角三角形中,若两直角边的长分别为 1cm，2cm ，则斜边长为______． 图 1 A 100 64 8m 图 3 2．已知直角三角形的两边长为 3、2，则另一条边长是________________． 3．在数轴上作出表示 10 的点． 4．已知，如图在ΔABC 中，AB=BC=CA=2cm，AD 是边 BC 上的高． 求 ①AD 的长；②ΔABC 的面积． 考点二、利用列方程求线段的长 1．如图，铁路上 A，B 两点相距 25km，C，D 为两村庄，DA⊥AB 于 A，CB⊥AB 于 B，已知 DA=15km，CB=10km， 现在要在铁路 AB 上建一个土特产品收购站 E，使得 C，D 两村到 E 站的距离相等，则 E 站应建在离 A 站多 少 km 处？ 2.如图，某学校（A 点）与公路（直线 L）的距离为 300 米，又与公路车站（D 点）的距离为 500 米，现要 在公路上建一个小商店（C 点），使之与该校 A 及车站 D 的距离相等，求商店与车站之间的距离． 考点三、判别一个三角形是否是直角三角形 1.分别以下列四组数为一个三角形的边长：（1）3、4、5（2）5、12、13（3）8、15、17 （4）4、5、6，其中能够成直角三角形的有 2.若三角形的三别是 a2+b2,2ab,a2-b2(a>b>0),则这个三角形是 . 3.如图 1，在△ABC 中，AD 是高，且 CDBDAD 2  ，求证：△ABC 为直角三角形。 考点四、灵活变通 1.在 Rt△ABC 中， a，b，c 分别是三条边，∠B=90°，已知 a=6，b=10，则边长 c= 2.直角三角形中，以直角边为边长的两个正方形的面积为 7 2cm ，8 2cm ，则以斜边为边长的正方形的面积 为_________ 2cm ． 3.如图一个圆柱，底圆周长 6cm，高 4cm，一只蚂蚁沿外 壁爬行，要从 A 点爬到 B 点，则最少要爬行 cm 4.如图：带阴影部分的半圆的面积是 （ 取 3） 5.一只蚂蚁从长、宽都是 3，高是 8 的长方体纸箱的 A 点沿纸箱爬到 B 点，那么 它所爬行的最短路线的长是 6.若一个三角形的周长12 cm,一边长为 3cm,其他两边之差为cm,则这个三角形是______________________． 7.如图：在一个高 6 米，长 10 米的楼梯表面铺地毯， 则该地毯的长度至少是 米。 考点五、能力提升 1.已知：如图，△ABC中，AB＞AC，AD是BC边上的高． 求证：AB2-AC2=BC(BD-DC)． A D E B C A B 6 8 C B A D E 2.如图，四边形 ABCD 中，F 为 DC 的中点，E 为 BC 上一点， 且 BCCE 4 1 ．你能说明∠AFE 是直角吗？ 3.如图，有一个直角三角形纸片，两直角边 AC=6cm，BC=8cm，现将直角边 AC 沿直线 AD 折叠，使它落在斜 边 AB 上，且与 AE 重合，你能求出 CD 的长吗？ 三.随堂检测 1．已知△ABC 中，∠A= ∠B= ∠C，则它的三条边之比为（ ）． A．1：1：1 B．1：1 ：2 C．1：2 ：3 D．1：4：1 2．下列各组线段中，能够组成直角三角形的是（ ）． A．6，7，8 B．5，6，7 C．4，5，6 D．3，4，5 3．若等边△ABC 的边长为 2cm，那么△ABC 的面积为（ ）． A． 3 cm2 B．2 cm2 C．3 cm2 D．4cm2 4.直角三角形的两直角边分别为 5cm，12cm，其中斜边上的高为（ ） A．6cm B．8．5cm C．30／13cm D．60／13 cm 5.有两棵树，一棵高 6 米，另一棵高 3 米，两树相距 4 米．一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢， 至少飞了＿＿＿米． 6.一座桥横跨一江，桥长 12m，一般小船自桥北头出发，向正南方驶去，因水流原因到达南岸以后，发现 已偏离桥南头 5m，则小船实际行驶＿＿＿m． 7.一个三角形的三边的比为 5∶12∶13，它的周长为 60cm，则它的面积是＿＿＿． 8.已知直角三角形一个锐角 60°，斜边长为 1，那么此直角三角形的周长是 ． 9.有一个小朋友拿着一根竹竿要通过一个长方形的门，如果把竹竿竖放就比门高出 1 尺，斜放就恰好等于 门的对角线长，已知门宽 4 尺．求竹竿高与门高． 10.如图 1 所示，梯子 AB 靠在墙上，梯子的底端 A 到墙根 O 的距离为 2m，梯子的顶端 B 到地面的距离为 7m．现将梯子的底端 A 向外移动到 A′,使梯子的底端 A′到墙根 O 的距离为 3m，同时梯子的顶端 B 下降到 B′， 那么 BB′也等于 1m 吗? 11.已知：如图△ABC 中，AB=AC=10，BC=16，点 D 在 BC 上，DA⊥CA 于 A． 求：BD 的长． 四.小结与反思 复习第一步：： 勾股定理的有关计算 例 1： （2006 年甘肃省定西市中考题）下图阴影部分是一个正方形，则此正方形的面积为 ． 析解：图中阴影是一个正方形，面积正好是直角三角形一条直角边的平方，因此由勾股定理得正方形边长 平方为：172-152=64，故正方形面积为 6 勾股定理解实际问题 例 2．（2004 年吉林省中考试题）图①是一面矩形彩旗完全展平时的尺寸图（单位：cm）． 其中矩形 ABCD 是由双层白布缝制的穿旗杆用的旗裤，阴影部分 DCEF 为矩形绸缎旗面，将穿好彩旗的旗杆垂直插在操场 上，旗杆旗顶到地面的高度为 220cm．在无风的天气里，彩旗自然下垂，如图②． 求彩旗下垂时最低处 离地面的最小高度 h． O B′ 图 1 B AA′ 析解：彩旗自然下垂的长度就是矩形 DCEF 的对角线 DE 的长度，连接 DE，在 Rt△DEF 中，根据勾股定理， 得 DE= h=220-150=70(cm) 所以彩旗下垂时的最低处离地面的最小高度 h 为 70cm 与展开图有关的计算 例 3、（2005 年青岛市中考试题）如图，在棱长为 1 的正方体 ABCD—A’B’C’D’的表面上，求从顶点 A 到顶点 C’的最短距离． 析解：正方体是由平面图形折叠而成，反之，一个正方体也可以把它展开成平面图形，如图是正方体展 开成平面图形的一部分，在矩形 ACC’A’中，线段 AC’是点 A 到点 C’的最短距离．而在正方体中，线 段 AC’变成了折线，但长度没有改变，所以顶点 A 到顶点 C’的最短距离就是在图 2 中线段 AC’的长度． 在矩形 ACC’A’中，因为 AC=2，CC’=1 所以由勾股定理得 AC’= ． ∴从顶点 A 到顶点 C’的最短距离为 复习第二步： 1．易错点：本节同学们的易错点是：在用勾股定理求第三边时，分不清直角三角形的斜边和直角边；另 外不论是否是直角三角形就用勾股定理；为了避免这些错误的出现，在解题中，同学们一定要找准直角边 和斜边，同时要弄清楚解题中的三角形是否为直角三角形． 例 4：在 Rt△ABC 中， a，b，c 分别是三条边，∠B=90°，已知 a=6，b=10，求边长 c． 错解：因为 a=6，b=10，根据勾股定理得 c= 剖析：上面解法，由于审题不仔细，忽视了∠B=90°，这一条件而导致没有分清直角三角形的斜边和直角 边，错把 c 当成了斜边． 正解：因为 a=6，b=10，根据勾股定理得，c= 温馨提示：运用勾股定理时，一定分清斜边和直角边，不能机械套用 c2=a2+b2 例 5：已知一个 Rt△ABC 的两边长分别为 3 和 4，则第三边长的平方是 错解：因为 Rt△ABC 的两边长分别为 3 和 4，根据勾股定理得: 第三边长的平方是 32+42=25 剖析：此题并没有告诉我们已知的边长 4 一定是直角边，而 4 有可能是斜边，因此要分类讨论． 正解：当 4 为直角边时，根据勾股定理第三边长的平方是 25；当 4 为斜边时，第三边长的平方为：42-32=7， 因此第三边长的平方为：25 或 7． 温馨提示：在用勾股定理时，当斜边没有确定时，应进行分类讨论． 例 6：已知 a，b，c 为⊿ABC 三边，a=6，b=8，b0 b=0 b<0 b.>0 b=0 b<0 图象大致形状 图象所在象限 增减性 y 随 x 的增大而 ，图象从左向右 y 随 x 的增大而 ，象从左向右 与坐标轴交点 与 x 轴交于点（ ， ），与 y 轴交于点（ ， ） 二、课堂探究： 分别在同一直角坐标系中画出下列函数图象， １、y=-2x+1 y=-2x y=-2x-1 ２． 1 1, 1, 2 12y x y x y x      函数解析式 直线上选取的点 函数解析式 直线上选取的点 y=-2x+1 （0, ）和（ ，0） 1 12y x  （0, ）和（ ，0） y=-2x （0, ）和（ 1 ， ） 1y x  （0, ）和（ 1 ， ） y=-2x+1 （0, ）和（ ，0） 2 1y x  （0, ）和（ ，0） 思考：观察上图，可以看出： 结论：（1）、k 的符号决定函数的 性：当 k>0 时，y 随 x 的增大而 ，直线从左向右 ；当 k 〈0 时，y 随 x 的增大而 ，直线从左向右 。 （2）几个一次函数当 k 值相同时，它们的图象 ； （3）b 的符号决定直线 y=kx+b 与 的位置：当 b>0 时，交点在 ； 当 b=0 时，交点 为 ；当 b<0 时，交点在 。 （4）几个一次函数当 b 值相同时，它们的图象 ； 三、例题 例：一次函数 y=(m-3)x+5 的函数值随着 x 的增大而减小，且一次函数 y=(3+2m)x-3 的函数值随着的增大而 增大，求同时满足上述条件时，m 的取值范围。 四、课堂练习： 1、一次函数 13  xy 的图象一定经过（ ） （第 1 题） （第 1 题） A、（3，5） B、（-2，3） C、（2，7） D、（4、10） 2、分别写出下列各直线 )0(  kbkxy 中 k、b 的符号： 3、下列函数中，y 随 x 的增大而增大的是（ ） A、 xy 3 B、 12  xy C、 103  xy D、 12  xy 4、对于一次函数 kxky  )63( ，函数值 y 随 x 的增大而减小，则 k 的取值范围是（ ） A、 0k B、 2k C、 2k D、 02  k 5、已知一次函数 )0(  kbkxy 的图象经过点（0，1），且 y 随 x 的增大而增大，请你写出一个符合上 述条件的函数关系式_____________ 6、若一次函数 y=（1-2m）x+ 3 图象经过 A（x1、y1）、B（x2、y2）两点．当 x1y2，则 m 的 取值范围是什么？ 五、课后反思 一次函数（表达式的确定 1) （第 11 课时） 学习目标：1、了解待定系数法的思维方式及特点 2、能由两个条件求出一次函数的表达式，一个条件求出正比例函数的表达式． 3、能根据函数的图象确定一次函数的表达式，培养学生的数形结合能力. 重难点：1、能根据两个条件确定一个一次函数。2、能在问题情境中寻找条件，确定一次函数的表达式。 学习过程 一、复习： 1、一次函数 bkxy  （k≠0）的图象是一条直线，因此画它们的图象时，只需要确定两点，通常选取 坐标较“简单”的点，如（0, ）与（1, ）或（ ，0） 2、直线 )0(  kbkxy 中，k ，b 的取值决定直线的位置：k 确定函数的 性，b 确定图象与 的 交点。因此，要确定一次函数关系式 y＝kx＋b(k≠0)，就必须确定 k 与 b 的值，常用待定系数法来确定 k 和 b。[来源:学.科.网 Z.X.X.K] 二、自主学习，仿照教材第 93 页至 94 页例 4 完，解答下列问题 1、根据下列条件求出相应的函数关系式． (1)直线 y＝kx＋5 经过点(-2,-1)； (2)已知一次函数 y=kx+b 中，当自变量 x＝3 时，函数值 y＝5；当 x＝-4 时，y＝-9。 解：由已知条件 x＝3 时，y＝5，得 ， 由已知条件 x＝-4 时，y＝-9， 得 ， 两个条件都要满足，即解关于 x 的二元一次方程： ， 解得 所以，一 次函数解析式为 像上例这样 先设出函数解析式，再根据条件 确定解 析式中未知的系数，从而具体写出这个式子的方法， 叫做待定系数法。 2、求下图中直线的函数表达式： 三、方法总结 总结：确定正比例函数的表达式需要______个条件,确定一次函数的表达式需要______ 个条件. 求函数的表达式步骤：（待定系数法） （1）写出函数解析式的一般形式； （2）把已知条件（通常是自变量和函数的对应值或图像上某点的坐标等）代入函数解析式中，得到关于 待定 系数的方程或方程组。 （3）解方程或方程组求出待定系数的值， （4）把求出的 k，b 值代回到表达式中。 四、课堂作业 1、若一次函数 y＝mx-(m-2)过点(0,3)，求 m 的值． 2、写出下图中直线的解析式：图 1 中直线 AB 为： ，图 2 中的直线为 五、课后反思 一次函数（表达式的确定 2) （第 12 课时） 学习目标：会写简单的分段函数的解析式。 学习重难点：1、会写简单的分段函数的解析式。 2、从各种问题情境中寻找条件，确定一次函数的表达式。确定分段函数的解析式 学习过程 一、复习 1、直线 )0(  kbkxy 中，k 、b 的取值决定直线的位置：k 确定函数的 性，b 确定图象与 的 交点。因此，要确定一次函数关系式 y＝kx＋b(k≠0)，就必须确定 k 与 b 的值，常用待定系数法来确定 k 和 b。 2、用待定系数法求函数的表达式步骤：（1）写出函数解析式的一般形式； （2）把已知条件（通常是自变量和函数的对应值或图像上某点的坐标等）代入函数解析式中，得到关于 的方程或方程组。 （3）解方程或方程组求出 的值，（4）把求出的 k，b 值代回到表达式中。 二、自主学习：阅读教材第 94 页例 5 回答下列问题： “黄金 1 号”玉米种子的价格为 5 元/kg.。如果一次购买 2kg 以上的种子，超过 2kg 部分的种子价格打 8 折。 （1）填写下表： 购买量/kg 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 … 付款金额/元 … （2）写出购买量关于付款金额的函数解析式，并画出函数的图象。 注意：横轴和纵轴的意义不同，所以横轴和纵轴的单位长度可以不同。 解：设购买 xkg 种子的付款金额为 y 元。自变量的取值范围是 。 当 0 2x  时，y= ，此时的图象为一条线段，故画它的图象必须取它的两个端点 O （ ， ）和 A（ ， ），如图线段 就是它的图象。 当 2x  时，y= ，此时的图象为一条射线，故画它的图象必须取它的端点 A（ ， ）， 再另外适当地取一点 B（ ， ），如图射线 就是它的图象。 把以上两种情况合起来就可以写成如下的分段函数表达式：  ________________(0 2) ________________( 2) x xy    三、课堂练习： 1、小明家距学校 3 千米，星期一早上，小明步行按每小时 5 千米的速度去学校，行走 1 千米时,遇到学校 送学生的班车，小明乘坐班车以每小时 20 千米的速度直达学校，则 小明上学的行程 s 关于行驶时间t 的函 数的图像大致是下图中的 ( )[来源:Z#xx#k.Com] 2、如图，折线 ABC 是在某市乘出租车所付车费 y(元)与行车里程 x (km) 之间的函数关 系图象．(1)根据图象，写出当 x ≥3 时该图象的函数关系式；(2)某人乘坐 2．5 km，应付多少钱?(3)某人乘 坐 13 km，应付多少钱?(4)若某人付车费 30．8 元，出租车行驶了多少千米? 四、课后反思 新课标第一一次函数与一元一次方程（一元一次不等式） （第 13 课时） 学习目标：1、理解一次函数与一元一次方程及一元一次不等式之间的关系 2、能用函数的观点解一元一次方程及一元一次不等式 3、熟练地掌握用数形结合法解一元一次方程及一元一次不等式 重点难点：1、一次函数与一元一次方程及一元一次不等式之间的关系 2、用函数的观点解一元一次方程及一元一次不等式 学习过程 一、阅读课本 P96－P97 二、自学指导 【活动 1】 ①已知函数 y＝2x＋20，当函数 y＝0 时，求得自变量 x＝ . ②解方程 2x＋20＝0，求得 x＝ . ①②的联系是：在函数 y＝2x＋20 中，当 y＝0 时，该函数就变成了方程 ,所以解方程 2x ＋20＝0 就相当于在 中，已知 ，求 的值. 【活动 2】 ①已知函数 y＝2x－4，当函数 y＞0 时，求得自变量 x 的取值范围是 . ②解不等式 2x－4＞0,求得 x . ①②的联系是：在函数 y＝2x－4 中，当函数 y＞0 时，该函数就变成了不等式 ，所以解不等 式 2x－4＞0 就相当于在 中，已知 ，求 的取值范围. 三、知识归纳 1、解方程 ax＋b＝0（a,b 为常数，a≠0）等同于在一次函数 y＝ax＋b（a,b 为常数，a≠0）中 已知 ，求 . 2、从“数”的角度看：一元一次不等式 kx+b>0（或 kx+b<0）的解，就是一次函数 的函数值 （或 ）时，相应的自变量 x 的取值范围。 3、从“形”角度看：一元一次不等式 kx+b>0（或 kx+b<0）的解，就是一次函数 的图像在 x 轴 （或 ）时，相应的自变量 x 的取值范围。 课堂练习 1、在一次函数 y＝x－9 中，要得到 y＝－2，则 x 应取（ ） A.－7 B.7 C.11 D.－11 2、若一次函数 y＝kx＋b 图象与 x 轴相交点（3，0），则 kx＋b＝0 的解为（ ） A.x＝－3 B. x＝3 C. x＝0 D. 不能确定 3、若关于 x 的方程 4x－b＝5 的解为 x＝2,则直线 y＝4x－b 必定经过点（ ） A.（2，0） B.（0，3） C.（0，4） D. （0，－3） 4、如右图所示：是一次函数 y＝－ 132 1 x 的图象，那么不等式 － 132 1 x ≤8 的解集是（ ） A.x＜ 10 B. x≥ 10 C. x≤ 10 D. x≤13 5、已知方程 ax+b=0 的解是-2，下列图像肯定不是直线 y=ax+b 的是（ ） y ＝ 2 1 x x y o 1 8 · · 1· · 6、当 x＝ 时，函数 y＝2x＋3 与 y＝4x＋7 的值相等，这个值是 . 7、直线 y＝kx＋b 经过第一、二、三象限，与 x 轴的交点到原点的距离为 2，则方程 kx＋b＝0 的解为 。 8、直线 y＝x－1 上的点在 x 轴上方时，自变量 x 的取值范围是 . 9、如图所示，直线 y1＝k1x＋b1 与直线 y2＝k2x＋b2 相交点 A（6，4）， 那么不等式 k1x＋b1＞k2x＋b2 的解集是 . 10、如图，直线 y＝2x＋3 与坐标轴相交于 A、B 两点. 求 A、B 两点的坐标； 五、课后反思 我的问题： 我小组的问题： 一次函数与二元一次方程（组） （第 14 课时） 学习目标 1、会利用函数图象解二元一次方程组. 2、能利用一次函数与二元一次方程（组）的关系解决实际实际问题. 重点难点 1、归纳图象法解二元一次方程组的具体方法． 2、把函数和方程（组）、不等式有机结合起来，灵活解决问题. 学习过程 一、阅读课本 P97 问题 3 二、自学指导 【活动 1】将下列二元一次方程转化成一次函数 y＝kx＋b（k,b 为常数，k≠0）的形式 ① 3x＋5y＝8 转化 ；② 2x－y＝1 转化 . 归纳：任何一个二元一次方程都可转化成 的形式,所以任何一个二元一次方程的图象都 是 . 【活动 2】 x y o · y1 y2 6 4 · · x y o 1 B A B DC 解二元一次方程组      12 853 yx yx 得      y x ，所以直线 3x＋5y＝8 与直线 2x－y＝1 的交点 坐标为 . 新知归纳 一般地，每个二元一次方程组都对应两个 ，于是也对应两条 .从“数”的角度看，解方程 组相当于考虑 ，以及这个函数值是何值；从“形”的角度看， 解方程组相当于确定 .即 2、 3、图示理解 两个二元一次方程组成的方程组都对应两个一次函数，于是也对应两条直线。 四、课堂练习 1、二元一次方程 2x＋y＝4 有 个解，以它的解为坐标的点都在函数 的图象上. 2、已知方程组           7 3 23 12 y x yx yx 的解是 ，则直线 y＝2x－1 与 y＝3x＋2 的交点坐标为 . 3、如图，函数 y＝ax＋b 与 y＝kx－c 的图象相交于点 P，则根据图象 可得二元一次方程组      ckxy baxy 的解是 . 某单位需要用 车，准备和一个体车主或一国有出租公司其中的一家签订合同，设汽车每月行驶 xkm，应 付给个体车主的月租费是 y 元，付给出租车公司的月租费是 y 元，y，y 分别与 x 之间的函数关系图象是如 图 11-3-4 所示的两条直线，观察图象，回答下列问题： （1）每月行驶的路程在什么范围内时，租国有出租车公司的出租车合算？ (2)每月行驶的路程等于多少时，租两家车的费用相同？ （3）如果这个单位估计每月行驶的路程为 2300km，那么这个单位租哪家的车合算？ 二元一次方程组的解 两直线交点坐标 x y o p· y＝ax＋by＝kx－c -1 -3 五、课后反思 第二十章数据的分析 20.1 数据的代表 20.1.1 平均数（第一课时） 一、教学目标： 1、使学生理解数据的权和加权平均数的概念 2、使学生掌握加权平均数的计算方法 3、通过本节课的学习，还应使学生理解平均数在数据统计中的意义和作用：描述一组数据集中趋势的特 征数字，是反映一组数据平均水平的特征数。 二、重点、难点和难点突破的方法： 1、重点：会求加权平均数 2、难点：对“权”的理解 1、加深对加权平均数的理解 2、会根据频数分布表求加权平均数，从而解决一些实际问题 3、会用计算器求加权平均数的值 第二十章 数据的分析 课题 20.1 数据的代表 课时：六课时 第一课时 20.1.1 平均数 【学习目标】 1、使学生理解数据的权和加权平均数的概念 2、使学生掌握加权平均数的计算方法 3、通过本节课的学习，还应使学生理解平均数在数据统计中的意义和作用：描述一组数据集中趋势的特 征数字，是反映一组数据平均水平的特征数。 【重点难点】 重点：会求加权平均数 难点：对“权”的理解 【导学指导】 学习教材 P124-P127 相关内容，思考、讨论、合作交流后完成下列问题： 1． 你认为 P124“思考”中小明的做法有道理吗？为什么? 2． 正确的解法应是怎样的？请谈谈你的看法。 3． 什么是加权平均数？ 4． P125“例 1”中，所求的结果已不再是各人听说读写成绩的简单平均，而是听说读写成绩的加权平 均数，它们的权分别是多少？ 5． P126“例 2”中，两名选手的单项成绩都是两个 95 分与一个 85 分，为什么他们的最后得分不同呢？ 谈谈你对权的作用的体会。 【课堂练习】 1． 教材 P127 练习第 1,2 题。 2、在一个样本中，2 出现了 x 1 次，3 出现了 x 2 次，4 出现了 x 3 次，5 出现了 x 4 次，则这个样本的平均数 为 . 3、某人打靶，有 a 次打中 x 环，b 次打中 y 环，则这个人平均每次中靶 环。 4、一家公司打算招聘一名部门经理，现对甲、乙两名应聘者从笔试、面试、实习成绩三个方面表现进行 评分，笔试占总成绩 20%、面试占 30%、实习成绩占 50%，各项成绩如表所示： 应聘者 笔试 面试 实习 甲 85 83 90 乙 80 85 92 试判断谁会被公司录取，为什么？ 5、在一次英语口试中，已知 50 分 1 人、60 分 2 人、70 分 5 人、90 分 5 人、100 分 1 人，其余为 84 分。 已知该班平均成绩为 80 分，问该班有多少人？ 6、某广告公司欲招聘广告策划人员一名，对甲、乙、丙三名候选人进行了三项素质测试，他们的各项测 试成绩如下表所示： 测试项目 测试成绩 甲 乙 丙 创新 74 66 70 综合知识 85 72 50 语言 45 66 90 （1） 如果根据三项测试平均成绩确定录用人选，那么谁将被录取？ （2） 根据实际需要，公司将创新、综合知识、语言三项测试得分按 4:2:2 的比例确定各人的测 试成绩，此时谁将被录用？ 【要点归纳】 你今天有什么收获？与同伴交流一下。 【拓展训练】 学校对各个班级的教室卫生情况考察包括以下几项：黑板、门窗、桌椅、地面。三个班的各项卫生成绩 情况分别如下： 黑板 门窗 桌椅 地面 1 班 8.5 9 9.5 9 2 班 9.5 8.5 9 9 3 班 9 9.5 9 8.5 请你设计一个评分方案，并根据你的评分方案计算一下哪个班的卫生情况最好 20.1 数据的代表 第二课时 20.1.1 平均数 【学习目标】 1． 理解把算术平均数的简便算法看成加权平均数的道理，进一步加深对加权平均数的认识。 2． 能根据频数分布表利用组中值的方法计算加权平均数。 3． 掌握利用计算器计算加权平均数的方法。 【重点难点】 重点：能根据频数分布表利用组中值的方法应用公式计算加权平均数。 难点：对算术平均数的简便算法与加权平均数算法一致性的理解。 【导学指导】 学习教材 P127-P129 相关内容，思考、讨论、合作交流后完成下列问题： 1． 你能为教材 P127 的算术平均数举一个例子吗？ 2． 把算术平均数的公式与上节课的加权平均数公式进行对比，思考它们的相同之处与不同之处。 3． 教材 P128 的“探究”中，各组的载客量不是一个具体值，怎么办？ 4． 你的计算器能求平均数吗？试试看。 【课堂练习】 1． 教材 P129 练习第 1,2 题。 2． 八年级一班有学生 50 人，八年级二班有学生 45 人。期末数学测试中，一班学生的平均分为 81.5 分， 二班学生的平均分是 83.4 分，这两个班的平均分是多少？ 【要点归纳】 本节课你学到了什么？与同伴交流一下。 【拓展训练】 1． 小民骑自行车的速度是 15 千米/时，步行的速度是 5 千米/时，如果小民先骑自行车 2 小时，然 后步行 1 小时，那么他的平均速度是多少？ 2． 小民和小亮家去年的饮食、教育、和其他支出均分别为 3600 元，1200 元，7200 元。小民家今 年的这三项支出依次比去年增长了 10﹪,20﹪,30﹪，小亮家今年这三项支出依次比去年增长了 20﹪,30﹪，10﹪。小民和小亮家今年的总支出比去年增长的百分数相等吗？它们分别是多少 ？ 3. 为调查居民生活环境质量，环保局对所辖的 50 个居民区进行了噪音（单位：分贝）水平的调查， 结果如下图，求每个小区噪音的平均分贝数。 第三 课时 20.1.1 平均数 【学习目标】 1． 能根据频数分布直方图计算平均数。 2． 能正确有效应用平均数知识解决问题，提高分析、解决问题的能力。 3． 学习并体会用样本平均数估计总体平均数的思想方法。 【重点难点】 重点：能根据频数分布直方图计算平均数。 难点:能根据不同特点的频数分布直方图采取相应的处理方法。 【导学指导】 我们知道，当所要考察的对象很多，或考察本身带有破坏性时，统计中常用通过样本估计总体的方法来 获得对总体的认识。例如，实际生活中经常用样本的平均数来估计总体的平均数。 学习教材 P129-P130 相关内容，思考、讨论、合作交流后完成下列问题： 1. 教材 p129“例 3”中，表格里没有组中值，怎么办？ 2. 某灯泡厂要测量一批灯泡的使用寿命，使用全面调查的方法考察这批灯泡的平均使用寿命合适 年龄 频数 28≤X＜30 4 30≤X＜32 3 32≤X＜34 8 34≤X＜36 7 36≤X＜38 9 38≤X＜40 11 40≤X＜42 2 60 1 5 噪 音 / 分80705040 1 2 6 1 18 4 频数 1 90 吗？由这 100 个灯泡的使用寿命估计这批灯泡的平均使用寿命可以吗？这批灯泡的平均使用寿命 是多少？ 【课堂练习】 1. 教材 P130 练习题。 2. 小妹统计了她家 10 月份的长途电话费清单，并按通话时间画出直方图。 （1） 这张直方图与第 1 题中的直方图有何不同？ （2） 从这张图你能得到哪些信息？ （3） 小妹家 10 月份平均每个长途电话的通话时间是多少？ （4） 你认为能通过（3）的结论估计小妹家一年中平均每个长途电话的通话时间吗？ 【要点归纳】 今天你有什么收获，与同伴交流一下。 【拓展训练】 1. 某瓜农采用大棚栽培技术种植了一亩地的良种西瓜，这亩地产西瓜约 600 个，在西瓜上市前该 瓜农随机摘下 10 个成熟的西瓜，称重如下： 西瓜质量/千克 5.5 5.4 5.0 4.9 4.6 4.3 西瓜数量/个 1 2 3 2 1 1 计算这 10 个西瓜的平均质量，并根据计算结果估计这亩地的西瓜产量约是多少？ 2. 某班同学进行数学测验，将所得的成绩（得分取整数）进行整理后分成 5 组，并绘成频数分布 直方图，请结合直方图提供的信息，回答下列问题： (1) 该班共有多少名学生？（2）80.5-90.5 这一分数段的频数、频率分别是多少？ （3） 这次考试的平均成绩是多少？ 20.1 数据的代表 20.1.2 中位数和众数（第一课时） 【学习目标】 1. 掌握中位数的概念，会求一组数据的中位数。 2. 能应用中位数知识分析解决实际问题。 3. 初步感受中位数的特点及其与平均数的区别与联系。 【重点难点】 重点：掌握中位数的概念，能应用中位数知识分析解决实际问题。 难点：感受中位数的特点及其与平均数的区别与联系。 【导学指导】 学习教材 P130-P131 相关内容，思考、讨论、合作交流后完成下列问题： 1. 什么是中位数？ 你认为中位数和平均数有什么区别与联系？ 【课堂练习】 1、数据 8、9、9、8、10、8、99、8、10、7、9、9、8 的中位数是 ，众数是 2、一组数据 23、27、20、18、X、12，它的中位数是 21，则 X 的值是 . 3、数据 92、96、98、100、X 的众数是 96，则其中位数和平均数分别是（ ） A.97、96 B.96、96.4 C.96、97 D.98、97 4、如果在一组数据中，23、25、28、22 出现的次数依次为 2、5、3、4 次，并且没有其他的数据，则这组 数据的众数和中位数分别是（ ） A.24、25 B.23、24 C.25、25 D.23、25 5、随机抽取我市一年（按 365 天计）中的 30 天平均气温状况如下表： 温度（℃） -8 -1 7 15 21 24 30 天数 3 5 5 7 6 2 2 请你根据上述数据回答问题： （1）.该组数据的中位数是什么？ （2）.若当气温在 18℃~25℃为市民“满意温度”，则我市一年中达到市民“满意温度”的大约有多少天？ 6、教材 P131 练习题。 7、在一次测试中，全班平均成绩是 78 分，小妹考了 83 分，她说自己的成绩在班里是中上水平，你认 为小妹的说法合适吗？下面是小妹她们班所有学生的成绩： 20，35，35，40，40，52，63，65，74，79，80，83，84，84，85，85，85，85，85，85，86，87，87， 87，87，87，87，87，87，87，87，87，87，87，88，88，90，91，92，93，95. 由数列可知，小妹的成绩在全班是中上水平吗？多少分才是中上水平？ 【要点归纳】 今天你有什么收获？与同伴交流一下。 20.1.2 中位数和众数（第二课时） 【学习目标】 1. 掌握众数的概念，会求一组数据的众数。 2. 能应用众数知识分析解决实际问题。 3. 初步感受众数的特点及其与中位数、平均数的区别与联系。 【重点难点】 重点：理解众数的意义，能应用众数知识分析解决实际问题。 难点：众数的特点及其与中位数、平均数的区别与联系。 【导学指导】 学习教材 P131-P132 相关内容，思考、讨论、合作交流后完成下列问题： 1. 什么是众数？ 2. 众数与中位数、平均数有什么相同和不同的？ 【课堂练习】 1. 教材 P132 练习第 1，2 题。 2. 在某电视台举办的歌咏比赛中，六位评委给 1 号选手的评分如下： 90， 96， 91， 96， 95， 94， 这组数据的众数是 A．94.5 B. 95 C. 96 D. 2 3. 8 年级一班 46 个同学中,13 岁的有 5 人,14 岁的有 20 人,15 岁的 15 人,16 岁的 6 人。8 年级一班学 生年龄的平均数，中位数，众数分别是多少？ 4、 求下列数据的众数： （1）3， 2， 5， 3， 1， 2， 3 （2）5， 2， 1， 5， 3， 5， 2， 2 在一次环保知识竞赛中，某班 50 名学生成绩如下表所示： 得分 50 60 70 80 90 100 110 120 人数 2 3 6 14 15 5 4 1 分别求出这些学生成绩的众数、中位数和平均数. 5、公园里有甲、乙两群游客正在做团体游戏，两群游客的年龄如下：（单位：岁） 甲群：13、13、14、15、15、15、16、17、17。 乙群：3、4、4、5、5、6、6、54、57。 （1）、甲群游客的平均年龄是 岁，中位数是 岁，众数是 岁，其中能较好反映甲群游客年龄 特征的是 。 （2）、乙群游客的平均年龄是 岁，中位数是 岁，众数是 岁。其中能较好反映乙群 游客年龄特征的是 。 【要点归纳】 今天你有什么收获? 与同伴交流一下。 【拓展训练】 1.甲、乙两班举行默写英语单词比赛，成绩如下： 参赛人数 平均字数 中位数 甲班 55 135 149 乙班 55 135 151 如果默写 150 个以上为优秀，你认为哪个班较好？为什么? 2.某中学举行演讲比赛，8（1）、8（2）班根据初赛成绩各选出 5 名选手参加复赛，两个班各选出的 5 名选手的复赛成绩（满分为 100 分）如下表所示： 8（1）班 75 80 85 85 100 8（2）班 100 80 100 75 70 （1） 根据上图填写下表： 平均数（分） 中位数（分） 众数（分） 8（1）班 85 85 8（2）班 85 80 （2） 结合两班复赛成绩的平均数和中位数，分析哪一个班级的复赛成绩较好。 （3） 如果在每班参加复赛的选手中分别选出两人参加决赛，你认为哪个班的实力更强一些，并 说明理由。 第六课时 20.1.2 中位数和众数 【学习目标】 1. 在解决实际问题中进一步理解平均数、中位数、众数作为数据代表的意义，能根据所给信息求出相 应的数据代表。 2. 结合具体情景体会平均数、中位数、众数三者的特点与差异，能根据具体问题选择适当的量来代表， 并作出自己的评判。 【重点难点】 重点：理解平均数、中位数、众数作为数据代表的意义，能根据具体问题选择适当的量来代表。 难点：能对具体问题进行分析，选择适当的量来代表。 【导学指导】 复习旧知： 什么是平均数？什么是中位数？什么是众数?它们有什么区别与联系? 学习新知： 学习教材 P132-P134 相关内容，思考、讨论、合作交流后完成下列问题： 如何在实际问题中选取平均数、中位数、众数来代表数据？ 【课堂练习】 1. 教材 P135 练习题。 2. 8 年级某教室里，三位同学正在为谁的数学成绩好而争论，他们五次数学成绩分别是： 小花：62，94，95，98，98 小妹：62，92，98，99，100 小路：40，62，85，99，99 他们都认为自己的数学成绩比另两位同学好， （1） 他们认为自己的数学成绩比另外两位同学好的依据是什么？ （2） 你认为哪一个同学的成绩最好呢？请说明理由。 【要点归纳】 你今天有什么收获？与同伴交流一下。 【拓展训练】 1.某超市购进一批不同价格的皮鞋，下表是该超市在近几年统计的平均数据。要使该超市销售皮鞋收入 最大，该超市应多购（ ）的皮鞋。 皮鞋价（元） 160 140 120 100 销售百分率 60％ 75％ 83％ 95％ A．160 元 B.140 元 C.120 元 D.100 元 2. 某 商 场 统 计 了 每 个 营 业 员 在 某 月 的 销 售 额 ， 统 计 图 如 下 ： （1） 设营业员的月销售额为 x 万元，商场规定：当 x<15 时为不称职，当 15≤x<20 时为基本称职，当 20≤x<25 时为称职，当 x≥25 时为优秀，试求出不称职、基本称职、称职、优秀四个层次营业员 人数所占的百分比。 （2） 根据（1）中的规定，所有称职和优秀的营业员月销售的中位数、众数、平均数分别是多少？ （3） 为了调动营业员的工作积极性，决定实行销售奖励标准，凡达到或超过这个标准的营业员将受到 奖励。如果要使得称职和优秀的所有营业员的半数左右能获奖，你认为这个奖励标准应定为多少 合适？简述理由。 20.2 数据的波动 20.2.1 极差 【学习目标】 1、理解极差的定义，知道极差是用来反映数据波动范围的一个量 2、会求一组数据的极差 【重点难点】 1、重点：会求一组数据的极差 2、难点：本节课内容较容易接受，不存在难点。 三、例习题的意图分析 教材 P151 引例的意图 （1）、主要目的是用来引入极差概念的 （2）、可以说明极差在统计学家族的角色——反映数据波动范围的量 （3）、交待了求一组数据极差的方法。 四、课堂引入： 引入问题可以仍然采用教材上的“乌鲁木齐和广州的气温情”为了更加形象直观一些的反映极差的意 义，可以画出温度折线图，这样极差之所以用来反映数据波动范围就不言而喻了。 五、例习题分析 本节课在教材中没有相应的例题，教材 P152 习题分析 问题 1 可由极差计算公式直接得出，由于差值较大，结合本题背景可以说明该村贫富差距较大。问题 2 涉 及前一个学期统计知识首先应回忆复习已学知识。问题 3 答案并不唯一，合理即可。 六、随堂练习： 1、一组数据：473、865、368、774、539、474 的极差是 ，一组数据 1736、1350、-2114、-1736 的 极差是 . 2、一组数据 3、-1、0、2、X 的极差是 5，且 X 为自然数，则 X= . 3、下列几个常见统计量中能够反映一组数据波动范围的是（ ） A.平均数 B.中位数 C.众数 D.极差 4、一组数据 X 1 、X 2 …X n 的极差是 8，则另一组数据 2X 1 +1、2X 2 +1…，2X n +1 的极差是（ ） A. 8 B.16 C.9 D.17 答案：1. 497、3850 2. 4 3. D 4.B 七、课后练习： 1、已知样本 9.9、10.3、10.3、9.9、10.1，则样本极差是（ ） A. 0.4 B.16 C.0.2 D.无法确定 在一次数学考试中，第一小组 14 名学生的成绩与全组平均分的差是 2、3、-5、10、12、8、2、-1、4、-10、 -2、5、5、-5，那么这个小组的平均成绩是（ ） A. 87 B. 83 C. 85 D 无法确定 3、已知一组数据 2.1、1.9、1.8、X、2.2 的平均数为 2，则极差是 。 4、若 10 个数的平均数是 3，极差是 4，则将这 10 个数都扩大 10 倍，则这组数据的平均数是 ，极 差是 。 5、某活动小组为使全小组成员的成绩都要达到优秀，打算实施“以优帮困”计划，为此统计了上次测试 各成员的成绩（单位：分） 90、95、87、92、63、54、82、76、55、100、45、80 计算这组数据的极差，这个极差说明什么问题？ 将数据适当分组，做出频率分布表和频数分布直方图。 6、为了调查居民的生活水平，有关部门对某地区 5 个街道的 50 户居民的家庭存款进行了调查，数据（单 位：元）如下： 16000 35000 23000 65000 22000 19000 68000 48000 50000 47000 23000 15000 31000 56000 37000 22000 33000 58000 43000 36000 38000 30000 51000 70000 31000 29000 44000 58000 38000 37000 33000 52000 41000 42000 48000 30000 40000 46000 60000 24000 33000 61000 50000 49000 30000 31000 72000 18000 50000 19000 （1） 这 50 个家庭存款的最大值、最小值、极差以及平均数分别是多少？ （2） 将这 50 个家庭存款数分成下面 7 组，分别计算各组的频数。 储蓄额/元 频数 10000------19000 20000------29000 30000------39000 40000------49000 50000------59000 60000------69000 70000------79000 （3）根据上表，作出频数分布直方图。 20.2.2 方差 【学习目标】 1. 了解方差的定义和计算公式。 2. 理解方差概念的产生和形成的过程。 3. 会用方差计算公式来比较两组数据的波动大小。 【重点难点】 重点：方差产生的必要性和应用方差公式解决实际问题。 难点：理解方差公式 三. 例习题的意图分析： 1. 教材 P125 的讨论问题的意图： （1）.创设问题情境，引起学生的学习兴趣和好奇心。 （2）.为引入方差概念和方差计算公式作铺垫。 （3）.介绍了一种比较直观的衡量数据波动大小的方法——画折线法。 （4）.客观上反映了在解决某些实际问题时，求平均数或求极差等方法的局限性，使学生体会到学习方差 的意义和目的。 2. 教材 P154 例 1 的设计意图： （1）.例 1 放在方差计算公式和利用方差衡量数据波动大小的规律之后，不言而喻其主要目的是及时复习， 巩固对方差公式的掌握。 （2）.例 1 的解题步骤也为学生做了一个示范，学生以后可以模仿例 1 的格式解决其他类似的实际问题。 四.课堂引入： 除采用教材中的引例外，可以选择一些更时代气息、更有现实意义的引例。例如，通过学生观看 2004 年奥运会刘翔勇夺 110 米栏冠军的录像，进而引导教练员根据平时比赛成绩选择参赛队员这样的实际问题 上，这样引入自然而又真实，学生也更感兴趣一些。 五. 例题的分析： 教材 P154 例 1 在分析过程中应抓住以下几点： 1. 题目中“整齐”的含义是什么？说明在这个问题中要研究一组数据的什么？学生通过思考可以回答出 整齐即波动小，所以要研究两组数据波动大小，这一环节是明确题意。 2. 在求方差之前先要求哪个统计量，为什么？学生也可以得出先求平均数，因为公式中需要平均值，这 个问题可以使学生明确利用方差计算步骤。 3. 方差怎样去体现波动大小？ 这一问题的提出主要复习巩固方差，反映数据波动大小的规律。 六. 随堂练习： 1. 从甲、乙两种农作物中各抽取 1 株苗，分别测得它的苗高如下：（单位：cm） 甲：9、10、11、12、7、13、10、8、12、8； 乙：8、13、12、11、10、12、7、7、9、11； 问：（1）哪种农作物的苗长的比较高？ （2）哪种农作物的苗长得比较整齐？ 2. 段巍和金志强两人参加体育项目训练，近期的 5 次测试成绩如下表所示，谁的成绩比较稳定？为什么？ 测试次数 1 2 3 4 5 段巍 13 14 13 12 13 金志强 10 13 16 14 12 七. 课后练习： 1.已知一组数据为 2、0、-1、3、-4，则这组数据的方差为 。 2.甲、乙两名学生在相同的条件下各射靶 10 次，命中的环数如下： 甲：7、8、6、8、6、5、9、10、7、4 乙：9、5、7、8、7、6、8、6、7、7 经过计算，两人射击环数的平均数相同，但 S 2 甲 S 2 乙 ，所以确定 去参加比赛。 3. 甲、乙两台机床生产同种零件，10 天出的次品分别是（ ） 甲：0、1、0、2、2、0、3、1、2、4 乙：2、3、1、2、0、2、1、1、2、1 分别计算出两个样本的平均数和方差，根据你的计算判断哪台机床的性能较好？ 4. 小爽和小兵在 10 次百米跑步练习中成绩如表所示：（单位：秒） 小爽 10.8 10.9 11.0 10.7 11.1 11.1 10.8 11.0 10.7 10.9 小兵 10.9 10.9 10.8 10.8 11.0 10.9 10.8 11.1 10.9 10.8 如果根据这几次成绩选拔一人参加比赛，你会选谁呢？ 数据的分析复习学案 学习目标： 1、进一步理解平均数、中位数和众数等统计量的统计意义。 2、会计算加权平均数，理解“权”的意义，能选择适当的统计量表示数据的集中趋势。 3、会计算极差和方差，理解它们的统计意义，会用它们表示数据的波动情况。 4、会用样本平均数、方差估计总体的平均数、方差，进一步感受抽样的必要性，体会用样本估计总体的 思想。 一、知识点回顾 1、数学期末总评成绩由作业分数，课堂参与分数，期考分数三部分组成，并按 3：3：4 的比例确定。已 知小明的期考 80 分，作业 90 分，课堂参与 85 分，则他的总评成绩为________。 2、样本 1、2、3、0、1 的平均数与中位数之和等于＿＿＿. 3、一组数据 5，-2，3，x，3，-2，若每个数据都是这组数据的众数，则这组数据的平均数是 ． 4、数据 1，6，3，9，8 的极差是 ． 5、已知一个样本：1，3，5，x，2，它的平均数为 3，则这个样本的方差是 。 二、专题练习 1、方程思想： 例：某次考试 A、B、C、D、E 这 5 名学生的平均分为 62 分，若学生 A 除外，其余学生的平均得分为 60 分，那么学生 A 的得分是_____________． 点拨：本题可以用统计学知识和方程组相结合来解决。 同类题连接：某班级组织一批学生去春游，预计共需费用 120 元，后来又有 2 人参加进来，总费用不变， 于是每人可以少分摊 3 元，设原来参加春游的学生 x 人。可列方程： 2、分类讨论法： 例：汶川大地震牵动每个人的心，一方有难，八方支援，5 位衢州籍在外打工人员也捐款献爱心。已知 5 人平均捐款 560 元(每人捐款数额均为百元的整数倍)，捐款数额最少的也捐了 200 元，最多的(只有 1 人) 捐了 800 元，其中一人捐 600 元，600 元恰好是 5 人捐款数额的中位数，那么其余两人的捐款数额分别是 ___________； 点拨：做题过程中要注意满足的条件。 同类题连接：数据 -1 , 3 , 0 , x 的极差是 5 ,则 x = . 3、平均数、中位数、众数在实际问题中的应用： 例：某班 50 人右眼视力检查结果如下表所示： 视力 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 1.0 1.2 1.5 人数 2 2 2 3 3 4 5 6 7 11 5 求该班学生右眼视力的平均数、众数与中位数．发表一下自己的看法。 4、方差在实际问题中的应用 例：甲、乙两名射击运动员在相同条件下各射靶 5 次，各次命中的环数如下： 甲： 5 8 8 9 10 乙： 9 6 10 5 10 （1）分别计算每人的平均成绩； （2）求出每组数据的方差； （3）谁的射击成绩比较稳定？ 三、知识点回顾 1、平均数： 在一次英语口试中，已知 50 分 1 人、60 分 2 人、70 分 5 人、90 分 5 人、100 分 1 人，其余为 84 分。 已知该班平均成绩为 80 分，问该班有多少人？ 2、中位数和众数 ○1 .一组数据 23、27、20、18、X、12，它的中位数是 21，则 X 的值是 . ○2 .如果在一组数据中，23、25、28、22 出现的次数依次为 2、5、3、4 次，并且没有其他的数据，则这组 数据的众数和中位数分别是（ ） A.24、25 B.23、24 C.25、25 D.23、25 ○3 .在一次环保知识竞赛中，某班 50 名学生成绩如下表所示： 得分 50 60 70 80 90 100 110 120 人数 2 3 6 14 15 5 4 1 分别求出这些学生成绩的众数、中位数和平均数. 3、极差和方差 ○1 .一组数据 X 1 、X 2 …Xn的极差是 8，则另一组数据 2X 1 +1、2X 2 +1…，2X n +1 的极差是（ ） A. 8 B.16 C.9 D.17 ○2 .如果样本方差  2 4 2 3 2 2 2 1 2 )2()2()2()2(4 1  xxxxS ， 那么这个样本的平均数为 .样本容量为 . 四、自主探究 1、已知：1、2、3、4、5、这五个数的平均数是 3，方差是 2. 则：101、102、103、104、105、的平均数是 ，方差是 。 2、4、6、8、10、的平均数是 ，方差是 。 你会发现什么规律？ 2、应用上面的规律填空： 若 n 个数据 x1,x2……xn 的平均数为 m，方差为 w。 （1）n 个新数据 x1+100,x2+100, …… xn+100 的平均数是 ，方差为 。 （2）n 个新数据 5x1,5x2, ……5xn 的平均数 ，方差为 。 五、学以致用： 1、为了解我校八年级 800 名学生期中数学考试情况，从中抽取了 200 名学生的数学成绩进行统计.下列判 断：①这种调查方式是抽样调查；②800 名学生是总体；③每名学生的期中考试数学成绩是个体；④200 名学生是总体的一个样本；⑤200 名学生是样本容量.其中正确的判断有（ ） A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 2、甲、乙、丙、丁四人的数学测验成绩分别为 90 分、90 分、x 分、80 分，若这组数据的众数与平均数恰 好相等，则这组数据的中位数是（ ） A.100 分 B.95 分 C.90 分 D.85 分 3、已知三年四班全班 35 人身高的算术平均数与中位数都是 158 厘米，但后来发现其中有一位同学的身高 登记错误，误将 160 厘米写成 166 厘米，正确的平均数为 a 厘米，中位数为 b 厘米，关于平均数 a 的叙述， 下列何者正确（ ） A.大于 158 B.小于 158 C.等于 158 D.无法确定 4、在上题中关于中位数 b 的叙述。下列何者正确 （ ） A.大于 158 B.小于 158 C.等于 158 D.无法确定 5、若一组数据 a1，a2，…，an 的方差是 5，则一组新数据 2a1，2a2，…，2an 的方差是（ ） A.5 B.10 C.20 D.50 6、在一次测验中，某学习小组的 5 名学生的成绩如下（单位：分） 68 、75、67、66、99 这组成绩的平均分 x= ,中位数 M= ；若去掉一个最高分后的平均分 'x = ；那么所 求的 x，M， 'x 这三个数据中，你认为能描述该小组学生这次测验成绩的一般水平的数据是 . 7、从一个班抽测了 6 名男生的身高，将测得的每一个数据（单位：cm）都减去 165.0cm，其结果如下： −1.2，0.1，−8.3，1.2，10.8，−7.0 这 6 名男生中最高身高与最低身高的差是 ___ ；这 6 名男生的平均身高约为 _ （结果保留到小数点 后第一位） 8、已知一个样本：1，3，5，x，2，它的平均数为 3，则这个样本的方差是 . 9、已知数据 a，c，b，c，d，b，c，a 且 a＜b ＜c＜d，则这组数据的众数为________，中位数为________， 10、在数据－1，0，4，5，8 中插入一个数 x，使这组数据的中位数为 3，则 x＝ 12、现有 A、B 两个班级，每个班级各有 45 名学生参加一次测试，每名参加者可获得 0，1，2，3，4，5， 6，7，8，9 分这几种不同的分值中的一种．测试结果 A 班的成绩如下表所示，B 班的成绩如右图所示． (1)由观察可知，______班的方差较大； (2)若两班合计共有 60 人及格，问参加者最 少获______分才可以及格． 13、小芳测得连续五日最低气温并整理后得出下表： 由于不小心第 4 日及方差两个数据被墨迹污染，这两个数据分别是 和 ． 14、某班有男同学 27 名，女同学 21 名，再一次语文测试中，男同学的平均分是 82 分，中位数是 75，女 同学的平均分是 80 分，中位数是 80. （1）求这次测试的全班平均分；（精确到 0.01 分） （2）估计全班成绩在 80 分以下（包括 80 分）的同学至少有多少人？ （3）男同学的平均分与中位数相差较大，分析其原因主要是什么？ A 班 分 数 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 人 数 1 3 5 7 6 8 6 4 3 2 A 班 分 数 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 人 数 1 3 5 7 6 8 6 4 3 2 日期 一 二 三 四 五 方差 平均气温 最低气温 1 3 2 5 3 日期 一 二 三 四 五 方差 平均气温 最低气温 １ ３ ２ 5 ３ 六、学后反思