重庆市巴蜀中学初中部数学教研组整理：八年级数学上（RJ）11

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11.1.1 三角形的边 第十一章 三角形 导入新课 讲授新课 当堂练习 课堂小结 八年级数学上（RJ） 情境引入 学习目标 1. 认识三角形并会用几何语言表示三角形，了解三角 形分类 . 2. 掌握三角形的三边关系 . （难点） 3. 运用三角形三边关系解决有关的问题 . （重点） 导入新课 埃及金字塔                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                           氨气分子结构示意图 飞机机翼 问题： （ 1 ）从古埃及的金字塔到现代的飞机，从宏伟的建筑 物到微小的分子结构，都有什么样的形象？ （ 2 ）在我们的生活中有没有这样的形象呢？试举例 . 三角形的概念 一 问题 1 ： 观察下面三角形的形成过程，说一说什么叫三角形 ? 定义： 由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫作三角形 . 问题 2 ： 三角形中有几条线段 ? 有几个角 ? A B C 边： 线段 AB ， BC ， CA 是三角形的边 . 顶点 ：点 A ， B ， C 是三角形的顶点， 角： ∠ A ， ∠ B ， ∠ C 叫作三角形的内角，简称三角 形的角 . 有 三 条线段， 三 个角 讲授新课 记法： 三角形 ABC 用符号表示 ________. 边的表示： 三角形 ABC 的边 AB 、 AC 和 BC 可用小写字母分别表示为 ________. △ ABC c ， a ， b 边 c 边 b 边 a 顶点 C 角 角 角 顶点 A 顶点 B B C A 在 △ ABC 中， AB 边所对的角是： ∠ A 所对的边是： ∠ C B C 再说几个对边与对角的关系试试 . 三角形的对边与对角： 辨一辨： 下列图形符合三角形的定义吗？ 不符合 不符合 不符合 ①位置关系：不在同一直线上； ②联接方式：首尾顺次相接 . 三角形应满足以下两个条件： 要点提醒 表示方法： 三角形用符号“ △ ”表示；记作“ △ ABC ”，读作“三角形 ABC ”，除此 △ ABC 还可记作 △ BCA , △ CAB , △ ACB 等 . 基本要素： 三角形的 边 ：边 AB 、 BC 、 CA ； 三角形的 顶点 ：顶点 A 、 B 、 C ； 三角形的内角 ( 简称为三角形的 角 ）： ∠ A 、 ∠ B 、 ∠ C . 特别规定： 三角形 ABC 的三边 , 一般的顶点 A 所对的边记作 a , 顶点 B 所对的边记作 b , 顶点 C 所对的边记作 c . 5 个，它们分别是△ ABE , △ ABC , △ BEC , △ BCD , △ ECD . 找一找 ： (1) 图中有几个三角形？用符号表示出这些三角形？ A B C D E (2) 以 AB 为边的三角形有哪些？ △ ABC 、△ ABE. （ 3 ） 以 E 为顶点的三角形有哪些？ △ ABE 、△ BCE 、 △ CDE. （ 4 ） 以 ∠ D 为角的三角形有哪些？ △ BCD 、 △ DEC. （ 5 ） 说出△ BCD 的三个角和三个顶点所对的边 . △ BCD 的三个角是 ∠ BCD 、 ∠ BDC 、 ∠ CBD . 顶点 B 所对应的边为 DC ，顶点 C 所对应的边为 BD ，顶点 D 所对应的边为 BC . A B C D E 三角形的分类 二 问题 1 ： 观察下列三角形，说一说， 按照三角形内角的大小，三角形可以分为哪几类？ 锐角三角形、 直角三角形、 钝角三角形 . 腰 不等边三角形 等腰三角形 等边三角形 底边 顶角 底角 问题 2 ： 你能找出下列三角形各自的特点吗？ 三边均不相等 有两条边相等 三条边均相等 三条边各不相等的三角形叫做 不等边三角形 ； 有两条边相等的三角形叫做 等腰三角形 ； 三条边都相等的三角形叫做 等边三角形 ． 思考： 等边三角形和等腰三角形之间有什么关系？ 总结归纳 三角形按边分类 不等边三角形 等腰三角形 我们可以把三角形按照三边情况进行分类 腰和底不等的等腰三角形 等边三角形（三边都相等 的三角形） 判断： （ 2 ） 等边三角形是特殊的等腰三角形 . （ ） （ 1 ） 一个钝角三角形一定不是等腰三角形 . （ ） √ × （ 3 ） 等腰三角形的腰和底一定不相等 . （ ） × （ 4 ） 等边三角形是锐角三角形 . （ ） （ 5 ） 直角三角形一定不是等腰三角形 . （ ） × √ 在 A 点的小狗，为了尽快吃到 B 点的香肠，它选择 A B 路线，而不选择 A C B 路线，难道小狗也懂数学？ C B A 三角形的三边关系 三 AC + CB >A B （两点之间线段最短） A B C 路线 1 ：从 A 到 C 再到 B 的路线走； 路线 2 ：沿线段 AB 走 . 请问：路线 1 、路线 2 哪条路程较短，你能说出根据吗？ 解：路线 2 较短；两点之间线段最短 . 由此可以得到： 归纳总结 三角形两边的和大于第三边 . 三角形两边的差小于第三边 . 议一议 1. 在同一个三角形中 , 任意两边之和与第三边有什么 大小关系 ? 2. 在同一个三角形中 , 任意两边之差与第三边有什么 大小关系 ? 3. 三角形三边有怎样的不等关系 ? 通过动手实验同学们可以得到哪些结论 ? 理由是什么？ 例 1 有两根长度分别为 5cm 和 8cm 的 木棒 ，用长度 为 2cm 的木棒与它们能摆成三角形吗？为什么？长 度为 13cm 的木棒呢？ 判断三条线段是否可以组成三角形，只需 说明 两条较短线段之和大于第三条线段 即可 . 解：取长度为 2cm 的木棒时，由于 2+5=7<8 ，出现了两边之和小于第三边的情况，所以它们不能摆成三角形 . 取长度为 13cm 的木棒时，由于 5+8=13 ，出现了两边之和等于第三边的情况，所以它们也不能摆成三角形 . 归纳 典例精析 例 2 一个三角形的三边长分别为 4 ， 7 ， x ，那么 x 的取值范围是 ( 　　 ) A ． 3 ＜ x ＜ 11 B ． 4 ＜ x ＜ 7 C ．－ 3 ＜ x ＜ 11 D ． x ＞ 3 判断三角形边的取值范围要同时运用两边 之和大于第三边，两边之差小于第三边． 归纳 解析： ∵ 三角形的三边长分别为 4 ， 7 ， x ， ∴ 7 － 4 ＜ x ＜ 7 ＋ 4 ， 即 3 ＜ x ＜ 11 . A 例 3 用一条长为 18cm 的细绳围成一个等腰三角形 . (1) 如果腰长是底边长的 2 倍，那么各边的长是多少？ (2) 能围成有一边的长是 4cm 的等腰三角形吗？为什么 ？ 解： (1) 设底边长为 x cm ，则腰长为 2 x cm , x +2 x +2 x =18. 解得 x =3.6. 所以三边长分别为 3.6cm 、 7.2cm 、 7.2cm. (2) 因为长为 4cm 的边可能是腰，也可能是底边， 所以需要分情况讨论 . ①若底边长为 4cm ，设腰长为 x cm , 则有 4+2 x =18. 解得 x =7. ②若腰长为 4cm, 设底边长为 x cm ，则有 2×4+ x =18. 解得 x =10. 因为 4+4 ＜ 10 ， 不符合三角形两边的和大于第三边 ， 所 以不能围成腰长是 4cm 的等腰三角形 . 由以上讨论可知，可以围成底边长是 4cm 的等腰三角形 . 例 4 如图， D 是△ ABC 的边 AC 上一点， AD=BD ，试判断 AC 与 BC 的大小 . 解：在△ BDC 中， 有 BD + DC > BC （三角形的 任意两边之和大于第三边） . 又因为 AD = BD ， 则 BD + DC = AD + DC = AC ， 所以 AC > BC . 当堂练习 1. 下列长度的三条线段能否组成三角形？为什么？ （ 1 ） 3 ， 4 ， 8 （ ） （ 2 ） 2 ， 5 ， 6 （ ） （ 3 ） 5 ， 6 ， 10 （ ） （ 4 ） 3 ， 5 ， 8 （ ） 不能 能 能 不能 4. 如果等腰三角形的一边长是 4cm, 另一边长是 9cm, 则这个等腰三角形的周长为 ______________. 3. 如果等腰三角形的一边长是 5cm, 另一边长是 8cm, 则这个等腰三角形的周长为 ______________. 2. 五条线段的长分别为 1cm,2cm,3cm,4cm,5cm, 以其中三条线为边长可以构成 ________ 个三角形 . 3 22cm 18cm 或 21cm 5. 若三角形的两边长分别是 2 和 7, 第三边长为奇数 , 求第三边的长 . 解：设第三边长为 x , 根据三角形的三边关系，可得， 7-2 ＜ x ＜ 7+2 ，即 5 ＜ x ＜ 9 ， 又 x 为奇数，则第三边的长为 7. 6. 若 a ， b ， c 是 △ ABC 的三边长，化简 | a － b － c | ＋ | b － c － a | ＋ | c ＋ a － b |. 解：根据三角形的三边关系，两边之和 大于第三边，得 a － b － c ＜ 0 ， b － c － a ＜ 0 ， c ＋ a － b ＞ 0. ∴ | a － b － c | ＋ | b － c － a | ＋ | c ＋ a － b | ＝ b ＋ c － a ＋ c ＋ a － b ＋ c ＋ a － b ＝ 3 c ＋ a － b . 拓展提升 课堂小结 三角形 定义及其基本要素 顶点、角、边 分类 按角分类 按边分类分类 不重不漏 三边关系 原理 两点之间线段最短 内容 两边之和大于第三边 两边之差小于第三边 |a - b| < x < a + b ( a > b , x 为第三边） 应用