2020人教版八年级上数学第十一章三角形单元全套课件

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[人教版]八年级年级数学上册优质课件 [教育部审定教材] 第十一章 三角形 使用说明：点击对应课时，就会 跳转到相应章节内容，方便使用。 11.1.1 三角形的边 11.1.2 三角形的高、中 线与角平分线 11.2.1 三角形的内角 11.1.3 三角形的稳定性 11.2.2 三角形的外角 11.3.1 多边形 11.3.2 多边形的内角和 人教版 数学 八年级 上册 观察与思考 1. 你能从中找出4个不同的三角形吗？与同学交流 各自找出的三角形。 2. 这些三角形有什么共同 特点？ E D E F G A B C 导入新知 3. 培养学生的观察、分析、比较、操作能力， 进一步发展空间观念，提高学生的探索能力. 1. 掌握三角形的有关概念，会用符号表示三 角形，会对三角形进行分类. 2. 理解“三角形中任意两边的和大于第三边” 的含义，并能运用它解决简单的实际问题. 素养目标 三角形的有关概念 　　 三角形是我们熟悉的图形，观察下列图片，你能说一 说三角形是怎样的图形吗？ 知识点 1 探究新知 由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次连接所组成 的图形，叫做三角形. 所以，三角形的特征有： (1)三条线段；(2)不在同一直线上；(3)首尾顺次连接. 三角形的定义 探究新知 边c 边b 边a 顶点A 顶点B 顶点C角 角 角 ①边：组成三角形的每条线段叫做三角形的边. ②顶点：每两条线段的交点叫做三角形的顶点. ③内角：相邻两边组成的角. 探究新知 三角形的表示： A B C 三角形用符号“△”表示. 记作“△ ABC”读作“三角形ABC”. 如图：线段AB、BC、CA是△ABC 的三边；点A、B、C△ABC的三个 顶点；∠A、∠B、∠C是△ABC的 三个内角. 探究新知 例1 说出图中有多少个三角形，用符号“△”表示，并指出 每一个三角形的三条边，三个顶点，三个内角. 素养考点 1 三角形的识别 解：图中有3个三角形，分别是△EHG，△EHF，△EFG. △EHG的三边是EH、HG、GE，三内角是 ∠G、∠GHE、∠HEG，三个顶点是G、H、E； △EHF的三边是EH、HF、FE，三内角 是∠EHF、∠HFE、∠HEF，三个 顶点是F、H、E； △EFG的三边是EF、FG、GE，三内角是∠G、∠GFE、∠FEG，三个顶 点是G、F、E. Q F E P G H 1 2 探究新知 探究新知 方法点拨 在查三角形的个数时，先给单个三角 形编号，查单个的三角形，再查两个三角形 组成的较大三角形，然后再查三个，四个三 角形组成的三角形. 1.读出图中的各个三角形. A D B E C 解：△ABE， △BCD， △ABC， △DCE， △BCE. 巩固练习 我们知道，三角形按角可以分为锐角三角形、直角三角形 和钝角三角形．你能按照边的关系对三角形进行分类吗？ 三边都不相等的三角形 三角形 等腰三角形 底边和腰不相等的等腰三角形 等边三角形 三角形的分类知识点 2 探究新知 按边分类后的特殊三角形之间有什么关系？它们的边 和角怎样命名？ 腰 腰 底边 三角形 顶角 底角 底角 探究新知 素养考点 2 判断三角形的形状 例2 根据下列条件，判断△ABC的形状. ①∠A=45°，∠B=65°，∠C=70°; ②∠C=110°; ③∠C=90°; ④AB=BC=3，AC=4 解：①∵∠A，∠B，∠C都小于90°， ∴△ABC是锐角三角形 ②∵∠C=110°＞90°，∴△ABC是钝角三角形 ③∵∠C=90°=90°， ∴△ABC是直角三角形 ④∵AB=BC=3，AC=4，∴△ABC是等腰三角形 探究新知 2.下列说法正确的有(　　). ①等腰三角形是等边三角形; ②三角形按边可分为等腰三角形、等边三角形和不等 边三角形; ③等腰三角形至少有两边相等; ④三角形按角可分为锐角三角形、直角三角形和钝角 三角形. A.①②　 　B.①③④ C.③④　　　D.①②④ 巩固练习 C √ √ 在A点的小狗，为了尽快吃到B点的香肠，它会选择哪 条路线?如果小狗在C点呢？ B C A C A B 知识点 3 三角形三边的关系 探究新知 在一个三角形中，任意两边之和与 第三边的长度有怎样的关系呢？ B C A 想一想 探究新知 计算三角形的任意两边之差，并与第三 边比较，你能得到什么结论？ A C B 试一试 探究新知 　　 如图三角形中，假设小狗要从点B出发 沿着三角形的边跑到点C，它有几条路线 可以选择？各条路线的长一样吗？ A B C 路线1:由点B到点C. 路线2:由点B到点A，再由点A到点C. 两条路线长分别是BC，AB+AC. 由“两点之间，线段最短”可以得到AB+AC>BC . 由不等式的基本性质可得：AB>BC–AC. 探究新知 A B C 同理可得：AC+BC>AB， AB+BC>AC(AC>AB –BC，BC>AC–AB) 三角形的三边有这样的关系： (1) 三角形两边的和大于第三边. (2) 三角形两边的差小于第三边. 探究新知 例3 下列长度的各组线段能否组成一个三角形？ (1)15cm、10cm、7cm (2) 4cm、5cm、10cm (3) 3cm、8cm、5cm (4) 4cm、5cm、6cm (2) 因为4cm+5cm<10cm，所以这三条线段不能组成一个三角形. (3) 因为3cm+5cm=8cm， 所以这三条线段不能组成一个三角形. (1) 因为10cm+7cm>15cm， 所以这三条线段能组成一个三角形.解： (4) 因为4cm+5cm>6cm，所以这三条线段能组成一个三角形. 素养考点 3 利用三角形三边的关系判断三条线段能否组成三角形 探究新知 只要满足较小的两条线段之和大于第三 条线段，或较长线段与最短线段之差小于中间 线段，便可构成三角形;若不满足，则不能构 成三角形. 方法点拨 探究新知 (3) 以长为3cm、5cm、7cm、10cm的四条线段中的 三条线段为边，可构成_____个三角形． (1)任何三条线段都能组成一个三角形 . ( ) (2)因为a+b>c，所以a、b、c三边可以构成三角形. ( ) (4)已知等腰三角形的两边长分别为8cm，3cm，则这三 角形的周长为 (　 ) 　A. 14cm　 B.19cm C. 14cm或19cm D. 不确定 × × 2 B 3.完成下列各题： 巩固练习 例4 用一根长为18厘米的细铁丝围成一个等腰三角形. (1)如果腰长是底边的2倍，那么各边的长是多少？ 素养考点 4 利用三角形三边的关系解决实际问题 解 ：(1)设各边的长为x厘米，则腰长为2x厘米， 由题意得：x+2x+2x=18 解得x=3.6 ， 所以三边长分别为3.6厘米，7.2厘米，7.2厘米. 探究新知 例4 用一根长为18厘米的细铁丝围成一个等腰三角形. (2)能围成有一边的长为4厘米的等腰三角形吗？为什么？ 探究新知 有人说，自己步子大，一步能走3米多， 你相信吗？说说你的理由！ 提示：不能.如果此人一步能走3米多，由三 角形三边的关系得，此人两腿的长大于3米 多，这与实际情况相矛盾，所以它一步不 能走3米多. 想一想 探究新知 4.如果等腰三角形的一边长是4cm，另一边长是9cm， 则这个等腰三角形的周长=______________. 5 .如果等腰三角形的一边长是5cm，另一边长是8cm， 则这个等腰三角形的周长=______________. 5， 5， 8 5， 8， 8 18cm或21cm 4，4，9 4，9，9× √ 4+9+9=22 22cm 三边长 三边长 √ √ 巩固练习 1. 下列长度的三条线段，能组成三角形的是(　　) A．4cm，5cm，9cm B．8cm，8cm，15cm C．5cm，5cm，10cm D．6cm，7cm，14cm 2. 已知三角形两边的长分别是3和7，则此三角形第三边的长可 能是(　　) A．1 B．2 C．8 D．11 连 接 中 考 解析：设三角形第三边的长为x，由题意得：7–3＜x＜7+3， 4＜x＜10． B C 巩固练习 课堂检测 基 础 巩 固 题 1. 如图，图中直角三角形共有(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2. 下列各组数中，能作为一个三角形三边边长的是(　 　) A．1，1，2 B．1，2，4 C．2，3，4 D．2，3，5 C C 3.下列说法：①等边三角形是等腰三角形；②三角形按 边分类可分为等腰三角形、等边三角形、不等边三角形； ③三角形的两边之差大于第三边；④三角形按角分类应 分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形. 其中正确 的有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 B 基 础 巩 固 题 课堂检测 能 力 提 升 题 7 或8.5 一个等腰三角形的周长为24cm，只知其 中一边的长为7cm，则这个等腰三角形的腰长 为_________cm. 课堂检测 拓 广 探 索 题 等腰三角形的周长为20厘米. (1)若已知腰长是底长的2倍，求各边的长； (2)若已知一边长为6厘米，求其他两边的长. 解：(1)设底边长为x厘米，则腰长为2x 厘米. x + 2x + 2x = 20， 解得 x = 4. 所以三边长分别为4cm，8cm，8cm. (2)如果6 厘米长的边为底边，设腰长为x 厘米，则6 + 2x = 20，解得x = 7； 如果6厘米长的边为腰，设底边长为x 厘米，则2×6 + x = 20，解得x = 8. 由以上讨论可知，其他两边的长分别为7 厘米，7 厘米或6 厘米，8 厘米. 课堂检测 三 角 形 概念 分类 性质 三角形两边的和大于第三边． 三角形两边的差小于第三边． A B C a bc 课堂小结 边、顶点、内角 按边分 按角分 (直角、 锐角、钝 角)三角 形 人教版 数学 八年级 上册 定义 图示 垂线 线段 中点 角平 分线 O B A A B 当两条直线相交所成的四个角中，有一个 角是直角时，就说这两条直线互相垂直， 其中一条直线叫做另一条直线的垂线 把一条线段分成两条相等的线段的点 一条射线把一个角分成两个相等的角，这 条射线叫做这个角的平分线 复 习 回 顾 导入新知 你还记得 “过一点画已知直 线的垂线” 吗? 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5放、靠、过、 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5画. 过三角形的一个顶点，你能 画出它的对边的垂线吗? 想一想 导入新知 3. 提高学生动手操作及解决问题的能力. 1. 了解三角形的高、中线、角平分线等有关概念. 2. 掌握任意三角形的高、中线、角平分线的画法，通 过观察认识到三角形的三条高、三条中线、三条角平 分线分别交于一点. 素养目标 过三角形的一个顶点，你能画出它的对边 的垂线吗? B A C 知识点 1 三角形高的概念 探究新知 三角形的高的定义 A从三角形的一个顶点， B C 向它的对边 所在直线作垂线，顶点和垂足 D 之间的线段 叫做三角形的高线，简称三角形的高. 如右图， 线段AD是BC边上的高. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5 几何语言：AD⊥BC于点D，读作AD垂直 BC于点D或∠ADC=∠ADB=90°. 探究新知 你还能画出一条高来吗？ 一个三角形有三个顶点，应该有三条高. 画一画 探究新知 (1) 你能画出这个三角形的三条高吗? (2) 这三条高之间有怎样的位置关系？ O (3) 锐角三角形的三条高是在三角形的内部还是外部? 锐角三角形的三条高交于同一点； 锐角三角形的三条高都在三角形的内部. 如图所示； 锐角三角形的三条高 探究新知 直角边BC边上的高是 ; 直角边AB边上的高是 ; (2) AC边上的高是 ; A B C (1) 画出直角三角形的三条高， AB BC 它们有怎样的位置关系？ D 直角三角形的三条高交于直角顶点. BD 直角三角形的三条高 探究新知 (1) 你能画出钝角三角形的三条高吗？ A B CD E F (2) AC边上的高呢？ AB边上呢？ BC边上呢？ BF CE AD 钝角三角形的三条高 探究新知 (3)钝角三角形的三条高交于一点吗？ (4)它们所在的直线交于 一点吗？ 钝角三角形的三条高不相交于一点； 钝角三角形的三条高所在的直线交 于一点. 探究新知 3 1 相交 不相交 相交 相交 相交 三角形的三条高所在直线交于一点. 三条高所在直线的 交点的位置 三角形的三条高的特性： 高所在的直线是否相交 高之间是否相交 高在三角形内部的数量 钝角三角形直角三角形锐角三角形 三角形 内部 直角顶点 三角形 外部 探究新知 例1 作△ABC的边AB上的高，下列作法中，正确的是(　 　) 方法总结：三角形任意一边上的高必须满足：(1)过三角形的一 个顶点；(2)为顶点到其对边所在直线的垂线段. D 素养考点 1 识别三角形的高 探究新知 1.在下图中，正确画出△ABC 中边BC 上高的是( ) A B C D A D C B A D C B A DC B A D C B C 巩固练习 例2 如图所示，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6， AD⊥BC于点D，且AD＝4，若点P在边AC上移动，则BP的 最小值为____． 方法总结：可利用面积相等作桥梁(但不求面积)求三角形的高， 此解题方法通常称为“面积法”． 24 5 素养考点 2 利用三角形的高求值 解析：当BP⊥AC时，BP的值最小. ∵S△ABC= BC·AD，S△ABC= AC·BP， ∴ BC·AD= AC·BP ∴BC·AD=AC·BP ∴6×4=5BP， BP= 所以BP的最小值为 2 1 2 1 2 1 2 1 24 5 24 5 探究新知 2.如图，(1)写出以AE为高的三角形;(2)当BC=8，AE=3， AB=6时，求AB边上的高的长度. 解：(1)△ABE，△ABD，△ABC， △AED，△AEC，△ADC. (2)设AB边上的高为x， ∵S△ABC= BC·AE= AB·x ∴BC·AE=AB·x，8×3=6x 解得x=4. 2 1 2 1 巩固练习 我们学习了三角形的高，我们已经知道了三 角形的面积公式，你能经过三角形的一个顶点画 一条线段，将这个三角形分为面积相等的两个三 角形吗？ 三角形中线的概念知识点 2 探究新知 　　如图， 点D 是BC 的中点， 则线段AD 是△ABC 的中线， 1 2 几何语言：BD =DC = BC． 在三角形中，连接一个顶点与它对边的中点的线段叫做 三角形的中线． 三角形的中线的定义 探究新知 如上页图，画出△ABC 的另两条中线，观 察三条中线，你有什么发现？ 探究新知 　　画一个锐角三角形、直角三角形、钝角三角 形，再分别画出这三个三角形的三条中线. 三角形的三条中线相交于一点，三角形三条中线的交 点叫做三角形的重心． 三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形. 探究新知 归纳总结 探究新知 例3 如图所示，AD是△ABC的中线，已知△ABD的周长 为25 cm，AB比AC长6 cm，则△ACD的周长为(　　) A.19 cm　 B.22 cm　 C.25 cm 　D.31 cm 解：∵AD是BC边上的中线， ∴BD=CD， ∴△ABD和△ACD周长的差=(AB+BD+AD)–(AC+CD+AD)=AB –AC. ∵△ABD的周长为25 cm，AB比AC长6 cm， ∴△ACD的周长为25–6=19(cm). 利用三角形的中线求线段的值素养考点 3 A 探究新知 　　3.如图，AD，BE，CF 是△ABC 的三条中线． (1)AC = AE ，AE=_____； CD = ； AF = AB； (2)若S△ABC = 12 cm2， 则S△ABD = ． (3)若AB=4，AC=3，则△ABD的周长与△ACD的周长 之差是___. 2 BD 6 cm² 1 2 A BC D E F G EC 1 巩固练习 在一张薄纸上任意画一个三角形，你能设 法画出它的一个内角的平分线吗?你能通过折 纸的方法得到它吗? 知识点 3 三角形的角平分线 探究新知 B A C 用量角器画最简便，用圆规也能. 在一张纸上画出一个三 角形并剪下，将它的一个角 对折，使其两边重合. 折痕AD即为三角形的∠A的平分线. 探究新知 在三角形中，一个内角的平 分线与它的对边相交，这个角的 顶点与交点之间的线段叫三角形 的角平分线. 1 2 A B CD “三角形的角平分线”是一条线段. 几何语言：∠1=∠2= ∠BAC 2 1 三角形的角平分线的定义 探究新知 做一做 探究新知 三角形共有三条内角平分线，它们交于三角形内一点. 三角形角平分线的性质 探究新知 解：∵AD是△ABC的角平分线，∠BAC＝68°， ∴∠DAC＝∠BAD＝34°. 在△ABD中，∠B+∠ADB+∠BAD＝180°， ∴∠ADB＝180°–∠B–∠BAD ＝180°–36°–34° ＝110°. 例4 如图，在△ABC中，∠BAC=68°，∠B=36°，AD是 △ABC的一条角平分线，求∠ADB的度数. A B D C 素养考点 4 利用三角形的角平分线求角的度数 探究新知 4. 如图，AD，BE，CF 是△ABC 的三条角平分线，则： ∠1 = ； ∠3 = ； ∠ACB = 2 . A B CD E F 1 2 3 4 1 2 3 4 ∠2 ∠ABC 1 2 ∠4 巩固练习 三角形的 重要线段 概念 图形 表示法 数量及交点位置 三角形 的高线 从三角形的一个顶 点向它的对边所在 的直线作垂线，顶 点和垂足之间的线 段 ∵AD是△ABC的高线. ∴AD⊥BC， ∠ADB=∠ADC=90°. 3条高，锐角三角 形：形内；钝角 三角形：形外； 直角三角形：直 角顶点 三角形 的中线 三角形中，连结一 个顶点和它对边中 的线段 3条，交点叫作三 角形的重心.形内 三角形的 角平分线 三角形一个内角的 平分线与它的对边 相交，这个角顶点 与交点之间的线段 3条，形内. 探究新知 连 接 中 考 B 1. 如图，在△ABC中有四条线段DE，BE，EF，FG， 其中有一条线段是△ABC的中线，则该线段是(　　) A．线段DE B．线段BE C．线段EF D．线段FG 巩固练习 连 接 中 考 巩固练习 2. 如图，△ABC中，AD是BC边上的高，AE、BF分别是 ∠BAC、∠ABC的平分线，∠BAC=50°，∠ABC=60°， 则∠EAD+∠ACD=(　　) A．75° B．80° C．85° D．90° 解析：∵AD是BC边上的高，∠ABC=60°，∴∠BAD=30°， ∵∠BAC=50°，AE平分∠BAC， ∴∠BAE=25°，∴∠DAE=30°–25°=5°， ∵△ABC中，∠C=180°–∠ABC–∠BAC=70°， ∴∠EAD+∠ACD=5°+70°=75°. A 1．下列说法正确的是(　　) A．三角形三条高都在三角形内 B．三角形三条中线相交于一点 C．三角形的三条角平分线可能在三角形内，也可 能在三角形外 D．三角形的角平分线是射线 B 课堂检测 基 础 巩 固 题 2．在△ABC中，AD为中线，BE为角平分线，则在以下等式 中：①∠BAD=∠CAD；②∠ABE=∠CBE；③BD=DC； ④AE=EC．其中正确的是 (　　) A．①② B．③④ C．①④ D．②③ D 基 础 巩 固 题 课堂检测 A B D C E 3. 如图，△ABC中∠C=90°，CD⊥AB，图中线段中可以 作为△ABC的高的有(　　) A．2条 B．3条 C．4条 D．5条 B 基 础 巩 固 题 课堂检测 4. 下列各组图形中，哪一组图形中AD是△ABC 的BC边 上的高 ( ) A D C B A B C D A BC D A B C D A B C D D 基 础 巩 固 题 课堂检测 5.填空： (1)如图①，AD，BE，CF是△ABC的三条中线，则 AB= 2＿＿，BD= ＿＿，AE= ＿＿＿. (2)如图②，AD，BE，CF是△ABC的三条角平分线， 则∠1= ＿＿， ∠3=_________， ∠ACB=2______. 图① 图② AF DC ∠2 ∠4 AC 1 2 ∠ABC 1 2 基 础 巩 固 题 课堂检测 在ΔABC中，CD是中线，已知BC–AC=5cm，ΔDBC的 周长为25cm，求ΔADC的周长. A D B C 解：∵CD是△ABC的中线， ∴BD＝AD， ∴△DBC的周长＝BC＋BD＋CD＝25cm， 则BD+CD＝25–BC. ∴△ADC的周长＝AD＋CD＋AC ＝BD＋CD＋AC ＝25–BC＋AC ＝25–(BC–AC)＝25–5＝20cm. 能 力 提 升 题 课堂检测 如图，在△ABC中，AD是△ABC的高，AE是 △ABC的 角平分线，已知∠BAC=82°，∠C=40°，求∠DAE的大小. 解： ∵ AD是△ABC的高，∴∠ADC＝90°. ∵ ∠ADC+∠C+∠DAC=180°， ∴ ∠DAC=180°–(∠ADC+∠C ) =180°–90°–40°=50°. ∵AE是△ABC的角平分线，且∠BAC=82°，∴∠CAE=41°， ∴∠DAE=∠DAC–∠CAE=50°–41°= 9°. B A CD E 拓 广 探 索 题 课堂检测 三角形重 要 线 段 高 钝角三角形两短边上的高的画法 中线 会把原三角形面积平分 一边上的中线把原三角形分成两个 三角形，这两个三角形的周长差等 于原三角形其余两边的差 角平分线 课堂小结 人教版 数学 八年级 上册 将四边形木架上再钉一根木条，将它的一对顶点连 接起来，然后再扭动它，这时木架的形状还会改变吗? 导入新知 想一想 生活小常识 盖房子时，在窗框未安装好之前，木工师傅常 常先在窗框上斜钉一根木条，如图，为什么要这样做 呢？ 导入新知 2. 了解三角形的稳定性和四边形不稳定性的 应用. 1. 了解三角形的稳定性和四边形的不稳定性. 素养目标 动手做一做 1. 将三根木条用钉子钉成一个三角形木架. 2. 将四根木条用钉子钉成一个四边形木架. 三角形的稳定性 探究新知 知识点 1 请同学们看看:三角形和四边形的模型，扭一扭模 型，它们的形状会改变吗? 不会 会 探究新知 1. 三角形具有稳定性. 2. 四边形没有稳定性. u理解“稳定性” “只要三角形三条边的长度固定，这个三 角形的形状和大小也就完全确定，三角形的这 种性质叫做“三角形的稳定性”. 探究新知 【思考】你能举出一些现实生活中应用三角 形稳定性的例子吗? 探究新知 探究新知 探究新知 具有稳定性 不具有稳定性 不具有稳定性 具有稳定性 具有稳定性不具有稳定性 下列图形中哪些具有稳定性?试一试 探究新知 四边形的不稳定性是我们常常需要克服的，那 么四边形的不稳定性在生活中有没有应用价值呢？ 如果有，你能举出实例吗？ 四边形不稳定性的应用知识点 2 探究新知 四边形的不稳定性有广泛的应用 活 动 晾 衣 架 探究新知 伸缩门 探究新知 遮 阳 棚 探究新知 将四边形木架上再钉一根木条，将它的一对顶点 连接起来，然后再扭动它，这时木架的形状还会改变 吗? 四边形没有稳定性，怎样使它稳定呢?想一想 做一做 探究新知 1. 牧民阿其木家用于圈羊的木栅门，由于年久失修 已经变成如图甲，为什么会变形？　 2. 为了恢复成原样图乙，而且要保持形状不变，他该 怎么做呢？ (甲) (乙) 帮帮忙 探究新知 盖房子时，在窗框未安装好之前，工人师傅常常先 在窗框上斜钉一根木条，为什么要这样做呢? 三角形的稳定性 探究新知 【思考】钉子架容易转动，怎样做可以使它稳定? 探究新知 例 要使四边形木架不变形，至少要钉上一根木条，把它 分成两个三角形使它保持形状，那么要使五边形，六边 形木架，七边形木架保持稳定该怎么办呢? 方法总结：为了使多边形具有稳定性，一般需要用木条将 多边形固定成由一个一个的三角形组成的形式. 素养考点 三角形稳定性的应用 探究新知 填空: （1）有下列图形：①正方形；②长方形；③直角三 角形；④平行四边形.其中具有稳定性的是_______.（填 序号） （2）铁栅门和多功能挂衣架能够伸缩自如，是利用 四边形的____________. （3）要使五边形木架（用5根木条钉成）不变形， 至少要钉上_____根木条. 不稳定性 2 ③ 巩固练习 连 接 中 考 巩固练习 下列图形具有稳定性的是（　　） A． B． C． D． A 1.下列图中具有稳定性有（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 C 课堂检测 基 础 巩 固 题 2.下列关于三角形稳定性和四边形不稳定性的说 法正 确的是（ ） A.稳定性总是有益的，而不稳定性总是有害的 B.稳定性有利用价值，而不稳定性没有利用价值 C.稳定性和不稳定性均有利用价值 D.以上说法都不对 C 基 础 巩 固 题 课堂检测 3. 如图，工人师傅砌门时，常用木条EF固定门框ABCD， 使其不变形，这种做法的根据是（ ） A.两点之间线段最短 B.三角形两边之和大于第三边 C.长方形的四个角都是直角 D.三角形的稳定性 D B A E F C D 基 础 巩 固 题 课堂检测 如图，桥梁的斜拉钢索是三角形的结构，主要是为了（ ） A. 节省材料，节约成本 B. 保持对称 C. 利用三角形的稳定性 D. 美观漂亮 C 能 力 提 升 题 课堂检测 如图，用钉子把木棒AB、BC和CD分别在端点B、 C处连接起来，用橡皮筋把AD连接起来，设橡皮筋AD的 长是x， （1）若AB=5，CD=3，BC=11，试求x的最大值和 最小值； （2）在（1）的条件下要 围成一个四边形，你能求出x的 取值范围吗? （3）AB、BC、CD能围 成一个三角形吗？ 拓 广 探 索 题 课堂检测 解：（1）x最大值 = AB + BC + CD = 19. x最小值 =BC – AB – CD = 3； （2）3 < x < 19； （3）不能. 课堂检测 应用 稳 定 性 三 角 形 独 有 性 质 四边形具有不 稳 定 性 课堂小结 11.2 与三角形有关的角 11.2.1 三角形的内角 第一课时 第二课时 人教版 数学 八年级 上册 第一课时 我的形状最小， 那我的内角和 最小. 我的形状最 大，那我的 内角和最大. 不对，我有一 个钝角，所以 我的内角和才 是最大的. 一天，三类三角形通过对自身的特点，讲出了自己对三角 形内角和的理解，请同学们作为小判官给它们评判一下吧. 导入新知 2. 会运用三角形内角和定理进行计算. 1. 会用平行线的性质与平角的定义证明三角形 内角和等于180°. 素养目标 我们在小学已经知道，任意一个三角形的内角和等于 180°.与三角形的形状、大小无关. 思考：除了度量以外，你还有什么办法可以验 证三角形的内角和为180°呢? 折叠 还可以用拼接的 方法，你知道怎 样操作吗？ 探究新知 知识点 1 三角形的内角和 剪拼 A B C 2 1 探究新知 测量 480 720 600 600＋480＋720＝1800 探究新知 锐角三角形 三角形的三个内角拼到一起恰好构成一个平角. 观测的结果不一定可靠，还需要通过数学知识来 说明.从上面的操作过程，你能发现证明的思路吗？ 三角形的内角和定理的证明 在纸上任意画一个三角形，将它的内角剪下拼合在 一起. 探究新知 还有其他的 拼接方法吗？ l 三角形三个内角的和等于180°. 求证：∠A+∠B+∠C=180°. 已知：△ABC. 证法1：过点A作l∥BC， ∴∠B=∠1.(两直线平行，内错角相等) ∠C=∠2.(两直线平行，内错角相等) ∵∠2+∠1+∠BAC=180°， ∴∠B+∠C+∠BAC=180°. 1 2 探究新知 证法2：延长BC到D，过点C作CE∥BA， ∴ ∠A=∠1 .(两直线平行，内错角相等) ∠B=∠2.(两直线平行，同位角相等) 又∵∠1+∠2+∠ACB=180°， ∴∠A+∠B+∠ACB=180°. CB A E D 1 2 探究新知 CB A E D F 证法3：过D作DE∥AC，作DF∥AB. ∴ ∠C=∠EDB，∠B=∠FDC. (两直线平行，同位角相等) ∠A+∠AED=180°， ∠AED+∠EDF=180°， (两直线平行，同旁内角相补) ∴ ∠A=∠EDF. ∵∠EDB+∠EDF+∠FDC=180°， ∴∠A+∠B+∠C=180°. 探究新知 同学们还有其他的方法吗？ 思考： 多种方法证明三角形内角和等于180°的核 心是什么？ 借助平行线的“移角”的功能，将 三个角转化成一个平角. 探究新知 l 1 2 CB A E D 1 2 CB A E D F C 24 A B 3 E Q D F P G H 1 B G C 24 A 3 E D F H 1 同学们按照上图中的辅助线，给出证明步骤. 探究新知 试一试 为了证明的需要，在原来的图形上添画的线叫做辅助 线.在平面几何里，辅助线通常画成虚线. u思路总结 为了证明三个角的和为180°，通过作平行线，利用 平行线的性质，把所证问题转化为一个平角或同旁内角 互补等，这种转化思想是数学中的常用方法. u作辅助线 探究新知 例1 如图，在△ABC中， ∠BAC=40 °， ∠B=75 °， AD 是△ABC的角平分线，求∠ADB的度数. A B C D 解：由∠BAC=40 °， AD是△ABC的角平分线，得 ∠BAD= ∠BAC=20 °. 1 2 在△ABD中， ∠ADB=180°–∠B –∠BAD =180°–75°–20° =85°. 利用三角形的内角和定理求角的度数素养考点 1 探究新知 如图，CD是∠ACB的平分线，DE∥BC，∠A＝50°， ∠B＝70°，求∠EDC，∠BDC的度数． 解：∵∠A＝50°，∠B＝70°， ∴∠ACB＝180°–∠A–∠B＝60°. ∵CD是∠ACB的平分线， ∴∠BCD＝ ∠ACB＝30°. ∵DE∥BC， ∴∠EDC＝∠BCD＝30°， 在△BDC中，∠BDC＝180°–∠B –∠BCD=80°. 1 2 变 式 题 探究新知 2.如图，一种滑翔伞的形状是左右对称的四边形ABCD， 其中∠A = 150°，∠B= ∠D=40°.求∠C的度数. 解：∠C＝180°×2–(40°＋40°＋150°) ＝130°. 1. 在△ABC中，∠B＝40°，∠C＝80°，则∠A的度数 为(　　) A．30°　　B．40°　 C．50° 　D．60° D 探究新知 3.如图，在△ABC中，∠B＝46°，∠C＝54°，AD平分 ∠BAC，交BC于点D，DE∥AB，交AC于点E，则 ∠ADE的大小是(　　) A．45° B．54° C．40° D．50° C 巩固练习 例2 如图，△ABC中，D在BC的延长线上，过D作 DE⊥AB于E，交AC于F.已知∠A＝30°，∠FCD＝80°， 求∠D. 解：∵DE⊥AB，∴∠FEA＝90°． ∵在△AEF中，∠FEA＝90°，∠A＝30°， ∴∠AFE＝180°–∠FEA–∠A＝60°. 又∵∠CFD＝∠AFE， ∴∠CFD＝60°. ∴在△CDF中，∠CFD＝60°，∠FCD＝80°， ∠D＝180°–∠CFD–∠FCD＝40°. 探究新知 4. 直线l1∥l2，一块含45°角的直角三角尺 如图放置，∠1＝85°， 则∠2＝________．40° 巩固练习 l1 l2 基 本 图 形 由三角形的内角和定理易得 ∠A+∠B=∠C+∠D. 由三角形的内角和定理易得∠1+∠2=∠3+∠4. 归纳总结 探究新知 例3 在△ABC 中， ∠A 的度数是∠B 的度数的3倍，∠C 比∠B 大15°，求∠A，∠B，∠C的度数. 解: 设∠B度数为x，则∠A度数为 3x，∠C度数为(x ＋ 15)， 从而有 3x ＋ x ＋(x ＋ 15)＝ 180. 解得 x ＝ 33. 所以 3x ＝ 99 ， x ＋ 15 ＝ 48. 答： ∠A， ∠B， ∠C的度数分别为99°， 33°，48°. 素养考点 2 方程的思想与三角形内角和定理的综合应用 探究新知 方法点拨： 三角形中 求角的度数问题，当 角之间存在数量关系 时，一般根据三角形 内角和为180°，列方 程求解. 在△ABC中，∠A＝ ∠B＝ ∠ACB，CD是 △ABC的高，CE是∠ACB的平分线，求∠DCE的度数． 1 2 1 3 解析：根据已知条件用∠A表示出∠B和∠ACB，利用三角 形的内角和求出∠A，再求出∠ACB，∠ACD，最后根据角平分 线的定义求出∠ACE即可求得∠DCE的度数． 比例关系可考虑用 方程思想求角度. 变 式 题 探究新知 解：∵∠A＝ ∠B＝ ∠ACB， 设∠A＝x，∴∠B＝2x，∠ACB＝3x. ∵∠A＋∠B＋∠ACB＝180°， ∴x＋2x＋3x＝180°，得x＝30°， ∴∠A＝30°，∠ACB＝90°. ∵CD是△ABC的高，∴∠ADC＝90°， ∴∠ACD＝180°–90°–30°＝60°. ∵CE是∠ACB的平分线， ∴∠ACE＝ ×90°＝45°， ∴∠DCE＝∠ACD–∠ACE＝60°–45°＝15°. 1 2 1 3 1 2 巩固练习 ②在△ABC中，∠A :∠B:∠C=1:2:3，则△ABC是 _________三角形 . ①在△ABC中，∠A=35°，∠ B=43 °，则∠ C= . ③在△ABC中， ∠A= ∠B+10°， ∠C= ∠A + 10°， 则 ∠A= ， ∠ B= ，∠ C= . 102° 直角 60° 50° 70° 巩固练习 5.完成下列各题. 解析：设∠A=x，∠B=2x，∠C=3x，由三角形的内角和定理得： x+2x+3x=180°，解得x=30°，3x=90°. 北 . A D 北 .C B . 东 E 例4 如图，C岛在A岛的北偏东50°方向，B岛在A岛的北偏 东80 °方向，C岛在B岛的北偏西40 °方向.从B岛看A，C两 岛的视角∠ABC是多少度？从C岛看A、 B两岛的视角∠ACB是多少度？ 利用三角形的内角和定理解决实际问题(方位问题）.素养考点 3 探究新知 解： ∠CAB= ∠BAD– ∠CAD=80 °– 50°=30°. 由AD//BE，得∠BAD+ ∠ABE=180 °. 所以∠ABE=180 °– ∠BAD=180°–80°=100°， ∠ABC= ∠ABE– ∠EBC=100°–40°=60°. 在△ABC中， ∠ACB =180 °– ∠ABC– ∠ CAB =180°–60°–30° =90°， 答：从B岛看A，C两岛的视角∠ABC是60 °，从C岛看A，B两岛的视 角∠ACB是90°. 北 . A D 北 .C B . 东 E 探究新知 6.如图，一艘渔船在B处测得灯塔A在北偏东60° 的方向，另一艘货轮在C处测得灯塔A在北偏东 40°的方向，那么在灯塔A处观看B和C处时的视 角∠BAC是多少度？ 巩固练习 解：∵在B处测得灯塔A在北偏东60°的方向， ∴ ∠ABD＝60°. 又∵ ∠DBE＝90°， ∴ ∠ABE＝90°–∠ABD＝90°–60°＝30°. ∵在C处测得灯塔A在北偏东40°的方向， ∴ ∠ACE＝90°–40°＝50°. ∴ ∠BAC＝∠ACE–∠ABE＝50°–30°＝20°. 即在灯塔A处观看B和C处时的视角∠BAC是20°. 巩固练习 连 接 中 考 巩固练习 如图，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于点D，过点D 作DE∥BC交AC于点E．若∠A=54°，∠B=48°，则∠CDE 的大小为（　 　） A．44° B．40° C．39° D．38° C 1.求出下列各图中的x值． x=70 x=60 x=30 x=50 课堂检测 基 础 巩 固 题 3. 如图，则∠1+∠2+∠3+∠4=___________ . BA C D 4 1 32 E 40°（ 280 ° 2.（2018•滨州）在△ABC中，若∠A=30°，∠B=50°， 则∠C=　　　　．100° 基 础 巩 固 题 课堂检测 1. 如图，四边形ABCD中，点E在BC上， ∠A+∠ADE=180°，∠B=78°，∠C=60°，求∠EDC的 度数．解：∵∠A+∠ADE=180°， ∴AB∥DE， ∴∠CED=∠B=78°． 又∵∠C=60°， ∴∠EDC=180°–（∠CED+∠C） =180°–（78°+60°） =42°． 能 力 提 升 题 课堂检测 2.如图，在△ABC中，∠B=42°，∠C=78°，AD平 分∠BAC．求∠ADC的度数. 解：∵∠B=42°，∠C=78°， ∴∠BAC=180°–∠B –∠C=60°. ∵AD平分∠BAC， ∴∠CAD= ∠BAC=30°， ∴∠ADC=180°–∠B–∠CAD=72°. 1 2 能 力 提 升 题 课堂检测 如图，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分 ∠ACB，若∠BAC=60°，求∠BPC的度数． 解：∵△ABC中，∠A=60°， ∴∠ABC+∠ACB=120°． ∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACB， ∴∠PBC+∠PCB= （∠ABC+∠ACB）=60°． ∵∠PBC+∠PCB+∠BPC=180°， ∴∠BPC=180°–60°=120°． 1 2 拓 广 探 索 题 课堂检测 思考：你能直接写出∠BPC与∠A 之间的数量关系吗？ 解：∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACB， ∴∠PBC+∠PCB= （∠ABC+∠ACB）． ∵∠PBC+∠PCB+∠BPC=180°， ∴∠BPC=180°– （∠ABC+∠ACB） =180°– （180°–∠A）=90°+ ∠A ． 1 2 1 2 1 2 1 2 课堂检测 拓 广 探 索 题 求角度 证法 应用 转化为一个平角 或同旁内角互补 辅助线 三角形的内角 和等于180 ° 课堂小结 第二课时 在一个直角三角形里住着三个内角，平时，它们三兄 弟非常团结.可是有一天，老二突然不高兴，发起脾气来， 它指着老大说：“你凭什么度数最大，我也要和你一样 大！”“不行啊！”老大说：“这是不可能的，否则，我 们这个家就再也围不起来了……”“为什么？” 老二很纳 闷.你知道其中的道理吗？ 内角三兄弟之争 导入新知 小故事 老大的度数为90°，老二若是比老大的度数大，那么老二 的度数要大于90°，而三角形的内角和为180°，相互矛盾，因 而是不可能的. 在这个家里，我 是永远的老大. 导入新知 3. 会运用直角三角形的性质和判定进行 相关计算. 1. 了解直角三角形两个锐角的关系. 2. 掌握直角三角形的判定. 素养目标 如下图所示是我们常用的三角板，两锐角 的度数之和为多少度? 30°+60°=90° 45°+45°=90° 直角三角形的两个锐角互余知识点 1 探究新知 问题1： 如图，在Rt△ABC中， ∠C=90°，两锐角的 和等于多少呢？ 在Rt△ABC中，因为 ∠C=90°， 由三角形内角和定理，得 ∠A +∠B+∠C=180°， 即 ∠A +∠B=90°. 由此，你可以得到直角三角形有什么性质呢？ 问题2： 探究新知 A B C 直角三角形的两个锐角互余．(直角三角形的性质定理）　　 u应用格式： 在Rt△ABC 中， ∵　∠C =90°， ∴　∠A +∠B =90°．　 直角三角形的表示：直角三角形可以用符号“Rt△”表示， 直角三角形ABC 可以写成Rt△ABC ． 归纳总结 探究新知 方法一（利用平行的判定和性质）： ∵∠B=∠C=90°， ∴AB∥CD， ∴∠A=∠D. 方法二（利用直角三角形的性质）： ∵∠B=∠C=90°， ∴∠A+∠AOB=90°，∠D+∠COD=90°. ∵∠AOB=∠COD， ∴∠A=∠D. 例1（1）如图，∠B=∠C=90°，AD交BC于点O，∠A与 ∠D有什么关系？ 图 素养考点 1 利用直角三角形的性质证明角相等或求角的度数 探究新知 解：∠A=∠C. 理由如下： ∵∠B=∠D=90°， ∴∠A+∠AOB=90°，∠C+∠COD=90°. ∵∠AOB=∠COD， ∴∠A=∠C. （2）如图，∠B=∠D=90°，AD交BC于点O，∠A与 ∠C有什么关系？请说明理由. 图 与图有哪 些共同点与 不同点？ 探究新知 1. 在一个直角三角形中，有一个锐角等于60°，则另 一个锐角的度数是(　　) A．120° B．90° 　 C．60° 　 D．30° D 2. 如图，AB∥CD，EF与AB，CD分别相交于点E，F， EP⊥EF，与∠EFD的平分线FP相交于点P，且∠BEP＝ 50°，则∠EPF＝(　 　)度． A．70 B．65 C．60 D．55 A 巩固练习 例2 如图， ∠C=∠D=90 °， AD， BC相交于点E. ∠CAE 与∠DBE有什么关系？为什么？ A B C DE 解：在Rt△ACE中， ∠CAE=90 °– ∠AEC. 在Rt△BDE中， ∠DBE=90 °– ∠BED. ∵ ∠AEC= ∠BED， ∴ ∠CAE= ∠DBE. 探究新知 3. 如图，在△ABC中，已知∠ACB＝67°，BE是AC上的 高，CD是AB上的高，F是BE和CD的交点，∠DCB＝45°. 求∠ABE的度数． 解：∵CD是AB上的高， ∴∠DBC＝90°–∠DCB＝90°–45°＝45°. ∵BE是AC上的高， ∴∠EBC＝90°–∠ECB＝90°–67°＝23°. ∴∠ABE＝∠ABC–∠EBC＝45°–23°＝22°. 巩固练习 思考：通过前面的例题，你能画出这些题型的基本图 形吗？ 基本图形 ∠A=∠C∠A=∠D 归纳总结 探究新知 有两个角互余的三角形是直角三角形吗？ 如图，在△ABC中， ∠A +∠B=90° ， 那么 △ABC是直角三角形吗？ 在△ABC中， 因为 ∠A +∠B +∠C=180°， 又 ∠A +∠B=90°， 所以∠C=90°. 即△ABC是直角三角形. 有两个角互余的三角形是直角三角形知识点 2 探究新知 A B C A B C u应用格式： 在△ABC 中， ∵　∠A +∠B =90°， ∴　△ABC 是直角三角形． 有两个角互余的三角形是直角三角形.　(直角三角形 的性质定理）　　 归纳总结 探究新知 例3 如图，∠C=90 °， ∠1= ∠2，△ADE是直角三 角形吗？为什么？ A C B D E ( ( 1 2 解：在Rt△ABC中， ∠2+ ∠A=90 °. ∵ ∠1= ∠2， ∴∠1 + ∠A=90 °. 即△ADE是直角三角形. 素养考点 2 利用直角三角形的判定定理识别直角三角形 探究新知 4.已知∠A＝37°，∠B＝53°，则△ABC为(　　) A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．以上都有可能 C 5.具备下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是(　　) A．∠A＋∠B＝∠C B．∠A＝ ∠B＝ ∠C C．∠A∶ ∠B∶ ∠C＝1∶ 2∶ 3 D．∠A＝2∠B＝3∠C 1 2 1 3 D 巩固练习 例4 如图，CE⊥AD，垂足为E，∠A=∠C，△ABD是 直角三角形吗？为什么？ 解：△ABD是直角三角形.理由如下： ∵CE⊥AD， ∴∠CED=90°， ∴∠C+∠D=90°， ∵∠A=∠C， ∴∠A+∠D=90°， ∴△ABD是直角三角形. 探究新知 6. 如图，BD平分∠ABC，∠ADB＝60°，∠BDC＝80°， ∠C＝70°.试判断△ABD的形状． 解：在△DBC中，∠DBC＝180°–∠BDC–∠C ＝180°–80°–70°＝30°. ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠DBC＝30°. 在△ABD中， ∵∠ADB＋∠ABD＝60°＋30°＝90°， ∴△ABD是直角三角形． 巩固练习 连 接 中 考 巩固练习 一副透明的三角板，如图叠放，直角三角板的斜边AB、 CE相交于点D，则∠BDC=_________． 解析：∵∠CEA=60°，∠BAE=45°， ∴∠ADE=180°–∠CEA–∠BAE=75°， ∴∠BDC=∠ADE=75°. 75° 1. 如图，一张长方形纸片，剪去一部分后得到 一个三角形，则图中∠1+∠2的度数是________.90° 2. 如图，AB、CD相交于点O，AC⊥CD于点C， 若∠BOD=38°，则∠A=________.52° 第1题图 第2题图 3. 在△ABC中，若∠A=43°，∠B=47°，则这个 三角形是____________.直角三角形 课堂检测 基 础 巩 固 题 4.在一个直角三角形中，有一个锐角等于40°，则另 一个 锐角的度数是（　　） A．40° B．50° C．60° D．70° B 5. 具备下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是（ 　　） A．∠A+∠B=∠C B．∠A–∠B=∠C C．∠A：∠B：∠C=1：2：3 D．∠A=∠B=3∠C D 课堂检测 基 础 巩 固 题 如图所示，△ABC为直角三角形，∠ACB=90°， CD⊥AB，与∠1互余的角有（　　） A．∠B B．∠A C．∠BCD和∠A D．∠BCD C 能 力 提 升 题 课堂检测 如图，在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，D是AB 上一点，且∠ACD=∠B．求证：△ACD是直角三角形． 证明：∵∠ACB=90°， ∴∠A+∠B=90°， ∵∠ACD=∠B， ∴∠A+∠ACD=90°， ∴△ACD是直角三角形. 拓 广 探 索 题 课堂检测 直角三角形的 性 质 与 判 定 性 质 直角三角形的两个锐角互余 判 定 有两个角互余的三角形是直角 三角形 课堂小结 人教版 数学 八年级 上册 足球比赛中的数学知识 在绿茵场上，足球员在E处受到阻挡需要传球，请帮 助作出选择，应传给在B处的球员还是C处的球员，其射 门不易射偏？（不考虑其他因素） 导入新知 在一个三角形花坛的外围走一圈，在每一个拐弯 的地方都转了一个角度（∠1，∠2，∠3），那么回到 原来位置时（方向与出发时相同），一共转了多少度？ 导入新知 想一想 2. 掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的 两个内角的和及三角形的内角和． 1. 理解并掌握三角形的外角的概念，能够在 复杂图形中找出外角. 素养目标 3. 会利用三角形的外角性质解决问题. B D C AO ● 40 ° 70 ° ？ ● ● ● 发现懒羊羊独自在O处游玩后，灰太狼打算用迂回的方式，先 从A前进到C处，然后再折回到B处截住懒羊羊返回羊村的去路，红 太狼则直接在A处拦截懒羊羊，已知∠BAC=40° ， ∠ABC=70°.灰 太狼从C处要转多少度角才能直达B处？ 探究新知 知识点 1 三角形的外角的概念 利用“三角形的内角和为180°”来求∠BCD，你会吗？ 思考：像∠BCD这样的角有什么特征吗？试猜想它的性质. B D C AO ● 40 ° 70 ° ？ ● ● ● 由三角形内角和易得∠BCA=180°－∠A－∠CBA=70°， 所以∠BCD=180°－∠BCA=110°. 探究新知 u定义 如图，把△ABC的一边BC延长，得到∠ACD，像这 样，三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角 形的外角. ∠ACD是△ABC的一个外角. CB A D 探究新知 如图，延长AC到E，∠BCE是不是△ABC的 一个外角？∠DCE是不是△ABC的一个外角？ E 在三角形每个顶点处都有两个外角. ∠ACD 与∠BCE为对顶角，∠ACD =∠BCE； CB A D ∠BCE是△ABC的一个外角， ∠DCE不是△ABC的一个外角. 如图，∠ACD与∠BCE有什么关系？在三角形 的每个顶点处有多少个外角？ 问题1： 问题2： 探究新知 A B C 画出△ABC的所有外角，共有几个呢? 每一个三角形都有6个 外角． 每一个顶点相对应的外 角都有2个，且这2个角为对 顶角. 画一画 探究新知 三角形的外角应具备的条件： ①角的顶点是三角形的顶点； ②角的一边是三角形的一边； ③另一边是三角形中一边的延长线. CB A D 探究新知 F A B C D E 如图，∠ BEC是哪个三角形的外角？∠AEC是哪个 三角形的外角？∠EFD是哪个三角形的外角？ ∠BEC是△AEC的外角; ∠AEC是△BEC的外角; ∠EFD是△BEF和△DCF的外角. 探究新知 三角形的外角 A C B D 相邻的内角 不相邻的内角 三角形的外角的性质 如图，△ABC的外角∠BCD与其相邻的内角∠ACB 有什么关系？ ∠BCD与∠ACB互补. 知识点 2 探究新知 如图，△ABC的外角∠BCD与其不相邻的两内角(∠A， ∠B)有什么关系？ 三角形的外角 A C B D 相邻的内角 不相邻的内角 ∵∠A+∠B+∠ACB=180°，∠BCD+∠ACB=180°， ∴∠A+∠B=∠BCD. 你能用作平行线的 方法证明此结论吗？ 探究新知 D 证明：过C作CE平行于AB， A B C 12 ∴∠1= ∠B， （两直线平行，同位角相等） ∠2= ∠A ， （两直线平行，内错角相等） ∴∠ACD= ∠1+ ∠2= ∠A+ ∠B. E 已知：如图，△ABC，求证：∠ACD=∠A+∠B. 探究新知 u三角形内角和定理的推论 A B C D ( ( ( 三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和. u应用格式： ∵ ∠ACD是△ABC的一个外角. ∴ ∠ACD= ∠A+ ∠B. 探究新知 1.说出下列图形中∠1和∠2的度数： A B C D ( ( ( 80 ° 60 ° ( 21 (1) A B C ( ( ( ( 2 1 50 ° 32 ° (2) ∠1=40 °， ∠2=140 ° ∠1=18 °， ∠2=130 ° 巩固练习 例1 如图，∠A=42°，∠ABD=28°，∠ACE=18°，求 ∠BFC的度数. ∵ ∠BEC是△AEC的一个外角， ∴ ∠BEC= ∠A+ ∠ACE， ∵∠A=42° ，∠ACE=18°， ∴ ∠BEC=60°. ∵ ∠BFC是△BEF的一个外角， ∴ ∠BFC= ∠ABD+ ∠BEF， ∵ ∠ABD=28° ，∠BEC=60°， ∴ ∠BFC=88°. 解： F A C D E B 素养考点 1 利用三角形外角的性质求角的度数 探究新知 分析：根据平行线的性质求出∠C， 再根据三角形外角性质即可求出∠3. 解： ∵AB∥CD，∠1＝45°，∴∠C＝∠1＝45°. 又∵∠2＝35°， ∴∠3＝∠2＋∠C＝35°＋45°＝80°. 2. 如图，直线AB，CD被BC 所截，若AB∥CD，∠1＝ 45°，∠2＝35°， 则∠3＝________度．80 巩固练习 例2 如图，P为△ABC内一点，∠BPC＝150°， ∠ABP＝20°，∠ACP＝30°，求∠A的度数． 分析：延长BP交AC于E或连接 AP并延长，构造三角形的外角，再利 用外角的性质即可求出∠A的度数． E 素养考点 2 借助辅助线求角的度数 探究新知 解：延长BP交AC于点E， 则∠BPC，∠PEC分别为△PCE，△ABE的外角， ∴∠BPC＝∠PEC＋∠PCE， ∠PEC＝∠ABE＋∠A， ∴∠PEC＝∠BPC－∠PCE ＝150°－30°＝120°. ∴∠A＝∠PEC－∠ABE＝120°－20°＝100°. 探究新知 如图，∠A=51°，∠B=20°，∠C=30°， 求∠BDC的度数. A B C D( ( ( 51 ° 20 ° 30 ° 思路点拨：添加适当的辅助线将四边形问题转化为三 角形问题. 变 式 题 探究新知 A B C D ( ( 20 ° 30 ° 解法一：连接AD并延长于点E. 在△ABD中，∠1+∠ABD=∠3， 在△ACD中，∠2+∠ACD=∠4. 因为∠BDC=∠3+∠4，∠BAC=∠1+∠2， 所以∠BDC=∠BAC+∠ABD+∠ACD =51° +20°+30°=101°. E )) 1 2 ) 3 ) 4 你发现了什 么结论？ 探究新知 A B C D( ( ( 51 ° 20 ° 30 ° E ) 1 解法二：延长BD交AC于点E. 在△ABE中，∠1=∠ABE+∠BAE， 在△ECD中，∠BDC=∠1+∠ECD. 所以∠BDC=∠BAC+∠ABD+∠ACD =51° +20°+30°=101°. 解法三:连接延长CD交AB于点F（解题过程同解法二）. ) 2 F 解题的关键是正确地构造三角形，利用三角形外角的性质及转 化的思想，把未知角与已知角联系起来求解. 总结 探究新知 3.如图，求证：∠BOC＝∠A＋∠B＋∠C. 证明：延长BO交AC于点D， 因为三角形的一个外角等于与它不相邻的 两个内角的和. 所以∠BDC＝∠A＋∠B，∠BOC＝∠BDC＋∠C， 所以∠BOC＝∠A＋∠B＋∠C. 巩固练习 D 如图① ，试比较∠2 、∠1的大小； 如图② ，试比较∠3 、∠2、 ∠1的大小. 图 图 解：∵∠2=∠1+∠B， ∴∠2＞∠1. 解：∵∠2=∠1+∠B， ∠3=∠2+∠D， ∴∠3＞∠2＞∠1. 三角形的外角 大于与它不相 邻的内角. 探究新知 4. 如图，∠A，∠1，∠2的大小关系是(　　) A．∠A＞∠1＞∠2 B．∠2＞∠1＞∠A C．∠A＞∠2＞∠1 D．∠2＞∠A＞∠1 B 巩固练习 三角形的外角和定理 例3 如图， ∠BAE， ∠CBF， ∠ACD是△ABC的三个外 角，它们的和是多少？ 解：由三角形的一个外角等于与它不相邻的 两个内角的和，得 ∠BAE= ∠2+ ∠3， ∠CBF= ∠1+ ∠3， ∠ACD= ∠1+ ∠2. 又知∠1+ ∠2+ ∠3=180 °， 所以∠BAE+ ∠CBF+ ∠ACD =2(∠1+ ∠2+ ∠3)=360 °. A B C E F D ( ( ( ( ( (2 1 3 你还有其他 解法吗？ 知识点 3 探究新知 解法二：如图，∠BAE+∠1=180 ° ① ， ∠CBF +∠2=180 ° ②， ∠ACD +∠3=180 ° ③， 又知∠1+ ∠2+ ∠3=180 °， ①+ ②+ ③得 ∠BAE+ ∠CBF+ ∠ACD+(∠1+ ∠2+ ∠3)=540 °， 所以∠BAE+ ∠CBF+ ∠ACD=540 °– 180°=360°. A B C E F D ( ( ( ( ( (2 1 3 探究新知 解法三：过A作AM平行于BC， ∠3＝ ∠4 B C 1 2 3 4A ∠2＝ ∠BAM， 所以 ∠1＋ ∠2＋ ∠3＝ ∠1＋ ∠4＋ ∠BAM=360° M ∠2＋ ∠ 3＝ ∠ 4＋∠BAM， 结论：三角形的外角和等于360°. 思考 你能总结出三角形的外角和的数量关系吗？ D E F 探究新知 5. 下列对三角形的外角和叙述正确的是(　　) A．三角形的外角和等于180° B．三角形的外角和就是所有外角的和 C．三角形的外角和等于所有外角和的一半 D．以上都不对 C 巩固练习 连 接 中 考 巩固练习 1.如图，∠ACD是△ABC的外角，CE平分∠ACD，若 ∠A=60°，∠B=40°，则∠ECD等于（　　） A．40° B．45° C．50° D．55° C 连 接 中 考 巩固练习 解析：如图，∵∠ACD=90°、∠F=45°， ∴∠CGF=∠DGB=45°， 则∠α=∠D+∠DGB=30°+45°=75°. 2.将一副直角三角板按如图所示的位置放置，使含30°角的三 角板的一条直角边和含45°角的三角板的一条直角边放在同一 条直线上，则∠α的度数是（　　） A．45° B．60° C．75° D．85° C 1. 判断下列命题的对错. （1）三角形的外角和是指三角形的所有外角的和. （ ） （2）三角形的外角和等于它的内角和的2倍. （ ） （3）三角形的一个外角等于两个内角的和. （ ） （4）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.（ ） （5）三角形的一个外角大于任何一个内角. （ ） （6）三角形的一个内角小于任何一个与它不相邻的外角.（ ） 基 础 巩 固 题 课堂检测 2.如图，点D在△ABC边AB的延长线上，DE∥BC．若 ∠A=35°，∠C=24°，则∠D的度数是（　　） A．24° B．59° C．60° D．69° B 基 础 巩 固 题 课堂检测 1.（1）如图，∠BDC是________的外角，也是 的外角； （2）若∠B=45 °，∠BAE=36 °，∠BCE=20 °，试求 ∠AEC的度数. A B C D E △ADE△ADC 解：根据三角形外角的性质有 ∠ADC= ∠B+ ∠BCE， ∠AEC= ∠ADC+ ∠BAE. 所以∠AEC= ∠B+∠BCE+ ∠BAE =45 °+20 °+36 °=101 °. 能 力 提 升 题 课堂检测 2. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°，△ABC的外角 ∠CBD的平分线BE交AC的延长线于点E． （1）求∠CBE的度数； （2）过点D作DF∥BE，交AC的延长线于点F，求∠F的度数． 解：（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°， ∴∠ABC=90°﹣∠A=50°，∴∠CBD=130°． ∵BE是∠CBD的平分线，∴∠CBE=∠CBD=65°； （2）∵∠ACB=90°，∠CBE=65°， ∴∠CEB=90°﹣65°=25°． ∵DF∥BE，∴∠F=∠CEB=25°． 能 力 提 升 题 课堂检测 A B C D E 1 2 F G 解：∵∠1是△FBE的外角， ∴∠1=∠B+ ∠E， 同理∠2=∠A+∠D. 在△CFG中， ∠C+∠1+∠2=180º， ∴∠A+ ∠ B+∠C+ ∠ D+∠E = 180º. 1. 如图，求∠A+ ∠B+ ∠C+ ∠D+ ∠E的度数. 拓 广 探 索 题 课堂检测 1 2 3 B A C P N M D E F 2. 如图，试求出∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F =________.360° 拓 广 探 索 题 课堂检测 三角形 的外角 定 义 角一边必须是三角形的一边，另一边必须是三角 形另一边的延长线 性 质 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和 三角形的 外 角 和 三角形的外角和等于360 ° 课堂小结 辅助线总结 ①求角的度数，通过三角形一顶点的平行线， 利用平行线的性质解决 ②求角的度数，延长三角形一边或连接并延 长，利用三角形外角性质解决 人教版 数学 八年级 上册 在实际生活当中，除了三角形，还有许多由线段围 成的图形.观察图片，你能找到由一些线段围成的图形吗？ 导入新知 导入新知 中国某一村远景图 五角大楼 导入新知 1. 理解并掌握多边形、正多边形的概念及 相关定义. 2. 了解什么是凸多边形和正多边形. 素养目标 3. 掌握多边形对角线的定义及公式，并能运 用公式解决相关问题. 多边形的定义及相关概念 观察画某多边形的过程，类比三角形的概念，你 能说出什么是多边形吗？ 在平面内，由一些线段首尾 顺次相接组成的封闭图形叫 做多边形. 什么是三角形？ 由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所 组成的图形叫做三角形. 探究新知 知识点 1 问题1： 问题2： 【思考】 比较多边形的定义与三角形的定义，为什 么要强调“在平面内”呢？怎样命名多边形呢？ 这是因为三角形中的三个顶点肯定都在同一个平面内， 而四点，五点，甚至更多的点就有可能不在同一个平面内. 多边形用图形名称以及它的各个顶点的字母表示.字 母要按照顶点的顺序书写，可以按顺时针或逆时针的顺序. 探究新知 根据图示，类比三角形的有关概念，说明什么是多 边形的边、顶点、内角、外角． n边形有n个顶点， n条边，n个内角， 2n个外角． 多边形按它的边数可分为：三角形，四边形，五边形等等.其中三 角形是最简单的多边形. 探究新知 问题3： 请分别画出下列两个图形各边所在的直线，你能得 到什么结论？ （1） （2） 如图（1）这样，画出多边形的任何一条边所在的直线， 整个多边形都在这条直线的同一侧，那么这个多边形就是凸多 边形. A B C D E F G H 此类多边形被一 条边所在的直线 分成了两部分， 不在这条直线同 侧是凹多边形. 探究新知 问题4： 例1 凸六边形纸片剪去一个角后，得到的多边形的边 数可能是多少？画出图形说明． 解：∵六边形截去一个角的边数有增加1、减少1、不变三种情况， ∴新多边形的边数为7、5、6三种情况， 如图所示. 素养考点 1 多边形的截角问题 探究新知 探究新知 一个多边形截去一个角后，多边形的边数可能 增加了一条，也可能不变或减少了一条. 归纳总结 ①从所截角的两边截，边数增加1. ②从所截角的相邻两角的顶点截，边数减少1. ③从所截角的一边及相邻角的顶点截，边数不变. 1. 下列图形包含了哪些多边形？ 六边形 四边形 五边形和六边形 巩固练习 多边形的对角线 A B C D E u定义： 连接多边形不相邻的两个顶点的线 段，叫做多边形的对角线. 线段AC是五边形ABCDE的一条对角线， 多边形的对角线通常用虚线表示. 知识点 2 探究新知 三角形 六边形四边形 八边形 …… 五边形 请画出下列图形从某一顶点出发的对角线的条数： 多边形 三角形 四边形 五边形 六边形 八边形 n边形 从同一顶点引出 的对角线的条数 分割出的三角形 的个数 0 1 2 3 5 n-3 1 2 3 4 6 n-2 探究新知 从n(n≥3)边形的一个顶点可以作出(n-3)条对角线. 将多边形分成(n-2)个三角形. n(n≥3)边形共有对角线 条.( 3) 2 n n  探究新知 归纳总结 例2 过多边形的一个顶点的所有对角线的条数与这些对 角线分该多边形所得三角形的个数的和为21，求这个多 边形的边数． 解：设这个多边形为n边形，则有(n-3)条对角线，所 分得的三角形个数为n-2， ∴n-3+n-2=21， 解得n=13． 答：该多边形的边数有13条． 素养考点 2 利用多边形的对角线相关公式求边数 探究新知 2. 画一画：画出下列多边形的全部对角线. 巩固练习 3. 观察下列图形，并阅读图形下面的相关文字，解 答下列问题： 十边形有多少条对角线？n边形呢？ 巩固练习 解：∵四边形的对角线条数为4×(4－3)× ＝2. 五边形的对角线条数为5×(5－3)× ＝5. 六边形的对角线条数为6×(6－3)× ＝9. ∴十边形的对角线条数为10×(10－3)× ＝35. n边形的对角线条数为 n(n－3) . 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 巩固练习 正多边形的概念 u定义 像正方形这样，各个角都相等，各条边都相等的多边形. 正三角形 正方形 正五边形 正六边形 知识点 3 探究新知 下列多边形是正多边形吗？如不是，请说明为什么？ （四条边都相等） （四个角都相等） 答：都不是，第一个图形不符合四个角都相等；第二个 图形不符合各边都相等. 判断一个多边形是不是正多边形，各边都相等，各角 都相等，两个条件必须同时具备. 注意 探究新知 想一想 4.下列属于正多边形的特征的有(　　) ①各边相等；②各个内角相等；③各个外角相等；④各 条对角线都相等；⑤从一个顶点引出的对角线将n边形分成 面积相等的(n－2)个三角形． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 B 巩固练习 通过画出多边形的对角线，可以把多边形内角和问题转化 为三角形内角和问题．如果从某个多边形的一个顶点出发的对 角线共有2条，那么该多边形的内角和是　_________度． 连 接 中 考 巩固练习 解析：从某个多边形的一个顶点出发的对角线共有2条， 则将多边形分割为3个三角形． 所以该多边形的内角和是3×180°=540°． 540 1.下列多边形中，不是凸多边形的是（ ） A B C D B 基 础 巩 固 题 课堂检测 2. 九边形的对角线有（ ） A. 25条 B. 31条 C. 27条 D. 30条 C 课堂检测 基 础 巩 固 题 3. 把一张形状是多边形的纸片剪去其中一个角，剩下 的部分是一个四边形，则这张纸片原来的形状不可能 是（ ） A. 六边形 B . 五边形 C.四边形 D.三角形 A 1.若从一个多边形的一个顶点出发，最多可以引10 条对角线，则这是 边形.十三 2.过八边形的一个顶点画对角线，把这个八边形分 割成 个三角形.六 能 力 提 升 题 课堂检测 过m边形的一个顶点有7条对角线，n边形没有对角 线，k边形共有k条对角线，则(m－k)n为多少？ 解：∵m＝10，n＝3，k＝5. ∴(m－k)n＝(10－5)3＝53＝125. 课堂检测 拓 广 探 索 题 多边形 定义 前提条件是在一个平面内 对 角 线 它是多边形的一条重要线段，在今后通常作对角 线把多边形的问题转化为三角形和四边形的问题 正 多 边 形 定义既是判定也是性质 课堂小结 定义 用途 公式 连接多边形不相邻两个顶点的线段，叫做多边 形的对角线 从一个顶点出发的对角线的总条数（n-3）条，多 边形对角线的总条数 ( 3) 2 n n- 人教版 数学 八年级 上册 【思考】你知道正六边形的内角和是多少吗？ 导入新知 1. 能通过不同方法探索多边形的内角和与 外角和公式. 2. 能运用多边形的内角和公式与外角和 公式解决问题. 素养目标 你知道长方形和正方形的内角和是多少度？ 三角形内角和是多少度？ 三角形内角和是180°. 都是360°. 猜想任意四边形的内角和是多少度？ 多边形的内角和 探究新知 知识点 1 问题1： 问题2： 问题3： 猜想：四边形ABCD的内角和是360°. 你能用以前学过的知识说明一下你的结论吗？ 解法一：如图，连接AC， 所以四边形被分为两个三角形， 所以四边形ABCD内角和为 180°×2=360°. A B C D 探究新知 猜想与证明 问题4： 解法二：如图，在CD边上任取一点E，连接AE，DE， 所以该四边形被分成三个三角形， 所以四边形ABCD的内角和为 180°×3–(∠AEB+∠AED+∠CED) =180°×3–180° =360°. A B C D E  探究新知 解法三：如图，在四边形ABCD内部取一点E， 连接AE，BE，CE，DE， 把四边形分成四个三角形： △ABE，△ADE，△CDE，△CBE. 所以四边形ABCD内角和为： 180°×4–(∠AEB+∠AED+∠CED+∠CEB) =180°×4–360°=360°. A B C D E  探究新知 A B C D P 解法四：如图，在四边形外任取一点P，连接PA、PB、 PC、PD将四边形变成有一个公共顶点的四个三角形. 所以四边形ABCD内角和为180°×3 –180°= 360°. 这四种方法都运用 了转化思想，把四 边形分割成三角形， 转化到已经学了的 三角形内角和求解. 结论： 四边形的内角和为360°. 探究新知 例1 如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角 有什么关系？试说明理由. 解： 如图，四边形ABCD中， ∠A+ ∠C =180°. ∠A+∠B+∠C+∠D=(4–2) ×180 °= 360 °，因为 ∠B＋∠D= 360°–（∠A＋∠C） = 360°– 180° =180°. 所以 A B C D 如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角也互补. 素养考点 1 运用四边形内角和定理进行证明或计算 探究新知 1. 如图，求∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F的度数． 巩固练习 解：连接BE.∵∠DOB＝∠C＋∠D， ∠DOB＝∠CBE＋∠DEB， ∴∠C＋∠D＝∠CBE＋∠DEB， ∴∠A＋∠ABC＋∠C＋∠D＋∠DEF＋∠F ＝∠A＋∠ABC＋∠CBE＋∠DEB＋∠DEF＋∠F ＝∠A＋∠ABE＋∠BEF＋∠F. ∵在四边形ABEF中， ∠A＋∠ABE＋∠BEF＋∠F＝(4–2)×180°＝360°， ∴∠A＋∠ABC＋∠C＋∠D＋∠DEF＋∠F＝360°. A C D E B A B C D E F 你能仿照求四边形内角和的方法，选一种方法求五 边形和六边形内角和吗? 内角和为180°×3 = 540°. 内角和为180°×4 = 720°. 探究新知 问题5： n 边形 六边形 五边形 四边形 三角形 多边形内角和 分割出三角 形的个数 从多边形的一顶点 引出的对角线条数 图形边数 ······ 0 n –3 1 2 3 1 2 3 4 n –2 （ n –2 ）·180º 1×180º=180º 2×180º=360º 3×180º=540º 4×180º=720º ······ ······ ············ 由特殊到一般 探究新知 分割 多边形 三角形 分割点与多边 形的位置关系 顶点 边上 内部 外部 转化思想 多边形的内角和公式 n边形内角和等于(n–2)×180 °. 注意：①n边形的内角和随边数的增加而增加，每增加一条边 其内角和增加180°.②多边形的内角和是180°的整倍数. 探究新知 归 纳 总 结 例2 一个多边形的内角和比四边形的内角和多720°， 并且这个多边形的各内角都相等，这个多边形的每个内 角是多少度？ 解：设这个多边形边数为n，则 （n–2）•180=360+720， 解得n=8， ∵这个多边形的每个内角都相等， （8–2）×180°=1080°， ∴它每一个内角的度数为1080°÷8=135°． 素养考点 2 利用多边形内角和公式求角度或边数 探究新知 2. 根据多边形的内角和完成下列题目. (1) 一个多边形的内角和是720°，这个多边形的边数是(　　) A．4条 B．5条 C．6条 D．7条 (2) 若一个多边形的边数为8条，则这个多边形的内角和是(　　) A．900° B．540° C．1080° D．360° (3) 若一个多边形增加一条边，那么它的内角和(　　) A．增加180° B．增加360° C．减少360° D．不变 C C A 巩固练习 例3 已知n边形的内角和θ=（n–2）×180°． （1）甲同学说，θ能取360°；而乙同学说，θ也能取 630°．甲、乙的说法对吗？若对，求出边数n．若不对，说 明理由； 解：∵ 360°÷180°=2， 630°÷180°=3......90°， ∴甲的说法对，乙的说法不对， 360°÷180°+2=4． 故甲同学说的边数n是4； 探究新知 （2）若n边形变为（n+x）边形，发现内角和增加了 360°，用列方程的方法确定x． 解：依题意有 （n+x–2）×180°–（n–2）×180°=360°， 解得x=2． 故x的值是2． 探究新知 3. 如图，在五边形ABCDE中，∠C=100°， ∠D=75°，∠E=135°，AP平分∠EAB，BP 平分∠ABC，求∠P的度数． 分析：根据五边形的内角和等于540°，由∠C， ∠D，∠E的度数可求∠EAB+∠ABC的度数， 再根据角平分线的定义可得∠PAB与∠PBA的 角度和，进一步求得∠P的度数． 巩固练习 解：∵∠EAB+∠ABC+∠C+∠D+∠E=540°， ∠C=100°，∠D=75°，∠E=135°， ∴∠EAB+∠ABC=540°–∠C–∠D–∠E=230°. ∵AP平分∠EAB， ∴∠PAB＝ ∠EAB， 同理可得∠ABP＝ ∠ABC， ∵∠P+∠PAB+∠PBA=180°， ∴∠P=180°–∠PAB–∠PBA =180°− (∠EAB+∠ABC)=180°− ×230°=65°． 1 2 1 2 1 2 1 2 巩固练习 2 4 1 3 2 4 1 32 4 1 3 2 4 1 32 4 1 3 2 4 1 32 4 1 3 2 4 1 3 2 4 1 3 2 4 1 3 2 4 1 3 2 4 1 3 用形状、大小 完全相同的任意四 边形可拼成一块无 空隙的地板，你知 道这是为什么吗？ 探究新知 多边形的外角和 如图，在五边形的每个顶点处 各取一个外角，这些外角的和叫做 五边形的外角和． u任意一个外角和它相邻的内角有什么关系？ u五个外角加上它们分别相邻的五个内角和是多少？ E B C D 1 2 3 4 5 A 互补 5×180°=900° 知识点 2 探究新知 E B C D 1 2 3 4 5 A 五边形外角和 =360 ° =5个平角–五边形内角和 =5×180°–(5–2) × 180° 结论：五边形的外角和等于360°. 这五个平角和与五边形的内角和、外角和有什么关系？ 探究新知 在n边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫 做n边形的外角和． n边形外角和 n边形的外角和等于360°. –(n–2) × 180° =360 ° =n个平角–n边形内角和 = n×180 ° An A 2 A3 A4 1 2 3 4 n A1 思考：n边形的外角和又是多少呢？ 与边数无关 探究新知 回想正多边形的性质，你知道正多边形的每个 内角是多少度吗？每个外角呢？为什么？ 每个内角的度数是 每个外角的度数是 ( 2) 180 ,n n    360 . n  练一练： (1)若一个正多边形的内角是120 °，那么这是正____边形. (2)已知多边形的每个外角都是45°，则这个多边形是 ______边形. 六 正八 探究新知 例4 已知一个多边形，它的内角和等于外角和的2倍，求这 个多边形的边数. 解： 设多边形的边数为n. ∵它的内角和等于 (n–2)•180°， 多边形外角和等于360°， ∴ (n–2)•180°=2× 360º. 解得 n=6. ∴这个多边形的边数为6. 素养考点 3 多边形的内角和公式和外角和公式的综合应用 探究新知 例5 已知一个多边形的每个内角与外角的比都是7:2，求 这个多边形的边数. 解法一：设这个多边形的内角为7x °，外角为2x°， 根据题意得 7x+2x=180， 解得x=20. 即每个内角是140 °，每个外角是40 °. 360° ÷40 °=9. 答：这个多边形是九边形. 还有其他解法吗？ 探究新知 解法二：设这个多边形的边数为n ，根据题意得 解得 n=9. 答：这个多边形是九边形.  180 2 7 , 360 2 n   探究新知 4. 如图，在正五边形ABCDE中，连接BE，求∠BED的 度数． 解：由题意得 AB=AE，所以∠AEB= (180°–∠A)=36°， 所以∠BED=∠AED–∠AEB=108°–36°=72°.   ° °5 2 180 =108 5 A AED    ∠ ∠ ， 1 2 巩固练习 1.已知正多边形的一个外角等于40°，那么这个正多 边形的边数为（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 连 接 中 考 巩固练习 解析：正多边形的一个外角等于40°，且外角和为360°， 则这个正多边形的边数是：360°÷40°=9． D 2.若一个多边形的内角和是其外角和的3倍，则这 个多边形的边数是_____． 连 接 中 考 巩固练习 解析：设多边形的边数为n，根据题意，得 （n–2）•180=3×360， 解得 n=8． 则这个多边形的边数是8． 8 1.判断． (1)当多边形边数增加时，它的内角和也随着增加.（　　） (2)当多边形边数增加时，它的外角和也随着增加.（　　） (3)三角形的外角和与八边形的外角和相等. （　　） 2.一个多边形的每一个外角都是36°，则这个多边形的边 数是　　． 基 础 巩 固 题 10 课堂检测 3. 如图所示，小华从点A出发，沿直线前进10米后左转 24°，再沿直线前进10米，又向左转24°，…，照这样 走下去，他第一次回到出发地点A时，走的路程一共是 ________米．150 课堂检测 基 础 巩 固 题 4. 一个多边形从一个顶点可引对角线3条，这个多边形 内角和等于（ ） A. 360° B. 540 ° C. 720 ° D. 900 ° B 基 础 巩 固 题 课堂检测 一个多边形的内角和为1800°，截去一个角后，求得 到的多边形的内角和. 能 力 提 升 题 课堂检测 如图，求∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＋∠7的度数. 解：如图， ∵∠3＋∠4＝∠8＋∠9， ∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＋∠7 ＝∠1＋∠2＋∠8＋∠9＋∠5＋∠6＋∠7 ＝五边形的内角和 ＝540°. 8 9 拓 广 探 索 题 课堂检测 多边形的 内角和 内角和计 算 公 式 (n–2) × 180 °(n ≥3的整数）① 边数增加 1，内角和增加180°；②内角和是180° 的整倍数. 外 角 和 多边形的外角和等于360° 特别注意：与边数无关. 正 多 边 形 内角= ，外角= ( 2) 180n n    360 n  课堂小结