人教版八年级数学上册第十四章14.2乘法公式

人教版八年级数学上册第十四章14.2乘法公式

第十四章 整式的乘法与因式分解 14.2乘法公式 第2课时 1.理解并掌握完全平方公式的推导过程、结构特点、 几何解释.（重点） 2.灵活应用完全平方公式进行计算.（难点） 学习目标 导入新课 情境引入 直接求：总面积=（a+b)(a+b) 间接求：总面积=a2+ab+ab+b2 你发现了什么？ （a+b)2=a2+2ab+b2 讲授新课 问题1 计算下列多项式的积，你能发现什么规律？ （1） （p+1)2=(p+1)(p+1)= .p2+2p+1 （2） （m+2)2=(m+2)(m+2)= .m2+4m+4 （3） （p-1)2=(p-1)(p-1)= .p2-2p+1 （4） （m-2)2=(m-2)(m-2)= .m2-4m+4 问题2 根据你发现的规律，你能写出下列式子的答案吗？ （a+b)2= .a2+2ab+b2 （a-b)2= .a2-2ab+b2 合作探究 完全平方公式 知识要点 完全平方公式 （a+b)2= .a2+2ab+b2 （a-b)2= .a2-2ab+b2 也就是说，两个数的和（或差）的平方，等于它们 的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍.这两个 公式叫做（乘法的）完全平方公式. 简记为：“首平方，尾平方，积的2倍放中间” 问题3 你能根据下图中的面积说明完全平方公式吗? 设大正方形ABCD的面积为S. S= =S1+S2+S3+S4= .(a+b)2 a2+b2+2ab S1 S2 S3 S4 几何解释: a a b b = ++ + a2 ab ab b2 （a+b)2= .a2+2ab+b2 和的完全平方公式： a2 −ab −b(a−b) = a2−2ab+b2 .=(a−b)2 a−b a−b a a ab b(a−b) b b (a−b)2 几何解释: （a-b)2= .a2-2ab+b2 差的完全平方公式： (a+b)2= a2+2ab+b2. (a-b)2=a2-2ab+b2. 问题4 观察下面两个完全平方式，比一比，回答下列 问题： 1.说一说积的次数和项数. 2.两个完全平方式的积有相同的项吗？与a,b有 什么关系？ 3.两个完全平方式的积中不同的是哪一项？与 a, b有什么关系？它的符号与什么有关？ u 公式特征： 4.公式中的字母a，b可以表示数，单项式和 多项式. 1.积为二次三项式； 2.积中两项为两数的平方和； 3.另一项是两数积的2倍，且与两数中间的符 号相同. 想一想：下面各式的计算是否正确？如果不正确， 应当怎样改正？ (1)(x+y)2=x2 +y2 (2)(x -y)2 =x2 -y2 (3) (-x +y)2 =x2+2xy +y2 (4) (2x+y)2 =4x2 +2xy +y2 × × × (x +y)2 =x2+2xy +y2 (x -y)2 =x2 -2xy +y2 典例精析 例1 运用完全平方公式计算： 解: (4m+n)2= =16m2 (1)(4m+n)2； (4m)2 +2•(4m) •n+n2 +8mn +n2； y2 =y2 -y + 1 . 4 解： = + 21 2       -2•y• 1 2 (2) 21 2 y     21 2 y     利用完全平方公式计算： (1)(5－a)2； (2)(－3m－4n)2； (3)(－3a＋b)2. 针对训练 (3)(－3a＋b)2＝9a2－6ab＋b2. 解：(1)(5－a)2＝25－10a＋a2； (2)(－3m－4n)2＝9m2＋24mn＋16n2； (1) 1022； 解： 1022 = (100+2)2 =10000+400+4 =10404. (2) 992. 992 = (100 –1)2 =10000 -200+1 =9801. 例2 运用完全平方公式计算： 方法总结：运用完全平方公式进行简便计算，要熟 记完全平方公式的特征，将原式转化为能利用完全 平方公式的形式． 利用乘法公式计算： (1)982－101×99； (2)20162－2016×4030＋20152. 针对训练 ＝(2016－2015)2＝1. 解：(1)原式＝(100－2)2－(100＋1)(100－1) ＝1002－400＋4－1002＋1＝－395； (2)原式＝20162－2×2016×2015＋20152 例3 已知x－y＝6，xy＝－8.求: (1) x2＋y2的值； (2)(x+y)2的值. ＝36－16＝20； 解：(1)∵x－y＝6，xy＝－8， (x－y)2＝x2＋y2－2xy， ∴x2＋y2＝(x－y)2＋2xy (2)∵x2＋y2＝20，xy＝－8， ∴(x+y)2＝x2＋y2＋2xy ＝20－16＝4. 方法总结：本题要熟练掌握完全平方公式的变式： x2＋y2＝(x－y)2＋2xy＝(x+y)2－2xy,(x－y)2＝(x+y)2 －4xy. 1.已知x+y=10,xy=24,则x2+y2=_____52 变式：已知 则 _____,101  x x  2 2 1 x x 98 拓展训练 2.如果x2+kx+81是运用完全平方式得到的结果， 则k=______ 8或-8 变式：如果x2+6x+m2是完全平方式，则m的值是_____3或-3 3.已知ab=2,(a+b)2=9,则(a-b)2的值为______ 变式：若题目条件不变，则a-b的值为_____±1 1 a+(b+c) = a+b+c; a- (b+c) = a - b – c. a + b + c = a + ( b + c) ; a – b – c = a – ( b + c ) . 去括号 把上面两个等式的左右两边反过来，也就添括号： 添括号法则 添括号时,如果括号前面是正号,括到括号里的各项 都不变号;如果括号前面是负号,括到括号里的各项都 改变符号（简记为“负变正不变”）. 知识要点 添括号法则 例5 运用乘法公式计算: (1) (x+2y-3)(x-2y+3) ; (2) (a+b+c)2. 原式=[x+(2y–3)][x-(2y-3)]解: (1) 典例精析 (2)原式 = [(a+b)+c]2 = x2-(2y-3)2 = x2-(4y2-12y+9) = x2-4y2+12y-9. = (a+b)2+2(a+b)c+c2 =a2+2ab+b2+2ac+2bc+c2. 方法总结：第1小题选用平方差公式进行计算，需 要分组.分组方法是“符号相同的为一组，符号相 反的为另一组”.第2小题要把其中两项看成一个 整体，再按照完全平方公式进行计算. 计算：(1)(a－b＋c)2； (2)(1－2x＋y)(1＋2x－y)． 针对训练 ＝1－4x2＋4xy－y2. 解：(1)原式＝[(a－b)＋c]2 ＝(a－b)2＋c2＋2(a－b)c ＝a2－2ab＋b2＋c2＋2ac－2bc； (2)原式＝[1＋(－2x＋y)][1－(－2x＋y)] ＝12－(－2x＋y)2 当堂练习 2.下列计算结果为2ab－a2－b2的是( ) A．(a－b)2 B．(－a－b)2 C．－(a＋b)2 D．－(a－b)2 1.运用乘法公式计算(a-2)2的结果是（　　） A．a2-4a+4 B．a2-2a+4 C．a2-4 D．a2-4a-4 A D 3.运用完全平方公式计算: (1) (6a+5b)2=_______________； (2) (4x-3y)2=_______________ ； (3) (2m-1)2 =_______________； (4)(-2m-1)2 =_______________. 36a2+60ab+25b2 16x2-24xy+9y2 4m2+4m+1 4m2-4m+1 4.由完全平方公式可知：32＋2×3×5＋52＝(3＋5)2 ＝64，运用这一方法计算：4.3212＋8.642×0.679＋ 0.6792＝________． 25 5.计算 (1)(3a＋b－2)(3a－b＋2)； (2)(x－y－m＋n)(x－y＋m－n)． (2)原式＝[(x－y)－(m－n)][(x－y)＋(m－n)] 解：(1)原式＝[3a＋(b－2)][3a－(b－2)] ＝(3a)2－(b－2)2 ＝9a2－b2＋4b－4.　 ＝(x－y)2－(m－n)2 ＝x2－2xy＋y2－m2＋2mn－n2. 6.若a+b=5,ab=-6, 求a2+b2,a2-ab+b2. 7.已知x+y=8,x-y=4,求xy. 解：a2+b2=（a+b)2-2ab=52-2×(-6)=37； a2-ab+b2=a2+b2-ab=37-(-6)=43. 解：∵x+y=8, ∴(x+y)2=64,即x2+y2+2xy=64①; ∵x-y=4, ∴(x-y)2=16,即x2+y2-2xy=16②; 由①-②得 4xy=48 ∴xy=12. 课堂小结 完全平方 公 式 法 则 注 意 1.项数、符号、字母及其指数 2.不能直接应用公式进行计算的 式子，可能需要先添括号变形成 符合公式的要求才行 常 用 结 论 3.弄清完全平方公式和平方差公 式不同（从公式结构特点及结果 两方面） a2+b2=(a+b)2-2ab=(a-b)2+2ab; 4ab=(a+b)2-(a-b)2.