2020八年级数学上册第13章专题训练（四）等腰三角形性质与判定的三种思想方法练习

2020八年级数学上册第13章专题训练（四）等腰三角形性质与判定的三种思想方法练习

专题训练(四)　等腰三角形性质与判定的三种思想方法 ‎►　类型一　分类讨论与等腰三角形 ‎1．等腰三角形两边的长分别为5和6，则其周长为________．‎ ‎2．等腰三角形两边的长分别为4和9，则其周长为________．‎ ‎3．若等腰三角形的一个内角为70°，则其顶角的度数为________．‎ ‎4．若等腰三角形的一个角为100°，则其底角的度数为________．‎ ‎5．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为45°，则其顶角的度数为________．‎ 图4－ZT－1‎ ‎6．如图4－ZT－1所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A，B是两个格点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰直角三角形，那么点C的个数是(　　)‎ A．6 B．‎7 C．8 D．9‎ ‎►　类型二　方程思想 ‎7．如图4－ZT－2，点K，B，C分别在GH，GA，KA上，且AB＝AC，BG＝BH，KA＝KG，求∠A的度数．‎ 10‎ 图4－ZT－2‎ ‎8．如图4－ZT－3，点D在AC上，点E在AB上，且AB＝AC，BC＝BD，AD＝DE＝BE.求∠A的度数．‎ 图4－ZT－3‎ ‎9．如图4－ZT－4，AB＝AC，AB的垂直平分线交AC于点D，AD＝BC.‎ ‎(1)求∠B的度数；‎ ‎(2)若点E在BC的延长线上，且CE＝CD，连结AE，求∠CAE的度数．‎ 图4－ZT－4‎ ‎►　类型三　转化思想 一、运用“三线合一”进行转化 ‎10．如图4－ZT－5，△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，E，F分别是AB，AC上的点，且AE＝AF.求证：DE＝DF.‎ 图4－ZT－5‎ 10‎ ‎11．如图4－ZT－6，△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，过点A的直线EF∥BC，且AE＝AF.连结DE，DF.‎ 求证：DE＝DF.‎ 图4－ZT－6‎ ‎12．如图4－ZT－7，△ABC中，AB＝AC，点D，E，F分别在BC，AB，AC上，且BD＝CF，BE＝CD，G是EF的中点，求证：DG⊥EF.‎ 图4－ZT－7‎ 二、用截长补短法构造等腰三角形进行转化 ‎13．如图4－ZT－8，△ABC中，∠BAC＝120°，AD⊥BC于点D，且AB＋BD＝DC，求∠C的度数．‎ 图4－ZT－8‎ ‎14．如图4－ZT－9，△ABC中，∠C＝2∠A，BD平分∠ABC交AC于点D，求证：AB＝CD＋BC.‎ 10‎ 图4－ZT－9‎ ‎15．已知△ABC中，AC＝BC，AD平分∠BAC，交BC于点D，E为AB上一点，且∠EDB＝∠B，现有下列两个结论：①AB＝AD＋CD；②AB＝AC＋CD.‎ ‎(1)如图4－ZT－10①，若∠C＝90°，则结论________成立；(不证明)‎ ‎(2)如图②，若∠C＝100°，则结论________成立，请证明．‎ 图4－ZT－10‎ 10‎ 详解详析 ‎1．16或17‎ ‎2．22‎ ‎3．40°或70°‎ ‎4．40°‎ ‎5．[答案] 45°或135°　[解析] 腰上的高分在三角形内和三角形外两种情况．‎ ‎6．[解析] A　分两种情况讨论：‎ ‎①AB为等腰直角三角形的底边时，符合条件的点C有2个；②AB为等腰直角三角形的一腰时，符合条件的点C有4个．‎ ‎7．解：设∠A＝x.‎ ‎∵KA＝KG，BG＝BH，∴∠G＝∠H＝∠A＝x，‎ ‎∴∠ABC＝∠HKC＝2x.‎ ‎∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.‎ 又∠ACB＝∠KCH，‎ ‎∴∠KCH＝2x.‎ ‎∵∠H＋∠HKC＋∠KCH＝180°，‎ ‎∴5x＝180°，∴x＝36°.‎ 即∠A＝36°.‎ ‎8．解：∵AB＝AC，BC＝BD，AD＝DE＝BE，‎ ‎∴∠ABC＝∠C＝∠CDB，∠EBD＝∠EDB，∠A＝∠AED.‎ 10‎ 设∠EBD＝∠EDB＝x，‎ 则∠A＝∠AED＝2x，‎ ‎∴∠ABC＝∠C＝∠CDB＝3x，‎ ‎∴∠DBC＝∠ABC－∠EBD＝2x.‎ ‎∵∠CDB＋∠DBC＋∠C＝180°，‎ ‎∴3x＋2x＋3x＝180°，∴x＝22.5°，‎ ‎∴∠A＝45°.‎ ‎9．解：(1)连结BD，设∠BAC＝x.‎ 由题意知AD＝BD.‎ 又∵AD＝BC，∴AD＝BD＝BC，‎ ‎∴∠BAC＝∠ABD＝x，∠BDC＝∠BCD＝2x.‎ ‎∵AB＝AC，∴∠BCD＝∠ABC＝2x.‎ ‎∴∠DBC＝∠ABC－∠ABD＝x.‎ ‎∵∠DBC＋∠BCD＋∠BDC＝180°，‎ ‎∴5x＝180°，∴x＝36°，‎ ‎∴∠BAC＝36°，∠ABC＝72°.‎ ‎(2)连结DE.由(1)可得∠ACB＝72°.‎ ‎∵CE＝CD，‎ ‎∴∠CED＝∠CDE＝36°＝∠DBC，‎ ‎∴BD＝DE＝AD，‎ ‎∴∠CAE＝∠CDE＝18°.‎ ‎10．证明：连结AD.∵AB＝AC，D是BC的中点，‎ ‎∴AD平分∠BAC，‎ ‎∴∠EAD＝∠FAD.‎ 10‎ 又∵AE＝AF，AD＝AD，‎ ‎∴△AED≌△AFD，‎ ‎∴DE＝DF.‎ ‎11．证明：连结AD，易得AD⊥BC.‎ ‎∵EF∥BC，‎ ‎∴AD⊥EF.‎ 又∵AE＝AF，‎ ‎∴AD是EF的垂直平分线，‎ ‎∴DE＝DF.‎ ‎12．证明：连结DE，DF.‎ ‎∵AB＝AC，‎ ‎∴∠B＝∠C.‎ 又∵BD＝CF，BE＝CD，‎ ‎∴△BED≌△CDF，‎ ‎∴ED＝DF.‎ ‎∵G是EF的中点，‎ ‎∴EG＝FG，‎ ‎∴DG⊥EF.‎ ‎13．解：方法一(截长法)：在CD上取点E，使DE＝BD，连结AE，易得CE＝AB＝AE，‎ ‎∴∠CAE＝∠C，‎ ‎∴∠B＝∠AED＝∠C＋∠CAE＝2∠C.‎ ‎∵∠BAC＝∠BAD＋∠DAE＋∠CAE＝2(90°－∠AED)＋∠CAE＝2(90°－2∠C)＋∠C＝120°，‎ ‎∴∠C＝20°.‎ 方法二(补短法)：延长DB至点F，使BF＝AB，则∠F＝∠FAB，AB＋BD＝DF＝DC.‎ 10‎ 又∵AD⊥BC，∴AF＝AC，‎ ‎∴∠C＝∠F＝∠FAB.‎ 又∵∠F＋∠C＋∠FAB＋∠BAC＝180°，‎ ‎∴∠C＝20°.‎ ‎14．证明：方法一(截长法)：在AB上截取BE＝BC.‎ ‎∵BD平分∠ABC，‎ ‎∴∠EBD＝∠CBD.‎ 又∵BD＝BD，BE＝BC，‎ ‎∴△BED≌△BCD，‎ ‎∴ED＝CD，∠BED＝∠C.‎ ‎∵∠C＝2∠A，∠BED＝∠A＋∠ADE，‎ ‎∴∠A＝∠ADE，‎ ‎∴AE＝ED＝CD，‎ ‎∴AB＝AE＋BE＝CD＋BC.‎ 方法二(补短法)：延长BC至点F，使CF＝CD，连结DF，同方法一可证△BDA≌△BDF.又∵DC＝CF，则AB＝BF＝CD＋BC.‎ ‎15．解：(1)②‎ ‎(2)①‎ 证明：方法一(截长法)：∵AC＝BC，∠C＝100°，‎ ‎∴∠BAC＝∠B＝40°.‎ ‎∵∠EDB＝∠B，‎ ‎∴DE＝BE，∠DEA＝2∠B＝80°.‎ ‎∵AD平分∠BAC，‎ ‎∴∠CAD＝∠BAD＝20°，‎ ‎∴∠ADE＝180°－20°－80°＝80°＝∠DEA，‎ 10‎ ‎∴AD＝AE.‎ 在AB上截取AM＝AC，连结MD.‎ 易得△CAD≌△MAD.‎ ‎∴CD＝MD，∠DMA＝∠C＝100°，‎ ‎∴∠DME＝∠DEM＝80°，‎ ‎∴DM＝DE，∴CD＝BE，‎ ‎∴AB＝AE＋BE＝AD＋CD.‎ 方法二(作垂线)：同方法一可得AD＝AE，BE＝ED.‎ 过点D作DF⊥AB于点F，DG⊥AC，交AC的延长线于点G，‎ 则∠DGC＝∠DFE＝90°.‎ 又∵AD＝AD，∠CAD＝∠BAD＝20°，‎ ‎∴△DAG≌△DAF，‎ ‎∴DG＝DF.‎ 又∵易得∠DCG＝∠DEF＝80°，∠DGC＝∠DFE，‎ ‎∴△DCG≌△DEF，‎ ‎∴CD＝ED＝BE，‎ ‎∴AB＝AE＋BE＝AD＋CD.‎ 10‎ 10‎