2020八年级数学上册 专题突破讲练 如何选择参赛选手试题 （新版）青岛版

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如何选择参赛选手 一、方差、标准差的有关概念 ‎1. 方差：设在一组数据中，各数据与它们的平均数 的差的平方分别是，那么我们求它们的平均数，即为 ‎ 注意：方差反映的是这组数据的波动大小，方差越大，数据波动越大，反之，越稳定。‎ 如：在方差的计算公式s=[（x－20）+（x－20）+……+（x－20）]中，数字10和20分别表示的意义是________。‎ 解析：10是对应公式中数据的个数，20是对应公式中的平均数。‎ ‎2. 标准差：方差的算术平方根，我们把它称为这组数据的标准差，即 注意：标准差反映的这组数据的波动情况，标准差越大，数据波动越大，反之，越稳定。‎ 方法归纳：方差、标准差的理解应注意以下几点：‎ 方差 标准差 反映情况 数据的波动情况 数据的波动情况 单位与原数据的吻合情况 不一样 一样 二、方差、标准差的的求法 ‎1. 方差的求法：计算方差的步骤为：“先平均，后求差，平方后，再平均”。‎ 如：数据100，99，99，100，102，100的方差=_________。‎ 解：“先平均” ‎ ‎“后求差”（100—100），（99—100），（99—100），（100—100），（102—100），（100—100）“平方后”，，，，，‎ ‎“再平均”‎ ‎ 故填1。‎ 10‎ ‎2. 标准差的求法：对方差进行开方运算，取其算术平方根。‎ 如：若一组数据的方差为9，则标准差为 。‎ 解：9的算术平方根为3，即这组数据的标准差为3‎ 故填3。‎ 例题1 在一组数据x1，x2，…，xn中，各数据与它们的平均数的差的绝对值的平均数，即叫做这组数据的“平均差”。“平均差”也能描述一组数据的离散程度。“平均差”越大说明数据的离散程度越大。因为“平均差”的计算要比方差的计算要容易一点，所以有时人们也用它来代替方差来比较数据的离散程度。极差、方差（标准差）、平均差都是反映数据离散程度的量。‎ 一水产养殖户李大爷要了解鱼塘中鱼的重量的离散程度，因为个头大小差异太大会出现“大鱼吃小鱼”的情况；为防止出现“大鱼吃小鱼”的情况，在能反映数据离散程度的几个量中某些值超标时就要捕捞；分开养殖或出售；他从两个鱼塘各随机捕捞10条鱼称得重量如下：（单位：千克）‎ 甲鱼塘：3，5，5，5，7，7，5，5，5，3‎ 乙鱼塘：4，4，5，6，6，5，6，6，4，4‎ 请分别计算出甲、乙两个鱼塘中抽取的样本的极差、方差、平均差；完成下面的表格：‎ 极差 方差 平均差 甲鱼塘 乙鱼塘 解析：根据极差的公式：极差=最大值－最小值，找出所求数据中最大的值，最小值，再代入公式求值；方差就是各变量值与其平均值的差平方的平均数，根据方差公式计算即可，所以计算方差前要先算出平均数，然后再利用方差公式计算。‎ 答案：解：甲组数据中最大的值7，最小值3，故极差=7－3=4，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎ 组数据中最大的值6，最小值4，故极差=6－4=2；‎ ‎，‎ 10‎ S2乙=[（4－5）2+（4－5）2+（5－5）2+（6－5）2+（6－5）2+（5－5）2+（6－5）2+（6－5）2+（4－5）2+（4－5）2]÷10=0.8，‎ 极差 方差 平均差 甲鱼塘 ‎4‎ ‎1.6‎ ‎0.8‎ 乙鱼塘 ‎2‎ ‎0.8‎ ‎0.8‎ 点拨：此题主要考查了方差与极差以及平均差的求法，极差反映了一组数据变化范围的大小，求极差的方法是用一组数据中的最大值减去最小值；方差是各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，它是测算数值型数据离散程度的最重要的方法。‎ 例题2 某社区准备在甲乙两位射箭爱好者中选出一人参加集训，两人各射了5箭，他们的总成绩（单位：环）相同，小宇根据他们的成绩绘制了尚不完整的统计图表，并计算了甲成绩的平均数和方差（见小宇的作业）。‎ 甲、乙两人射箭成绩统计表：‎ 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 甲成绩 ‎9‎ ‎4‎ ‎7‎ ‎4‎ ‎6‎ 乙成绩 ‎7‎ ‎5‎ ‎7‎ a ‎ ‎7‎ ‎（1）a= ，= ；‎ ‎（2）请完成图中表示乙成绩变化情况的折线；‎ ‎（3）①观察图，可看出 的成绩比较稳定（填“甲”或“乙”）。参照小宇的计算方法，计算乙成绩的方差，并验证你的判断。‎ ‎②请你从平均数和方差的角度分析，谁将被选中。‎ 解析：（1）根据他们的总成绩相同，得出a=30－7－7－5－7=4环，进而得出。=30÷5=6‎ 10‎ 环；‎ ‎（2）根据（1）中所求得出a的值进而得出折线图即可；‎ ‎（3）①观察图，即可得出乙的成绩比较稳定；②因为两人成绩的平均水平（平均数）相同，根据方差得出乙的成绩比甲稳定，所以乙将被选中。‎ 答案：解：（1）由题意得：甲的总成绩是：9+4+7+4+6=30环，‎ 则a=30－7－7－5－7=4环，=30÷5=6环，故答案为：4环，6环；‎ ‎（2）如图所示：‎ ‎（3）①观察图，可看出乙的成绩比较稳定，故答案为：乙；‎ 因为乙的成绩为：7，5，7，4，7，=6环 所以×[（7－6）2+（5－6）2+（7－6）2+（4－6）2+（7－6）2]=1.6环2‎ 由于，所以上述判断正确。‎ ‎②因为两人成绩的平均水平（平均数）相同，根据方差得出乙的成绩比甲的成绩稳定，所以乙将被选中。‎ 点拨：方差的定义以及折线图和平均数的意义，根据已知得出a的值进而利用方差的意义比较稳定性即可。‎ 在实际生活中的应用 学习方差，我们知道方差是反映一组数据波动大小的特征数，当一组数据的方差较小时，说明这组数据较稳定。但在实际问题中，我们要根据具体问题具体分析，并不一定选择方差小的。‎ 例题 甲、乙两名射击选手各自射击十组，按射击的时间顺序把每组射中靶的环数值记录如下表：‎ 10‎ 选手组数 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ 甲 ‎98‎ ‎90‎ ‎87‎ ‎98‎ ‎99‎ ‎91‎ ‎92‎ ‎96‎ ‎98‎ ‎96‎ 乙 ‎85‎ ‎91‎ ‎89‎ ‎97‎ ‎96‎ ‎97‎ ‎98‎ ‎96‎ ‎98‎ ‎98‎ ‎（1）根据上表数据，完成下列分析表：‎ 平均数 众数 中位数 方差 极差 甲 ‎94.5‎ ‎96‎ ‎16.65‎ ‎12‎ 乙 ‎94.5‎ ‎18.65‎ ‎（2）如果要从甲、乙两名选手中选择一个参加比赛，应选哪一个？为什么？‎ 解析：（1）分别根据众数、中位数和极差的概念填充表格即可；‎ ‎（2）根据方差即可确定选择哪位选手参加比赛。‎ 答案：解：（1）根据众数、中位数和极差的概念填充表格如下所示：‎ 平均数 众数 中位数 方差 极差 甲 ‎94.5‎ ‎98‎ ‎96‎ ‎16.65‎ ‎12‎ 乙 ‎94.5‎ ‎98‎ ‎96.5‎ ‎18.65‎ ‎13‎ ‎（2）∵，‎ ‎∴甲的成绩比较稳定，‎ ‎∴选择甲选手参加比赛。‎ 点拨：方差反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，方差越小，波动性越小，所以选择方差较小的，也就是发挥越稳定的选手参赛。‎ ‎（答题时间：45分钟）‎ 一、选择题 ‎1. 为了解某射击运动员的射击成绩，从一次训练中随机抽取了该运动员的10次射击成绩，纪录如下；8，9，8，8，10，9，10，8，9，10。这组数据的极差是（　　）‎ A. 9 B. ‎8.9 C. 8 D. 2‎ ‎*2. 某特警部队为了选拔“神枪手”，举行了‎1000米射击比赛，最后由甲、乙两名战士进入决赛，在相同条件下，两人各射靶10次，经过统计计算，甲、乙两名战士的总成绩都是99.68环，甲的方差是0.28，乙的方差是0.21，则下列说法中，正确的是（　　）‎ A. 甲的成绩比乙的成绩稳定 B. 乙的成绩比甲的成绩稳定 C. 甲、乙两人成绩的稳定性相同 D. 无法确定谁的成绩更稳定 10‎ ‎**3. 某班期末英语考试的平均成绩为75分，方差为225，如果每名学生都多考5分，下列说法正确的是（　　）‎ A. 平均分不变，方差不变 B. 平均分变大，方差不变 C. 平均分不变，方差变大 D. 平均分变大，方差变大 ‎**4. 已知20个数据的平均数为6，且这20个数据的平方和为800，则这组数据的方差等于。（　　）‎ A. 1 B. ‎2 C. 3 D. 4‎ 二、填空题 ‎5. 数据－2，－1，0，3，5的方差是__________。‎ ‎*6. 已知一组数据5，8，10，x，9的众数是8，那么这组数据的方差是__________。‎ ‎*7. 甲、乙两名射击手的50次测试的平均成绩都是8环，方差分别是S甲2＝0.4，S乙2＝1.2，则成绩比较稳定的是 _________甲（填“甲”或“乙”）‎ ‎**8. 一组数据1，3，2，5，x的平均数是3，则这组数据的标准差是__________。‎ 三、解答题 ‎9. 已知A组数据如下：0，1，－2，－1，0，－1，3‎ ‎（1）求A组数据的平均数；‎ ‎（2）从A组数据中选取5个数据，记这5个数据为B组数据，要求B组数据满足两个条件：①它的平均数与A组数据的平均数相等；②它的方差比A组数据的方差大。 你选取的B组数据是 __________－1，－2，3，－1，1，请说明理由。‎ ‎10. 甲，乙两支仪仗队队员的身高（单位：厘米）如下：‎ 甲队：178，177，179，178，177，178，177，179，178，179；‎ 乙队：178，179，176，178，180，178，176，178，177，180；‎ ‎（1）将下表填完整：‎ 身高 ‎176‎ ‎177‎ ‎178‎ ‎179‎ ‎180‎ 甲队（人数）‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎0‎ 乙队（人数）‎ ‎2‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎（2）甲队队员身高的平均数为 ______厘米，乙队队员身高的平均数为 _______厘米； （3）你认为哪支仪仗队更为整齐？简要说明理由。‎ ‎*11. 博才中学要从甲、乙两名同学中选拔一名同学代表学校参加“华罗庚金杯”数学竞赛活动。这两位同学最近四次的数学测验成绩如下表：（单位：分）‎ 第一次 第二次 第三次 第四次 10‎ 甲 ‎75‎ ‎70‎ ‎85‎ ‎90‎ 乙 ‎85‎ ‎82‎ ‎75‎ ‎78‎ ‎（1）根据表中数据，分别求出甲、乙两名同学这四次数学测验成绩的平均分。‎ ‎（2）经计算，甲、乙两位同学这四次数学测验成绩的方差分别为S甲2=62.5，S乙2=14.5，你认为哪位同学的成绩较稳定？请说明理由 ‎**12. 小华和小明参加某体育项目训练，近期的8次测试成绩（分）如下 ‎（1）小华和小明近期的8次测试成绩，谁比较稳定？‎ ‎（2）历届比赛表明，成绩达到13分就很可能夺冠，你认为为了夺冠应选谁参加这项比赛？如果历届比赛成绩表明，成绩达到14分就能打破记录，那么你认为为了打破记录应选谁参加这项比赛？‎ ‎**13. 小明同学参加某体育项目训练，将近期的十次测试成绩得分情况绘制成如图的扇形统计图，试求出十次成绩的平均数和方差 10‎ ‎1. D 解：这组数据的最大数是10，最小数是8，‎ 则这组数据的极差是10－8=2；‎ 故选D。‎ ‎2. B 解：∵甲的方差是0.28，乙的方差是0.21，‎ ‎∴S甲2＞S乙2，‎ ‎∴乙的成绩比甲的成绩稳定；‎ 故选B。‎ ‎3. B 解：∵平均成绩为75分，每名学生都多考5分，‎ ‎∴平均分增加5分，平均分变大，方差不变；‎ 故选B。‎ ‎4. D 解：∵，‎ ‎∴‎ ‎=‎ ‎=‎ ‎=4‎ 故选：D。‎ ‎5. 解析：这组数据－2，－1，0，3，5的平均数是（－2－1+0+3+5）÷5=1，‎ 则这组数据的方差是：，‎ 故答案为：。‎ ‎6. 2.8‎‎ 解析：∵一组数据5，8，10，x，9的众数是8，‎ ‎∴x是8，‎ ‎∴这组数据的平均数是（5+8+10+8+9）÷5=8，‎ ‎∴这组数据的方差是：‎ 故答案为：2.8。‎ ‎7. 甲 解析：∵S甲2＝0.4，S乙2＝1.2，‎ 10‎ ‎∴S甲2＜S乙2，‎ ‎∴成绩比较稳定的是甲；‎ 故答案为：甲。‎ ‎8. 解析：由题意知：x=15－（1+3+2+5）=4‎ 方差 故五个数据的标准差是 故填。‎ ‎9. 解：‎ ‎（2）所选数据为－1，－2，3，－1，1；‎ 理由：其和为0，则平均数为0，‎ 各数相对平均数0的波动比第一组大，故方差大。‎ 故答案为：－1，－2，3，－1，1。（答案不唯一）‎ ‎10. 解：（1）‎ 身高 ‎176‎ ‎177‎ ‎178‎ ‎179‎ ‎180‎ 甲队（人数）‎ ‎0‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎3‎ ‎0‎ 乙队（人数）‎ ‎2‎ ‎1‎ ‎4‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎（2）‎ ‎。‎ ‎（3）甲仪仗队更为整齐。‎ 理由如下：‎ ‎；‎ ‎；‎ 因为甲，乙两支仪仗队队员身高数据的方差分别为0.6和1.8，‎ 因此，可以认为甲仪仗队更为整齐。‎ ‎（也可以根据甲，乙两队队员身高数据的极差分别为‎2厘米，‎4厘米判断）。‎ 10‎ ‎11. 解：（1），‎ ‎，‎ ‎（2）∵‎ ‎∴‎ ‎∴乙的成绩稳定，因为甲的方差大于乙的方差。‎ ‎12. 解：‎ ‎（1）小明和小华8次成绩的平均数分别为：‎ ‎×（10+10+11+10+16+14+16+17）=13，‎ ‎×（11+13+13+12+14+13+15+13）=13，‎ 小明和小华8次成绩的方差分别为：‎ ‎，‎ ‎；‎ ‎∵S2＞S＇2，‎ ‎∴小明近期的8次测试成绩，比较稳定；‎ ‎（2）∵成绩达到13分的小华有4次，小明有6次，∴为了夺冠应选小明参加这项比赛；‎ ‎∵成绩达到14分的小华有4次，小明有2次，∴为了打破记录应选小华参加这项比赛。‎ ‎13. 解：由扇形统计图，可得这十次测试成绩得13分的有3次，得14分的有4次，得15分的有3次；则这十次测试成绩的平均数=（13×3+14×4+15×3）÷10=14（分），‎ 方差为[3×（14－13）2+3×（15－14）2+4×（14－14）2]÷10=0.6。‎ 10‎