重庆市巴蜀中学初中部数学教研组整理：八年级数学上（RJ）13

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13.3.2 等边三角形 第十三章 轴对称 导入新课 讲授新课 当堂练习 课堂小结 第 2 课时 含 30 ° 角的直角三角形的性质 八年级数学上（RJ） 学习目标 1 ． 探索含 30° 角的直角三角形的性质．（重点） 2 ． 会运用 含 30° 角的直角三角形的性质进行有关的证明和计算．（难点） 导入新课 问题引入 问题 1 如图，将两个相同的 含 30° 角的三角尺摆放在一起，你能借助这个图形，找到 Rt△ ABC 的直角 边 BC 与斜边 AB 之间的数量关系吗？ 分离 拼接 A C B 问题 2 将一张等边三角形纸片，沿一边上的高对折，如图所示，你有什么发现？ 讲授新课 含 30° 角的直角三角形的性质 一 性质： 在直角三角形中，如果一个锐角等于 30° ，那么它所对的直角边等于斜边的一半 . A B C D 如图， △ ADC 是 △ ABC 的轴对称图形， 因此 AB=AD , ∠ BAD =2×30°=60° ， 从而 △ ABD 是一个 等边三角形 . 再由 AC ⊥ BD , 可得 BC = CD = AB . 你还能用其他方法证明吗？ 证法 1 证明：在 △ ABC 中 ，∵　∠ C =90° ，∠ A =30°, ∴ 　∠ B =60° ． 延长 B C 到 D ， 使 BD = AB ， 连接 AD ， 则 △ ABD 是等边三角形． 又 ∵ AC ⊥ BD , 已知：如图，在 Rt△ ABC 中， ∠ C =90° ，∠ A =30°. 求证： BC = AB ． A B C D 证明方法： 倍长法 ∴ 　 BC = AB ． 　　 ∴ BC = BD ． 　　 E A B C 证明 2 ： 在 BA 上截取 BE = BC ， 连接 EC . ∵ ∠ B = 60° ， BE=BC . ∴ △ BCE 是等边三角形， ∴ ∠ BEC = 60°， BE = EC . ∵ ∠ A = 30°， ∴ ∠ ECA =∠ BEC -∠ A =60°-30° = 30° . ∴ AE = EC ， ∴ AE = BE = BC ， ∴ AB = AE + BE =2 BC . ∴ 　 BC = AB ． 　　 证明方法： 截半法 知识要点 含 30° 角的直角三角形的性质 在直角三角形中，如果一个锐角等于 30° ，那么它所对的直角边等于斜边的一半 . 应用格式： ∵ 　 在 Rt△ ABC 中 ， 　　∠ C =90° ，∠ A =30° ，　 　 A B C ∴ 　 BC = AB ． 　　 √ 判断下列说法是否正确： 1 ）直角三角形中 30° 角所对的直角边等于另一直角边的一半． 2 ）三角形中 30° 角所对的边等于最长边的一半。 3 ）直角三角形中较短的直角边是斜边的一半。 4 ）直角三角形的斜边是 30° 角所对直角边的 2 倍． 例 1 如图，在 Rt△ ABC 中， ∠ ACB ＝ 90° ， ∠ B ＝ 30° ， CD 是斜边 AB 上的高， AD ＝ 3cm ，则 AB 的长度是 ( 　　 ) A ． 3cm B ． 6cm C ． 9cm D ． 12cm 典例精析 注意： 运用含 30° 角的直角三角形的性质求线段长时，要分清线段所在的直角三角形． D 解析：在 Rt△ ABC 中， ∵ CD 是斜边 AB 上的高， ∴∠ ADC ＝ 90° ， ∴∠ ACD ＝ ∠ B ＝ 30°. 在 Rt△ ACD 中， AC ＝ 2 AD ＝ 6cm ，在 Rt△ ABC 中， AB ＝ 2 AC ＝ 12cm.∴ AB 的长度是 12cm. 故选 D. 例 2 如图， ∠ AOP ＝ ∠ BOP ＝ 15° ， PC∥OA 交 OB 于 C ， PD ⊥ OA 于 D ，若 PC ＝ 3 ，则 PD 等于 ( 　　 ) A ． 3 B ． 2 C.1.5 D ． 1 解析：如图，过点 P 作 PE ⊥ OB 于 E ， ∵ PC∥OA ， ∴∠ AOP ＝ ∠ CPO ， ∴∠ PCE ＝ ∠ BOP ＋ ∠ CPO ＝ ∠ BOP ＋ ∠ AOP ＝ ∠ AOB ＝ 30°. 又 ∵ PC ＝ 3 ， ∴ PE ＝ 1.5.∵∠ AOP ＝ ∠ BOP ， PD ⊥ OA ， ∴ PD ＝ PE ＝ 1.5. 故选 C. E C 方法总结： 含 30° 角的直角三角形与角平分线、垂直平分线的综合运用时，关键是寻找或作辅助线构造含 30° 角的直角三角形． 例 3 如图，在 △ ABC 中， ∠ C ＝ 90° ， AD 是 ∠ BAC 的平分线，过点 D 作 DE ⊥ AB . DE 恰好是 ∠ ADB 的平分线． CD 与 DB 有怎样的数量关系？请说明理由． 解： 理由如下： ∵ DE ⊥ AB ， ∴∠ AED ＝ ∠ BED ＝ 90°. ∵ DE 是 ∠ ADB 的平分线， ∴∠ ADE ＝ ∠ BDE . 又 ∵ DE ＝ DE ， ∴△ AED ≌ △ BED (ASA) ， 在 Rt△ ACD 中， ∵∠ CAD ＝ 30° ， ∴ AD ＝ BD ， ∠ DAE ＝ ∠ B . ∵∠ BAD ＝ ∠ CAD ＝ ∠ BAC ， ∴∠ BAD ＝ ∠ CAD ＝ ∠ B . ∵∠ BAD ＋ ∠ CAD ＋ ∠ B ＝ 90° ， ∴∠ B ＝ ∠ BAD ＝ ∠ CAD ＝ 30°. ∴ CD ＝ AD ＝ BD ，即 CD ＝ DB . 方法总结： 含 30° 角的直角三角形的性质是表示线段倍分关系的一个重要的依据，如果问题中出现探究线段倍分关系的结论时，要联想此性质． 想一想： 　图中 BC 、 DE 分别是哪个直角三角形的直角边？它们所对的锐角分别是多少度？ 例 4 　如图是屋架设计图的一部分，点 D 是斜梁 AB 的中点，立柱 BC ， DE 垂直于横梁 AC ， AB =7.4 cm ，∠ A =30° ， 立柱 BC 、 DE 要多长？ A B C D E A B C D E 解： ∵ DE ⊥ AC , BC ⊥ AC , ∠ A =30 ° ， ∴ BC = AB , DE = AD . ∴ BC = AB = ×7.4=3.7(m). 又 AD = AB , ∴ DE = AD = ×3.7=1.85 (m). 答：立柱 BC 的长是 3.7m ， DE 的长是 1.85m. 例 5 已知 : 等腰三角形的底角为 15 °, 腰长为 20. 求腰上的高 . A C B D 15 ° 15 ° 20 解 : 过 C 作 CD ⊥ BA , 交 BA 的延长线于点 D. ∵∠ B =∠ ACB =15 ° ( 已知 ), ∴∠ DAC = ∠ B + ∠ ACB = 15 ° +15 ° =30 °， ) ) ∴ CD = AC = ×20=10. 方法总结： 在求三角形边长的一些问题中，可以构造含30°角的直角三角形来解决．本题的关键是作高，而后利用等腰三角形及外角的性质，得出 30 °角，利用含 30 °角的直角三角形的性质解决问题 . 当堂练习 1. 如图，一棵树在一次强台风中于离地面 3 米处折断倒下，倒下部分与地面成 30° 角，这棵树在折断前的高度为 ( ) A ． 6 米 B ． 9 米 C ． 12 米 D ． 15 米 2. 某市在旧城改造中，计划在一块如图所示的 △ABC 空地上种植草皮以美化环境，已知 ∠A ＝ 150° ，这种草皮每平方米售价 a 元，则购买这种草皮至少需要 ( ) A ． 300 a 元 B ． 150 a 元 C ． 450 a 元 D ． 225 a 元 B B 4 . 在 △ ABC 中, ∠ A : ∠ B : ∠ C =1:2:3, 若 AB =10, 则 BC = . 5 5. 如图， Rt△ ABC 中， ∠ A = 30° ， AB + BC =12cm ， 则 AB =______. A C B 8 3. 如图，在 △ ABC 中， ∠ ACB =90° ， CD 是高 ， ∠ A =30° ， AB =4 ． 则 BD = . A B C D 1 第 3 题图 第 5 题图 6. 在△ABC中，∠C=90°，∠B=15°，DE是AB的垂直平分线，BE=5，则求AC的长． 解：连接AE， ∵DE是AB的垂直平分线， ∴BE=AE， ∴∠EAB=∠B=15°， ∴∠AEC= ∠EAB + ∠B=30°． ∵∠C=90°， ∴AC= AE= BE=2.5． 7. 在 △ABC 中 ， AB=AC ， ∠BAC=120 ° ， D 是 BC 的中点， DE⊥AB 于 E 点，求证： BE=3EA. 证明： ∵AB=AC ， ∠BAC=120 °， ∴∠B=∠C=30 ° . ∵ D 是 BC 的中点， ∴AD⊥BC ∴∠ADC=90° ， ∠BAD=∠DAC=60 ° . ∴AB=2AD. ∵DE⊥AB ， ∴∠AED=90 °， ∴∠ADE=30 °， ∴AD=2AE. ∴AB=4AE ， ∴BE=3AE. 8. 如图，已知 △ABC 是等边三角形， D,E 分别为 BC 、 AC 上的点，且 CD=AE ， AD 、 BE 相交于点 P ， BQ⊥AD 于点 Q, 求证 :BP=2PQ. 拓展提升 ∴△ADC ≌ △BEA. 证明： ∵△ABC 为等边三角形， ∴ AC=BC=AB ,∠C=∠BAC=60° ， ∵CD=AE ， ∴∠CAD=∠ABE . ∵ ∠BAP+∠CAD=60° ， ∴∠ABE+∠BAP=60°. ∴∠BPQ=60°. 又 ∵ BQ⊥AD ， ∴BP=2PQ. ∴∠PBQ=30 ° ， ∴∠BQP=90 ° ， 课堂小结 内容 在直角三角形中，如果一个锐角等于 30° ，那么它所对的直角边等于斜边的一半 使用要点 含 30° 角的直角三角形的性质 找准 30 ° 的角所对的直角边，点明斜边 注意 前提条件：直角三角形中