初中数学8年级教案：第15讲 四边形中的证明与计算

初中数学8年级教案：第15讲 四边形中的证明与计算

辅导教案 学员姓名： 学科教师：‎ 年 级： 辅导科目：‎ 授课日期 ‎××年××月××日 时 间 A / B / C / D / E / F段 主 题 四边形中的证明与计算 教学内容 ‎1．掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形性质定理和判定定理；‎ ‎2．掌握等腰梯形的性质与判定以及三角形、梯形中位线定理．‎ ‎（此环节设计时间在10-15分钟）‎ 多边形 四边形 等腰梯形 直角梯形 平行四边形 梯形 梯形中位线 矩形 正方形 菱形 ‎1．菱形的两条对角线之比是2：3，面积是27，则两条对角线的长分别是 和 ．‎ ‎2．如图，已知梯形ABCD的中位线为EF，且△AEF的面积为‎6cm2，则梯形ABCD的面积为（ ）‎ A、 ‎12 cm2 B、 ‎18 cm2 C、 24 cm2 D、30 cm2‎ ‎3．已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是（ ）‎ ‎ A、当AB＝BC时，它是菱形； B、当AC⊥BD时，它是菱形；‎ ‎ C、当AC＝BD时，它是正方形； D、当∠ABC＝900时，它是矩形.‎ ‎4．下列说法：①一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形或等腰梯形。‎ ‎②一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形。‎ ‎③两组对角分别相等的四边形是平行四边形。‎ ‎④顺次联结等腰梯形各边中点所得到的四边形是菱形。其中正确的是（ ）‎ A、①② B、①②③ C、②③④ D、①②③④‎ 参考答案：1． 6，9； 2． C； 3．C； 4． D．‎ ‎（此环节设计时间在50-60分钟）‎ 例题1：如图在矩形ABCD中，延长CB到E，使得CE＝CA，F是AE中点，联结BF、DF．‎ ‎（1）求证：BF⊥DF； （2）如果AB＝3，BC＝4，求四边形BFDC的面积．‎ 参考答案：联结BD交AC于O，联结FO， ∵四边形ABCD是矩形，‎ ‎∴∠ABC＝90°，AC＝BD＝2AO＝2CO，AO＝CO， ∵F为AE中点， ∴FO＝CE，‎ ‎∵AC＝CE，∴FO＝BD，即FO＝OB＝OD， ∴∠OFD＝∠ODF，∠OFB＝∠OBF，‎ ‎∵∠OFD＋∠ODF＋∠OFB＋∠OBF＝180°； ∴∠OFD＋∠OFB＝90°，即∠DFB＝90°， ∴BF⊥DF；‎ ‎（2）解：∵∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，由勾股定理得：BD＝AC＝5＝CE， ∴BE＝5—4＝1， ∴在Rt△ABE中，由勾股定理得：AE＝，∵F为AE中点，∴BF＝AE＝，‎ ‎∴在Rt△DFB中，．∴‎ 例题2：已知：如图，在□ABCD中，点E、F分别是AB、CD的中点，CE、AF与对角线BD分别相交于点G、H．如果AD⊥BD，求证：四边形EGFH是菱形．‎ 参考答案：联结EF，交BD于点O． ‎ ‎∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB//CD，AB＝CD．‎ ‎∵点E、F分别是AB、CD的中点，∴ AE＝CF．‎ ‎∴四边形AECF为平行四边形． ∴∠AFC＝∠AEC．‎ ‎∴∠DFH＝∠GEB ‎∵AB//CD， ∴∠FDH＝∠EBG 又∵DF＝BE； ∴△DFH≌△BEG， ∴DH＝BG ‎∵AB//CD，AB＝CD，点E、F分别是AB、CD的中点，‎ ‎∴△DFO≌△BEO． ∴FO＝EO，DO＝BO．‎ ‎∵DH＝GB，∴OH＝OG．∴四边形EGFH是平行四边形．‎ ‎∵点E、O分别是AB、BD的中点， ∴OE//AD．‎ ‎∵AD⊥BD，∴EF⊥GH． ∴□HEGF是菱形．‎ 例题3：如图，在平行四边形ABCD中，O为对角线的交点，点E为线段BC延长线上的一点，且CE＝BC．‎ 过点E作EF∥CA，交CD于点F，联结OF．‎ ‎（1）求证：OF∥BC； （2）如果梯形OBEF是等腰梯形，判断四边形ABCD的形状，并给出证明．‎ 参考答案：（1）将线段BC的中点记为G，联结OG，‎ ‎∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OB＝OD．‎ ‎∴OG∥CD； ∴∠OGC＝∠FCE．‎ ‎∵EF∥CA， ∴∠OCG＝∠FEC．‎ ‎∵CG＝BC，CE＝BC， ∴CG＝CE．‎ 在△OGC和△FCE中， ∵∠OGC＝∠FCE，CG＝CE，∠OCG＝∠FEC，‎ ‎∴△OGC≌△FCE（A.S.A）； ∴OG＝FC．‎ 又∵OG∥CF， ∴四边形OGCF是平行四边形．‎ ‎∴OF∥GC ‎ ‎（2）如果梯形OBEF是等腰梯形，那么四边形ABCD是矩形．‎ ‎∵OF∥CE，EF∥CO，∴四边形OCEF是平行四边形．‎ ‎∴EF＝CO．‎ 又∵梯形OBEF是等腰梯形，∴BO＝EF． ∴OB＝OC．‎ ‎∵四边形ABCD是平行四边形，∴AC＝2OC，BD＝2OB． ∴AC＝BD．‎ ‎∴平行四边形ABCD是矩形．‎ 例题4：如图，在正方形ABCD中，点P是射线BC上的任意一点（点B与点C除外），联结DP，分别过点 C、A作直线DP的垂线，垂足为点E、F．‎ ‎（1）当点P在BC的延长线上时，那么线段AF、CE、EF之间有怎样的数量关系？请证明你的结论；‎ ‎（2）当点P在边BC上时，正方形的边长为2．设CE＝x，AF＝y．求y与x的函数解析式，并写出函数的定 义域；‎ ‎（3）在（2）的条件下，当x＝1时，求EF的长．‎ 参考答案：（1）AF ＋CE ＝ EF．‎ 在正方形ABCD中，CD ＝ AD，∠ADC ＝ 90°， 即得 ∠ADF ＋∠EDC ＝ 90°．‎ ‎ ∵AF⊥EF，CE⊥EF， ∴∠AFD ＝∠DEC ＝ 90°．‎ ‎ ∴∠ADF ＋∠DAF ＝ 90°． ∴∠DAF ＝∠EDC．‎ 又由AD ＝ DC，∠AFD ＝∠DEC，得△ADF≌△DCE．‎ ‎∴DF ＝ CE，AF ＝ DE．‎ ‎∴AF ＋CE ＝ EF．‎ ‎ （2）由（1）的证明，可知△ADF≌△DCE．‎ ‎∴DF ＝ CE，AF ＝ DE．‎ 由CE ＝ x，AF ＝ y，得DE ＝ y．‎ 于是，在Rt△CDE中，CD ＝ 2，利用勾股定理，得 ‎，即得 ．‎ ‎∴．‎ ‎∴所求函数解析式为，函数定义域为．‎ ‎ （3）当x ＝1时，得．‎ 即得 ．‎ 又∵DF ＝ CE ＝ 1，EF ＝ DE – DF，∴．‎ 此环节设计时间在30分钟左右（20分钟练习＋10分钟互动讲解）。‎ ‎1．如图，△ABC中，点D、E分别是边BC、AC的中点，过点A作AF//BC交线段DE的延长线相交于F点，取AF的中点G，如果BC ＝2 AB． 求证：（1）四边形ABDF是菱形； （2）AC ＝2DG．‎ ‎2．已知，如图，在△ABC中，M是边AB的中点，D是边BC延长线上一点，BC＝2DC，作DN∥CM，交AC边于点N．‎ ‎（1）求证：四边形MCDN是平行四边形；‎ ‎（2）当∠ACB为何值时，四边形BDNM是等腰梯形？并证明你的猜想．‎ ‎3．如图，在正方形中，是边上一点，交的延长线于点，联结，分别交、于点．‎ ‎（1）求证：； （2）若，求证：四边形是矩形．‎ ‎4．如图，在梯形中，∥，平分，平分线交于，联结．‎ ‎（1）求证：四边形是菱形；‎ ‎（2）当＝60°，时，证明：梯形是等腰梯形．‎ 参考答案：‎ ‎1．（1）∵点D、E分别是边BC、AC的中点； ∴DE是△ABC的中位线 ‎ ‎ ∴DE//AB，DE＝AB ； ∵AF//BC ‎ ∴四边形ABCD是平行四边形； ∵BC ＝ 2 AB，又∵BC ＝ 2 BD ‎ ∴AB＝BD； ∴四边形ABDF是菱形 ‎（2）∵四边形ABDF是菱形， ∴AF＝AB＝DF ‎ ∵DE＝AB， ∴EF＝AF ‎ ∵G是AF的中点，∴GF＝AF ‎ ∴GF＝EF， ∴△FGD≌△DAE ，∴GD＝AE， ‎ ‎∵AC＝2EC＝2AE ∴AC＝2DG ‎ ‎2．证明：（1）取边BC的中点E，联结ME．‎ ‎∵BM＝AM，BE＝EC，∴ME∥AC． ∴∠MEC＝∠NCD．‎ ‎∵BC＝2DC， ∴CD＝CE． ‎ ‎∵DN∥CM， ∴∠MCE＝∠D．‎ ‎∴△MEC≌△NCD ∴CM＝DN． ‎ 又∵CM∥DN，∴四边形MCDN是平行四边形．‎ ‎（2）解：当∠ACB＝90°时，四边形BDNM是等腰梯形．‎ 证明：∵MN∥BD，BM与DN不平行，∴四边形BDNM是梯形．‎ ‎∵∠ACB＝90°，BM＝AM，∴CM＝BM＝AM．‎ ‎∵CM＝DN，∴BM＝DN． ∴四边形BDNM是等腰梯形．‎ ‎3．（1）∵四边形ABCD是正方形，‎ ‎∴，，//，// ‎ ‎∵∴∴‎ ‎（2） ∵， ∠DAE=∠BAF ∴∠BFP=∠EAD ‎∴// ∴∠ADF=∠CFD ∴∠ADF=∠DAG ∴GA=DG ‎∵∠AGP=∠DGE ∴‎ ‎∴又∵// ∴四边形APED是平行四边形 ‎∵∠ADE=900， ∴四边形APED矩形 ‎4．（1）∵∥，∴，‎ 又∵，∴．‎ ‎∴． 同理有．‎ ‎∴． 又∵∥．‎ ‎∴四边形为平行四边形． ‎ 又∵． ∴为菱形．‎ ‎（2）∵，，‎ ‎ ∴△为等边三角形． ∴．‎ ‎ 又∵，∥．‎ ‎ ∴四边形为平行四边形． ‎ ‎ ∴． ∴．‎ ‎ ∴梯形是等腰梯形． ‎ ‎（此环节设计时间在5-10分钟内）‎ 让学生回顾本节课所学的重点知识，以学生自我总结为主，学科教师引导为辅，为本次课做一个总结回顾 ‎【巩固练习】‎ ‎1．如图，将矩形纸片ABCD沿AE折叠，使点B落在直角梯形AECD的中位线FG上，若AB＝，则AE的长为（ ） ‎ A、 B、6 C、 3 D、4‎ ‎2．已知：如图，在直角梯形ABCD中，AD//BC，AB⊥AD，BC＝CD，BE⊥CD，垂足为点E，点F在BD上，联结AF、EF．‎ ‎（1）求证：AD＝ED； （2）如果AF // CD，求证：四边形ADEF是菱形．‎ ‎3．如图，在△中，，，点、、分别在边、、上，联结、、，若，且．‎ ‎（1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，求证：四边形是菱形．‎ ‎4．已知：正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，∠BAC的平分线AF交BD于点E，交BC于点F，求证：OE＝CF ‎ ‎ 参考答案：1．B； 2．略； 3．略； ‎ ‎4．提示：取AF的中点G，联结OG，证明OE＝OG即可 ‎【预习思考】‎ ‎1．已知点A、B、C、D可以构成平行四边形，且点A（－1，0），点B（0，3），点C（3，0），则第四个顶点D的坐标为_________________________；‎ ‎2．已知一次函数的图象与y轴交于点A，与x轴交于点B，如果点C在y轴上，存在点D使以A、B、C、D为顶点的四边形是菱形，则D的坐标为 ．‎