北京市通州区2019—2020学年第二学期高一年级期末考试数学试卷 (解析版)

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北京市通州区2019—2020学年第二学期高一年级期末考试数学试卷 (解析版)

‎2019-2020学年北京市通州区高一第二学期期末数学试卷 一、选择题(共10小题).‎ ‎1.复数2+i的共轭复数是(  )‎ A.2+i B.﹣2+i C.2﹣i D.﹣2﹣i ‎2.在下列各组向量中,互相垂直的是(  )‎ A.=(﹣1,2),=(2,1) ‎ B.=(0,1),=(1,﹣2) ‎ C.=(3,5),=(6,10) ‎ D.=(2,﹣3),=(,﹣)‎ ‎3.在△ABC中,B=60°,b2=ac,则cosA=(  )‎ A.0 B. C. D.‎ ‎4.甲、乙、丙三人各自拥有一把钥匙,这三把钥匙混在了一起,他们每人从中无放回地任取一把,则甲、乙二人中恰有一人取到自己钥匙的概率是(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎5.将一个容量为1000的样本分成若干组,已知某组的频率为0.4,则该组的频数是(  )‎ A.4 B.‎40 ‎C.250 D.400‎ ‎6.若样本数据x1,x2,…,x10标准差为8,则数据2x1﹣1,2x2﹣1,…,2x10﹣1的标准差为(  )‎ A.8 B.‎16 ‎C.32 D.64‎ ‎7.用6根火柴最多可以组成(  )‎ A.2个等边三角形 B.3等边三角形 ‎ C.4个等边三角形 D.5个等边三角形 ‎8.已知直线a⊂平面α,直线b⊂平面α,则“直线m⊥α”是“m⊥a,且m⊥b”的(  )‎ A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 ‎ C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎9.关于两个互相垂直的平面,给出下面四个命题:‎ ‎①一个平面内的已知直线必垂直于另一平面内的任意一条直线;‎ ‎②一个平面内的已知直线必垂直于另一平面内的无数条直线;‎ ‎③一个平面内的已知直线必垂直于另一平面;‎ ‎④在一个平面内过任意一点作两平面交线的垂线,则此垂线必垂直于另一个平面.‎ 其中正确命题的个数是(  )‎ A.0 B.‎1 ‎C.2 D.3‎ ‎10.如图,在正方体ABCD﹣A1B‎1C1D中,点E,F分别是棱C1D1,A1D1上的动点.给出下面四个命题:‎ ‎①若直线AF与直线CE共面,则直线AF与直线CE相交;‎ ‎②若直线AF与直线CE相交,则交点一定在直线DD1上;‎ ‎③若直线AF与直线CE相交,则直线DD1与平面ACE所成角的正切值最大为;‎ ‎④直线AF与直线CE所成角的最大值是.‎ 其中,所有正确命题的序号是(  )‎ A.①④ B.②④ C.①②④ D.②③④‎ 二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分.‎ ‎11.若空间中两直线a与b没有公共点,则a与b的位置关系是   .‎ ‎12.棱长相等的三棱锥的任意两个面组成的二面角的余弦值是   .‎ ‎13.已知23名男生的平均身高是‎170.6cm,27名女生的平均身高是‎160.6cm,则这50名学生的平均身高为   .‎ ‎14.样本容量为10的一组样本数据依次为:3,9,0,4,1,6,6,8,2,7,该组数据的第50百分位数是   ,第75百分位数是   .‎ ‎15.为了考察某校各班参加书法小组的人数,从全校随机抽取5个班级,把每个班级参加该小组的人数作为样本数据,已知样本平均数为7,样本方差为4,且样本数据互不相同,则样本数据由小到大依次为   .‎ 三、解答题:本大题共6小题,共85分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.‎ ‎16.已知=(2,0),||=1.‎ ‎(Ⅰ)若与同向,求;‎ ‎(Ⅱ)若与的夹角为120°,求+.‎ ‎17.在锐角△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,已知a=13,c=15.‎ ‎(Ⅰ)sinC=能否成立?请说明理由;‎ ‎(Ⅱ)若A=,求b.‎ ‎18.某社区组织了垃圾分类知识竞赛活动,从所有参赛选手中随机抽取20人,将他们的得分按照[0,20],(20,40],(40,60],(60,80],(80,100]分组,绘成频率分布直方图(如图).‎ ‎(Ⅰ)求x的值;‎ ‎(Ⅱ)分别求出抽取的20人中得分落在组[0,20]和(20,40]内的人数;‎ ‎(Ⅲ)估计所有参赛选手得分的平均数、中位数和众数.‎ ‎19.某校高一、高二两个年级共336名学生同时参与了跳绳、踢毽两项健身活动,为了了解学生的运动状况,采用样本按比例分配的分层随机抽样方法,从高一、高二两个年级的学生中分别抽取7名和5名学生进行测试,如表是高二年级的5名学生的测试数据(单位:个/分钟)‎ 学生编号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ 跳绳个数 ‎179‎ ‎181‎ ‎170‎ ‎177‎ ‎183‎ 踢毽个数 ‎82‎ ‎76‎ ‎79‎ ‎73‎ ‎80‎ ‎(Ⅰ)求高一、高二两个年级各有多少人?‎ ‎(Ⅱ ‎)从高二年级的学生中任选一人,试估计该学生每分钟跳绳个数超过175且踢毽个数超过75的概率;‎ ‎(Ⅲ)高二年级学生的两项运动的成绩哪项更稳定?‎ ‎20.如图,在五面体ABCDEF中,四边形ABCD是边长为2的正方形,平面ADE⊥平面ABCD,.‎ ‎(Ⅰ)求证:CD∥平面ABFE;‎ ‎(Ⅱ)求证:平面ABFE⊥平面CDEF;‎ ‎(Ⅲ)在线段CD上是否存在点N,使得FN⊥平面ABFE?说明理由.‎ ‎21.在边长为2的正方形ABCD中,点E,F分别是AB,BC上的动点,将△AED,△DCF分别沿DE,DF折起,使A,C两点重合于点A1.‎ ‎(Ⅰ)若点E,F分别是AB,BC的中点(如图),‎ ‎①求证:A1D⊥EF;‎ ‎②求三棱锥A1﹣EDF的体积;‎ ‎(Ⅱ)设BE=x,BF=y,当x,y满足什么关系时,A,C两点才能重合于点A1?‎ 参考答案 一、选择题:本大题共10小题,每小题4分,共40分,在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.‎ ‎1.复数2+i的共轭复数是(  )‎ A.2+i B.﹣2+i C.2﹣i D.﹣2﹣i ‎【分析】直接利用共轭复数的概念得答案.‎ 解:复数2+i的共轭复数是2﹣i.‎ 故选:C.‎ ‎2.在下列各组向量中,互相垂直的是(  )‎ A.=(﹣1,2),=(2,1) ‎ B.=(0,1),=(1,﹣2) ‎ C.=(3,5),=(6,10) ‎ D.=(2,﹣3),=(,﹣)‎ ‎【分析】由题意利用两个向量垂直的性质,两个向量的数量积公式,得出结论.‎ 解:由两个向量垂直的性质,可得,两个向量、垂直,‎ 即满足 •=0,‎ 对于选项A,•=﹣1×2+2×1=0,满足条件;‎ 对于选项B,•=0×1+1×(﹣2)=﹣2,不满足条件;‎ 对于选项C,•=3×6+5×10=68,不满足条件;‎ 对于选项D,•=2×+(﹣3)×(﹣)=,不满足条件;‎ 故选:A.‎ ‎3.在△ABC中,B=60°,b2=ac,则cosA=(  )‎ A.0 B. C. D.‎ ‎【分析】由余弦定理且B=60°得b2=a2+c2﹣ac,再由b2=ac,得a2+c2﹣ac=ac,得a ‎=c,得A=B=C=60°,可求cosA的值.‎ 解:∵由余弦定理得:b2=a2+c2﹣2accosB=a2+c2﹣ac,‎ 又b2=ac,‎ ‎∴a2+c2﹣ac=ac,‎ ‎∴(a﹣c)2=0,‎ ‎∴a=c,‎ ‎∴A=B=C=60°,‎ ‎∴cosA=.‎ 故选:B.‎ ‎4.甲、乙、丙三人各自拥有一把钥匙,这三把钥匙混在了一起,他们每人从中无放回地任取一把,则甲、乙二人中恰有一人取到自己钥匙的概率是(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【分析】基本事件总数n==6,甲、乙二人中恰有一人取到自己钥匙包含的基本事件个数=2,由此能求出甲、乙二人中恰有一人取到自己钥匙的概率.‎ 解:甲、乙、丙三人各自拥有一把钥匙,这三把钥匙混在了一起,‎ 他们每人从中无放回地任取一把,‎ 基本事件总数n==6,‎ 甲、乙二人中恰有一人取到自己钥匙包含的基本事件个数=2,‎ 则甲、乙二人中恰有一人取到自己钥匙的概率p==.‎ 故选:B.‎ ‎5.将一个容量为1000的样本分成若干组,已知某组的频率为0.4,则该组的频数是(  )‎ A.4 B.‎40 ‎C.250 D.400‎ ‎【分析】利用频率的定义求解.‎ 解:∵一个容量为1000的样本分成若干组,‎ 某组的频率为0.4,‎ ‎∴该组的频数为:1000×0.4=400.‎ 故选:D.‎ ‎6.若样本数据x1,x2,…,x10标准差为8,则数据2x1﹣1,2x2﹣1,…,2x10﹣1的标准差为(  )‎ A.8 B.‎16 ‎C.32 D.64‎ ‎【分析】由已知结合方差的性质即可直接求解.‎ 解:由方差的性质可知,D(ax+b)=a2D(x),‎ 因为样本数据x1,x2,…,x10标准差为8,即方差为64,‎ 则数据2x1﹣1,2x2﹣1,…,2x10﹣1的方差为4×,4=256,即标准差为16‎ 故选:B.‎ ‎7.用6根火柴最多可以组成(  )‎ A.2个等边三角形 B.3等边三角形 ‎ C.4个等边三角形 D.5个等边三角形 ‎【分析】用6根火柴,要使搭的个数最多,就要搭成立体图形,即三棱锥.‎ 解:要使搭的个数最多,就要搭成三棱锥,这时最多可以搭4个一样的三角形.图形如下:‎ 故选:C.‎ ‎8.已知直线a⊂平面α,直线b⊂平面α,则“直线m⊥α”是“m⊥a,且m⊥b”的(  )‎ A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 ‎ C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎【分析】根据线面垂直的性质及判定以及充分必要条件判断即可.‎ 解:直线a⊂平面α,直线b⊂平面α,‎ 则“直线m⊥α”能推出“m⊥a,且m⊥b”,是充分条件,‎ 反之“m⊥a,且m⊥b”,则“直线m⊥α或m⊂α″,不是必要条件,‎ 故选:A.‎ ‎9.关于两个互相垂直的平面,给出下面四个命题:‎ ‎①一个平面内的已知直线必垂直于另一平面内的任意一条直线;‎ ‎②一个平面内的已知直线必垂直于另一平面内的无数条直线;‎ ‎③一个平面内的已知直线必垂直于另一平面;‎ ‎④在一个平面内过任意一点作两平面交线的垂线,则此垂线必垂直于另一个平面.‎ 其中正确命题的个数是(  )‎ A.0 B.‎1 ‎C.2 D.3‎ ‎【分析】根据面面垂直的定义,线面垂直的定义,面面垂直的性质定理判断每个命题的真假即可.‎ 解:如果两个平面垂直,两平面内的直线并不都相互垂直,从而判断命题①不正确;‎ 如果两个平面垂直,另一个平面内,必有无数条直线和这个平面垂直,从而判断命题②正确;‎ 如果两个平面垂直,当其中一个平面内的一条直线平行于两个平面的交线时,这条直线与另一个平面平行,‎ 所以并不是平面内的所有直线都和另一个平面垂直,从而判断命题③不正确;‎ 根据面面垂直的性质定理可判断命题④正确,‎ ‎∴正确的命题个数为2.‎ 故选:C.‎ ‎10.如图,在正方体ABCD﹣A1B‎1C1D中,点E,F分别是棱C1D1,A1D1上的动点.给出下面四个命题:‎ ‎①若直线AF与直线CE共面,则直线AF与直线CE相交;‎ ‎②若直线AF与直线CE相交,则交点一定在直线DD1上;‎ ‎③若直线AF与直线CE相交,则直线DD1与平面ACE所成角的正切值最大为;‎ ‎④直线AF与直线CE所成角的最大值是.‎ 其中,所有正确命题的序号是(  )‎ A.①④ B.②④ C.①②④ D.②③④‎ ‎【分析】利用平面的性质,以及直线与平面所成角,判断选项的正误即可.‎ 解:在正方体ABCD﹣A1B‎1C1D中,点E,F分别是棱C1D1,A1D1上的动点.‎ ‎①如果点E在C1,F在A1时.满足直线AF与直线CE共面,若直线AF与直线CE 是平行线,可得直线AF与直线CE共面,则直线AF与直线CE不一定相交,①不正确;‎ ‎②因为空间3个平面两两相交有3条交线,要么互相平行,要么相交与一点,因为直线AF与直线CE相交,所以则交点一定在直线DD1上,所以②正确;‎ ‎③若直线AF与直线CE相交,则直线DD1与平面ACE所成角的正切值最大值,应该是E,F与D1重合,‎ 此时直线DD1与平面ACE所成角的正切值最大为=,所以③正确;‎ ‎④直线AF与直线CE所成角的最大值就是E,F与D1重合时取得,夹角是,所以④正确;‎ 故选:D.‎ 二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分.‎ ‎11.若空间中两直线a与b没有公共点,则a与b的位置关系是 平行或异面 .‎ ‎【分析】可考虑无公共点的两直线a,b是否在同一个平面内,可得a,b的位置关系.‎ 解:空间中两直线a与b没有公共点,‎ 若a,b在同一个平面内,则a,b为平行直线;‎ 若a,b不同在任何一个平面内,则a,b为异面直线.‎ 故答案为:平行或异面.‎ ‎12.棱长相等的三棱锥的任意两个面组成的二面角的余弦值是  .‎ ‎【分析】取BC中点E,连结AE、ED,可得∠AED是二面角的平面角,再由余弦定理求解.‎ 解:如图,三棱锥A﹣BCD的棱长都相等,取BC中点E,连结AE、ED,‎ ‎∵三棱锥A﹣BCD各棱长均相等,‎ ‎∴AE⊥BC,ED⊥BC,‎ ‎∴∠AED是二面角A﹣BC﹣D的平面角,‎ 设棱长AB=2,则AE=ED=,‎ ‎∴cos∠AED=.‎ 即棱长相等的三棱锥的任意两个面组成的二面角的余弦值是.‎ 故答案为:.‎ ‎13.已知23名男生的平均身高是‎170.6cm,27名女生的平均身高是‎160.6cm,则这50名学生的平均身高为 ‎165.2cm .‎ ‎【分析】由已知结合已知数据直接可求.‎ 解:由题意可知,=‎165.2cm,‎ 故答案为:165.2‎ ‎14.样本容量为10的一组样本数据依次为:3,9,0,4,1,6,6,8,2,7,该组数据的第50百分位数是 5 ,第75百分位数是 7 .‎ ‎【分析】先把样本数据从小到大排列,由10×50%=5,得到该组数据的第50百分位数第5个数与第6个数的平均数;由10×75%=7.5,得到第75百分位数第8个数.‎ 解:样本容量为10的一组样本数据依次为:3,9,0,4,1,6,6,8,2,7,‎ 从小到大排列为:0,1,2,3,4,6,6,7,8,9,‎ ‎∵10×50%=5,‎ ‎∴该组数据的第50百分位数是,‎ ‎∵10×75%=7.5,‎ 第75百分位数是7.‎ 故答案为:5,7.‎ ‎15.为了考察某校各班参加书法小组的人数,从全校随机抽取5个班级,把每个班级参加该小组的人数作为样本数据,已知样本平均数为7,样本方差为4,且样本数据互不相同,则样本数据由小到大依次为 4,6,7,8,10 .‎ ‎【分析】由已知结合平均数及方差公式,分析数据特点即可求解.‎ 解:设5个数据分别为a,b,c,d,e,由题意可得,a+b+c+d+e=35,‎ ‎(a﹣7)2+(b﹣7)2+(c﹣7)2+(d﹣7)2+(e﹣7)2=20,‎ 由于5个数的平方和为20,则必为0+1+1+9+9=20,‎ 由|x﹣7|=3可得x=10或4,由|x﹣7|=1可得x=8或6,‎ 故样本数据为4,6,7,8,10.‎ 故答案为:4,6,7,8,10‎ 三、解答题:本大题共6小题,共85分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.‎ ‎16.已知=(2,0),||=1.‎ ‎(Ⅰ)若与同向,求;‎ ‎(Ⅱ)若与的夹角为120°,求+.‎ ‎【分析】(I)由已知根据向量共线定理即可求解;‎ ‎(II)由已知结合向量数量积的定义及数量积的坐标表示即可求解.‎ 解:(I)设=(x,y),‎ 由题意可得,存在实数λ>0,使得,‎ 即(x,y)=λ(2,0)=(2λ,0),‎ 所以x=2λ,y=0,‎ 由||=1可得4λ2=1,即λ=或(舍),‎ 所以=(1,0),‎ ‎(II)设=(x,y),‎ 所以=||||cos120°=2×=﹣1,‎ 又因为=(2,0)•(x,y)=2x,‎ 故2x=﹣1即x=﹣,‎ 因为||=1,所以x2+y2=1,‎ 故y=±,‎ 当y=,x=﹣时,+=(),‎ 当y=﹣,x=﹣时,+=().‎ ‎17.在锐角△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,已知a=13,c=15.‎ ‎(Ⅰ)sinC=能否成立?请说明理由;‎ ‎(Ⅱ)若A=,求b.‎ ‎【分析】(Ⅰ)利用反证法,结合三角形的性质即可判断;‎ ‎(Ⅱ)根据余弦定理即可求出.‎ 解:(Ⅰ)sinC=不成立,‎ ‎∵sinC=,‎ ‎∴C=,‎ ‎∵a<c,‎ ‎∴A<C,‎ ‎∴B>,这与△ABC为锐角三角形矛盾,‎ ‎(Ⅱ)A=,‎ 由余弦定理可得a2=b2+c2﹣2bccosA ‎∴169=b2+225﹣2×15b×,‎ 整理可得b2﹣15b+56=0‎ 解得b=8,或b=7,‎ 当b=7时,cosC==<0,‎ ‎∴C为钝角,与题意不符合,‎ ‎∴b=8.‎ ‎18.某社区组织了垃圾分类知识竞赛活动,从所有参赛选手中随机抽取20人,将他们的得分按照[0,20],(20,40],(40,60],(60,80],(80,100]分组,绘成频率分布直方图(如图).‎ ‎(Ⅰ)求x的值;‎ ‎(Ⅱ)分别求出抽取的20人中得分落在组[0,20]和(20,40]内的人数;‎ ‎(Ⅲ)估计所有参赛选手得分的平均数、中位数和众数.‎ ‎【分析】(Ⅰ)由频率分布直方图的性质能求出x.‎ ‎(Ⅱ)由频率分布直方图的性质能求出得分落在[0,20]内的人数和得分落在(20,40]内的人数.‎ ‎(Ⅲ)由频率分布直方图的性质得能估计所有参赛选手得分的平均数、中位数和所有参赛选手得分的众数.‎ 解:(Ⅰ)由频率分布直方图的性质得:‎ ‎(0.0050+0.0075+0.0125+0.0150)×20=1,‎ 解得x=0.0100.‎ ‎(Ⅱ)由频率分布直方图能求出:‎ 得分落在[0,20]内的人数为:20×0.0050×20=2,‎ 得分落在(20,40]内的人数为:20×0.0075×20=3.‎ ‎(Ⅲ)估计所有参赛选手得分的平均数为:‎ ‎0.0050×20×10+0.0075×20×30+0.0150×20×50+0.0125×20×70+0.0100×20×90=56.‎ 设所有的参赛选手得分的中位数为a,‎ 则0.0050×20+0.0075×20+0.0150×(a﹣40)=0.5,‎ 解得a≈56.67.‎ 所有参赛选手得分的众数近似为:=50.‎ ‎19.某校高一、高二两个年级共336名学生同时参与了跳绳、踢毽两项健身活动,为了了解学生的运动状况,采用样本按比例分配的分层随机抽样方法,从高一、高二两个年级的学生中分别抽取7名和5名学生进行测试,如表是高二年级的5名学生的测试数据(单位:个/分钟)‎ 学生编号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ 跳绳个数 ‎179‎ ‎181‎ ‎170‎ ‎177‎ ‎183‎ 踢毽个数 ‎82‎ ‎76‎ ‎79‎ ‎73‎ ‎80‎ ‎(Ⅰ)求高一、高二两个年级各有多少人?‎ ‎(Ⅱ)从高二年级的学生中任选一人,试估计该学生每分钟跳绳个数超过175且踢毽个数超过75的概率;‎ ‎(Ⅲ)高二年级学生的两项运动的成绩哪项更稳定?‎ ‎【分析】(Ⅰ)直接利用抽样关系式的应用求出结果.‎ ‎(Ⅱ)利用古典概型的应用求出结果.‎ ‎(Ⅲ)利用平均值和方差的关系式的应用求出结果.‎ 解:(Ⅰ)高一年级的学生人数为336×.‎ 高二年级的学生人数为.‎ ‎(Ⅱ)设“该学生每分钟跳绳个数超过175且踢毽个数超过‎75”‎为事件A,‎ 由表中的数据可知:高二年级选出的5名学生中每分钟跳绳个数超过175且踢毽个数超过75的共有3人,所以从5人中任选一人,事件A发生的概率为,‎ 由此估计从高二年级的学生中任选一人,事件A发生的概率为.‎ ‎(Ⅲ)由表中的数据可以估计:‎ 高二年级的学生每分钟跳绳的个数的平均数为.‎ 高二年级的学生每分钟跳绳的个数的方差为=20.‎ 高二年级的学生每分钟踢毽的个数的平均数为.‎ 高二年级的学生每分钟踢毽的个数的方差为,‎ 由于,所以高二年级学生的踢毽的成绩更稳定.‎ ‎20.如图,在五面体ABCDEF中,四边形ABCD是边长为2的正方形,平面ADE⊥平面ABCD,.‎ ‎(Ⅰ)求证:CD∥平面ABFE;‎ ‎(Ⅱ)求证:平面ABFE⊥平面CDEF;‎ ‎(Ⅲ)在线段CD上是否存在点N,使得FN⊥平面ABFE?说明理由.‎ ‎【分析】(Ⅰ) 推导出AB∥CD.由此能证明CD∥平面ABFE.‎ ‎(Ⅱ) 推导出AE⊥DE,AB⊥AD,从而AB⊥平面ADE,进而 AB⊥DE,由此能证明DE⊥平面ABFE,从而平面ABFE⊥平面CDEF.‎ ‎(Ⅲ)取CD的中点N,连接FN,推导出四边形EDNF是平行四边形,从而FN∥DE,由DE⊥平面ABFE,能证明FN⊥平面ABFE.‎ ‎【解答】(本小题满分14分)‎ 证明:(Ⅰ) 在五面体ABCDEF中,因为四边形ABCD是正方形,‎ 所以AB∥CD.‎ 因为CD⊄平面ABFE,AB⊂平面ABFE,‎ 所以CD∥平面ABFE.……‎ ‎(Ⅱ) 因为,AD=2,‎ 所以AE2+DE2=AD2,所以∠AED=90°,即AE⊥DE.‎ 因为四边形ABCD是正方形,所以AB⊥AD.‎ 因为平面ADE⊥平面ABCD,平面ADE∩平面ABCD=AD,AB⊂平面ABCD,‎ 所以AB⊥平面ADE.‎ 因为DE⊂平面ADE,所以 AB⊥DE.‎ 因为AB∩AE=A,所以DE⊥平面ABFE.‎ 因为DE⊂平面CDEF,所以平面ABFE⊥平面CDEF.……‎ ‎(Ⅲ)在线段CD上存在点N,使得FN⊥平面ABFE.‎ 证明如下:‎ 取CD的中点N,连接FN.‎ 由(Ⅰ)知,CD∥&平面ABFE,又CD⊂平面CDEF,平面ABFE∩平面CDEF=EF,‎ 所以CD∥EF.‎ 因为,‎ 所以EF=DN.‎ 所以四边形EDNF是平行四边形.‎ 所以FN∥DE.‎ 由(Ⅱ)知,DE⊥平面ABFE,‎ 所以FN⊥平面ABFE.………………………‎ ‎21.在边长为2的正方形ABCD中,点E,F分别是AB,BC上的动点,将△AED,△DCF分别沿DE,DF折起,使A,C两点重合于点A1.‎ ‎(Ⅰ)若点E,F分别是AB,BC的中点(如图),‎ ‎①求证:A1D⊥EF;‎ ‎②求三棱锥A1﹣EDF的体积;‎ ‎(Ⅱ)设BE=x,BF=y,当x,y满足什么关系时,A,C两点才能重合于点A1?‎ ‎【分析】(Ⅰ)①运用线面垂直的判定和性质,先证A1D⊥平面A1EF,即可得证;②判断△FA1E为直角三角形,求得面积,再判断A1D为棱锥的高,运用棱锥的体积公式,计算可得所求值;‎ ‎(Ⅱ)分别讨论:(1)当E,F不是端点,即0<x<2,0<y<2时,A,C两点重合于A1,A1,E,F有且只有共线和不共线两种情况.分别讨论,可得x,y的关系式;‎ ‎(2)当E,F中有一个与B重合时,另一个也与B重合,可得x=y=0.‎ 解:(Ⅰ)①证明:由题意可得A1D⊥A‎1F,A1D⊥A1E,‎ 又A‎1F⊂平面A1EF,A1E⊂平面A1EF,A‎1F∩A1E=A1,‎ 所以A1D⊥平面A1EF,‎ 因为EF⊂平面A1EF,‎ 所以A1D⊥EF;‎ ‎②由已知可得A1E=A‎1F=1,EF=,‎ A1E2+A‎1F2=EF2,‎ 所以∠FA1E=90°,所以△FA1E的面积为S=×1×1=,‎ 由A1D⊥平面A1EF,又A1D=2,‎ 所以三棱锥A1﹣EDF的体积V=S•A1D=××2=;‎ ‎(Ⅱ)(1)当E,F不是端点,即0<x<2,0<y<2时,A,C两点重合于A1,‎ A1,E,F有且只有共线和不共线两种情况.‎ 若点A1,E,F共线,则AE+CF=EF;‎ 若A1,E,F不共线,则AE+CF>EF,且|AE﹣CF|<EF,‎ 由|AE﹣CF|<EF,可得|(2﹣x)﹣(2﹣y)|<(0<x<2,0<y<2),‎ 从而xy>0,这在取值范围内恒成立.‎ 所以只需考虑AE+CF>EF,可得(2﹣x)+(2﹣y)≥(0<x<2,0<y<2),‎ 即4﹣(x+y)≥,‎ 两边平方可得16﹣8(x+y)+(x+y)2≥x2+y2,即16﹣8(x+y)+2xy≥0,‎ 即y(x﹣4)≥4(x﹣2),即y≤=4+.‎ ‎(2)当E,F中有一个与B重合时,另一个也与B重合,‎ 此时x=y=0,‎ 而根据题意,E不能与A重合,F也不能与C重合.‎ 综上可得,当x,y满足y≤4+(0<x<2,0<y<2),或x=y=0时,A,C两点才能重合于点A1.‎
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