重庆市巴蜀中学初中部数学教研组整理：八年级数学上（RJ）15

重庆市巴蜀中学初中部数学教研组整理：八年级数学上（RJ）15

15.3 分式方程 第十五章 分 式 优 翼 课 件 导入新课 讲授新课 当堂练习 课堂小结 第 2 课时 分式方程的应用 八年级数学上（RJ） 教学课件 学习目标 1. 理解数量关系正确列出分式方程 . （难点） 2. 在不同的实际问题中能审明题意设未知数，列分式方程解决实际问题 . （重点） 导入新课 问题引入 1. 解分式方程的基本思路是什么？ 2. 解分式方程有哪几个步骤？ 3. 验根有哪几种方法？ 分式方程 整式方程 转化 去分母 一化二解三检验 有两种方法：第一种是代入最简公分母；第二种代入原分式方程 . 通常使用第一种方法 . 4. 我们现在所学过的应用题有哪几种类型？每种类型的基本公式是什么？ 基本上有 4 种： （ 1 ） 行程问题： 路程 = 速度 × 时间以及它的两个变式； （ 2 ） 数字 问题： 在数字问题中要掌握十进制数的表示法； （ 3 ）工程 问题： 工作量 = 工时 × 工效以及它的两个变式； （ 4 ） 利润 问题： 批发成本 = 批发数量×批发价；批发数量 = 批发成本÷批发价；打折销售价 = 定价×折数；销售利润 = 销售收入一批发成本；每本销售利润 = 定价一批发价；每本打折销售利润 = 打折销售价一批发价，利润率 = 利润÷进价 。 讲授新课 列分式方程解决工程问题 一 例 1 两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工 1 个月完成总工程的三分之一，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成 . 哪个队的施工速度快？ 表格法分析如下： 工作时间（月） 工作效率 工作总量（ 1 ） 甲队 乙队 等量关系： 甲队完成的工作总量 + 乙队完成的工作总量 = “ 1 ” 设乙单独完成这项工程需要 x 天 . 解： 设乙单独 完成这项工程需要 x 个月 . 记工作总量为 1 ，甲的工作效率是 ，根据题意得 即 方程两边都乘以 6 x , 得 解得 x =1. 检验：当 x =1 时， 6 x ≠ 0 . 所以，原分式方程的解为 x =1 . 由上可知，若乙队单独施工 1 个月可以完成全部任务，而甲队单独施工需 3 个月才可以完成全部任务，所以乙队的施工速度快 . 想一想： 本题的等量关系还可以怎么找？ 甲队单独完成的工作总量 + 两队合作完成的工作总量 = “ 1 ” 此时表格怎么列，方程又怎么列呢？ 工作时间（月） 工作效率 工作总量 （ 1 ） 甲单独 两队合作 设乙单独 完成这项工程需要 x 天 . 则乙队的工作效率是 甲队的工作效率是 ，合作的工作效率是 . 此时方程是： 1 表格为 “ 3 行 4 列 ” 知识要点 工程问题 1. 题中有“单独”字眼通常可知工作效率； 2. 通常间接设元，如 × × 单独完成需 x （单位时间），则可表示出其工作效率； 4. 解题方法：可概括为“ 321 ”，即 3 指该类问题中三量关系，如工程问题有工作效率，工作时间，工作量； 2 指该类问题中的“两个主人公”如甲队和乙队，或“甲单独和两队合作”； 1 指该问题中的一个等量关系 . 如工程问题中等量关系是：两个主人公工作总量之和 = 全部工作总量 . 3. 弄清基本的数量关系 . 如本题中的“合作的工效 = 甲乙两队工作效率的和” . 抗洪抢险时，需要在一定时间内筑起拦洪大坝，甲队单独做正好按期完成，而乙队由于人少，单独做则超期 3 个小时才能完成．现甲、乙两队合作 2 个小时后，甲队又有新任务，余下的由乙队单独做，刚好按期完成．求甲、乙两队单独完成全部工程各需多少小时？ 解析：设甲队单独完成需要 x 小时，则乙队需要 ( x ＋ 3) 小时，根据等量关系“甲工效 ×2 ＋乙工效 × 甲队单独完成需要时间＝ 1” 列方程． 做一做 解：设甲队单独完成需要 x 小时，则乙队需要 ( x ＋ 3) 小时． 由题意得 . 解得 x ＝ 6. 经检验 x ＝ 6 是方程的解． ∴ x ＋ 3 ＝ 9. 答：甲单独完成全部工程需 6 小时，乙单独完成全部工程需 9 小时． 解决工程问题的思路方法：各部分工作量之和等于 1 ，常从工作量和工作时间上考虑相等关系． 例 2 朋友们约着一起开着2辆车自驾去黄山玩，其中面包车为领队，小轿车车紧随其后，他们同时出发，当面包车车行驶了200公里时，发现小轿车车只行驶了180公里，若面包车的行驶速度比小轿车快10km/h,请问面包车，小轿车的速度分别为多少km/h？ 0 180 200 列分式方程解决行程问题 二 路程 速度 时间 面包车 小轿车 200 180 x +10 x 分析： 设小轿车的速度为 x 千米 / 小时 面包车的时间 = 小轿车的时间 等量关系： 列表格如下： 解： 设小轿 车的速度为 x 千米 / 小时， 则面包 车速度为 x +10 千米 / 小时，依题意得 解得 x ＝ 9 0 经检验， x ＝ 9 0 是原方程的解， 且 x = 9 0 ， x +10 = 10 0 ，符合题意 . 答：面包车的速度为 10 0 千米 / 小时， 小轿车的速度为 9 0 千米 / 小时 . 注意两次检验 : (1) 是否是所列方程的解 ; (2) 是否满足实际意义 . 做一做 1 .小轿车发现跟丢时，面包车行驶了200公里，小轿车行驶了180公里，小轿车为了追上面包车，他就马上提速，他们约定好在300公里的地方碰头，他们正好同时到达，请问小轿车提速多少km/h？ 0 180 200 300 解： 设小轿车 提速为 x 千米 / 小时，依题意得 解得 x ＝ 3 0 经检验， x ＝ 3 0 是原方程的解，且 x = 3 0 ，符合题意 . 答：小轿车提速为 3 0 千米 / 小时 . 2 . 两车发现跟丢时，面包车行驶了200公里，小轿车行驶了180公里， 小轿车为了追上面包车，他就马上提速，他们约定好在s公里的地方碰头，他们正好同时到达，请问小轿车提速多少km/h？ 0 180 200 S 路程 速度 时间 面包车 小轿车 s-200 s-180 100 90 +x 解： 设小轿车 提速为 x 千米 / 小时，依题意得 解得 x ＝ 3 .小轿车平均提速vkm/h,用相同的时间，小轿车提速前行驶skm，提速后比提速前多行驶50km,提速前小轿车车的平均速度为多少km/h？ 0 S S+50 路程 速度 时间 提速前 提速后 s s+50 v x+v 解： 设小轿车 提速为 x 千米 / 小时， 依题意得 知识要点 行程问题 1. 注意关键词 “提速”与“提速到”的区别； 2. 明确两个“主人公”的行程问题中三个量用代数式表示出来； 3. 行程问题中的等量关系通常抓住“时间线”来建立方程 . 列分式方程解应用题的一般步骤 1. 审 : 清题意，并设未知数； 2. 找 : 相等关系； 3. 列 : 出方程； 4. 解 : 这个分式方程； 5. 验 : 根（包括两方面 :(1) 是否是分式方程的根； (2) 是否符合题意）； 6. 写 : 答案 . 例 3 佳佳果品店在批发市场购买某种水果销售，第一次用 1200 元购进若干千克，并以每千克 8 元出售，很快售完．由于水果畅销，第二次购买时，每千克的进价比第一次提高了 10% ，用 1452 元所购买的数量比第一次多 20 千克，以每千克 9 元售出 100 千克后，因出现高温天气，水果不易保鲜，为减少损失，便降价 50% 售完剩余的水果． (1) 求第一次水果的进价是每千克多少元？ 解析：根据第二次购买水果数多 20 千克，可得出方程，解出即可得出答案； 解： (1) 设第一次购买的单价为 x 元，则第二次的单价为 1.1 x 元， 根据题意得 ， 解得 x ＝ 6. 经检验， x ＝ 6 是原方程的解． 答：第一次水果的进价为每千克 6 元． (2) 该果品店在这两次销售中，总体上是盈利还是亏损？盈利或亏损了多少元？ 解析： (2) 先计算两次购买水果的数量，赚钱情况：销售的水果量 ×( 实际售价－当次进价 ) ，两次合计，就可以求得是盈利还是亏损了． (2) 第一次购买水果 1200÷6 ＝ 200( 千克 ) ． 第二次购买水果 200 ＋ 20 ＝ 220( 千克 ) ． 第一次赚钱为 200×(8 － 6) ＝ 400( 元 ) ， 第二次赚钱为 100×(9 － 6.6) ＋ 120×(9×0.5 － 6.6) ＝ － 12( 元 ) ． 所以两次共赚钱 400 － 12 ＝ 388( 元 ) ． 当堂练习 1. 几名同学包租一辆面包车去旅游，面包车的租价为 180 元，出发前，又增加两名同学，结果每个同学比原来少分摊 3 元车费，若设原来参加旅游的学生有 x 人，则所列方程为 ( 　　 ) A 2. 一轮船往返于 A 、 B 两地之间，顺水比逆水快 1 小时到达 . 已知 A 、 B 两地相距 80 千米，水流速度是 2 千米 / 小时，求轮船在静水中的速度 . x = － 18 （不合题意，舍去）， 解：设船在静水中的速度为 x 千米 / 小时 , 根据题意得 解得 x =±18. 检验得： x =18. 答：船在静水中的速度为 18 千米 / 小时 . 方程两边同乘 （ x -2)( x +2) 得 80 x +160 － 80 x +160= x 2 － 4. 3. 农机厂到距工厂 15 千米的向阳村检修农机，一部分人骑自行车先走，过了 40 分钟，其余人乘汽车去，结果他们同时到达，已知汽车的速度是自行车的 3 倍，求两车的速度 . 解：设自行车的速度为 x 千米 / 时，那么汽车的速度是 3 x 千米 / 时，依题意得： 解得 x =15. 经检验， x = 15 是原方程的根 . 由 x ＝ 15 得 3 x =45. 答：自行车的速度是 15 千米 / 时，汽车的速度是 45 千米 / 时 . 4. 某学校为鼓励学生积极参加体育锻炼，派王老师和李老师去购买一些篮球和排球．回校后，王老师和李老师编写了一道题： 同学们，请求出篮球和排球的单价各是多少元？ 解：设排球的单价为 x 元，则篮球的单价为 ( x ＋ 60) 元，根据题意，列方程得 解得 x ＝ 100. 经检验， x ＝ 100 是原方程的根，当 x ＝ 100 时， x ＋ 60 ＝ 160. 答：排球的单价为 100 元，篮球的单价为 160 元． 课堂小结 分式方程的应用 类型 行程问题、工程问题、数字问题、顺逆问题、利润问题等 方法 步骤 一审二设三找四列五解六验七写 321 法