2019-2020学年山东省济南市槐荫区八年级（下）期末数学试卷 （解析版）

2019-2020学年山东省济南市槐荫区八年级（下）期末数学试卷 （解析版）

‎2019-2020学年山东省济南市槐荫区八年级（下）期末数学试卷 一．选择题（共12小题）‎ ‎1．下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（　　）‎ A．a（x﹣y）＝ax﹣ay B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） ‎ C．x2+2x+1＝x（x+2）+1 D．（x+1）（x+3）＝x2+4x+3‎ ‎2．已知x＞y，则下列不等式成立的是（　　）‎ A．﹣2x＞﹣2y B．6﹣x＞6﹣y C．3x＞3y D．﹣＞﹣‎ ‎3．要使分式有意义，则x的取值应满足（　　）‎ A．x≠4 B．x≠﹣1 C．x＝4 D．x＝﹣1‎ ‎4．在▱ABCD中，∠A：∠B：∠C：∠D可能是（　　）‎ A．1：2：2：1 B．1：2：3：4 C．2：1：1：2 D．2：1：2：1‎ ‎5．不等式3x+3≤0的解集在数轴上表示正确的是（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎6．计算+的结果为（　　）‎ A．﹣1 B．1 C． D．‎ ‎7．矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，如果AB＝4，∠AOB＝60°，那么AC的长等于（　　）‎ A．16 B．8 C．16 D．8‎ ‎8．如图，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，点E、F分别是AB、CD的中点，AD＝BC，∠EPF＝140°，则∠EFP的度数是（　　）‎ A．50° B．40° C．30° D．20°‎ ‎9．在一个不透明的盒子里装有若干个白球和15个红球，这些球除颜色不同外其余均相同，每次从袋子中摸出一个球记录下颜色后再放回，经过多次重复试验，发现摸到红球的频率稳定在0.6左右，则袋中白球约有（　　）‎ A．5个 B．10个 C．15个 D．25个 ‎10．若n边形的内角和等于外角和的3倍，则边数n为（　　）‎ A．6 B．7 C．8 D．9‎ ‎11．如图，一次函数y1＝x+b与一次函数y2＝kx+3的图象交于点P（1，2），则关于不等式x+b＞kx+3的解集是（　　）‎ A．x＞0 B．x＞1 C．x＜1 D．x＜0‎ ‎12．如图，已知正方形ABCD的边长为5，点E、F分别在AD、DC上，AE＝DF＝2，BE与AF相交于点G，点H为BF的中点，连接GH，则GH的长为（　　）‎ A．2 B． C．4 D．‎ 二．填空题（共6小题）‎ ‎13．分解因式：y2﹣4＝　 　．‎ ‎14．已知关于x的方程x2+kx﹣2＝0的一个根是x＝2，则另外一个根为　 　．‎ ‎15．如图，E为▱ABCD的边AD上任意一点，▱ABCD的面积为6，则图中阴影部分的面积为　 　．‎ ‎16．如图所示，直线y＝kx+b经过点（﹣2，0），则关于x的不等式kx+b ‎＜0的解集为　 　．‎ ‎17．如图，在菱形ABCD中，点E是CD上一点，连接AE交对角线BD于点F，连接CF，若∠AED＝50°，则∠BCF＝　 　度．‎ ‎18．如图，E、F分别是正方形ABCD的边AD、BC上的两个定点，M是线段EF上的一点，过M作直线与正方形ABCD的边交于点P和点H，且PH＝EF，则满足条件的直线PH最多有　 　条．‎ 三．解答题 ‎19.（1）分解因式：3x2﹣6x+3‎ ‎（2）解不等式组 ‎20.解方程：1﹣＝．‎ ‎21.已知：如图，在▱ABCD中，点E、F是对角线AC上的两点，且AE＝CF．求证：BF∥DE．‎ ‎22.‎ 今年突发新冠疫情，某口罩厂接到生产10万只一次性口罩的订单，全体职工加班加点，实际每天生产的数量是平时的2倍，结果比平时提前5天完成任务．求该厂平时每天生产口罩多少万只？‎ ‎23.如图，幼儿园某教室矩形地面的长为8m，宽为5m，现准备在地面正中间铺设一块面积为18m2的地毯，四周未铺地毯的条形区域的宽度都相同，求四周未铺地毯的条形区域的宽度是多少米？‎ ‎24.甲、乙两所医院分别有一男一女共4名医护人员支援武汉抗击疫情．‎ ‎（1）若从这4名医护人员中随机选1名，则选中的是男医护人员的概率是　．‎ ‎（2）若从支援的4名医护人员中分别随机选2名，用画树状图或列表的方法求出这两名医护人员来自不同医院的概率．‎ ‎25.如图1，在菱形ABCD中，AC＝2，BD＝2，AC与BD相交于点O．‎ ‎（1）求边AB的长；‎ ‎（2）求∠BAC的度数；‎ ‎（3）如图2，将一个足够大的直角三角板60°角的顶点放在菱形ABCD的顶点A处，绕点A左右旋转，其中三角板60°角的两边分别与边BC、CD相交于点E、F，连接EF．判断△AEF是哪一种特殊三角形，并说明理由．‎ ‎26.[阅读材料]‎ 把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题中都有着广泛的应用．‎ 例如：①用配方法因式分解：a2+6a+8．‎ 原式＝a2+6a+9﹣1＝（a+3）2﹣1＝（a+3﹣1）（a+3+1）＝（a+2）（a+4）‎ ‎②求x2+6x+11的最小值．‎ 解：x2+6x+11＝x2+6x+9+2＝（x+3）2+2；‎ 由于（x+3）2≥0，‎ 所以（x+3）2+2≥2，‎ 即x2+6x+11的最小值为2．‎ 请根据上述材料解决下列问题：‎ ‎（1）在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：a2+4a+　4　；‎ ‎（2）用配方法因式分解：a2﹣12a+35；‎ ‎（3）用配方法因式分解：x4+4；‎ ‎（4）求4x2+4x+3的最小值．‎ ‎27.如图，在正方形ABCD中，点E在对角线AC上，点F在射线BC上，且四边形DEFG是正方形，连接CG．‎ ‎（1）求证：AE＝CG．‎ ‎（2）求证：∠ACG＝90°．‎ ‎（3）若AB＝2，当点E在AC上移动时，AE2+CE2是否有最小值？若有最小值，求出最小值．‎ ‎（4）当线段DE与正方形ABCD的某条边的夹角是30°时，直接写出∠EFC的度数．‎ ‎2019-2020学年山东省济南市槐荫区八年级（下）期末数学试卷 参考答案与试题解析 一．选择题（共12小题）‎ ‎1．下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（　　）‎ A．a（x﹣y）＝ax﹣ay B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） ‎ C．x2+2x+1＝x（x+2）+1 D．（x+1）（x+3）＝x2+4x+3‎ ‎【分析】直接利用因式分解的定义分析得出答案．‎ ‎【解答】解：A、a（x﹣y）＝ax﹣ay，是多项式的乘法运算，故此选项不符合题意；‎ B、a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），符合因式分解的定义，故此选项符合题意；‎ C、x2+2x+1＝x（x+2）+1，不符合因式分解的定义，故此选项不符合题意；‎ D、（x+1）（x+3）＝x2+4x+3，是多项式的乘法运算，故此选项不符合题意．‎ 故选：B．‎ ‎2．已知x＞y，则下列不等式成立的是（　　）‎ A．﹣2x＞﹣2y B．6﹣x＞6﹣y C．3x＞3y D．﹣＞﹣‎ ‎【分析】根据不等式的性质逐个判断即可．‎ ‎【解答】解：A、∵x＞y，‎ ‎∴﹣2x＜﹣2y，故本选项不符合题意；‎ B、∵x＞y，‎ ‎∴﹣x＜﹣y，‎ ‎∴6﹣x＜6﹣y，故本选项不符合题意；‎ C、∵x＞y，‎ ‎∴3x＞3y，故本选项符合题意；‎ D、∵x＞y，‎ ‎∴﹣＜﹣，故本选项不符合题意；‎ 故选：C．‎ ‎3．要使分式有意义，则x的取值应满足（　　）‎ A．x≠4 B．x≠﹣1 C．x＝4 D．x＝﹣1‎ ‎【分析】根据分式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．‎ ‎【解答】解：由题意知x﹣4≠0，‎ 解得：x≠4，‎ 故选：A．‎ ‎4．在▱ABCD中，∠A：∠B：∠C：∠D可能是（　　）‎ A．1：2：2：1 B．1：2：3：4 C．2：1：1：2 D．2：1：2：1‎ ‎【分析】由平行四边形的对角相等得出∠A＝∠C，∠B＝∠D，即可得出结果．‎ ‎【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∴∠A＝∠C，∠B＝∠D，‎ ‎∴∠A：∠B：∠C：∠D可能是2：1：2：1；‎ 故选：D．‎ ‎5．不等式3x+3≤0的解集在数轴上表示正确的是（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎【分析】首先解出不等式，再把不等式的解集表示在数轴上即可．‎ ‎【解答】解：3x+3≤0，‎ ‎3x≤﹣3，‎ x≤﹣1，‎ 在数轴上表示为：．‎ 故选：B．‎ ‎6．计算+的结果为（　　）‎ A．﹣1 B．1 C． D．‎ ‎【分析】原式通分并利用同分母分式的加法法则计算即可．‎ ‎【解答】解：原式＝+‎ ‎＝+‎ ‎＝‎ ‎＝1．‎ 故选：B．‎ ‎7．矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，如果AB＝4，∠AOB＝60°，那么AC的长等于（　　）‎ A．16 B．8 C．16 D．8‎ ‎【分析】先由矩形的性质得出OA＝OB，再证明△AOB是等边三角形，得出OA＝AB＝4，即可得出AC的长．‎ ‎【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，‎ ‎∴OA＝AC，OB＝BD，AC＝BD，‎ ‎∴OA＝OB，‎ ‎∵∠AOB＝60°，‎ ‎∴△AOB是等边三角形，‎ ‎∴OA＝AB＝4，‎ ‎∴AC＝2OA＝8．‎ 故选：D．‎ ‎8．如图，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，点E、F分别是AB、CD的中点，AD＝BC，∠EPF＝140°，则∠EFP的度数是（　　）‎ A．50° B．40° C．30° D．20°‎ ‎【分析】根据三角形中位线定理得到PE＝AD，PF＝BC，在PE＝PF，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算即可．‎ ‎【解答】解：∵P是BD的中点，E是AB的中点，‎ ‎∴PE是△ABD的中位线，‎ ‎∴PE＝AD，‎ 同理，PF＝BC，‎ ‎∵AD＝BC，‎ ‎∴PE＝PF，‎ ‎∴∠EFP＝×（180°﹣∠EPF）＝×（180°﹣140°）＝20°，‎ 故选：D．‎ ‎9．在一个不透明的盒子里装有若干个白球和15个红球，这些球除颜色不同外其余均相同，每次从袋子中摸出一个球记录下颜色后再放回，经过多次重复试验，发现摸到红球的频率稳定在0.6左右，则袋中白球约有（　　）‎ A．5个 B．10个 C．15个 D．25个 ‎【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．‎ ‎【解答】解：设袋中白球有x个，根据题意得：‎ ‎＝0.6，‎ 解得：x＝10，‎ 经检验：x＝10是分式方程的解，‎ 答：袋中白球约有10个．‎ 故选：B．‎ ‎10．若n边形的内角和等于外角和的3倍，则边数n为（　　）‎ A．6 B．7 C．8 D．9‎ ‎【分析】根据n边形的内角和等于外角和的3倍，可得方程180（n﹣2）＝360×3，再解方程即可．‎ ‎【解答】解：由题意得：180（n﹣2）＝360×3，‎ 解得：n＝8，‎ 故选：C．‎ ‎11．如图，一次函数y1＝x+b与一次函数y2＝kx+3的图象交于点P（1，2），则关于不等式x+b＞kx+3的解集是（　　）‎ A．x＞0 B．x＞1 C．x＜1 D．x＜0‎ ‎【分析】观察函数图象得到当x＞1时，函数y1＝x+b的图象都在y2＝kx+3的图象上方，所以关于x的不等式x+b＞kx+3的解集为x＞1．‎ ‎【解答】解：当x＞1时，x+b＞kx+3，‎ 即不等式x+b＞kx+3的解集为x＞1．‎ 故选：B．‎ ‎12．如图，已知正方形ABCD的边长为5，点E、F分别在AD、DC上，AE＝DF＝2，BE与AF相交于点G，点H为BF的中点，连接GH，则GH的长为（　　）‎ A．2 B． C．4 D．‎ ‎【分析】根据题目中的条件，可以先证明△BAE和△ADF全等，然后即可得到∠ABE＝∠DAF，从而可以证明△BGF是直角三角形，再根据点H为BF的中点，可知GH是BF的一半，然后根据勾股定理可以求得BF的长，从而可以得到GH的长．‎ ‎【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，‎ ‎∴AB＝DA，∠BAE＝∠ADF＝90°，‎ 在△BAE和△ADF中，‎ ‎，‎ ‎∴△BAE≌△ADF（SAS），‎ ‎∴∠ABE＝∠DAF，‎ ‎∵∠ABE+∠BEA＝90°，‎ ‎∴∠DAF+∠BEA＝90°，‎ ‎∴∠AGE＝90°，‎ ‎∴∠BGF＝90°，‎ ‎∵点H为BF的中点，‎ ‎∴GH＝BF，‎ 又∵BC＝CD＝5，DF＝2，∠C＝90°，‎ ‎∴CF＝3，‎ ‎∴BF＝＝＝，‎ ‎∴GH＝，‎ 故选：B．‎ 二．填空题（共6小题）‎ ‎13．分解因式：y2﹣4＝　（y+2）（y﹣2）　．‎ ‎【分析】原式利用平方差公式分解即可．‎ ‎【解答】解：原式＝（y+2）（y﹣2）．‎ 故答案为：（y+2）（y﹣2）．‎ ‎14．已知关于x的方程x2+kx﹣2＝0的一个根是x＝2，则另外一个根为　﹣1　．‎ ‎【分析】利用两根之积为﹣2求方程的另外一个根．‎ ‎【解答】解：设方程的另一个根为t，‎ 根据题意得2t＝﹣2，解得t＝﹣1．‎ 即方程的另一个根为﹣1．‎ 故答案为﹣1．‎ ‎15．如图，E为▱ABCD的边AD上任意一点，▱ABCD的面积为6，则图中阴影部分的面积为　3　．‎ ‎【分析】由点E是平行四边形ABCD中边AD上的任意一点，可得△EBC与▱ABCD等底等高，继而可得S△EBC＝S▱ABCD．‎ ‎【解答】解：∵平行四边形ABCD面积为6，‎ ‎∴S△EBC＝S▱ABCD＝×6＝3．‎ 故答案为：3．‎ ‎16．如图所示，直线y＝kx+b经过点（﹣2，0），则关于x的不等式kx+b＜0的解集为　x＜﹣2　．‎ ‎【分析】结合函数图象，写出直线在x轴下方所对应的自变量的范围即可．‎ ‎【解答】解：∵直线y＝kx+b经过点（﹣2，0），‎ ‎∴当x＜﹣2时，y＜0，‎ ‎∴关于x的不等式kx+b＜0的解集为x＜﹣2．‎ 故答案为x＜﹣2．‎ ‎17．如图，在菱形ABCD中，点E是CD上一点，连接AE交对角线BD于点F，连接CF，若∠AED＝50°，则∠BCF＝　50　度．‎ ‎【分析】由“SAS”可证△ADF≌△CDF，可得∠DAF＝∠DCF，由三角形内角和定理和平行线的性质可求解．‎ ‎【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，‎ ‎∴AD＝CD，AD∥BC，∠ADF＝∠CDF，‎ 在△ADF和△CDF中，，‎ ‎∴△ADF≌△CDF（SAS），‎ ‎∴∠DAF＝∠DCF，‎ ‎∵∠AED＝50°，‎ ‎∴∠DAE+∠ADE＝180°﹣50°＝130°，‎ ‎∴∠ADE+∠DCF＝130°，‎ ‎∵AD∥BC，‎ ‎∴∠ADE+∠BCD＝180°，‎ ‎∴∠ADE+∠BCF+∠DCF＝180°，‎ ‎∴∠BCF＝180°﹣130°＝50°，‎ 故答案为：50．‎ ‎18．如图，E、F分别是正方形ABCD的边AD、BC上的两个定点，M是线段EF上的一点，过M作直线与正方形ABCD的边交于点P和点H，且PH＝EF，则满足条件的直线PH最多有　5　条．‎ ‎【分析】分P和H在对边和邻边两种情况画图，当P和H在对边时，作辅助线，构建三角形全等，可知：过M与EF垂直的PH＝EF，通过画图可解答，根据对称性可继续画P1H1和P2H2，在邻边时直接利用圆的性质画图可得．‎ ‎【解答】证明：如图1，过M作PH⊥EF，则PH即为所求；‎ 理由是：如图1，过B作BG∥EF，过C作CQ∥PH，‎ ‎∵四边形ABCD是正方形，‎ ‎∴AD∥BC，AB∥CD，∠A＝∠CBQ＝90°，‎ ‎∴四边形BFEG和四边形CQPH是平行四边形，‎ ‎∴EF＝BG，PH＝CQ，‎ ‎∵PH＝EF，‎ ‎∴BG＝CQ，‎ ‎∵AB＝BC，‎ ‎∴Rt△ABG≌Rt△BCQ（HL），‎ ‎∴∠ABG＝∠BCQ，‎ ‎∴∠ABG+∠CBG＝∠CBG+∠BCQ＝90°，‎ ‎∴CQ⊥BG，‎ ‎∴PH⊥EF，‎ 所以图1中过M与EF垂直的线段PH满足条件，‎ 如图2，根据对称性，可作出两条：P1H1，P2H2，‎ 如图3，P和H在邻边时，在边AB上取一点P3，以P3为圆心，以EF为半径画圆，经过点M画半径P3H3，且交边AD于H3，同理可画P4H4，所以有两条满足条件：P3H3和P4H4，‎ 所以满足条件的直线PH最多有5条；‎ 故答案为5．‎ 三．解答题 ‎19.（1）分解因式：3x2﹣6x+3‎ ‎（2）解不等式组 ‎【考点】55：提公因式法与公式法的综合运用；CB：解一元一次不等式组．‎ ‎【专题】44：因式分解；66：运算能力．‎ ‎【分析】（1）原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可；‎ ‎（2）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可．‎ ‎【解答】解：（1）原式＝3（x2﹣2x+1）‎ ‎＝3（x﹣1）2；‎ ‎（2），‎ 由①得：x≥﹣1，‎ 由②得：x＜2，‎ 则不等式组的解集为﹣1≤x＜2．‎ ‎20.解方程：1﹣＝．‎ ‎【考点】B3：解分式方程．‎ ‎【分析】观察可得最简公分母是（x﹣3），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．‎ ‎【解答】解：去分母，得x﹣3﹣2＝1，‎ 解这个方程，得x＝6，‎ 检验：当x＝6时，x﹣3≠0，所以x＝6是原方程的解．‎ 故原方程的解是x＝6．‎ ‎21.已知：如图，在▱ABCD中，点E、F是对角线AC上的两点，且AE＝CF．求证：BF∥DE．‎ ‎【考点】KD：全等三角形的判定与性质；L5：平行四边形的性质．‎ ‎【专题】555：多边形与平行四边形；64：几何直观．‎ ‎【分析】可由题中条件求解△ADE≌△CBF，得出∠AED＝∠CFB，即∠DEC＝∠BFA，进而可求证DE与BF平行．‎ ‎【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∴AD＝BC，AD∥BC，‎ ‎∴∠DAE＝∠BCF，‎ 又∵AE＝CF，‎ 在△ADE与△CBF中 ‎，‎ ‎∴△ADE≌△CBF（SAS），‎ ‎∴∠AED＝∠CFB，‎ ‎∴∠DEC＝∠BFA，‎ ‎∴DE∥BF ‎22.今年突发新冠疫情，某口罩厂接到生产10万只一次性口罩的订单，全体职工加班加点，实际每天生产的数量是平时的2倍，结果比平时提前5天完成任务．求该厂平时每天生产口罩多少万只？‎ ‎【考点】B7：分式方程的应用．‎ ‎【专题】522：分式方程及应用；69：应用意识．‎ ‎【分析】设该厂平时每天生产口罩x万只，则实际每天生产口罩2x万只，根据工作时间＝工作总量÷工作效率结合实际比平时少用5天，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．‎ ‎【解答】解：设该厂平时每天生产口罩x万只，则实际每天生产口罩2x万只，‎ 依题意，得：﹣＝5．‎ 解得：x＝1．‎ 经检验，x＝1是所列方程的根，且符合题意．‎ 答：该厂平时每天生产口罩1万只．‎ ‎23.如图，幼儿园某教室矩形地面的长为8m，宽为5m，现准备在地面正中间铺设一块面积为18m2‎ 的地毯，四周未铺地毯的条形区域的宽度都相同，求四周未铺地毯的条形区域的宽度是多少米？‎ ‎【考点】AD：一元二次方程的应用．‎ ‎【专题】523：一元二次方程及应用；69：应用意识．‎ ‎【分析】设四周未铺地毯的条形区域的宽度是xm，根据地面正中间铺设地毯的面积为18m2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．‎ ‎【解答】解：设四周未铺地毯的条形区域的宽度是xm，‎ 依题意，得：（8﹣2x）（5﹣2x）＝18，‎ 整理，得：2x2﹣13x+11＝0，‎ 解得：x1＝1，x2＝．‎ 又∵5﹣2x＞0，‎ ‎∴x＜，‎ ‎∴x＝1．‎ 答：四周未铺地毯的条形区域的宽度是1m．‎ ‎24.甲、乙两所医院分别有一男一女共4名医护人员支援武汉抗击疫情．‎ ‎（1）若从这4名医护人员中随机选1名，则选中的是男医护人员的概率是　　．‎ ‎（2）若从支援的4名医护人员中分别随机选2名，用画树状图或列表的方法求出这两名医护人员来自不同医院的概率．‎ ‎【考点】X4：概率公式；X6：列表法与树状图法．‎ ‎【专题】543：概率及其应用；69：应用意识．‎ ‎【分析】（1）直接利用概率公式计算；‎ ‎（2）画树状图（a、b表示甲医院的男女医护人员，c、d表示乙医院的男女医护人员）展示所有12种等可能的结果数，找出这两名医护人员来自不同医院的结果数，然后根据概率公式计算．‎ ‎【解答】解：（1）从这4名医护人员中随机选1名，选中的是男医护人员的概率＝＝‎ ‎；‎ 故答案为；‎ ‎（2）画树状图为：（a、b表示甲医院的男女医护人员，c、d表示乙医院的男女医护人员）‎ 共有12种等可能的结果数，其中这两名医护人员来自不同医院的结果数为8，‎ 所以这两名医护人员来自不同医院的概率＝＝．‎ ‎25.如图1，在菱形ABCD中，AC＝2，BD＝2，AC与BD相交于点O．‎ ‎（1）求边AB的长；‎ ‎（2）求∠BAC的度数；‎ ‎（3）如图2，将一个足够大的直角三角板60°角的顶点放在菱形ABCD的顶点A处，绕点A左右旋转，其中三角板60°角的两边分别与边BC、CD相交于点E、F，连接EF．判断△AEF是哪一种特殊三角形，并说明理由．‎ ‎【考点】KD：全等三角形的判定与性质；L8：菱形的性质；R2：旋转的性质．‎ ‎【专题】11：计算题；14：证明题；553：图形的全等；556：矩形 菱形 正方形；66：运算能力；67：推理能力．‎ ‎【分析】（1）由菱形的性质得出OA＝1，OB＝，根据勾股定理可得出答案；‎ ‎（2）得出△ABC是等边三角形即可；‎ ‎（3）由△ABC和△ACD是等边三角形，利用ASA可证得△ABE≌△ACF；可得AE＝AF，根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形推出即可．‎ ‎【解答】解：（1）∵四边形ABCD是菱形，‎ ‎∴AC⊥BD，‎ ‎∴△AOB为直角三角形，且OA＝AC＝1，OB＝BD＝．‎ ‎∴AB＝＝＝2；‎ ‎（2）∵四边形ABCD是菱形，‎ ‎∴AB＝BC，‎ 由（1）得：AB＝AC＝BC＝2，‎ ‎∴△ABC为等边三角形，‎ ‎∠BAC＝60°；‎ ‎（3）△AEF是等边三角形，‎ ‎∵由（1）知，菱形ABCD的边长是2，AC＝2，‎ ‎∴△ABC和△ACD是等边三角形，‎ ‎∴∠BAC＝∠BAE+∠CAE＝60°，‎ ‎∵∠EAF＝∠CAF+∠CAE＝60°，‎ ‎∴∠BAE＝∠CAF，‎ 在△ABE和△ACF中，‎ ‎，‎ ‎∴△ABE≌△ACF（ASA），‎ ‎∴AE＝AF，‎ ‎∵∠EAF＝60°，‎ ‎∴△AEF是等边三角形．‎ ‎26.[阅读材料]‎ 把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题中都有着广泛的应用．‎ 例如：①用配方法因式分解：a2+6a+8．‎ 原式＝a2+6a+9﹣1＝（a+3）2﹣1＝（a+3﹣1）（a+3+1）＝（a+2）（a+4）‎ ‎②求x2+6x+11的最小值．‎ 解：x2+6x+11＝x2+6x+9+2＝（x+3）2+2；‎ 由于（x+3）2≥0，‎ 所以（x+3）2+2≥2，‎ 即x2+6x+11的最小值为2．‎ 请根据上述材料解决下列问题：‎ ‎（1）在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：a2+4a+　4　；‎ ‎（2）用配方法因式分解：a2﹣12a+35；‎ ‎（3）用配方法因式分解：x4+4；‎ ‎（4）求4x2+4x+3的最小值．‎ ‎【考点】1F：非负数的性质：偶次方；AE：配方法的应用．‎ ‎【专题】42：配方法；69：应用意识．‎ ‎【分析】（1）根据常数项等于一次项系数的一半进行配方即可；‎ ‎（2）将35化成36﹣1，前三项配成完全平方式，再利用平方差公式进行因式分解；‎ ‎（3）先加上4x2，再减去4x2，配成完全平方式，再利用平方差公式进行因式分解；‎ ‎（4）将式子进行配方，利用偶次方的非负性可得即可得解．‎ ‎【解答】解：（1）a2+4a+4＝（a+2）2，‎ 故答案为：4；‎ ‎（2）a2﹣12a+35‎ ‎＝a2﹣12a+36﹣1‎ ‎＝（a﹣6）2﹣1‎ ‎＝（a﹣6+1）（a﹣6﹣1）‎ ‎＝（a﹣5）（a﹣7）；‎ ‎（3）x4+4‎ ‎＝x4+4+4x2﹣4x2‎ ‎＝（x2+2）2﹣4x2‎ ‎＝（x2+2+2x）（x2+2﹣2x）；‎ ‎（4）4x2+4x+3‎ ‎＝4x2+4x+1+2‎ ‎＝（2x+1）2+2，‎ ‎∵（2x+1）2≥0，‎ ‎∴（2x+1）2+2≥2，‎ ‎∴4x2+4x+3的最小值为2．‎ ‎27.如图，在正方形ABCD中，点E在对角线AC上，点F在射线BC上，且四边形DEFG是正方形，连接CG．‎ ‎（1）求证：AE＝CG．‎ ‎（2）求证：∠ACG＝90°．‎ ‎（3）若AB＝2，当点E在AC上移动时，AE2+CE2是否有最小值？若有最小值，求出最小值．‎ ‎（4）当线段DE与正方形ABCD的某条边的夹角是30°时，直接写出∠EFC的度数．‎ ‎【考点】LO：四边形综合题．‎ ‎【专题】152：几何综合题；69：应用意识．‎ ‎【分析】（1）证明△ADE≌△CDG（SAS）可得结论．‎ ‎（2）利用全等三角形的性质解决问题即可．‎ ‎（3）有最小值．连接EG．△ECG是直角三角形，AE＝CG，推出AE2+EC2＝EC2+CG2＝EG2，求出EG的最小值即可解决问题．‎ ‎（4）分两种情形：如图2﹣1中，当∠ADE＝30°时．如图2﹣2中，当∠CDE＝30°时，分别求出即可解决问题．‎ ‎【解答】（1）证明：如图1中，‎ ‎∵四边形ABCD，四边形DEFG都是正方形，‎ ‎∴DA＝DC，DE＝DG，∠ADC＝∠EDG＝90°，‎ ‎∴∠ADE＝∠CDG，‎ ‎∴△ADE≌△CDG（SAS），‎ ‎∴AE＝CG．‎ ‎（2）证明：∵四边形ABCD是正方形，‎ ‎∴∠DAC＝∠ACD＝45°，‎ ‎∵△ADE≌△CDG，‎ ‎∴∠DAE＝∠DCG＝45°，‎ ‎∴∠ACG＝∠ACD+∠DCG＝90°．‎ ‎（3）解：有最小值．连接EG．‎ ‎∵△ECG是直角三角形，AE＝CG，‎ ‎∴AE2+EC2＝EC2+CG2＝EG2，‎ ‎∵四边形DEFG是正方形，‎ ‎∴EG＝DE，‎ ‎∴DE的值最小时，EG的值最小，‎ 根据垂线段最短可知，当DE⊥AC，DE＝AC＝×AB＝2时，AE2+EC2的值最小，最小值为8．‎ ‎（3）解：如图2﹣1中，当∠ADE＝30°时，‎ ‎∵∠CED＝∠EAD+∠ADE＝45°+30°＝75°，∠DEF＝90°，‎ ‎∴∠CEF＝90°﹣75°＝15°，‎ ‎∴∠EFC＝180°﹣∠ECF＝∠CEF＝180°﹣45°﹣15°＝120°．‎ 如图2﹣2中，当∠CDE＝30°时，‎ ‎∴∠DEC＝180°﹣30°﹣45°＝105°，‎ ‎∵∠DEF＝90°，‎ ‎∴∠CEF＝15°，‎ ‎∴∠EFC＝∠ACB﹣∠CEF＝45°﹣15°＝30°，‎ 综上所述，满足条件的∠EFC的值为120°或30°．‎