2020八年级数学上册 专题突破讲练 平行线的判定试题 （新版）青岛版

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平行线的判定 一、三线八角图析（同位角、内错角、同旁内角）‎ ‎1. 同位角：在两直线被第三条直线所截，构成的八个角中，位于两被截线同一方、且在截线同一侧的两个角，叫做同位角。‎ 上图中，同位角有4对：‎ ‎∠1和∠2, ∠3和∠4, ∠5和∠6, ∠7和∠8‎ ‎2. 内错角：在两直线被第三条直线所截，构成的八个角中，位于两被截线的内部,且在第三直线的两侧的两个角,叫做内错角。‎ 上图中，内错角有2对：‎ ‎∠4和∠5，∠2和∠7‎ ‎3. 同旁内角：在两直线被第三条直线所截，构成的八个角中，位于两被截线的内部, ‎ 且在第三直线的同旁的两个角,叫做同旁内角。‎ 上图中，同旁内角有2对：‎ ‎∠4和∠7，∠2和∠5‎ 技巧归纳：同位角是F形状；‎ 内错角是Z形状;‎ 同旁内角是U形状。‎ 二、平行线的判定方法 11‎ 如（1）如图，下列条件不能判定直线a∥b的是（　　）‎ A. ∠1=∠2 B. ∠1=∠‎3 C. ∠1+∠4=180° D. ∠2+∠4=180°‎ 解：A. ∵∠1=∠2，∴a∥b（内错角相等，两直线平行）；‎ B. ∵∠1=∠3，∴a∥b（同位角相等，两直线平行）；‎ C. ∠1+∠4=180°与a、b的位置无关；‎ D. ∵∠2+∠4=180°，∴a∥b（同旁内角互补，两直线平行）。‎ 故选C。‎ ‎（2）图中有直线L截两直线L1、L2后所形成的八个角。由下列哪一个选项中的条件可判断L1∥L2（　　）‎ A. ∠2+∠4=180°B. ∠3+∠8=‎180°C. ∠5+∠6=180°D. ∠7+∠8=180°‎ 解：∵∠3+∠8=180°，而∠4+∠8=180°，‎ ‎∴∠3=∠4，‎ ‎∴L1∥L2。（内错角相等，两直线平行）。‎ 故选B。‎ ‎（3）如图，下列条件中能判定直线l1∥l2的是（　　）‎ A. ∠1=∠2 B. ∠1=∠‎5 C. ∠1+∠3=180°D. ∠3=∠5‎ 解：A. 根据∠1=∠2不能推出l1∥l2，故本选项错误；‎ 11‎ B. ∵∠5=∠3，∠1=∠5，‎ ‎∴∠1=∠3，‎ 即根据∠1=∠5不能推出l1∥l2，故本选项错误；‎ C. ∵∠1+∠3=180°，‎ ‎∴l1∥l2（同旁内角互补，两直线平行），故本选项正确；‎ D. 根据∠3=∠5不能推出l1∥l2，故本选项错误；‎ 故选C。‎ 例题1 如图，在△ABC中，D、E、F分别在AB、BC、AC上，且EF∥AB，要使DF∥BC，只需满足下列条件中的（　　）‎ A. ∠1=∠2 B. ∠2=∠AFD C. ∠1=∠AFD D. ∠1=∠DFE 解析：要使DF∥BC，可围绕截线找同位角、内错角和同旁内角，选项中∠1=∠DFE，根据已知条件可得∠1=∠2，所以∠DFE=∠2，满足关于DF、BC的内错角相等，则DF∥BC。‎ 解：∵EF∥AB，∴∠1=∠2（两直线平行，同位角相等）。∵∠1=∠DFE，‎ ‎∴∠2=∠DFE（等量代换），∴DF∥BC（内错角相等，两直线平行），所以只需满足下列条件中的∠1=∠DFE，故选D。‎ 答案：D 点拨：解答此类要判定两直线平行的题，可围绕截线找同位角、内错角和同旁内角。本题是一道探索性条件开放性题目，其中牵涉“等量代换”这一解题思想，能有效地培养学生“执果索因”的思维方式与能力。‎ 例题2 如图所示，已知直线AB、CD被直线EF所截，如果∠BMN=∠DNF，∠1=∠2，那么MQ∥NP。为什么？‎ 11‎ 解析：由已知结合等式的性质，可得∠PNF=∠QMN，根据同位角相等，两直线平行可得MQ∥NP。‎ 答案：证明：∵∠BMN=∠DNF，∠1=∠2（已知），∴∠BMN+∠1=∠DNF+∠2，即∠QMN=∠PNF ∴MQ∥NP（同位角相等，两直线平行）。‎ 点拨：正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键，不能遇到相等或互补关系的角就误认为具有平行关系，只有同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，才能推出两被截直线平行。 ‎ 例题3 如图所示，已知CD⊥DA，DA⊥AB，∠1=∠2。‎ ‎（1）AB与CD平行吗？为什么？‎ ‎（2）DF与AE平行吗？为什么？‎ 解析：（1）根据垂直定义得出∠CDA=∠BAD=90°，根据平行线的判定推出即可；‎ ‎（2）根据垂直定义得出∠CDA=∠BAD=90°，推出∠3=∠4，根据平行线的判定推出即可。‎ 答案：解：（1）AB∥CD。理由是：∵CD⊥DA，DA⊥AB，∴∠CDA=∠BAD=90°，‎ ‎∴CD∥AB；（2）DF∥AE，理由是：由（1）知，∠2+∠3=90゜，∠1+∠4=90゜，∵∠1=∠2，∴∠3=∠4，∴DF∥AE。‎ 点拨：灵活选用平行线的判定的应用，以及等式的性质，正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是解题的首要条件。‎ 正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键，不能遇到相等或互补关系的角就误认为具有平行关系，只有同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，才能推出两被截直线平行。找准第三条直线，如果两个角不是被同一条直线所截得到的，那一定不是同位角、内错角或同旁内角。‎ 11‎ 满分训练 如图，A、B、C和D、E、F分别在同一条直线上，且∠D=∠C，∠1=∠3‎ 求证：∠A=∠F（要求：写出证明过程中的主要依据）‎ 错解: 证明：∵∠C=∠D，‎ ‎∴DF∥AC（内错角相等，两直线平行），‎ ‎∴∠A=∠F（两直线平行，内错角相等）。‎ 错解分析：‎ 错解的错误在于没正确识别“三线八角”中的内错角，以致误用平行线的判定定理。‎ 正解：‎ 证明：∵∠1=∠3，‎ ‎∴DB∥CE（同位角相等，两直线平行），‎ ‎∴∠C=∠DBA（两直线平行，同位角相等），‎ ‎∵∠C=∠D，‎ ‎∴∠D=∠DBA（等量代换），‎ ‎∴DF∥AC（内错角相等，两直线平行），‎ ‎∴∠A=∠F（两直线平行，内错角相等）。‎ ‎（答题时间：45分钟）‎ 一、选择题 ‎1. 如图，能判定EB∥AC的条件是（　　）‎ A. ∠C=∠ABE B. ∠A=∠EBD C. ∠C=∠ABC D. ∠A=∠ABE ‎2. 如图，将三个相同的三角尺不重叠不留空隙地拼在一起，观察图形，在线段AB、AC、AE、ED、EC、DB中，相互平行的线段有（　　） ‎ 11‎ A. 4组 B. 3组 C. 2组 D. 1组 ‎*3. 如图，给出了过直线外一点画已知直线的平行线的方法，其依据是（　　）‎ A. 同位角相等，两直线平行 B. 内错角相等，两直线平行 C. 同旁内角互补，两直线平行 D. 两直线平行，同位角相等 ‎**4. 学习了平行线后，小敏想出了过己知直线外一点画这条直线的平行线的新方法，她是通过折一张半透明的纸得到的（如图（1）～（4）），从图中可知，小敏画平行线的依据有（　　）‎ ‎①两直线平行，同位角相等；②两直线平行，内错角相等；‎ ‎③同位角相等，两直线平行；④内错角相等，两直线平行。‎ A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ①④‎ ‎**5. 如图，给出下列四个条件：①AC=BD；②∠DAC=∠BCA；③∠ABD=∠CDB；④∠ADB=∠CBD，其中能使AD∥BC的条件是（ ）‎ A. ①② B. ③④ C. ②④ D. ①③④‎ 二、填空题.‎ 11‎ ‎6. 如图，请填写一个你认为恰当的条件________，使AB∥CD。‎ ‎*7. 如图所示，请写出能判定CE∥AB的一个条件_________。‎ ‎*8. 设a、b、l为平面内三条不同直线。①若a∥b，l⊥a，则l与b的位置关系是_______；②若l⊥a，l⊥b，则a与b的位置关系是_______ ；③若a∥b，l∥a，则l与b的位置关系是_______。‎ ‎**9. 如图所示，用直尺和三角尺作直线AB、CD，从图中可知，直线AB与直线CD的位置关系为________。‎ 三、解答题 ‎10. 如图，一个弯形管道ABCD的拐角∠ABC=120°，∠BCD=60°，这时说管道AB∥CD对吗？为什么？‎ ‎11. 你知道潜水艇吗？它在军事上的作用可大呢。潜水艇下潜后，艇内人员可以用潜望镜来观察水面上的情况，如图①。其实它的原理非常简单，（如图②，潜望镜中的两个平面镜与水平方向的夹角都为45°，光线经过镜子反射时，∠1=∠2，∠3=∠4。你能解释为什么进入潜望镜的光线和离开潜望镜的光线是平行吗？‎ 11‎ ‎*12. 如图所示，如果两个角满足某种关系，就可以判断AE∥BF。请你将这样相关的角写出几组，并说明理由。‎ ‎**13. 如图，直线AB与CE交于D，且∠1+∠E=180°。求证：AB∥EF。‎ ‎**14. 当光线从空气中射入水中时，光线的传播方向发生了改变，即水中的光线与原来空气中的光线不在一条直线上，这是光线在水中的折射现象。同样，水中的光线射入空气中也会发生这种现象。如图所示，是光线从空气射入水中，再从水中射入空气中的示意图。由物理学知识知，∠1=∠4，∠2=∠3。请你用学过的知识来说明光线c与光线d是否平行。‎ 11‎ ‎1. D 解析：A和B中的角不是三线八角中的角；‎ C中的角是同一三角形中的角，故不能判定两直线平行。‎ D中内错角∠A=∠ABE，则EB∥AC。‎ 故选D。‎ ‎2. B 解析：∠B=∠DCE，则AB∥EC（同位角相等，两直线平行）；‎ ‎∠BCA=∠CAE，则AE∥DB（内错角相等，两直线平行）；‎ ‎∠ACE=∠DEC，则AC∥DE（内错角相等，两直线平行）。‎ 互相平行的线有：AE∥DB，AB∥EC，AC∥DE，共三组。‎ 故选B。‎ ‎3. A 解析：∵∠1=∠2，‎ ‎∴a∥b（同位角相等，两直线平行）。‎ 故选A。‎ ‎4. C 解析：由作图过程可知，∠1=∠2，为内错角相等；∠1=∠4，为同位角相等；‎ 可知小敏画平行线的依据有：③同位角相等，两直线平行；④内错角相等，两直线平行。‎ 故选C。‎ ‎5. C 解析：①AC=BD，不能判断两直线平行，故错误；‎ ‎②∠DAC=∠BCA，根据内错角相等，两直线平行可得AD∥BC，故正确；‎ ‎③∠ABD和∠CDB是直线AB、CD被BD所截形成的内错角，故可得AB∥CD，故错误；‎ ‎④∠ADB=∠CBD，根据内错角相等，两直线平行可得AD∥BC，故正确。 故选C。‎ ‎6. ∠FCD=∠FAB（或∠CDA=∠DAB或∠BAC+∠ACD=180°）‎ 解析：根据同位角相等，两条直线平行，可以添加∠FCD=∠FAB；‎ 根据内错角相等，两条直线平行，可以添加∠CDA=∠DAB；‎ 根据同旁内角互补，两条直线平行，可以添加∠BAC+∠ACD=180°。 ‎ ‎7. ∠DCE=∠A（或∠ECB=∠B或∠A+∠ACE=180°）‎ 解析：能判定CE∥AB的一个条件是：∠DCE=∠A或∠ECB=∠B或∠A+∠ACE=180°‎ ‎8. l⊥b；a∥b；l∥b 解析：①根据如果一条直线和两条平行线中的一条垂直，那么它和另一条平行线也垂直，知l⊥b；‎ 11‎ ‎②根据垂直于同一条直线的两直线平行，知a∥b；‎ ‎③根据平行于同一条直线的两直线平行，知l∥b。‎ ‎9. 平行 解析：根据题意，∠1与∠2是三角尺的同一个角，‎ 所以∠1=∠2，‎ 所以，AB∥CD（同位角相等，两直线平行）。‎ 故答案为：平行。‎ ‎10. 解：说管道AB∥CD是对的。‎ 理由：∵∠ABC=120°，∠BCD=60°‎ ‎∴∠ABC+∠BCD=180°‎ ‎∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）。‎ ‎11. 解析：∵∠1=∠2=45°，∠3=∠4=45°，‎ ‎∴∠5=180°-45°×2=90°，‎ ‎∠6=180°-45°×2=90°，‎ ‎∴∠5=∠6，‎ 故进入潜望镜的光线和离开潜望镜的光线是平行的。‎ ‎12. 解析：满足条件的两个角有：‎ ‎①∠B=∠7（内错角相等，两直线平行）；‎ ‎②∠B=∠6（同位角相等，两直线平行）；‎ ‎③∠B+∠BAE=180°（同旁内角互补，两直线平行）；‎ ‎④∠1=∠5（内错角相等，两直线平行）；‎ ‎⑤∠1+∠CAG=180°（同旁内角互补，两直线平行）；‎ ‎⑥∠3=∠E（内错角相等，两直线平行）；‎ ‎⑦∠BCE+∠E=180°（同旁内角互补，两直线平行）；‎ ‎⑧∠ACF=∠CAG（内错角相等，两直线平行）；‎ ‎⑨∠ACF+∠5=180°（同旁内角互补，两直线平行）。‎ ‎13. 证明：方法一：∵∠1+∠E=180°，∠1=∠4，‎ ‎∴∠4+∠E=180°，‎ ‎∴AB∥EF；‎ 方法二：∵∠1+∠E=180°，∠1+∠2=180°‎ 11‎ ‎∴∠2=∠E，‎ ‎∴AB∥EF；‎ 方法三：∵∠1+∠E=180°，∠1+∠3=180°，‎ ‎∴∠3=∠E，‎ ‎∴AB∥EF。‎ ‎14. 解：c∥d，‎ 理由：∵∠1+∠5=180°，∠4+∠6=180°，‎ 又∵∠1=∠4，‎ ‎∴∠5=∠6，‎ ‎∵∠2=∠3，‎ ‎∴∠2+∠5=∠6+∠3，‎ ‎∴c∥d。‎ 11‎