2019-2020学年辽宁省沈阳市大东区八年级（下）期末数学试卷 （解析版）

2019-2020学年辽宁省沈阳市大东区八年级（下）期末数学试卷 （解析版）

‎2019-2020学年辽宁省沈阳市大东区八年级（下）期末数学试卷 一．选择题（共10小题）‎ ‎1．如图是回收、绿色包装、节水、低碳四个标志，其中是中心对称图形的是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．若a＞b，则下列式子中一定成立的是（　　）‎ A．a﹣2＜b﹣2 B．＞ C．2a＞b D．3﹣a＞3﹣b ‎3．下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为（　　）‎ A．x（a﹣b）＝ax﹣bx ‎ B．x2﹣1+y2＝（x﹣1）（x+1）+y2 ‎ C．x2﹣1＝（x+1）（x﹣1） ‎ D．ax+bx+c＝x（a+b+c）‎ ‎4．如图，若△DEF是由△ABC经过平移后得到的，则平移的距离是（　　）‎ A．线段BC的长度 B．线段BE的长度 ‎ C．线段EC的长度 D．线段EF的长度 ‎5．平行四边形一边长12，那么它的两条对角线的长度可能是（　　）‎ A．8和16 B．10和16 C．8和14 D．8和12‎ ‎6．计算﹣+﹣的结果是（　　）‎ A． B． C．﹣ D．﹣‎ ‎7．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，将Rt△ABC绕点A按顺时针方向旋转到△AB1C1的位置，使得点C、A、B1在同一条直线上，那么旋转角最小为（　　）‎ A．115° B．125° C．120° D．145°‎ ‎8．若三角形的各边长分别是8，10和16，则以各边中点为顶点的三角形的周长为（　　）‎ A．34 B．30 C．29 D．17‎ ‎9．如果9x2+kx+25是一个完全平方式，那么k的值是（　　）‎ A．15 B．±5 C．30 D．±30‎ ‎10．如图，EF过矩形ABCD对角线的交点O，且分别交AB、CD于E、F，那么阴影部分的面积是矩形ABCD的面积的（　　）‎ A． B． C． D．‎ 二．填空题（共6小题）‎ ‎11．因式分解：a2﹣4＝　 　．‎ ‎12．若分式的值为0，则x等于　 　．‎ ‎13．一个多边形的外角和等于它的内角和的，则这个多边形的边数是　 　．‎ ‎14．如图，函数y＝kx+b（k、b为常数，k≠0）的图象经过点（2，0），则关于x的不等式kx+b＜0的解集为　 　．‎ ‎15．“端午节”前，商场为促销定价为10元每袋的蜜枣粽子，采取如下方式优惠销售：若一次性购买不超过2袋，则按原价销售；若一次性购买2袋以上，则超过部分按原价的七折付款．张阿姨现有50元钱，那么她最多能买蜜枣粽子　 　袋．‎ ‎16．等边△ABC中，AB＝14．平面内有一点D，BD＝6，AD＝10，则CD的长为　 　．‎ 三．解答题（共9小题）‎ ‎17．分解因式：‎ ‎（1）3x﹣12x3；‎ ‎（2）4m2+2mn+n2．‎ ‎18．解分式方程：+1＝﹣．‎ ‎19．解不等式组，并把该不等式组中的两个不等式的解集在如图所示的数轴上表示出来．‎ ‎20．先化简，再求值：（﹣）÷，其中x＝2．‎ ‎21．如图，正方形ABCD的边长为4，E是边BC上的一点，把△ABE平移到△DCF，再把△ABE逆时针旋转到△ADG的位置．‎ ‎（1）把△ABE平移到△DCF，则平移的距离为　 　；‎ ‎（2）四边AEFD是　 　四边形；‎ ‎（3）把△ABE逆时针旋转到△ADG的位置，旋转中心是　 　点；‎ ‎（4）若连接EG，求证：△AEG是等腰直角三角形．‎ ‎22．某工厂现在平均每天比原计划多生产20台机器，现在生产300台机器所需时间与原计划生产150台机器所需时间相同，求现在平均每天生产多少台机器．‎ ‎23．我国从2011年5月1日起在公众场所实行“禁烟”，为配合“”禁烟”运动，某校组织开展了“吸烟有害健康”的知识竞赛，共有20道题，答对1题得10分，答错（或不答）一题扣5分，小明参加本次竞赛得分要超过100分，问小明至少要答对几道题？‎ ‎24．已知△ABC中，点O是AC中点，连接BO并延长到D，使OD＝OB，连接DA，DC．‎ ‎（1）如图1，求证：四边形ABCD是平行四边形；‎ ‎（2）如图2，过点A作AE⊥BC于E，F为AB的中点，连接EF，若∠CAD＝45°，且 OA＝2，BE：EC＝1：2，求EF的长；‎ ‎（3）在（2）的条件下，若P是边BC上一动点，当△PAB为等腰三角形时，请直接写出BP的长．‎ ‎25．如图，一个锐角等于60°的菱形ABCD，将一个60°的∠MAN的顶点与该菱形顶点A重合，以A为旋转中心，按顺时针方向旋转这个60°的∠MAN，使它的两边分别交CB、DC或它们的延长线于点E，F．‎ ‎（1）如图1，当BE＝DF时，AE与AF的数量关系是　 　；‎ ‎（2）旋转∠MAN，如图2，当BE≠DF时，（1）的结论是否成立？若成立，加以证明；若不成立，请说明理由；‎ ‎（3）若菱形ABCD的边长为4，BE＝1，请直接写出AF的长．‎ ‎2019-2020学年辽宁省沈阳市大东区八年级（下）期末数学试卷 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题）‎ ‎1．如图是回收、绿色包装、节水、低碳四个标志，其中是中心对称图形的是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】根据中心对称图形的概念求解．‎ ‎【解答】解：A、不是中心对称图形，故本选项错误；‎ B、不是中心对称图形，故本选项错误；‎ C、不是中心对称图形，故本选项错误；‎ D、是中心对称图形，故本选项正确．‎ 故选：D．‎ ‎2．若a＞b，则下列式子中一定成立的是（　　）‎ A．a﹣2＜b﹣2 B．＞ C．2a＞b D．3﹣a＞3﹣b ‎【分析】依据不等式的基本性质解答即可．‎ ‎【解答】解：A、由不等式的性质1可知A错误；‎ B、由不等式的性质2可知B正确；‎ C、不符合不等式的基本性质，故C错误；‎ D、先由不等式的性质3得到﹣a＜﹣b，然后由不等式的性质1可知3﹣a＜2﹣b，故D错误．‎ 故选：B．‎ ‎3．下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为（　　）‎ A．x（a﹣b）＝ax﹣bx ‎ B．x2﹣1+y2＝（x﹣1）（x+1）+y2 ‎ C．x2﹣1＝（x+1）（x﹣1） ‎ D．ax+bx+c＝x（a+b+c）‎ ‎【分析】按照因式分解的定义，逐项分析即可．‎ ‎【解答】解：把一个多项式写成几个因式的乘积形式叫做因式分解．‎ 选项A是整式的乘法运算，不是因式分解，故A不正确；‎ 选项B：右边不是几个因式的乘积形式，故B不正确；‎ 选项C：是按照平方差公式分解的，符合题意，C正确；‎ 选项D：右边乘开和左边不相等，故D不正确．‎ 综上，只有C正确．‎ 故选：C．‎ ‎4．如图，若△DEF是由△ABC经过平移后得到的，则平移的距离是（　　）‎ A．线段BC的长度 B．线段BE的长度 ‎ C．线段EC的长度 D．线段EF的长度 ‎【分析】根据平移的性质，结合图形可直接求解．‎ ‎【解答】解：观察图形可知：△DEF是由△ABC沿BC向右移动BE的长度后得到的，‎ ‎∴平移距离就是线段BE的长度．‎ 故选：B．‎ ‎5．平行四边形一边长12，那么它的两条对角线的长度可能是（　　）‎ A．8和16 B．10和16 C．8和14 D．8和12‎ ‎【分析】根据平行四边形的性质得出AO＝CO＝AC，BO＝DO＝BD，在每个选项中，求出AO、BO的值，再看看是否符合三角形三边关系定理即可．‎ ‎【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∴AO＝CO＝AC，BO＝DO＝BD，‎ A、AO＝4，BO＝8，‎ ‎∵AB＝12，‎ ‎∴在△AOB中，AO+BO＝AB，不符合三角形三边关系定理，故本选项错误；‎ B、AO＝5，BO＝8，‎ ‎∵AB＝12，‎ ‎∴在△AOB中，AO+BO＞AB，符合三角形三边关系定理，故本选项正确；‎ C、AO＝4，BO＝7，‎ ‎∵AB＝12，‎ ‎∴在△AOB中，AO+BO＜AB，不符合三角形三边关系定理，故本选项错误；‎ D、AO＝4，BO＝6，‎ ‎∵AB＝12，‎ ‎∴在△AOB中，AO+BO＜AB，不符合三角形三边关系定理，故本选项错误；‎ 故选：B．‎ ‎6．计算﹣+﹣的结果是（　　）‎ A． B． C．﹣ D．﹣‎ ‎【分析】根据异分母分式相加减的运算法则计算即可．‎ ‎【解答】解：原式＝‎ ‎＝‎ ‎＝‎ ‎＝．‎ 故选：D．‎ ‎7．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，将Rt△ABC绕点A按顺时针方向旋转到△AB1C1的位置，使得点C、A、B1在同一条直线上，那么旋转角最小为（　　）‎ A．115° B．125° C．120° D．145°‎ ‎【分析】先判断出旋转角最小是∠CAC1，根据直角三角形的性质计算出∠BAC，计算即可．‎ ‎【解答】解：∵Rt△ABC绕点A按顺时针方向旋转到△AB1C1的位置，使得点C、A、B1在同一条直线上，‎ ‎∴旋转角最小是∠CAC1，‎ ‎∵∠C＝90°∠B＝30°，‎ ‎∴∠BAC＝60°，‎ 由旋转得，∠B1AC1＝∠BAC＝60°，‎ ‎∴∠CAC1＝180°﹣∠B1AC1＝180°﹣60°＝120°，‎ 故选：C．‎ ‎8．若三角形的各边长分别是8，10和16，则以各边中点为顶点的三角形的周长为（　　）‎ A．34 B．30 C．29 D．17‎ ‎【分析】根据三角形中位线定理分别求出DE、EF、DF，根据三角形的周长公式计算，得到答案．‎ ‎【解答】解：∵D、E分别为AB、BC的中点，‎ ‎∴DE是△ABC的中位线，‎ ‎∴DE＝AC＝5，‎ 同理，DF＝BC＝8，FE＝AB＝4，‎ ‎∴△DEF的周长＝4+5+8＝17，‎ 故选：D．‎ ‎9．如果9x2+kx+25是一个完全平方式，那么k的值是（　　）‎ A．15 B．±5 C．30 D．±30‎ ‎【分析】本题考查的是完全平方公式的理解应用，式中首尾两项分别是3x和5的平方，所以中间项应为加上或减去3x和5的乘积的2倍，所以kx＝±2×3x×5＝±30x，故k＝±30．‎ ‎【解答】解：∵（3x±5）2＝9x2±30x+25，‎ ‎∴在9x2+kx+25中，k＝±30．‎ 故选：D．‎ ‎10．如图，EF过矩形ABCD对角线的交点O，且分别交AB、CD于E、F，那么阴影部分的面积是矩形ABCD的面积的（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】本题主要根据矩形的性质，得△EBO≌△FDO，再由△AOB与△OBC同底等高，△AOB与△ABC同底且△AOB的高是△ABC高的得出结论．‎ ‎【解答】解：∵四边形为矩形，‎ ‎∴OB＝OD＝OA＝OC，‎ 在△EBO与△FDO中，‎ ‎∵，‎ ‎∴△EBO≌△FDO（ASA），‎ ‎∴阴影部分的面积＝S△AEO+S△EBO＝S△AOB，‎ ‎∵△AOB与△ABC同底且△AOB的高是△ABC高的，‎ ‎∴S△AOB＝S△OBC＝S矩形ABCD．‎ 故选：B．‎ 二．填空题（共6小题）‎ ‎11．因式分解：a2﹣4＝　（a+2）（a﹣2）　．‎ ‎【分析】直接利用平方差公式分解因式得出即可．‎ ‎【解答】解：a2﹣4＝（a+2）（a﹣2）．‎ 故答案为：（a+2）（a﹣2）．‎ ‎12．若分式的值为0，则x等于　1　．‎ ‎【分析】根据分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零列出关于x的方程和不等式，解之可得答案．‎ ‎【解答】解：∵分式的值为0，‎ ‎∴|x|﹣1＝0且（x﹣2）（x+1）≠0，‎ 解得x＝1，‎ 故答案为：1．‎ ‎13．一个多边形的外角和等于它的内角和的，则这个多边形的边数是　5　．‎ ‎【分析】根据多边形的内角和公式（n﹣2）•180°与外角和定理列出方程，然后求解即可．‎ ‎【解答】解：设这个多边形是n边形，‎ 根据题意得，（n﹣2）•180°＝360°，‎ 解得n＝5．‎ 故答案为：5．‎ ‎14．如图，函数y＝kx+b（k、b为常数，k≠0）的图象经过点（2，0），则关于x的不等式kx+b＜0的解集为　x＞2　．‎ ‎【分析】从图象可得到函数的增减性及与x轴的交点的横坐标，即能求得不等式kx+b＜0的解集．‎ ‎【解答】解：函数y＝kx+b的图象经过点（2，0），并且函数值y随x的增大而减小，‎ 所以当x＞2时，函数值小于0，即关于x的不等式kx+b＜0的解集是x＞2．‎ 故答案为：x＞2．‎ ‎15．“端午节”前，商场为促销定价为10元每袋的蜜枣粽子，采取如下方式优惠销售：若一次性购买不超过2袋，则按原价销售；若一次性购买2袋以上，则超过部分按原价的七折付款．张阿姨现有50元钱，那么她最多能买蜜枣粽子　6　袋．‎ ‎【分析】根据一次性购买不超过2袋，则按原价销售；若一次性购买2袋以上，则超过部分按原价的七折付款，设可以购买x袋蜜枣粽子，根据：2袋原价付款数+超过2袋的总钱数≤50，列出不等式求解即可得．‎ ‎【解答】解：设可以购买x（x为整数）袋蜜枣粽子．‎ ‎2×10+（x﹣2）×10×0.7≤50，‎ 解得：x≤6，‎ 则她最多能买蜜枣粽子是6袋．‎ 故答案为：6．‎ ‎16．等边△ABC中，AB＝14．平面内有一点D，BD＝6，AD＝10，则CD的长为　或16　．‎ ‎【分析】如图，当点D在△ABC内部时，过点D作DN⊥AB于N，过点C作CH⊥AB于H，过点D作DM⊥CH于M．设BN＝x．解直角三角形求出CM，DM即可解决问题．当点D′在△ABC外部时，同法可求．‎ ‎【解答】解：如图，当点D在△ABC内部时，过点D作DN⊥AB于N，过点C作CH⊥AB于H，过点D作DM⊥CH于M．设BN＝x．‎ ‎∵DN2＝AD2﹣AN2＝BD2﹣BN2，‎ ‎∴102﹣（14﹣x）2＝62﹣x2，‎ 解得x＝，‎ ‎∴BN＝，DN＝＝，‎ ‎∵△ABC是等边三角形，CH⊥AB，‎ ‎∴AH＝BH＝7，CH＝7，‎ ‎∵DM⊥CH，‎ ‎∴∠DMH＝∠MHN＝∠DNH＝90°，‎ ‎∴四边形DMHN是矩形，‎ ‎∴MH＝DN＝，‎ ‎∴CM＝CH﹣MH＝7﹣＝，DM＝HN＝7﹣＝，‎ ‎∴CD＝＝，‎ 当点D′在△ABC外部时，过点D′⊥CH交CH的延长线于G．‎ 同法可得CD′＝＝＝16，‎ 综上所述，满足条件的CD的值为或16．‎ 故答案为：或16．‎ 三．解答题（共9小题）‎ ‎17．分解因式：‎ ‎（1）3x﹣12x3；‎ ‎（2）4m2+2mn+n2．‎ ‎【分析】（1）首先提公因式3x，然后再利用平方差进行分解即可；‎ ‎（2）利用完全平方公式进行分解即可．‎ ‎【解答】解：（1）原式＝3x（1﹣4x2）＝3x（1﹣2x）（1+2x）；‎ ‎（2）原式＝（2m+n）2．‎ ‎18．解分式方程：+1＝﹣．‎ ‎【分析】分式方程整理后，去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．‎ ‎【解答】解：方程整理得：+1＝﹣，‎ 去分母得：2x﹣4+4x﹣2＝﹣3，‎ 移项合并得：6x＝3，‎ 解得：x＝，‎ 经检验x＝是增根，分式方程无解．‎ ‎19．解不等式组，并把该不等式组中的两个不等式的解集在如图所示的数轴上表示出来．‎ ‎【分析】分别求出每一个不等式的解集，将不等式解集表示在数轴上，再找到公共部分即可得．‎ ‎【解答】解：解不等式3x+2＞x，得：x＞﹣1，‎ 解不等式2（x+1）≥4x﹣1，得：x≤，‎ 将不等式解集表示在数轴上如下：‎ ‎∴不等式组的解集为﹣1＜x≤．‎ ‎20．先化简，再求值：（﹣）÷，其中x＝2．‎ ‎【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x的值代入计算可得．‎ ‎【解答】解：原式＝[﹣]÷‎ ‎＝（﹣）÷‎ ‎＝•（x+1）‎ ‎＝，‎ 当x＝2时，‎ 原式＝＝3．‎ ‎21．如图，正方形ABCD的边长为4，E是边BC上的一点，把△ABE平移到△DCF，再把△ABE逆时针旋转到△ADG的位置．‎ ‎（1）把△ABE平移到△DCF，则平移的距离为　4　；‎ ‎（2）四边AEFD是　平行　四边形；‎ ‎（3）把△ABE逆时针旋转到△ADG的位置，旋转中心是　A　点；‎ ‎（4）若连接EG，求证：△AEG是等腰直角三角形．‎ ‎【分析】（1）由平移的性质可得平移的距离为BC＝4，即可求解；‎ ‎（2）由平移的性质可得AD＝EF，且AD∥BC，可证四边形AEFD是平行四边形；‎ ‎（3）由旋转的性质可得旋转中心是点A；‎ ‎（4）由旋转的性质可得AG＝AE，∠DAG＝∠BAE，由余角的性质可得∠EAG＝90°，可得结论．‎ ‎【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，‎ ‎∴AB＝BC＝AD＝CD＝4，∠ABC＝∠BAD＝90°，‎ ‎∵把△ABE平移到△DCF，‎ ‎∴平移的距离为BC＝4，‎ 故答案为：4；‎ ‎（2）∵把△ABE平移到△DCF，‎ ‎∴AD＝BC＝EF＝4，‎ 又∵AD∥BC，‎ ‎∴四边形AEFD是平行四边形；‎ 故答案为：平行；‎ ‎（3）∵把△ABE逆时针旋转到△ADG的位置，‎ ‎∴旋转中心为点A，‎ 故答案为：A；‎ ‎（4）∵把△ABE逆时针旋转到△ADG的位置，‎ ‎∴AG＝AE，∠DAG＝∠BAE，‎ ‎∵∠BAD＝∠BAE+∠DAE＝90°，‎ ‎∴∠DAE+∠DAG＝90°，‎ ‎∴∠EAG＝90°，‎ ‎∴△AEG是等腰直角三角形．‎ ‎22．某工厂现在平均每天比原计划多生产20台机器，现在生产300台机器所需时间与原计划生产150台机器所需时间相同，求现在平均每天生产多少台机器．‎ ‎【分析】设现在平均每天生产x台机器，则原计划每天生产（x﹣20）台，根据现在生产300台机器所需时间与原计划生产150台机器所需时间相同，列方程求解．‎ ‎【解答】解：设现在平均每天生产x台机器，‎ 根据题意得：＝，‎ 解得：x＝40，‎ 经检验：x＝40是原分式方程的解，且符合题意．‎ 答：现在平均每天生产40台机器．‎ ‎23．我国从2011年5月1日起在公众场所实行“禁烟”，为配合“”禁烟”运动，某校组织开展了“吸烟有害健康”的知识竞赛，共有20道题，答对1题得10分，答错（或不答）一题扣5分，小明参加本次竞赛得分要超过100分，问小明至少要答对几道题？‎ ‎【分析】设小明至少要答对x道题，则答错为（20﹣x）道，根据题意找出等量关系：得分﹣扣分＞100，列不等式求解，然后找出最小整数解即可．‎ ‎【解答】解：设小明至少要答对x道题，‎ 由题意得，10x﹣5×（20﹣x）＞100，‎ 解得：x＞13，‎ 答：小明至少要答对14道题．‎ ‎24．已知△ABC中，点O是AC中点，连接BO并延长到D，使OD＝OB，连接DA，DC．‎ ‎（1）如图1，求证：四边形ABCD是平行四边形；‎ ‎（2）如图2，过点A作AE⊥BC于E，F为AB的中点，连接EF，若∠CAD＝45°，且OA＝2，BE：EC＝1：2，求EF的长；‎ ‎（3）在（2）的条件下，若P是边BC上一动点，当△PAB为等腰三角形时，请直接写出BP的长．‎ ‎【分析】（1）根据平行四边形的判定定理即可得到结论；‎ ‎（2）由平行四边形的性质可得AD∥BC，AC＝2OA＝4，由等腰直角三角形的性质可求AE＝EC＝4，由勾股定理可求AB的长，由直角三角形的性质可求EF的长；‎ ‎（3）分三种情况讨论，由等腰三角形的性质可求解．‎ ‎【解答】证明：（1）∵点O是AC中点，‎ ‎∴OA＝OC，‎ ‎∵OD＝BO，‎ ‎∴四边形ABCD是平行四边形；‎ ‎（2）∵四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∴AD∥BC，‎ ‎∴∠ACE＝∠CAD＝45°，‎ ‎∵AE⊥BC，‎ ‎∴∠EAC＝∠ACE＝45°，‎ ‎∴AE＝EC，‎ ‎∵AC＝2OA＝4，‎ ‎∴AE＝EC＝4，‎ ‎∵BE：EC＝1：2，‎ ‎∴BE＝2，‎ ‎∴AB＝＝＝2，‎ ‎∵AE⊥BC，F为AB的中点，‎ ‎∴EF＝AB＝；‎ ‎（3）若AB＝BP时，则BP＝2，‎ 若AB＝AP时，如图，‎ ‎∵AE⊥BC，‎ ‎∴BE＝EP＝2，‎ ‎∴BP＝4，‎ 若BP＝AP时，如图，‎ ‎∵AP2＝AE2+PE2，‎ ‎∴BP2＝16+（BP﹣2）2，‎ ‎∴BP＝BP＝5，‎ 综上所述：当BP为2或4或5时，△PAB为等腰三角形．‎ ‎25．如图，一个锐角等于60°的菱形ABCD，将一个60°的∠MAN的顶点与该菱形顶点A重合，以A为旋转中心，按顺时针方向旋转这个60°的∠MAN，使它的两边分别交CB、DC或它们的延长线于点E，F．‎ ‎（1）如图1，当BE＝DF时，AE与AF的数量关系是　AE＝AF　；‎ ‎（2）旋转∠MAN，如图2，当BE≠DF时，（1）的结论是否成立？若成立，加以证明；若不成立，请说明理由；‎ ‎（3）若菱形ABCD的边长为4，BE＝1，请直接写出AF的长．‎ ‎【分析】（1）由“SAS”可证△ABE≌△ADF，可得AE＝AF；‎ ‎（2）由菱形的性质可得AB＝BC＝AD＝CD，∠B＝∠D＝60°，可证△ABC是等边三角形，△ACD是等边三角形，可得AB＝AC，∠ACD＝∠B＝60°＝∠BAC，由“ASA”可证△BAE≌△CAF，可得AE＝AF；‎ ‎（3）分两种情况讨论，由等边三角形的性质和勾股定理可求解．‎ ‎【解答】解：（1）∵四边形ABCD是菱形，‎ ‎∴AB＝AD，∠B＝∠D，‎ 又∵BE＝DF，‎ ‎∴△ABE≌△ADF（SAS），‎ ‎∴AE＝AF，‎ 故答案为：AE＝AF；‎ ‎（2）仍然成立，‎ 理由如下：如图2，连接AC，‎ ‎∵四边形ABCD是菱形，∠B＝60°，‎ ‎∴AB＝BC＝AD＝CD，∠B＝∠D＝60°，‎ ‎∴△ABC是等边三角形，△ACD是等边三角形，‎ ‎∴AB＝AC，∠ACD＝∠B＝60°＝∠BAC，‎ ‎∵∠MAN＝60°＝∠BAC，‎ ‎∴∠BAE＝∠CAF，‎ ‎∴△BAE≌△CAF（ASA），‎ ‎∴AE＝AF；‎ ‎（3）当点E在BC上时，如图2﹣1，过点A作AH⊥BC于H，‎ ‎∵△ABC是等边三角形，AH⊥BC，‎ ‎∴AB＝BC＝AC＝4，BH＝HC＝2，‎ ‎∴AH＝＝＝2，‎ ‎∵EH＝BH﹣BE＝2﹣1＝1，‎ ‎∴AE＝＝＝，‎ ‎∴AF＝AE＝；‎ 当点E在BC的延长线上时，如图3，过点A作AH⊥BC于H，‎ ‎∵△ABC是等边三角形，AH⊥BC，‎ ‎∴AB＝BC＝AC＝4，BH＝HC＝2，‎ ‎∴AH＝＝＝2，‎ ‎∵EH＝BH+BE＝2+1＝3，‎ ‎∴AE＝＝＝，‎ ‎∴AF＝AE＝，‎ 综上所述：AF的长为或．‎