八年级下数学课件《正方形的判定》课件_冀教版

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第二十二章 四边形 22.6 正方形 第2课时 正方形的判定 1 u正方形的对称性 u正方形的判定 2 逐点 导讲练 课堂 小结 作业 提升 相传，上古神话人物伏羲在黄河边行走，得到龙 马送来的“河图”(如下图所示)，在洛水边又得到神 龟送来的“洛书”.“河图”、“洛书”是几千年前的 两幅图象，是正方形的图案，由点和线交织而成，充 满了巧妙的数字关系，说明中华祖先很早对于几何和 代数的研究. 充分显示了中华祖先的聪明才智. 1 正方形的对称性 知1－导 O A B C D (A) (B)(C) (D) 正方形的对称性： 正方形是中心对称图形， 对称中心为点O； 又是轴对称图形，有四 条对称轴. 知1－讲 例1 如图，点E在正方形ABCD的对角线AC上，且EC ＝2AE，直角三角形FEG的两直角边EF、EG分别 交BC、DC于点M、N.若正方形ABCD的边长为a， 则重叠部分四边形EMCN的面积为(　　) A. a2　　 B. a2　 　 C. a2　 　D. a2 2 3 1 4 5 9 4 9 D 作EP⊥BC于点P，EQ⊥CD于点Q，易得△EPM ≌ △EQN，利用四边形EMCN的面积等于正方形 PCQE的面积求解． 作EP⊥BC于点P，EQ⊥CD于点Q， ∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCD＝90°， 又∵∠EPM＝∠EQN＝90°，∴∠PEQ＝90°， ∴∠PEM＋∠MEQ＝90°， ∵三角形FEG是直角三角形，∴∠NEF＝∠NEQ＋ ∠MEQ＝90°，∴∠PEM＝∠NEQ， ∵CA是∠BCD的角平分线，∠EPC＝∠EQC＝90°， ∴EP＝EQ，四边形PCQE是正方形， 知1－讲 导引： 在△EPM和△EQN中， ∴△EPM≌ △EQN(ASA)，∴S△EQN＝S△EPM， ∴四边形EMCN的面积等于正方形PCQE的面积， ∵正方形ABCD的边长为a，∴AC＝ a， ∵EC＝2AE，∴EC＝ a，∴EP＝PC＝ a， ∴正方形PCQE的面积＝ a× a＝ a2， ∴四边形EMCN的面积＝ a2. 知1－讲 , , , PEM NEQ EP EQ EPM EQN         2 2 2 3 2 3 2 3 2 3 4 9 4 9 知1－讲 本例解法在于巧用割补法，将分散的图形拼合在 一起，将不规则的阴影面积集中到一个规则的图形中， 再利用正方形及三角形的性质求出，解答过程体现了 割补法及转化思想． 知1－练 （来自教材） 已知：如图，正方形ABCD的两条对角线相交于 点O，点M，N分别在OA，OD上，且MN∥AD. 请探究线段DM和CN之间的数量关系， 写出结 论并给出证明. 1 知1－练 （来自教材） DM＝CN. 证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴OA＝OD，AD＝DC，∠DAM＝∠CDN ＝45°. 又∵MN∥AD， ∴OM＝ON.∴AM＝DN. ∴△AMD≌ △DNC. ∴DM＝CN. 解： 知1－练 （来自教材） 已知：如图，正方形ABCD的两条对角线相交于 点O，E为OC上一点， AM⊥BE，垂足为M， AM与DB相交于点F. 求证：OE=OF. 2 知1－练 （来自教材） 在正方形ABCD中，OA＝OB， ∠BOC＝∠AOF＝90°. ∵在Rt△AME中，∠EAM＋∠AEM＝90°， 在Rt△AOF中，∠FAO＋∠AFO＝90°， ∴∠AEM＝∠AFO. ∴△AOF≌ △BOE. ∴OE＝OF. 证明： 知1－练 3 【中考·南京】如图，菱形ABCD的面积为120 cm2， 正方形AECF的面积为50 cm2，则菱形的边长为 ________．13cm 知1－练 4 【中考·台州】小红用次数最少的对折方法验证 了一条四边形丝巾的形状是正方形，她对折了(　 　) A．1次　 B．2次 C．3次 D．4次 B 知1－练 5 将五个边长都为2 cm的正方形按如图所示方式 摆放，点A，B，C，D分别是四个正方形的中 心，则图中四块阴影部分面积的和为(　　) A．2 cm2 B．4 cm2 C．6 cm2 D．8 cm2 B 2 正方形的判定 思考 正方形有哪些性质？如何判定一个四边形是正方形？ 把它们写出来， 并和同学交流一下，然后证明其中的 一些结论. 知2－导 知2－导 正方形 矩形 有一组邻边相等 菱形 有一个角是直角 有一组邻边相等 有一个角是直角 平行四边形 有一个角是直角有一组邻边相等 知2－导 正方形的判定方法：要判定一个四边形是正方形，最 常用的方法就是先证明它是菱形(或矩形)，再证明这 个菱形(或矩形)有一个角是直角(或有一组邻边相等)， 其实质就是根据正方形的定义来判定，当然也可以先 证四边形是平行四边形，再证有一组邻边相等且有一 个角是直角，或证这个平行四边形的对角线相等并且 互相垂直． 知2－讲 例2 [中考·铁岭]如图，△ABC中，AB＝AC，AD是 △ABC的角平分线，点O为AB的中点，连接DO并 延长到点E，使OE＝OD，连接AE，BE. (1)求证：四边形AEBD是矩形． (2)当△ABC满足什么条件时，矩形AEBD是正方 形？并说明理由． 知2－讲 (1)利用平行四边形的判定方法首先得出四边形 AEBD是平行四边形，进而由等腰三角形的 性质得出∠ADB＝90°，即可证得结论； (2)利用等腰直角三角形的性质得出AD＝BD＝ CD，进而利用正方形的判定方法即可判定 矩形AEBD是正方形． 导引： 知2－讲 (1)证明：∵点O为AB的中点，OE＝OD， ∴四边形AEBD是平行四边形． ∵AB＝AC，AD是△ABC的角平分线， ∴AD⊥BC.∴∠ADB＝90°. ∴平行四边形AEBD是矩形． (2)解：当∠BAC＝90°时，矩形AEBD是正方形． 理由：∵∠BAC＝90°，AB＝AC，AD是△ABC 的角平分线，∴AD＝BD＝CD. ∵由(1)得四边形AEBD是矩形， ∴矩形AEBD是正方形． 知2－讲 本题运用演绎推理解答，(1)中根据对角线互相平 分判定四边形AEBD是平行四边形，再由等腰三角形 三线合一的性质证直角，从而判定四边形AEBD是矩 形．(2)中添加条件后可证得矩形的一组邻边相等，即 可判定该矩形是正方形． 知2－讲 例3 如图，已知在▱ ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E 是BD的延长线上的点，且EA＝EC. (1)求证：四边形ABCD是菱形； (2)若∠DAC＝∠EAD＋∠AED， 求证：四边形ABCD是正方形． 要证▱ ABCD是正方形，有三种途径可走：即在平行四 边形、菱形、矩形的基础上，找各需补充的对角线的 条件进行证明；若要证明▱ ABCD是菱形，由于题中条 件与对角线相关，则需证AC⊥BD. 导引： 知2－讲 (1)首先根据平行四边形的性质可得AO＝CO，再由EA ＝EC可得△EAC是等腰三角形，然后根据等腰三角 形三线合一的性质可得EO⊥AC，根据对角线互相 垂直的平行四边形是菱形可证出结论； (2)首先根据角的关系得出AO＝DO，进而得到AC＝ BD，再根据对角线相等的菱形是正方形可得到结 论． 知2－讲 (1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO＝CO， ∵EA＝EC，∴EO⊥AC，即BD⊥AC， ∴四边形ABCD是菱形． (2)∵∠ADO＝∠EAD＋∠AED， ∠DAC＝∠EAD＋∠AED， ∴∠ADO＝∠DAC，∴AO＝DO， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC＝2AO，BD＝2DO， ∴AC＝BD，∴四边形ABCD是正方形. 证明： 知2－讲 证明条件中含对角线的四边形是正方形的方法： (1)证：“四边形＋对角线互相垂直、平分且相等”； (2)证：“平行四边形＋对角线互相垂直且相等”； (3)证：“矩形＋对角线互相垂直”； (4)证：“菱形＋对角线相等”． 1 如图，把一张矩形纸片折叠，把重叠部分剪下来， 展开后可以得到一个怎样的四边形？为什么？ 知2－练 （来自教材） 正方形．因为有三个角是直角， 所以是矩形，由折叠可知一组邻 边相等，所以是正方形． 解： 知2－练 2 【中考·黑龙江】如图，在菱形ABCD中，对角 线AC，BD相交于点O，不添加任何辅助线，请 添加一个条件___________________________， 使四边形ABCD是正方形． ∠BAD＝90°(答案不唯一) 知2－练 3 【中考·益阳】下列判断错误的是(　　) A．两组对边分别相等的四边形是平行四边形 B．四个内角都相等的四边形是矩形 C．四条边都相等的四边形是菱形 D．两条对角线垂直且互相平分的四边形是正 方形 D 知2－练 4 【中考·河北】关于▱ ABCD的叙述，正确的是(　 　) A．若AB⊥BC，则▱ ABCD是菱形 B．若AC⊥BD，则▱ ABCD是正方形 C．若AC＝BD，则▱ ABCD是矩形 D．若AB＝AD，则▱ ABCD是正方形 C 知2－练 5 【中考·日照】小明在学习了正方形之后，给同桌 小文出了道题，从下列四个条件：①AB＝BC； ②∠ABC＝90°；③AC＝BD；④AC⊥BD中选两 个作为补充条件，使▱ ABCD为正方形(如图)，现 有下列四种选法，你认为其中错误的是(　　) A．①② B．②③ C．①③ D．②④ B 知2－练 6 在△ABC中，点D，E，F分别在BC，AB，CA上， 且DE∥CA，DF∥BA，连接EF，AD，则下列三 种说法： ①如果EF＝AD，那么四边形AEDF是矩形； ②如果EF⊥AD，那么四边形AEDF是菱形； ③如果AD⊥BC且AB＝AC，那么四边形AEDF是 正方形，其中正确的有(　　) A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 B 1 1. 判定方法： (1)从四边形出发：①有四条边相等，四个角都是直角 的四边形是正方形；②对角线互相平分、垂直且相 等的四边形是正方形； (2)从平行四边形出发：①有一组邻边相等并且有一个 角是直角的平行四边形是正方形；②对角线互相垂 直且相等的平行四边形是正方形； (3)从矩形出发：①有一组邻边相等的矩形是正方形； ②对角线互相垂直的矩形是正方形； (4)从菱形出发：①有一个角是直角的菱形是正方形； ②对角线相等的菱形是正方形． 2. 四边形间的关系： (1)平行四边形、矩形、菱形、 正方形间的包含关系如图. (2)四边形、平行四边形、矩形、菱形、正方形间的转 化关系如图： 四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，假设有下 列条件：①AB＝AD; ②∠DAB＝90°； ③AO＝CO，BO＝DO; ④四边形ABCD为矩形； ⑤四边形ABCD为菱形； ⑥四边形ABCD为正方形. 则下列推理不成立的是(　　) A．①④⇒⑥ B．①③⇒⑤ C．①②⇒⑥ D．②③⇒④ 2 易错小结 易错点：将特殊四边形的判定相混淆导致出错 C 请完成《典中点》 Ⅱ 、 Ⅲ板块 对应习题！