八年级下数学课件《正方形的判定》课件_冀教版

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八年级下数学课件《正方形的判定》课件_冀教版

第二十二章 四边形 22.6 正方形 第2课时 正方形的判定 1 u正方形的对称性 u正方形的判定 2 逐点 导讲练 课堂 小结 作业 提升 相传,上古神话人物伏羲在黄河边行走,得到龙 马送来的“河图”(如下图所示),在洛水边又得到神 龟送来的“洛书”.“河图”、“洛书”是几千年前的 两幅图象,是正方形的图案,由点和线交织而成,充 满了巧妙的数字关系,说明中华祖先很早对于几何和 代数的研究. 充分显示了中华祖先的聪明才智. 1 正方形的对称性 知1-导 O A B C D (A) (B)(C) (D) 正方形的对称性: 正方形是中心对称图形, 对称中心为点O; 又是轴对称图形,有四 条对称轴. 知1-讲 例1 如图,点E在正方形ABCD的对角线AC上,且EC =2AE,直角三角形FEG的两直角边EF、EG分别 交BC、DC于点M、N.若正方形ABCD的边长为a, 则重叠部分四边形EMCN的面积为(  ) A. a2   B. a2    C. a2   D. a2 2 3 1 4 5 9 4 9 D 作EP⊥BC于点P,EQ⊥CD于点Q,易得△EPM ≌ △EQN,利用四边形EMCN的面积等于正方形 PCQE的面积求解. 作EP⊥BC于点P,EQ⊥CD于点Q, ∵四边形ABCD是正方形,∴∠BCD=90°, 又∵∠EPM=∠EQN=90°,∴∠PEQ=90°, ∴∠PEM+∠MEQ=90°, ∵三角形FEG是直角三角形,∴∠NEF=∠NEQ+ ∠MEQ=90°,∴∠PEM=∠NEQ, ∵CA是∠BCD的角平分线,∠EPC=∠EQC=90°, ∴EP=EQ,四边形PCQE是正方形, 知1-讲 导引: 在△EPM和△EQN中, ∴△EPM≌ △EQN(ASA),∴S△EQN=S△EPM, ∴四边形EMCN的面积等于正方形PCQE的面积, ∵正方形ABCD的边长为a,∴AC= a, ∵EC=2AE,∴EC= a,∴EP=PC= a, ∴正方形PCQE的面积= a× a= a2, ∴四边形EMCN的面积= a2. 知1-讲 , , , PEM NEQ EP EQ EPM EQN         2 2 2 3 2 3 2 3 2 3 4 9 4 9 知1-讲 本例解法在于巧用割补法,将分散的图形拼合在 一起,将不规则的阴影面积集中到一个规则的图形中, 再利用正方形及三角形的性质求出,解答过程体现了 割补法及转化思想. 知1-练 (来自教材) 已知:如图,正方形ABCD的两条对角线相交于 点O,点M,N分别在OA,OD上,且MN∥AD. 请探究线段DM和CN之间的数量关系, 写出结 论并给出证明. 1 知1-练 (来自教材) DM=CN. 证明:∵四边形ABCD是正方形, ∴OA=OD,AD=DC,∠DAM=∠CDN =45°. 又∵MN∥AD, ∴OM=ON.∴AM=DN. ∴△AMD≌ △DNC. ∴DM=CN. 解: 知1-练 (来自教材) 已知:如图,正方形ABCD的两条对角线相交于 点O,E为OC上一点, AM⊥BE,垂足为M, AM与DB相交于点F. 求证:OE=OF. 2 知1-练 (来自教材) 在正方形ABCD中,OA=OB, ∠BOC=∠AOF=90°. ∵在Rt△AME中,∠EAM+∠AEM=90°, 在Rt△AOF中,∠FAO+∠AFO=90°, ∴∠AEM=∠AFO. ∴△AOF≌ △BOE. ∴OE=OF. 证明: 知1-练 3 【中考·南京】如图,菱形ABCD的面积为120 cm2, 正方形AECF的面积为50 cm2,则菱形的边长为 ________.13cm 知1-练 4 【中考·台州】小红用次数最少的对折方法验证 了一条四边形丝巾的形状是正方形,她对折了(   ) A.1次  B.2次 C.3次 D.4次 B 知1-练 5 将五个边长都为2 cm的正方形按如图所示方式 摆放,点A,B,C,D分别是四个正方形的中 心,则图中四块阴影部分面积的和为(  ) A.2 cm2 B.4 cm2 C.6 cm2 D.8 cm2 B 2 正方形的判定 思考 正方形有哪些性质?如何判定一个四边形是正方形? 把它们写出来, 并和同学交流一下,然后证明其中的 一些结论. 知2-导 知2-导 正方形 矩形 有一组邻边相等 菱形 有一个角是直角 有一组邻边相等 有一个角是直角 平行四边形 有一个角是直角有一组邻边相等 知2-导 正方形的判定方法:要判定一个四边形是正方形,最 常用的方法就是先证明它是菱形(或矩形),再证明这 个菱形(或矩形)有一个角是直角(或有一组邻边相等), 其实质就是根据正方形的定义来判定,当然也可以先 证四边形是平行四边形,再证有一组邻边相等且有一 个角是直角,或证这个平行四边形的对角线相等并且 互相垂直. 知2-讲 例2 [中考·铁岭]如图,△ABC中,AB=AC,AD是 △ABC的角平分线,点O为AB的中点,连接DO并 延长到点E,使OE=OD,连接AE,BE. (1)求证:四边形AEBD是矩形. (2)当△ABC满足什么条件时,矩形AEBD是正方 形?并说明理由. 知2-讲 (1)利用平行四边形的判定方法首先得出四边形 AEBD是平行四边形,进而由等腰三角形的 性质得出∠ADB=90°,即可证得结论; (2)利用等腰直角三角形的性质得出AD=BD= CD,进而利用正方形的判定方法即可判定 矩形AEBD是正方形. 导引: 知2-讲 (1)证明:∵点O为AB的中点,OE=OD, ∴四边形AEBD是平行四边形. ∵AB=AC,AD是△ABC的角平分线, ∴AD⊥BC.∴∠ADB=90°. ∴平行四边形AEBD是矩形. (2)解:当∠BAC=90°时,矩形AEBD是正方形. 理由:∵∠BAC=90°,AB=AC,AD是△ABC 的角平分线,∴AD=BD=CD. ∵由(1)得四边形AEBD是矩形, ∴矩形AEBD是正方形. 知2-讲 本题运用演绎推理解答,(1)中根据对角线互相平 分判定四边形AEBD是平行四边形,再由等腰三角形 三线合一的性质证直角,从而判定四边形AEBD是矩 形.(2)中添加条件后可证得矩形的一组邻边相等,即 可判定该矩形是正方形. 知2-讲 例3 如图,已知在▱ ABCD中,对角线AC,BD交于点O,E 是BD的延长线上的点,且EA=EC. (1)求证:四边形ABCD是菱形; (2)若∠DAC=∠EAD+∠AED, 求证:四边形ABCD是正方形. 要证▱ ABCD是正方形,有三种途径可走:即在平行四 边形、菱形、矩形的基础上,找各需补充的对角线的 条件进行证明;若要证明▱ ABCD是菱形,由于题中条 件与对角线相关,则需证AC⊥BD. 导引: 知2-讲 (1)首先根据平行四边形的性质可得AO=CO,再由EA =EC可得△EAC是等腰三角形,然后根据等腰三角 形三线合一的性质可得EO⊥AC,根据对角线互相 垂直的平行四边形是菱形可证出结论; (2)首先根据角的关系得出AO=DO,进而得到AC= BD,再根据对角线相等的菱形是正方形可得到结 论. 知2-讲 (1)∵四边形ABCD是平行四边形,∴AO=CO, ∵EA=EC,∴EO⊥AC,即BD⊥AC, ∴四边形ABCD是菱形. (2)∵∠ADO=∠EAD+∠AED, ∠DAC=∠EAD+∠AED, ∴∠ADO=∠DAC,∴AO=DO, ∵四边形ABCD是菱形, ∴AC=2AO,BD=2DO, ∴AC=BD,∴四边形ABCD是正方形. 证明: 知2-讲 证明条件中含对角线的四边形是正方形的方法: (1)证:“四边形+对角线互相垂直、平分且相等”; (2)证:“平行四边形+对角线互相垂直且相等”; (3)证:“矩形+对角线互相垂直”; (4)证:“菱形+对角线相等”. 1 如图,把一张矩形纸片折叠,把重叠部分剪下来, 展开后可以得到一个怎样的四边形?为什么? 知2-练 (来自教材) 正方形.因为有三个角是直角, 所以是矩形,由折叠可知一组邻 边相等,所以是正方形. 解: 知2-练 2 【中考·黑龙江】如图,在菱形ABCD中,对角 线AC,BD相交于点O,不添加任何辅助线,请 添加一个条件___________________________, 使四边形ABCD是正方形. ∠BAD=90°(答案不唯一) 知2-练 3 【中考·益阳】下列判断错误的是(  ) A.两组对边分别相等的四边形是平行四边形 B.四个内角都相等的四边形是矩形 C.四条边都相等的四边形是菱形 D.两条对角线垂直且互相平分的四边形是正 方形 D 知2-练 4 【中考·河北】关于▱ ABCD的叙述,正确的是(   ) A.若AB⊥BC,则▱ ABCD是菱形 B.若AC⊥BD,则▱ ABCD是正方形 C.若AC=BD,则▱ ABCD是矩形 D.若AB=AD,则▱ ABCD是正方形 C 知2-练 5 【中考·日照】小明在学习了正方形之后,给同桌 小文出了道题,从下列四个条件:①AB=BC; ②∠ABC=90°;③AC=BD;④AC⊥BD中选两 个作为补充条件,使▱ ABCD为正方形(如图),现 有下列四种选法,你认为其中错误的是(  ) A.①② B.②③ C.①③ D.②④ B 知2-练 6 在△ABC中,点D,E,F分别在BC,AB,CA上, 且DE∥CA,DF∥BA,连接EF,AD,则下列三 种说法: ①如果EF=AD,那么四边形AEDF是矩形; ②如果EF⊥AD,那么四边形AEDF是菱形; ③如果AD⊥BC且AB=AC,那么四边形AEDF是 正方形,其中正确的有(  ) A.3个 B.2个 C.1个 D.0个 B 1 1. 判定方法: (1)从四边形出发:①有四条边相等,四个角都是直角 的四边形是正方形;②对角线互相平分、垂直且相 等的四边形是正方形; (2)从平行四边形出发:①有一组邻边相等并且有一个 角是直角的平行四边形是正方形;②对角线互相垂 直且相等的平行四边形是正方形; (3)从矩形出发:①有一组邻边相等的矩形是正方形; ②对角线互相垂直的矩形是正方形; (4)从菱形出发:①有一个角是直角的菱形是正方形; ②对角线相等的菱形是正方形. 2. 四边形间的关系: (1)平行四边形、矩形、菱形、 正方形间的包含关系如图. (2)四边形、平行四边形、矩形、菱形、正方形间的转 化关系如图: 四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O,假设有下 列条件:①AB=AD; ②∠DAB=90°; ③AO=CO,BO=DO; ④四边形ABCD为矩形; ⑤四边形ABCD为菱形; ⑥四边形ABCD为正方形. 则下列推理不成立的是(  ) A.①④⇒⑥ B.①③⇒⑤ C.①②⇒⑥ D.②③⇒④ 2 易错小结 易错点:将特殊四边形的判定相混淆导致出错 C 请完成《典中点》 Ⅱ 、 Ⅲ板块 对应习题!
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