【精品讲义】人教版 八年级下册寒假同步课程（培优版）3勾股定理

【精品讲义】人教版 八年级下册寒假同步课程（培优版）3勾股定理

1 内容 基本要求 略高要求 较高要求 勾股定理 及逆定理 已知直角三角形两边 长，求第三条边 会用勾股定理解决简单问题；会用勾股 定理的逆定理判定三角形是否为直角 三角形 会运用勾股定理解决有关的 实际问题。 1． 勾股定理的内容： 如果直角三角形的两直角边分别是 a、b，斜边为 c，那么 a2＋b2＝c2．即直角三角形中两直角边的平方 和等于斜边的平方。 注：勾——最短的边、股——较长的直角边、 弦——斜边。 C A B 图2 c b a 2．勾股定理的证明： （1）方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图所示的正方形：  2 2 2 2 2 14 2 . ABCDS a b c ab a b c         正方形 （2）方法二:将四个全等的直角三角形拼成如图所示的正方形：  22 2 2 2 14 2 . S c a b ab a b c        正方形EFGH （3）方法三：“总统”法.如图所示将两个直角三角形拼成直角梯形： 2( )( ) 1 122 2 2ABCD a b a bS ab c    梯形 2 2 2 .a b c   勾股定理 2 3．勾股定理的逆定理： 如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。即 2 2 2, ,ABC AC BC AB ABC   在 中 如果 那么 是直角三角形 。 4．勾股数： 满足 a2 +b2=c2 的三个正整数，称为勾股数．勾股数扩大相同倍数后，仍为勾股数．常用勾股数：3、4、 5； 5、12、13；7、24、25；8、15、17。 例题精讲 【例 1】 下列说法正确的是（ ） A. 若 a b c， ， 是 ABC 的三边，则 2 2 2a b c  B. 若 a b c， ， 是 Rt ABC 的三边，则 2 2 2a b c  C. 若 a b c， ， 是 Rt ABC 的三边， 90A   ，则 2 2 2a b c  D. 若 a b c， ， 是 Rt ABC 的三边， 90C   ，则 2 2 2a b c  【解析】在直角三角形中,才可应用勾股定理.其次,要注意边和角的对应.选 D. 【答案】D 【例 2】 若一个直角三角形三边的长分别是三个连续的自然数，则这个三角形的周长为 【解析】可知三边为3 4 5， ， ，所以周长为12 【答案】12 3 【例 3】 已知直角三角形的两边长分别为 3、4，求第三边长. 【解析】①当两直角边为 3 和 4 时，第三边长为 2 23 4 25 5   ； ②当斜边为 4，一直角边为 3 时，第三边长为 2 24 3 7  . 【答案】 5 或 7 【例 4】 已知直角三角形两边 x ， y 的长满足 2 24 5 6 0x y y     ，则第三边长为______________． 【解析】根据绝对值和平方根的非负性可知： 2 2 或 13 或 5 ． 【答案】 2 2 或 13 或 5 【例 5】 如图，一个长为10 米的梯子，斜靠在墙上，梯子的顶端距离地面的垂直距离为8米，如果梯子的 顶端下滑1米，那么，梯子底端的滑动距离 米（填“大于”、“等于”、“小于”） 【解析】由勾股定理可知：大于 【答案】大于 【例 6】 三角形的三边长分别为 6,8,10，它的最短边上的高为( ) A. 6 B. 4.5 C. 2.4 D.8 【解析】本题易错.最短边为 6，它的高为 8.选 D . 【答案】D 【例 7】 如果把直角三角形的两条直角边同时扩大到原来的 2 倍，那么斜边扩大到原来的( ) A. 1 倍 B. 2 倍 C. 3 倍 D. 4 倍 【解析】省略 【答案】B 【例 8】 如图，一根高8米的旗杆被风吹断倒地，旗杆顶端 A 触地处到旗杆底部 B 的距离为 6 米，则折断 点 C 到旗杆底部 B 的距离为 【解析】设 BC x 米，则  8AC x  米，因为 6AB  米，根据勾股定理可得：  22 26 8x x   ，解答 7 4x  ， 故折断点 C 到旗杆底部的距离为 7 4 米 【答案】 7 4 【例 9】 已知，如图所示，折叠长方形的一边 AD ，使点 D 落在 BC 边的点 F 处，如果 8cmAB  ， 4 10cmBC  ，求 EC 的长． 【解析】由题意得， 10cmAF AD  . 在 ABF 中，应用勾股定理得， 6cmBF  . 所以 10 6 4FC BC BF     . 在 CEF 中，应用勾股定理，设 cmEC x ，得  2 2 28 4x x   . 解得 3x  即 3cmEC  . 【答案】 3cm 【例 10】 如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为 1，则网格上的三角形 ABC 中，边长为无理数的 边数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【解析】直接计算,只有 AC=5,为有理数.所以边长为无理数的边数为 2.选 C. 【答案】C 【例 11】 如图，以一个直角三角形的三边为边长分别向外作三个正方形，如果两个较大正方形的面积分 别是 576 和 676 ，那么最小的正方形的面积为 【解析】省略 【答案】100 【例 12】 某片绿地的形状如图所示，其中 60A   ， AB BC ， AD CD ， 200mAB  ， 100mCD  ， 求 AD 、 BC 的长（精确到 1m， 3 1.732 ）. 5 D C B A E D C B A 【解析】延长 AD 、 BC 交于点 E ， 在 Rt ABE 中， 60A   ，则 30E   ， 由 200mAB  ，得 400mAE  ， 从而 2 2BE AE AB  2 2400 200  200 3 m. 在 Rt CDE 中，∵ 30E   ， 100mCD  ， ∴ 200mCE  ， 从而 2 2DE CE CD  2 2200 100  100 3 m ， ∴ AD AE DE  400 100 3  227 m ， BC BE CE  200 3 200  146 m. 【答案】 227 146AD m BC m ， 【例 13】 如图，M 是 Rt ABC 斜边 AB 的中点，P ，Q 分别在 AC ，BC 上，PM MQ ，判断 PQ ， AP 与 BQ 的数量关系并证明你的结论． Q P M C B A 【解析】 2 2 2PQ AP BQ  ． 延长 QM 到 N ，使 MN QM ，连结 AN 、 PN ． 显然 PMQ PMN ≌ ， AMN BMQ ≌ ∴ PN PQ ， AN BQ ， MBQ MAN   ∵ 90CAB ABC     ∴ 90PAN PAM MAN       ∴ APN 为直角三角形． ∴ 2 2 2PQ AP BQ  ． N A B C M P Q 【答案】见解析 【例 14】 直角三角形中一直角边的长为 9，另两边为连续自然数，则直角三角形的周长为（ ） A．121 B．120 C．90 D．不能确定 【解析】整体代入法.应用平方差公式.选 C. 【答案】C 6 【例 15】 如图，已知 Rt △ ABC 的周长为 2 6 ，其中斜边 2AB  ，求这个三角形的面积. 【解析】在 Rt △ ABC 中，根据勾股定理，得 2 2 22a b  ， 即 2( ) 2 4a b ab   。 又由已知得 6a b  ,所以 2( 6) 2 4ab  。 解得 1ab  .所以 1 1 2 2S ab  . 【答案】 1 2S  【例 16】 在 Rt ABC 中， 90C   ，若 5 4a b c  ， ，则 ABCS  . 【解析】 在 Rt ABC 中,由勾股定理得， 2 2 2a b c  . 又有  2 2 2 2a b a b ab    , 所以  2 2 2a b c ab   所以 1 9 2 4ABCS ab   . 【答案】 9 4ABCS  【例 17】 如图，学校有一块长方形花铺，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花铺内走出了一条“路”．他 们仅仅少走了 步路（假设 2 步为 1 米），却踩伤了花草． “路” 4m 3m 【解析】直接应用勾股定理可知,少走了 5m.又知 2 步为 1 米,所以少走了 10 步. 【答案】10 【例 18】 一个矩形的抽斗长为 24cm，宽为 7cm,在里面放一根铁条，那么铁条最长可以是 ． 【解析】 题目要求只在平面状态下考虑,所以直接用勾股定理可知铁条最长为 25. 【答案】 25 【例 19】 蚂蚁沿图中的折线从 A 点爬到 D 点，一共爬了多少厘米？（小方格的边长为 1 厘米） 7 D A C C B A D 【解析】把折线从 A 到 D,分三段计算.第 1 段长为 5,第 2 段长为 13,第 3 段长为 10,进行加法计算,所以蚂蚁 一共爬了 28cm . 【答案】 28cm 【例 20】 一架 25 分米长的梯子，斜立在一竖直的墙上，这时梯足距离墙底端 7 分米.如果梯子的顶端沿 墙下滑 4 分米，那么梯足将滑动( ) A. 9 分米 B. 15 分米 C. 5 分米 D. 8 分米 【解析】在初始和结束两个状态下,选定直角三角形,应用勾股定理. 初始时,经计算,可知,梯顶距墙底端 24 分米. 结束时,经计算,可知,梯足距离墙底端 15 分米.选 D. 【答案】D 【例 21】 放学以后，小红和小颖从学校分手，分别沿东南方向和西南方向回家，若小红和小颖行走的速 度都是 40 米/分，小红用 15 分钟到家，小颖 20 分钟到家，小红和小颖家的直线距离为（ ） A．600 米 B. 800 米 C. 1000 米 D. 不能确定 【解析】速度一定且相同，路程比=时间比.再用勾股定理，直线距离应该是 25 分钟的路程.选 C. 【答案】C 【例 22】 如图，将一根 25 ㎝长的细木棒放入长、宽、高分别为 8 ㎝、6 ㎝和 10 3 ㎝的长方体无盖盒子 中，求细木棒露在盒外面的最短长度是多少？ 【解析】这是立体几何问题.盒子内两点间最长距离是长方体的斜对角线. L= 2 28 6 3  2（10 ） =20cm. 细木棒露在盒外面的最短长度是 25-20=5cm. 【答案】 5cm 【例 23】 将一根长为 24cm 的筷子，置于底面直径为5cm ，高为12cm 的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子 外边的长度为 cmh ，则 h 的取值范围为 8 【解析】省略 【答案】 2.3cm 课后作业 【习题 1】在 Rt ABC 中， 90C   ， （1）如果 3 4a b ， ，则 c  _______； （2）如果 6 8a b ， ，则 c  _______； （3）如果 5 12a b ， ，则 c  ________； （4）如果 15 20a b ， ，则 c  ________. 【解析】直接应用勾股定理,且 c 为斜边. (1)5；(2)10；(3)13；(4)25. 【答案】(1)5；(2)10；(3)13；(4)25 【习题 2】一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边长分别为 ． 【解析】勾股数中只有唯一的一组:6,8,10. 【答案】6，8，10 【习题 3】如果梯子的底端距离墙根的水平距离是 9m ，那么15m 长的梯子可以达到的高度为 【解析】在直角三角形中,直接应用勾股定理.可得高度为12 【答案】12m 9 【习题 4】如图,点 P 是 AOB 的角平分线上一点，过点 P 作 / /PC OA 交 OB 于点 C .若 60 , 4AOB OC   , 则点 P 到 OA 的距离 PD 等于__________. P O D C B A E P O D C B A 【解析】过 P 点作 PE OB ，并交OB 于点 E . ∵ 60 ,AOB OP   是 AOB 的角平分线， ∴ 6 30BOP    . 又∵ / /PC OA ， ∴ 60PCB AOB     . ∴ 30OPC BOP BPC      . ∴ 14, 22PC OC EC PC    . ∴ 2 2 2 3PB PC EC   . 【答案】 2 3 【习题 5】如图所示，在 ABC 中，三边 a b c， ， 的大小关系是（ ） A. a b c  B. c a b  C. c b a  D. b a c  【解析】a= 10 ,b= 5 ,c= 13 . 选 D. 【答案】D 【习题 6】在三角形 ABC 中，已知 2 3 2AB AC BC ， ， 边上的高 3AD  ，求边 BC 的长 【解析】本题有两种情况： ⑴ 高 AD 在 三 角 形 内 ， 如 图 1 ， 分 别 在 Rt ABD 和 Rt ACD 中 ， 求 得    2 2 2 3 3 3 1BD CD   ， ,所以 4BC BD CD   ⑵高 AD 在三角形外，如图 2，同样可求得 3 1BD CD ， ，则 2BC BD CD   10 【答案】见解析 【习题 7】如图，已知 ABC 和 ECD 都是等腰直角三角形， 90ACB DCE D    ， 为 AD 边上一点，求 证： 2 2 2AD AE DE  【解析】因为 EC DC ， AC BC ACE BCD   ， ，所以可知 ACE BCD ≌ ,所以 90EAD   ，得证 【答案】见解析