巩固练05一次函数-2020年【衔接教材·暑假作业】八年级数学（人教版）（解析版） (11)

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巩固练04 菱形、正方形 根据相关知识完成下表：‎ 图形 定义 性质 判定 邻边 相等 ‎ 的平行四边 形是菱形。‎ 具有平行四边形的一切性质。‎ 特殊点： ‎ 边：四条边都相等 ‎ AB=BC=CD=AD ；‎ 对角线： 相互垂直且平分每一组对角。 即AC⊥BD，AC平分∠BAD与∠DCB，BD平分∠ADC与∠ABC ；‎ 对称性： 是中心对称图形，也是轴对称图形。 ；‎ 直接判定：四条边都 相等 ‎ 的四边形是菱形 平行四边形判定:‎ ‎①邻边 相等 的平行四边形是菱形。‎ ‎②对角线 相互垂直 的平行四边形是菱形。‎ 有一组临边 ‎ 相等且有一个角是 ‎ 直角 的平行四边形是矩形。‎ 具有平行四边形的一切性质；‎ 具有矩形的一切性质； ‎ 具有菱形的一切性质。‎ 直接判定：四条边都 相等 ‎ 且四个角都是 直角 的四边形是正方形。‎ 矩形（菱形）判定：‎ ‎①邻边 相等 的矩形是正方形。‎ ‎②对角线 相互垂直 的矩形是正方形。‎ ‎③有一个角是 直角 的菱形是正方形。‎ ‎④对角线 相等 的菱形是正方形、‎ 3‎ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！‎ 中点四边形：连接四边形四条边的 中点 得到的新的四边形。‎ ‎①任意四边形的中点四边形是 平行四边形 ；②对角线相等的四边形的中点四边形是 菱形 ；③对角线相互垂直的四边形的中点四边形是 矩形 。‎ ‎1．如图，菱形ABCD的周长为16，∠ABC＝120°，则AC的长为（　　）‎ A．4 B．4 C．2 D．2‎ ‎【分析】连接AC交BD于点E，则∠ABE＝60°，根据菱形的周长求出AB的长度，在RT△ABE中，求出BE，继而可得出BD的长．‎ ‎【解答】解：在菱形ABCD中，‎ ‎∵∠ABC＝120°，‎ ‎∴∠ABE＝60°，AC⊥BD，‎ ‎∵菱形ABCD的周长为16，‎ ‎∴AB＝4，‎ 在RT△ABE中，，‎ 故可得． 故选：A．‎ ‎2．菱形和矩形一定都具有的性质是（　　）‎ A．对角线相等 B．对角线互相垂直 ‎ C．对角线互相平分且相等 D．对角线互相平分 ‎【分析】根据矩形的对角线的性质（对角线互相平分且相等），菱形的对角线性质（对角线互相垂直平分）可解．‎ ‎【解答】解：菱形的对角线互相垂直且平分，矩形的对角线相等且平分．菱形和矩形一定都具有的性质是对角线互相平分．‎ 故选：D．‎ ‎3．菱形的两条对角线长分别为9cm与4cm，则此菱形的面积为（　　）cm2．‎ A．12 B．18 C．20 D．36‎ ‎【分析】已知对角线的长度，根据菱形的面积计算公式即可计算菱形的面积．‎ 3‎ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！‎ ‎【解答】解：根据对角线的长可以求得菱形的面积，‎ 根据， 故选：B．‎ ‎4．如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD交于点O，若增加一个条件，使▱ABCD成为菱形，下列给出的条件不正确的是（　　）‎ A．AB＝AD B．AC⊥BD C．AC＝BD D．∠BAC＝∠DAC ‎【分析】根据菱形的定义和判定定理即可作出判断．‎ ‎【解答】解：A、根据菱形的定义可得，当AB＝AD时▱ABCD是菱形；‎ B、根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形即可判断，▱ABCD是菱形；‎ C、对角线相等的平行四边形是矩形，不一定是菱形，命题错误；‎ D、∠BAC＝∠DAC时，‎ 3‎ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！‎ ‎∵▱ABCD中，AD∥BC，‎ ‎∴∠ACB＝∠DAC，‎ ‎∴∠BAC＝∠ACB，‎ ‎∴AB＝BC，‎ ‎∴▱ABCD是菱形．‎ ‎∴∠BAC＝∠DAC．故命题正确．‎ 3‎ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！‎ 故选：C．‎ ‎5．在四边形ABCD中，O是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的条件是（　　）‎ A．AC＝BD，AB∥CD，AB＝CD B．AD∥BC，∠A＝∠C ‎ C．AO＝BO＝CO＝DO，AC⊥BD D．AO＝CO，BO＝DO，AB＝BC ‎【分析】根据正方形的判定：对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形进行分析从而得到最后答案．‎ ‎【解答】解：A，不能，只能判定为矩形；‎ B，不能，只能判定为平行四边形；‎ C，能；‎ D，不能，只能判定为菱形．‎ 故选：C．‎ ‎6．如图，以正方形ABCD的中心为原点建立平面直角坐标系，点A的坐标为（2，2），则点D的坐标为（　　）‎ A．（2，2） B．（﹣2，2） C．（﹣2，﹣2） D．（2，﹣2）‎ ‎【分析】根据题意得：A与B关于x轴对称，A与D关于y轴对称，A与C 12‎ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！‎ 关于原点对称，进而得出答案．‎ ‎【解答】解：如图所示：∵以正方形ABCD的中心O为原点建立坐标系，点A的坐标为（2，2），‎ ‎∴点B、C、D的坐标分别为：（2，﹣2），（﹣2，﹣2），（﹣2，2）．‎ 故选：B．‎ ‎7．正方形ABCD的对角线AC的长是12cm，则边长AB的长是（　　）‎ A．6 B．2 C．6 D．8‎ ‎【分析】根据正方形的性质即可求出其边长AB的长度．‎ ‎【解答】解：在正方形ABCD中，‎ AB＝BC，‎ ‎∴由勾股定理可知：AB2+BC2＝AC2，‎ ‎∴， 故选：A．‎ ‎8．如图，正方形ABCD的边长为4，点E在对角线BD上，且∠BAE＝22.5°，EF⊥AB，垂足为F，则EF的长为（　　）‎ A．1 B． C．4﹣2 D．3﹣4‎ ‎【分析】根据正方形的对角线平分一组对角可得∠ABD＝∠ADB＝45°，再求出∠DAE的度数，根据三角形的内角和定理求∠AED，从而得到∠DAE＝∠AED，再根据等角对等边的性质得到AD＝DE，然后求出正方形的对角线BD，再求出BE，最后根据等腰直角三角形的直角边与斜边的关系算即可得解．‎ ‎【解答】解：在正方形ABCD中，∠ABD＝∠ADB＝45°，‎ ‎∵∠BAE＝22.5°， ∴∠DAE＝90°﹣∠BAE＝90°﹣22.5°＝67.5°，‎ 在△ADE中，∠AED＝180°﹣45°﹣67.5°＝67.5°，‎ ‎∴∠DAE＝∠AED， ∴AD＝DE＝4，‎ ‎∵正方形的边长为4， ∴，‎ ‎∴，‎ ‎∵EF⊥AB，∠ABD＝45°，‎ ‎∴△BEF是等腰直角三角形，‎ ‎∴．‎ 12‎ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！‎ 故选：C．‎ ‎9．如图，边长为4的正方形ABCD的对角线相交于点O，过点O的直线分别交AD、BC于E、F，则阴影部分的面积是　4　．‎ ‎【分析】根据正方形的性质可以证明△AEO≌CFO，就可以得出S△AEO＝S△CFO，就可以求出△AOD面积等于正方形面积的，根据正方形的面积就可以求出结论．‎ ‎【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，‎ ‎∴AO＝CO，∠EAO＝∠FCO，‎ 在△AOE和△COF中，‎ ‎，‎ ‎∴△AEO≌CFO（ASA）， ∴S△AEO＝S△CFO， ∴S△AOD＝S△DEO+S△CFO，‎ ‎∵S正方形ABCD＝42＝16， ∴S△AOD＝4， ∴阴影部分的面积为4．‎ 故答案为：4．‎ ‎10．如图，菱形ABCD对角线AC，BD交于点O，∠BAD＝60°，点E是AD的中点，OE＝4，则菱形ABCD的面积　32　．‎ ‎【分析】求出菱形的边长即可解决问题．‎ ‎【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，‎ ‎∴AB＝AD，OB＝OD，‎ ‎∵∠BAD＝60°，‎ ‎∴△ABD是等边三角形，‎ ‎∵AE＝DE，OB＝OD，‎ ‎∴AB＝2OE＝8，‎ ‎∴． 故答案为．‎ 12‎ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！‎ ‎11．如图，四边形ABCD中，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点．请你添加一个条件，使四边形EFGH为菱形，应添加的条件是　AC＝BD或EG⊥HF或EF＝FG　．‎ ‎【分析】菱形的判别方法是说明一个四边形为菱形的理论依据，常用三种方法：‎ ‎①定义；‎ ‎②四边相等；‎ ‎③对角线互相垂直平分．据此应添加的条件是AC＝BD，等．‎ ‎【解答】解：添加AC＝BD．‎ 如图，AC＝BD，E、F、G、H分别是线段AB、BC、CD、AD的中点，‎ 则EH、FG分别是△ABD、△BCD的中位线，EF、HG分别是△ACD、△ABC的中位线 ‎∴，‎ ‎∴当AC＝BD时，‎ EH＝FG＝FG＝EF成立，‎ 则四边形EFGH是菱形．‎ ‎∴添加AC＝BD．‎ ‎12．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC．若AC＝4，则四边形CODE的周长是　8　．‎ ‎【分析】先证明四边形CODE是平行四边形，再根据矩形的性质得出OC＝OD，然后证明四边形CODE是菱形，即可求出周长．‎ ‎【解答】解：∵CE∥BD，DE∥AC，‎ ‎∴四边形CODE是平行四边形，‎ ‎∵四边形ABCD是矩形，‎ ‎∴，‎ ‎∴OC＝OD＝2，‎ ‎∴四边形CODE是菱形，‎ ‎∴DE＝CE＝OC＝OD＝2，‎ ‎∴四边形CODE的周长＝2×4＝8；‎ 故答案为：8．‎ 12‎ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！‎ ‎13．如图，已知正方形ABCD与正方形OEFG的边长均为4，O是正方形ABCD的对称中心，则图中阴影部分面积是　4　．‎ ‎【分析】图中阴影部分的面积不在任意的三角形中，所以需构造三角形，设BC与OE相交于M，CD与OG相交于N，连接OC、OB，则易证△OCN≌△OBM，则阴影部分的面积为△OBC的面积．‎ ‎【解答】解：设BC与OE相交于M，CD与OG相交于N，连接OC、OB ‎∵正方形ABCD与正方形OEFG的边长均为4‎ ‎∴‎ 在△OCN和△OBM中，OB＝OC，∠OCN＝∠OBM＝45°，∠CON＝∠BOM ‎∴△OCN≌△OBM，‎ ‎∵O是正方形ABCD的对称中心，‎ ‎△OCB的高等于正方形边长的一半，‎ ‎∴．‎ 故答案为4．‎ ‎14．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，且AC＝16，BD＝12，则菱形ABCD的高DH＝　9.6　．‎ ‎【分析】根据菱形性质得出AC⊥BD，AO＝OC＝8，BO＝OD＝6，根据勾股定理求出AB，根据菱形的面积公式以及等面积法代入求出即可．‎ ‎【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，AC＝16，BD＝12，‎ ‎∴AC⊥BD，，‎ 在Rt△AOB中，由勾股定理得：AB＝10，‎ ‎∵，‎ ‎∴DH＝9.6，‎ 故答案为9.6．‎ ‎15．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC＝8，BD＝6，过点O作OH丄AB，垂足为H，则点O到边AB的距离为　2.4　．‎ ‎【分析】首先利用菱形的性质得出AO＝4，BO＝3，∠AOB＝90°，进而利用勾股定理得出AB 12‎ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！‎ 的长，再利用三角形面积公式求出HO的长．‎ ‎【解答】解：∵菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC＝8，BD＝6，‎ ‎∴AO＝4，BO＝3，∠AOB＝90°，‎ ‎∴在Rt△AOB中，，‎ ‎∵OH⊥AB，‎ ‎∴HO×AB＝AO×BO，‎ ‎∴．‎ 故答案为：2.4．‎ ‎16．如图，正方形ABCD中，AB＝1，点P是对角线AC上的一点，分别以AP、PC为对角线作正方形，则两个小正方形的周长的和是　4　．‎ ‎【分析】设小正方形的边长为x，则较大的正方形的边长为1﹣x，根据周长公式即可求得其周长和．‎ ‎【解答】解：设小正方形的边长为x，则较大的正方形的边长为1﹣x，故两个小正方形的周长和＝4x+4（1﹣x）＝4cm．‎ 故答案为4．‎ ‎17．已知，如图，在平行四边形ABCD中，BF平分∠ABC交AD于点F，AE⊥BF于点O，交BC于点E，连接EF．‎ ‎（1）求证：四边形ABEF是菱形；‎ ‎（2）若AE＝12，BF＝16，CE＝5，求四边形ABCD的面积．‎ ‎【分析】（1）根据平行四边形的性质，和BF平分∠ABC，可得AB＝AF，再证明△ABO≌△EBO得AB＝BE，开证明四边形ABEF是菱形；‎ ‎（2）可以作AG⊥BC于点G，根据勾股定理求得平行四边形ABCD的高AG，即可求得其面积．‎ ‎【解答】解：（1）证明：‎ ‎∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠AFB＝∠FBE，‎ ‎∵BF平分∠ABC， ∴∠ABF＝∠EBF， ∴∠AFB＝∠ABF， ∴AF＝AB，‎ 12‎ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！‎ ‎∵AE⊥BF， ∴∠AOB＝∠EOB＝90°，‎ OB＝OB，‎ ‎∠ABO＝∠EBO，‎ ‎∴△ABO≌△EBO（ASA）， ∴AB＝BE， ∴AF＝BE，‎ 又AF∥BE， ∴四边形ABEF是平行四边形，‎ ‎∵AB＝BE， ∴平行四边形ABEF是菱形．‎ ‎（2）如图，作AG⊥BC于点G，‎ ‎∵四边形ABEF是菱形，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎∴，‎ BE＝10，‎ 设BG＝x，则EG＝BE﹣BG＝10﹣x，‎ ‎∴在Rt△ABG和Rt△AEG中，‎ 根据勾股定理，得AG2＝AB2﹣BG2＝AE2﹣EG2‎ 即102﹣x2＝122﹣（10﹣x）2‎ 解得，‎ ‎∴．‎ ‎∴四边形ABCD的面积为：．‎ ‎18．边长为4的正方形ABCD中，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA上的四等分点，连结EF，FG，GH，HE．‎ ‎（1）求EH的长；‎ ‎（2）求证：∠EHG＝90°；‎ ‎（3）正方形EFGH的面积．‎ ‎【分析】（1）根据题意得：AH＝CF＝1，AE＝CG＝3则可求EH的长．‎ ‎（2）由题意可证△AEH≌△DHG，可得∠AHE＝∠HGD，则结论可证．‎ 12‎ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！‎ ‎（3）先证EFGH为正方形，再由，可求其面积．‎ ‎【解答】解：（1）∵ABCD是正方形 ‎∴AB＝AD＝CD＝BC＝4，∠A＝∠D＝∠C＝∠B＝90°‎ ‎∵E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA上的四等分点 ‎∴BE＝AH＝DG＝CF＝1，AE＝DH＝CG＝BF＝3‎ Rt△AEH中：‎ ‎（2）∵∠A＝∠D，AH＝DG，AE＝DH ‎∴△AHE≌△HDG ‎∴EH＝HG，∠AHE＝∠HGD ‎∵∠HGD+∠DHG＝90°‎ ‎∴∠AHE+∠DHG＝90°‎ ‎∴∠EHG＝90°‎ ‎（3）∵∠A＝∠D＝∠C＝∠B＝90°‎ ‎ BE＝AH＝DG＝CF＝1，AE＝DH＝CG＝BF＝3‎ ‎∴△AHE≌△EFB≌△GFC≌△DHG ‎∴HE＝EF＝HG＝GF ‎∴EFGH为菱形且∠EHG＝90°‎ ‎∴EFGH为正方形 ‎∴SEFGH＝EH2＝10‎ ‎19．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F．‎ ‎（1）求证：△AEF≌△DEB；‎ ‎（2）证明四边形ADCF是菱形；‎ ‎（3）若AC＝4，AB＝5，求菱形ADCF的面积．‎ ‎【分析】（1）根据AAS证△AFE≌△DBE；‎ ‎（2）利用①中全等三角形的对应边相等得到AF＝BD．结合已知条件，利用“有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”得到ADCF是菱形，由“直角三角形斜边的中线等于斜边的一半”得到AD＝DC，从而得出结论；‎ 12‎ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！‎ ‎（3）由直角三角形ABC与菱形有相同的高，根据等积变形求出这个高，代入菱形面积公式可求出结论．‎ ‎【解答】（1）证明：①∵AF∥BC，‎ ‎∴∠AFE＝∠DBE，‎ ‎∵E是AD的中点，AD是BC边上的中线，‎ ‎∴AE＝DE，BD＝CD，‎ 在△AFE和△DBE中，‎ ‎，‎ ‎∴△AFE≌△DBE（AAS）；‎ ‎（2）证明：由（1）知，△AFE≌△DBE，则AF＝DB．‎ ‎∵DB＝DC，‎ ‎∴AF＝CD．‎ ‎∵AF∥BC，‎ ‎∴四边形ADCF是平行四边形，‎ ‎∵∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，‎ ‎∴，‎ ‎∴四边形ADCF是菱形；‎ ‎（3）连接DF，‎ ‎∵AF∥BD，AF＝BD，‎ ‎∴四边形ABDF是平行四边形，‎ ‎∴DF＝AB＝5，‎ ‎∵四边形ADCF是菱形，‎ ‎∴．‎ 12‎ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！‎ ‎20．如图，点G是正方形ABCD对角线CA的延长线上任意一点，以线段AG为边作一个正方形AEFG，线段EB和GD相交于点H．‎ ‎（1）求证：△EAB≌△GAD；‎ ‎（2）若AB＝3，AG＝3，求EB的长．‎ ‎【分析】（1）由四边形ABCD、AGFE是正方形，即可得AB＝AD，AE＝AG，∠DAB＝∠EAG，然后利用SAS即可证得△EAB≌△GAD，‎ ‎（2）由（1）则可得EB＝GD，然后在Rt△ODG中，利用勾股定理即可求得GD的长，继而可得EB的长．‎ ‎【解答】（1）证明：∵四边形ABCD、AGFE是正方形，‎ ‎∴AB＝AD，AE＝AG，∠DAB＝∠EAG，‎ ‎∴∠EAB＝∠GAD，‎ 在△AEB和△AGD中，‎ ‎，‎ ‎∴△EAB≌△GAD（SAS）；‎ ‎（2）∵△EAB≌△GAD，‎ ‎∴EB＝GD，‎ ‎∵四边形ABCD是正方形，，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∵AG＝3，‎ ‎∴OG＝OA+AG＝6，‎ ‎∴，‎ ‎∴．‎ 12‎ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！‎