冀教八下多边形的内角和与外角和课时

冀教八下多边形的内角和与外角和课时

‎22.8 多边形的内角和与外角和（教案）‎ 课 题 ‎ ‎22.8多边形的内角和与外角和 授课教师 教 材 ‎ 冀教版义务教育实验教材八年级下册 教 学目 标[‎ ‎1.了解多边形的有关概念;经历探索多边形的内角和与外角和公式的过程;会应用公式解决问题.‎ ‎2.培养学生把未知转化为已知进行探究的能力，在探究活动中，进一步发展学生的说理能力与简单的推理能力.‎ ‎3.培养学生勇于实践、大胆创新的精神,使学生认识到数学来源于实践,又反过来作用于实践的观点.‎ 重 点 经历探索多边形的内角和与外角和公式的过程.‎ 难 点 ‎1.推导多边形的内角和与外角和公式.‎ ‎2.灵活运用公式解决简单的实际问题.‎ 教学环节 教师活动 学生活动 概 念 的 形 成 ‎1.引导学生观察实物图片,从一张图片中分离出三角形、四边形及六边形.提问：‎ ‎ (1)这些几何图形有什么共同特点?‎ ‎ (2)能否类比三角形的定义给这些图形下个定义?[‎ ‎ 2.观察思考：下面的两个多边形有什么不同?并说明我们今后所说的多边形是指凸多边形.‎ ‎3.教师指出:多边形的边、顶点、内角、外角及对角线的意义与四边形的相同，多边形有几条边就叫做几边形.‎ ‎ 4.动画演示正多边形的图形,类比正三角形的概念，你能得出正多边形的概念吗？‎ ‎1.学生感受到从现实原形中抽象数学模型的过程.结合教师提问,小组进行交流.‎ ‎ ‎ ‎2.学生通过观察,看出凸多边形总在任何一条边所在直线的同一侧；凹多边形在某一条边所在直线的两侧.‎ ‎3.学生归纳出概念: ‎ ‎ (1)由一些不在同一直线上的线段首尾顺次相接组成的平面图形叫做多边形.‎ ‎ (2)在平面内,内角都相等、各边都相等的多边形叫做正多边形.‎ 概 念的 巩固 与反 馈 练习1：请举出分别含有多边形和正多边形的实物或实例.‎ 练习2：指出多边形的边、顶点、一个内角、在点D处的一个外角、从A点引出的对角线以及记法.‎ 思考、回答.及时练习，便于学生理解概念，有利于新知识的内化.‎ 公 式的 探索 与推 证 一、探索与推证多边形的内角和公式 ‎1.提出问题：我们知道，一个三角形的内角和等于180º,如何用三角形的内角和是180度求出四边形，五边形，六边形…n边形的内角和是多少度呢？‎ ‎2.组织学生分组讨论，对于学生可能说的不同方法要及时鼓励.‎ ‎3.教师归纳、整理学生的方法．并指出解决多边形内角和的一般思路：就是将多边形的内角和转化为三角形的内角和，利用三角形的内角和处理.‎ ‎4.（多媒体演示）如果把点P当作一个动点，还可以从多边形外一个点出发，留做课下思考.5.多边形的内角和公式揭示了多边形内角和与边数的关系:已知边数求多边形的内角和;已知多边形内角和求边数.[来]‎ ‎二、探索与推证多边形的外角和公式‎ ‎1.（多媒体演示）米老鼠沿五边形广场沿逆时针方向跑了一圈,提出问题:(1)米老鼠由一条街道转到下一条街道时,身体转过的是哪个角?(2)当米老鼠跑完一圈后,身体转过的角度之和是多少度?‎ ‎2.多媒体演示加强直观效果,得出米老鼠身体转过的角度是五边形的外角,这五个角的和是五边形的外角和.你能给多边形的外角和下个定义吗?‎ ‎3.提问三角形的外角和是360°的解决思路.‎ ‎4.填表:‎ ‎5.教师从实践的角度加以说明:当米老鼠跑完一圈后,又回到原处,方向和当时出发时一致,不管广场是五边形、六边形还是八边形，身体转过的角度之和都是360°.‎ ‎1.学生分组讨论，自主探索，去寻求解决问题的多种方法.‎ ‎2.每一种方法分别找一名学生代表到黑板讲解解决思路.‎ ‎3.学生出现的方法有:(1)从一个顶点出发,将多边形分割为三角形.(2)从边上一个点出发.(3)从多边形内一个点出发.‎ ‎4.学生探索得出:n边形的内角和为(n-2)·180º. ‎ ‎1. 观察、思考、交流.‎ ‎‎ ‎2.类比五边形的外角和定义,得到:在一个多边形的每个顶点处取这个多边形的一个外角,它们的和叫做这个多边形的外角和.‎ ‎3.(1)先求出三个外角与三个内角这六个角的和,为三个平角.(2)再用三个平角减去三角形的内角和,剩下的就是三角形的外角和了.‎ ‎4.填表计算,并说出推理过程.‎ ‎5.验证n边形的外角和为:‎ ‎n· 180°-(n-2)·180°‎ ‎=n·180°-n·180°+360°=360°.‎ 得出:‎ 任意多边形的外角和为360°.与边数无关.‎ 公 式 的巩固与反 馈 例题:已知一个多边形,它的内角和与外角和相等,请说明这个多边形是几边形.‎ ‎ 由师生共同分析,引导学生通过列方程求解完成此题.并通过多媒体示范性演示解题步骤.‎ ‎ 一、基础练习:‎ ‎1正八边形的内角和为 ,外角和为 每个内角度数为 ,每个外角度数为 .‎ ‎2.已知多边形的内角和为900°,则这个多边形的边数为 .‎ ‎3.一个多边形每个内角的度数都是150°,则这个多边形的边数为 .‎ ‎ 二、应用发散:‎ ‎ 1.如图所示的模板,按规定,AB,CD的延长线相交成80°的角,因交点不在板上,不便测量，质检员测得∠BAE=122°，∠DCF=155°.如果你是质检员,如何知道模板是否合格?为什么?‎ ‎2.一个正方形瓷砖,截去一个角后:(1)还剩几个角?(2)剩下的多边形的内角和是多少度?‎ ‎ 三、拓展延伸 ‎ 1.画出下列各多边形的所有对角线,并指出各有多少条对角线?n边形共有多少条对角线?‎ ‎ 2.一次会议有八个人参加,规定会议之前每两个人要握一次手,问一共握了多少次手?‎ 解:设多边形的边数为n,则它的内角和等于(n-2)·180°,外角和等于360°.由(n-2)·180°=360°,解得n=4,所以这个多边形是四边形.‎ ‎ 一、为确保学生对所学公式的掌握,完成基础练习 ‎1.1080°；360°；135°；45°. 2.7.[来 ‎3.12.‎ ‎[‎ 二、为培养学生应用数学知识解决实际问题的能力,解答应用发散题组.‎ ‎ 1.因为五边形的内角和为540°所以∠G=540°－122°－155°－180 °=83°≠80°.‎ 因此,模板不符合规定.‎ ‎2.有三种可能:‎ ‎(1)剩3个角,内角和为180°.‎ ‎(2)还是4个角,内角和为360°.‎ ‎(3)5个角,内角和为540°.‎ ‎ 三、1.分别为2条、5条、9条和20条.‎ ‎2.8+20=28.‎ 小结[‎ ‎与 作业 ‎1.回顾：本节课学习了多边形的那些知识？‎ ‎2.问题：通过本节课的学习，你在解题思 路和方法上有什么收获？‎ ‎3.根据本节课的实际,总结达标情况,重在肯定与表扬.‎ ‎4．作业：P95 1题、P96 6题 ‎1．总结本节课所学的概念、公式.‎ ‎2.通过本节课的学习,体会类比、转化的数学思想 教学设计说明 本节课是冀教版八年级下册《多边形的内角和与外角和》，本节课教学设计力求培养学生的动手实践能力以及用不同方法解决问题的策略．‎ 在“引入环节”的设计上，较好地体现出“数学教学以学生的生活经验为基础，以现实问题情境为依托”的教学理念，从蜂巢、建筑物、物质的结构等实际图案中抽象出几何图形，使同学们感受到多边形的出现并不是空穴来风，而是有着丰富的实际应用背景和潜在的审美价值．‎ 在探究多边形的内角和公式的过程中，采取开放性的课堂研究形式，遵循着从特殊到一般，从具体到抽象，从简单到复杂的认识规律，着重体现化未知为已知的转化思想，面向全体学生，让学生主动参与，在一连串富有逻辑性问题的引导下，充分调动了学生的自主性和创造性，逐层深入，最终使问题得到解决．用米老鼠的动画引出多边形外角和激发学生的学习兴趣，自然进入下一个教学情境，力求使数学问题生活化．‎ 精心设计的开放性习题和探索性习题，始终关注数学与生活的紧密联系，较好地训练了学生的发现思维和求异思维．拓展习题提出的八个人握手的问题，使学生对抽象问题有了直观的解释，较好地培养学生的数学情感以及不断探索的学习精神．‎ 课堂小结是知识和方法的归纳总结，是这节课的画龙点睛之笔．‎ 本节课的设计体现了数学课程与信息技术的整合，充分地创造了一个图文并茂、有声有色、生动逼真的现代教学环境．独巨匠心的问题设计，给学生提供了广阔的思维空间和展示舞台；多方位体现了以学生为主的开放式教学，给人以耳目一新的感觉．‎ ‎22.8多边形的内角和与外角和 教学目标 ‎ ‎1. 理解多边形的有关概念，能利用多边形的内角和公式进行有关计算. ‎ ‎2. 经历探索多边形内角和公式的过程，进一步发展学生的合情推理意识，主动探究的习惯. ‎ ‎3. 通过数学活动，感受实际生活对数学的需要，体会数学知识与现实世界的联系. ‎ 教学重点：多边形的内角和. ‎ 教学难点：探索多边形的内角和公式过程. ‎ 教具准备：三角尺、剪刀、正方形纸片 ‎ 教学过程： ‎ 一、创设情景，引入课题]‎ 引导学生回忆已经学过哪些图形？书桌面是什么形状？作业本的每一张是什么形状？ ‎ 若把长方形的一张纸剪去一角，会出现什么形状的图形 ‎（学生讨论并得出结论：三角形，四边形，五边形） ‎ 二、讲授新课 ‎ ‎1. 多边形的定义： ‎ 在平面内，由若干条不在同一直线上的线段首尾顺次相连组成的封闭图形叫做多边形. ‎ 在定义中应注意：①若干条；②首尾顺次相连，二者缺一不可.多边形有凸多边形和凹多边形之分，如图 把多边形的任何一边向两方延长，如果其他各边都在延长所得直线的同一旁，这样的多边形叫做凸多边形(如图(2))，图(1)的多边形是凹多边形.我们探讨的一般都是凸多边形. ‎ 多边形的边、内角、顶点、对角线、内角和的含义与三角形相同，即： ‎ 边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边 顶点：每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点. ‎ 对角线：在多边形中，连结不相邻两个顶点的线段叫做多边形的对角线. ‎ 内角：多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角. ‎ 如图多边形通常以边数命名，多边形有n条边就叫做n边形.三角形、四边形都属于多边形，其中三角形是边数最少的多边形.多边形的表示方法与三角形、四边形类似.可以用表示它的顶点的字母来表示，如可顺时针方向表示，也可逆时针方向表示，如图(3)，可表示为五边形ABCDE，也可表示为五边形EDCBA. ‎ ‎2. n边形的内角和 ‎ 我们了解了多边形的有关概念后，回答问题： ‎ ‎(1)一个五边形，你能设法求出它的五个内角的和吗？与同学交流 ‎(2)小明、小亮分别利用下面的图形求出了该五边形的五个内角的和，你知道他们是怎么做的吗？ ‎ ‎(3)还有其他的方法吗？ ‎ ‎(学生讨论、画图、归纳自己的方法) ‎ 在求五边形的内角和时，先把五边形转化成三角形，进而求出内角和，这种由未知转化为已知的方法是我们数学中一种非常重要的方法.‎ 从n边形的一个顶点出发，向自身和相邻的两个顶点无法引对角线，向其他顶点共引(n－3)条对角线，这时n边形被分割成(n－2)个三角形，因为每个三角形的内角和是180°，所以n边形的内角和为(n－2)·180°. ‎ 大家想一想，n边形的内角和公式中，字母n取值有没有范围？ ‎ 同学们口答一下：12边形的内角和是多少呢？（1800°） ‎ ‎3. 正多边形 ‎ 请同学们想一想：观察下图中的多边形，它们的边、角有什么特点？ ‎ 在平面内，内角都相等，边也都相等的多边形叫做正多边形. ‎ 如下图中的多边形分别为：正三角形、正四边形即正方形、正五边形、正六边形、正八边形.]‎ 多边形都是轴对称图形，边数为偶数的正多边形是中心对称图形. ‎ ‎4. 大家想一想，议一议： ‎ ‎①一个多边形的边都相等，它的内角一定都相等吗？ ‎ ‎②一个多边形的内角都相等，它的边一定都相等吗？ ‎ ‎③正三角形、正四边形(正方形)、正五边形、正六边形、正八边形的内角分别是多少度？‎ 学生讨论并得出结论： ‎ ‎①如菱形的四条边相等，但它的内角不一定都相等，所以应该说：一个多边形的边都相等，它的内角不一定都相等. ‎ ‎②一个多边形的内角都相等，它的边不一定都相等，如：矩形的内角都是直角，但它的边未必都相等.‎ ‎③因为正多边形的每个内角都相等，且它的内角和为(n－2)·180°,所以，正n边形的每个内角为：·180°. ‎ 因此，正三角形的内角是：正方形的内角是：·180°=90° ‎ 口答：正五边形的内角是： ；正六边形的内角是： ；正八边形的内角是： ‎ 三、知识运用： ‎ 例1：一个多边形的内角和为2520°，则多边形的边数为 ‎ 例2：一个正方形缺去一个角后内角和为多少度？ ‎ 四、课堂练习 ‎ ‎1. P86，1，2 ‎ ‎2. 如下图 ‎ ‎(1)作多边形所有过顶点A的对角线，并分别用字母表示出来. ‎ ‎(2)求这个多边形的内角和.‎ 解：(1)如下图：过顶点A的对角线是AC、AD、AE. ‎ ‎(2)从(1)图中可知：这个六边形被过顶点A的对角线分割成四个三角形，所以，这个多边形的内角和为1800×4=720°. ‎ 也可以利用多边形的内角和公式进行计算即：(6－2)×180°=720°. ‎ 五、小结 ‎ 本节课我们研究了多边形的定义及其内角和公式，重点探讨了多边形的内角和公式，即n边形的内角和等于(n－2)·180°,它揭示了多边形内角和与边数之间的关系. ‎ 六、作业：课本习题P86， 1、2、3 ‎ 教学反思： ‎